Жыл сайын ?ткізіліп ж?рген ?лтты? біры??ай тестілеу н?с?аларында функцияны? м?ндеріні? жиыны немесе функцияны? ?згеру облысы (б?рын?ы о?улы?тарда?ы атауы) та?ырыбына тапсырмалар жиі кездесіп ж?ргендігі бай?алады. Математика п?ні бойынша мектеп ба?дарламасында атал?ан та?ырып бойынша «Т?уелді айнымалыны? м?ндерін функцияны? м?ндері деп атайды» деген аны?тама ж?не кейбір на?ты функцияларды? е? ?лкен, е? кіші м?ндерін к?рсеткеннен бас?а еште?е айтылма?ан. Ал м?ндер жиынын есептеу жолдары, оларды табу ?дістері ешбір о?улы?та жо?. Осы жа?дайларды ескере отырып, о?ушы біліміні? ол?ылы?тарын толтыру жолдарын ?арастырайы?.
Алдымен функцияны? ?згеру облысын есептеуді? стандарт ?дістерін еске т?сірейік:
I т?сіл. y =функциясыны? аргументі мен функцияны? орындарын алмастырып x =я?ни кері функция ??растырамыз. Берілген функцияны? аны?талу облысы (?згеру облысы) кері функцияны? ?згеру облысы (аны?талу облысы) екендігін ескеріп, кері функцияны? аны?талу облысын аны?таймыз.
II т?сіл. Берілген y =функциясыны? графигін т?р?ызып, сызба бойынша функцияны? ?згеру облысын аны?таймыз.
Тест есептерін шы?ару ?лгілері ж?не ?осымша ?дебиеттерден алын?ан мысалдарды ?арастырайы?:
Мысалы:
а) y = x2-4x+3 функциясыны? м?ндер жиынын табы?ыз.
M формулаларын ?олданып,
м?нда?ы (х 0 ; M)
параболаны? т?бесіні? координаталарын аны?таймыз.
Графиктен функцияны? [-1; +) аралы?ында ?згеретіндігін к?реміз.
б) y = x2 – 4x + 3. х пен у – ті? орнын алмастырып,
х = y2 – 4y + 3 ?рнегінен у – ті табамыз.
у2 – 4у + 3 – х = 0.
D = 16 – 4(3-x) = 16 – 12 + 4x = 4 + 4x
D 0 болуы ?шін х –1 шартыны? ?ажеттілігінен,
функцияны? м?ндер облысы: [-1; +).
в) = (sinx – cosx)2 функциясыны? ?згеру облысын табы?ыз:
1) Берілген функцияны т?рлендіреміз.
= (sinx – cosx)2 = sin2x – 2sinxcosx + cos2x =
= (sin2x + cos2x) – 2sinxcosx = 1-sin2x
2) –1 sinx 1 екендігі белгілі. Б?дан:
–1 –sin2x 1
–1 +1 –sin2x +1 1 +1
0 1 –sin2x 2.
3) Жауабы: E(f) = [0; 2].
Атал?ан та?ырып бойынша о?у ба?дарламасында арнайы са?ат ?арастырылма?анды?тан к?рсетілген т?сілдерді ?осымша, факультативтік саба?тарда талдап, о?ушы?а ма?ынасын толы? жеткізіп, ?йреткен д?рыс болар еді.
Жо?арыда?ы мысалдардан к?ргеніміздей, графикті т?р?ызу, кері функцияны тауып, оны? аны?талу облысын табу, функцияны? шектеулілігін пайдаланып ?р ?адамды т?сіндіру, о?ушыны? тестілеу сына?тарында к?лемді ж?мыс жасап, к?п уа?ытын жою?а ?келіп со?атыны айтпаса да т?сінікті.
Материалды толы? игеріп, та?ырыпты? мазм?нын т?сінген о?ушы?а тиімді болады деген ма?сатпен мынадай «жасанды» т?сілдерді ?сынамын:
I б?лім. Тірек те?сіздіктерін ?олдану.
; || 0, , егер > 0; , егер < 0.
II б?лім. Кейбір функцияларды? на?ты ?згеру облысын ?олдану.
0 < +; –1 sinx 1; –1 cosx 1;
«Жасанды» т?сілдерді ?олдану кезінде жазылу т?ртібіні? «за?ды т?рде» емес екендігін ескертемін.
I б?лім мысалдары.
1-мысал: у = |х+3| функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: у = х +3 сызы?ты? функция ж?не х = –3 н?ктесінде 0 –ге те? болатынды?ын пайдаланамыз. :
Жауабы: Е(у) = [0; +).
2-мысал: у = х2 +5 функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: Е(у) = [0; +) +5 = [5; +). Ескерту: х2 0.
3-мысал: у = х2 –4х+3 функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: Е(у) = (х2 –4х+4) –1 = (х –2)2 –1 = [0; +) –1 = [–1; +). Ескерту: (х–2)2 0.
< x < b –b < –x < – тура екендігінен –n [; b] [–nb; –n] болатынды?ын ?олданамыз:
4-мысал: у = 7 – х2 функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: Е(у) = 7 – [0; +) = 7 + (–; 0] = (–; 7]. Ескерту: х2 0.
5-мысал: у = 1 – x – x2 функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: Е(у) = 1 – (x2 +2x +) = 1– (x+)2 =1– [0; +) = 1+ (–; 0]
=(-;1]. Ескерту: х2 0.
6-мысал: у = 3 –2·|х+4| функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: Е(у) = 3 –2·[0; +) = 3 + (–; 0] = (–; 3]. Ескерту: |х| 0.
7-мысал: у = 4|x| +1 функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: Е(у) = 4[0;+) +1 = [1; +) +1 = [2; +).
x > 0 бол?анда y =2, б?дан Е(у) = [2; +)
x < 0 бол?анда y = x + -2, б?дан Е(у) = (–; 2],
х-кез-келген сан бол?анда y = x + Е(у)= (–; –2][2; +)
немесе аргументті? та?басына байланысты функцияны? ?алай ?згеретіндігін білеміз.
Ал аргумент ?рт?рлі а ж?не в коэффициенттерімен берілсе, онда былайша т?рлендіріп y = м?ндер жиынынын есептейміз.
Е(у)==, я?ни y= т?ріндегі функцияны? м?ндеріні? облысын табу ?шін а ж?не в коэффициенттеріні? геометриялы? ортасын тауып,шы??ан н?тижені (–; 2][2; +) аралы?ыны? шеткі м?шелеріне к?бейту жеткілікті.
Осы н?тижелерді келесі мысалдарды шешуге ?олданамыз:
8-мысал: y =
Шешуі: Е(у) = [2; +)
9-мысал: y = 2x + =
Шешуі: Е(у) =4· (–; –2][2; +)= (–; –8][8; +).
10-мысал: у = 12|х| += (2|х|+) = 6· [2; +)= [12; +)
II б?лім мысалдары.
Кейбір функцияларды? ?здеріні? аны?талу облыстарында ?ай аралы?тарда ?згеретіндігі туралы мектеп о?улы?тарында баяндалады. Д?лірек айтар болса?,
0 < +; –1 sinx 1; –1 cosx 1 екендігі к?рсетілген.
11-мысал: у = – 4 функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: Е(у) = [0; +) – 4 = [– 4; +). Ескерту: 0.
12-мысал: у = 5 – 7· функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: Е(у) = 5 – 7· [0; +) = 5 + (–; 0] = (–; 5]. Ескерту: 0.
13-мысал: у = +2 функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: Е(у) = 3[0;+) +2 = [1; +) +2 = [3; +). Ескерту: 0.
14-мысал: у = 5-3sinx функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: Е(у) =5-3·[-1;1] =5+[-3;3] =[2;8]
Егер функция бірнеше тригонометриялы? функциялар?а арифметикалы? амалдар ?олдану ар?ылы ??рал?ан болса, алдымен формулалар ар?ылы тек бір ?ана тригонометриялы? функция?а те? болатындай етіп т?рлендірулерді орындаймыз.
К?мекші аргумент формулаларын ?олдана отырып,
у = sinx +bcosx = =
= = м?нда?ы =
= arccos = arcsin
немесе, осы сия?ты y = sinx +bcosx = ,м?нда?ы =
= arcsin = arccos
Е(у) =[-1;1] =[-;].
Sinx ж?не cosx функцияларыны? ?згеру облысы аргументтеріні? ?андай бол?анды?ына т?уелсіз екендігін ескере отырып келесі мысалдарды шы?арамыз:
15-мысал: у = 3sinx + 4cosx функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: у = = 5sin(x +)
Е(у) = 5·[-1;1] = [-5;5].
16-мысал: у = 3cos2 (2x+1)-3sin2(2x+1)-5 функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: у = 3cos2 (2x+1)-3sin2(2x+1)-5 =3cos(4x+2)-5
Е(у) =3·[-1;1]-5=[-3;3]-5=[-8;-2].
17-мысал: у = е2sinx +1 функциясыны? м?ндер жиынынын табы?ыз:
Шешуі: Е(у) = e2[-1;1] +1 =e[-2;2] +1 =+1 =.
Б?л ?дістерді ?олдану н?тижесінде тек функцияны? м?ндер жиынын табу ?ана емес, сонымен ?атар мынадай с?ра?тар?а да жауап беруге болады:
1. Функцияны? е? ?лкен ж?не е? кіші м?ндерін табу;
2. Функцияны? е? ?лкен ж?не е? кіші м?ндеріні? ?осындысын, айырмасыны? модулін, к?бейтіндісін ж?не ?атынасын табу;
3 Функцияны? м?ндер жиынында?ы б?тін шешімдерді? санын, оларды? ?осындысын, к?бейтіндісін табу, ж?не т.б
Осы секілді ?осымша с?ра?тарды о?ушы?а ?ойып отыру, есеп шартыны? мазм?ны мен ма?ынасын д?рыс т?сінуге о?ушыны жан-жа?ты даярлайды.
Тапсырмаларды шы?ару кезінде есеп шартында?ы коэффициенттерді онды? б?лшектермен, жай б?лшектермен ж?не иррационал сандармен алмастырып отыру о?ушыларды? ойлау ?абілетін дамыту?а ?лес ?осатыны аны?.
?р т?рлі жа?дайларды ?арастырып, формулаларды, ?асиеттерді танымал тепе-те?діктерді пайдаланып, есеп шартын т?рлендіру ?р м??алімні? к?сіби шеберлігіне байланысты.
