Функция y=Kx -прямая пропорциональность

Функция y=kx – прямая пропорциональность.

Ученикам предлагается рассмотреть следующие ситуации:

1. В магазине необходимо купить определенное количество бутылок лимонада. Известно, что стоимость одной бутылки 7 рублей. Сколько нужно заплатить, если необходимо купить 2 бутылки? 3 бутылки? и т.д. 10 бутылок?

Соотношение «бутылка-цена» зафиксировать на доске.

Можно ли установить связь между стоимостью и количеством бутылок?

Пусть n – количество бутылок, а с – стоимость товара, тогда с=7n.

Эта зависимость говорит о том, что чем больше мы покупаем бутылок, тем больше нам нужно заплатить денег. В этом случае говорят, что между величинами существует прямая пропорциональная зависимость или прямая пропорциональность.

Изучим график этой зависимости:

=

(графиком этой функции являются точки).

1. Остаемся в магазине и понаблюдаем за стоимостью муки, которая продается на разновес.

Пусть цена одного килограмма муки 14.5 руб. Необходимо купить одному покупателю 1кг, второму 1кг 200г, третьему 1.5 кг. Какую зависимость можно составить в этом случае? c= 14.5m, где m – вес муки.

Построим график этой зависимости(графиком функции является луч).

Замечание. Предположим, что ребенок уже купил часть муки и ему нужно докупить оставшийся кг.

(Если секундомер поставить в начале отсчета, тогда графиком будет являться луч, но если рассмотреть движение до начала отсчета, тогда графиком будет прямая).

Графиком будет прямая.

Во всех случаях имеем дело с функцией y=kx. Причем в первом случае k=7, а во втором k=14.5.

После рассмотрения данных ситуаций необходимо дать определение прямой пропорциональности.

Определение. Функция, которую можно задать формулой вида у = kх, где k – не равное нулю число, называется прямой пропорциональностью.

Изучение свойств функции проводится исходя из аналитического задания с опорой на график. Такие свойства как: область определения, четность, нули функции – изучаются исходя из анализа формулы, задающей функцию. При этом, если определения нужных свойств ранее не изучались, то вводим их. Если учащиеся с ними уже сталкивались – повторяем.

Посмотрим на эту функцию алгебраически:

1. Рассмотрим область определения функции:

Функция задана формулой, значит ее областью определении являются все значения х, при которых формула имеет смысл, т.е. все значения х при которых мы можем найти значения функции.

Формула говорит, что чтобы найти значение у, нужно число k умножить на х, но операция умножения всегда выполнима, значит для любого х мы можеи найти значение функции, следовательно областью определения функции y=kx являются все числа.

1. Нули функции.

Для того, чтобы найти нули функции необходимо правую часть формулы приравнять к нулю. Получаем: если у=0, то х=0, если х=0, то у=0.

Это говорит о том что график прямой пропорциональности проходит через начало координат.

1. Четность и нечетность функции.

Определяем является ли область определения функции симметричным множеством.

Проверяем: f(-x)=f(x) – четная, f(-x)=-f(x) – нечетная. Следовательнофункция «прямая пропорциональность» нечетная, поэтому график ее симметричен относительно начала координат.

1. Интервалы знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания можно изучать двумя путями:

1. Учащимся предлагается построить график функции y=kx при конкретных k, тем самым выстраивается гипотеза о перечисленных свойствах, а затем либо учитель говорит, что так будет всегда, либо полученная гипотеза доказывается.

Школьники строят график функции «по точкам», т.е. на основе определения понятия «график функции». По определению графиком функции называется множество точек, координаты которых удовлетворяют формуле, задающей функцию. Поэтому, чтобы построить график функции y=kx, нужно построить таблицу значений и посмотреть появится ли гипотеза о графике.

Для этого возьмем любые значения х и найдем у. Рассмотрим функцию y=2x:

Строим систему координат:

Точки располагаются вдоль прямой, соединяем их.

В зависимости от класса и выбранного учебника:

1. Без доказательства принимается тот факт, что графиком является прямая, проходящая через начало координат.

2. Появляется гипотеза о том, что графиком функции является прямая и это доказывается.

После этого начинают считывать свойства функции.

Функция является возрастающей.

При движении слева направо график прямой пропорциональности поднимается вверх. Чем больше значение х, тем больше значение у.

Возникает вопрос: при любом ли k у функции y=kx будут такие же свойства?

Исследование начинается с рассмотрения того, как влияет коэффициент k на свойства. Полезно провести лабораторную работу. Учащимся предлагается в одной системе координат построить графики y=kx для различных k.

у=2х, у=-2х, у=х, у=-х.

Переходим к построению графиков этих функций. Сколько значений х мы будем задавать?

Возьмем значения х=0. Что мы видим? Во всех случаях у=0. Значит эти прямые будут обязательно проходить через начало координат.

Видим, что графиком являются прямые. Чтобы построить прямую необходимо построить 2 точки. Одна из них уже задана – это начало координат, следовательно возьмем любое значение х и найдем значение у для каждой функции.

Дети высказывают предположении по поводу влияния коэффициента k или отвечают на вопрос: «Что изменяется в поведении функции при изменении k?»

Если k0:

При каком значении х значение у0?( x0).

При каком значении х значение уx

Это доказывается аналитически:

y=kx

kx0

k0 = x0.

Аналогичные рассуждения проводятся если k

При каких значениях k функция будет возрастать, а при каких убывать?

При k0 функция возрастает.

При k

Доказываем эти гипотезы аналитически:

Возьмем любые два значения из области определения x₁,x₂ и пусть x₂ x₁ = x₂-x₁0.

Возьмем любые два значения функции в точках:

y₁=f(x₁)=kx₁ y₂=f(x₂)=kx₂. y₂-y₁=kx₂-kx₁=k(x₂-x₁), x₂-x₁0 значит знак зависит от коэффициента k, т.е. k0 то y₂-y₁0 = y₂y₁ или f(x₂)f(x₁)

ky₂-y₁ y₂y₁ или f(x₂)f(x₁).

Так же можно рассмотреть изменение расстояния со временем при постоянной скорости и получить формулу S=vt.