«Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и графики”

МОУ лицей №10 города Советска Калининградской области

учитель математики

Разыграева Татьяна Николаевна.

Конспект урока по алгебре в 10-м классе по теме:

«Функции y = tgx, y = ctgx, их свойства и графики”.

Цели: 1. Изучить свойства функций y = tgx, y = ctgx; выработать у учащихся умения изображать схематически и читать графики этих функций. Сформировать прочные навыки в умении решать графически уравнения, выполнять преобразования графиков.

1. Оргмомент. Сообщение темы, целей и задач урока. Приглашение к сотрудничеству.

2. Актуализация знаний. Устная работа.

1.Вычислите:

2.Докажите, что число  является периодом для функции .

3.Докажите, что функция нечётная. Доказательство: .

4.Прочитайте по графику функцию.

D(f) = [ -2; 5]. Функция не является ни чётной, ни нечётной. Функция возрастает на промежутках [ -2; -1], [2; 5], убывает на промежутке [ -1; 2]. Функция ограничена снизу и сверху. Функция непрерывна на всей области определения. E(f) = [ -4; 5].

1. Изучение нового материала. Начинаем со свойств функции y = tgx. Свойство 1. Какова область определения функции y = tgx? (Все действительные числа, кроме чисел вида

Свойство 2. Функция периодическая с периодом , т.к.

Свойство 3. Функция нечётная, т.к. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Составим таблицу основных значений:

Построим график функции в первой четверти:

Используя свойства функции, строим полностью график функции y = tgx.

Свойство 4. Функция возрастает на всём интервале вида:

График функции y = tgx называют тангенсоидой, а ветвь на промежутке называют главной ветвью.

Свойство 5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Свойство 6. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Свойство 7.Функция y = tgx непрерывна на любом промежутке вида

Свойство 8. E(f) = ( - ; + ).

Рассмотрим пример: решите уравнение . Решим это уравнение графически. Построим в одной системе координат графики функций и .

Пример 2. Построить график функции

Составим план построения: 1) Построим главную тангенсоиду.

2) Отобразим эту ветвь симметрично относительно оси х. 3) Сдвинем полученную ветвь на /2 влево. 4) зная одну ветвь, построим весь график.

Т.к. , то построен график функции

По графику полученной функции описать её свойства. Как быстро это сделать? (Большинство свойств у функций y = tgx и совпадают).

Свойство 1. D(f) – все действительные числа, кроме чисел вида x = k.

Свойство 2. Функция периодическая с периодом .

Свойство 3. Функция нечётная.

Свойство 4. Функция убывает на всём интервале вида:

Свойство 5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Свойство 6. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Свойство 7.Функция y = tgx непрерывна на любом промежутке вида:

Свойство 8. E(f) = ( - ; + ).

График функции так же называется тангенсоидой.

1. Закрепление изученного материала. № 254,255,257,258 – устно. № 261в, 262в – письменно.

2. Итог урока.

- С какими функциями мы сегодня с вами познакомились?

- Что можно сказать о них?

- Какими похожими свойствами они обладают? В чём различие?

- Как называются графики этих функций?

1. Домашнее задание. §15 № 256(а), 259(а), 261(а), 262(а).

у

х

Функции y = tg x, y = ctg x,

их свойства и графики.

МАОУ лицей №10 города Советска

Калининградской области

учитель математики

Разыграева Татьяна Николаевна

Работа устно:

Вычислите:

Докажите, что число  является периодом для функции y = sin2x.

sin2(x -  ) = sin2x = sin2(x +  )

Докажите, что функция является нечётной:

f(x) = x⁵ ∙ cos3x

у

5

Прочитайте по графику функцию:

х

5

2

-2

0

-4

Подсказка!

План прочтения графика:

1) D(f) – область определения функции .

2) Чётность или нечётность функции .

3) Промежутки возрастания, убывания

функции .

4) Ограниченность функции .

5) Наибольшие, наименьшие значения

функции .

6) Непрерывность функции.

7) E(f) – область значений функции.

Свойство 1.

Область определения функции y = tg x – множество

всех действительных чисел, за исключением чисел

вида x =  /2 +  k.

у

х

Свойство 2.

y = tg x – периодическая функция с

периодом  .

tg(x -  ) = tg x = tg(x +  )

Свойство 3.

y = tg x – нечётная функция.

tg(- x) = - tg x

(График функции симметричен относительно

начала координат).

х

tg x

y

1

0

x

Свойство 4.

у

y = tg x

х

Функция возрастает на любом интервале вида:

График функции y = tg x

называется тангенсоидой .

Свойство 5.

Функция y = tg x не ограничена ни снизу, ни сверху.

Свойство 6.

У функции y = tg x нет ни наибольшего, ни

наименьшего значений.

Свойство 7.

Функция y = tg x непрерывна на любом интервале

вида

Свойство 8.

Пример 1.

Решите уравнение tg x =  3

у

у =  3

х

Ответ:

Пример 2.

Построить график функции y = - tg (x +  /2).

у

y = ctg x

х

Т.к. - tg (x +  /2) = ctg x, то построен график функции

y = ctg x.

Опишите свойства функции y = ctgx.

• D(f): множество всех действительных чисел, кроме чисел

вида x =  k.

2) Периодическая с периодом  .

3) Нечётная функция.

4) Функция убывает на любом интервале вида (  k;  +  k).

5) Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

6) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего

значений.

7) Функция непрерывна на любом интервале вида (  k;  +  k).

8) E(f) = (-  ; +  ).

1). Пример №3 по учебнику

разобрать самостоятельно.

2). № 254, 255, 257, 258 – устно.

3). № 261 (в), 262 (в) –письменно.

4). Домашнее задание:

№ 256 (а), 259 (а), 261(а), 262(а).