Формули скороченого множення

У царстві формул

скороченого множення

Узагальнюючий урок в 7 класі на тему

«Формули скороченого множення»

2016

ТЕМА: «У царстві формул скороченого множення».

МЕТА УРОКУ:

1.Повторіть ФСМ;

2.Виробити вміння користуватися формулами скороченого множення для перетворення алгебраїчних виразів, для розкладання многочлена на множники і для спрощень обчислень.

3.Развиток елементів творчої діяльності учнів і вміння контролювати свої дії.

4. Знайти прийом зведення в третю, четверту і більш високі ступені суми двох, трьох, чотирьох і більше чисел.

ОБЛАДНАННЯ:

картки з формулами, роздаткові тести .

ТИП УРОКУ:

урок комплексного застосування знань, умінь і навичок.

ПЛАН УРОКУ:

1. Організаційний момент.

2. Усна робота.

3. Математичний диктант.

4. Гра "Дивись, не помились!»

5. Тестова робота.

6. Творче завдання.

7. Практична робота.

8. Домашнє завдання.

9. Підсумок уроку.

ХІД УРОКУ:

I.Учитель:

- Добрий день учні, сідайте!

Поет Сеф в жартівливій формі писав:

"Хто нічого не помічає,

Той нічого не вивчає,

Хто нічого не вивчає,

Той вічно пхикає і нудьгує ".

   А ми сьогодні не будемо сумувати самі і не дамо гостям. Чи згодні?

Ми назвемо наш сьогоднішній урок «У царстві формул скороченого множення». Ваше завдання показати все, що ви знаєте і вмієте на уроці.

Протягом багатьох уроків ми з вами вивчали ці формули і прийшли до висновку, що за допомогою формул скороченого множення можна здійснювати ряд алгебраїчних перетворень і робити їх потрібно дуже обачно. На сьогоднішньому занятті ми ще раз побачимо, яка дивовижна сила полягає в формулах скороченого множення і як вони працюють при перетворенні виразів.

 Давайте ми разом з вами захопимося глибокими знаннями, витягнемо зі схованок пам'яті все те цінне, що вчили на попередніх уроках. А зараз запишіть в зошитах число, класна робота і тему уроку.

II. Усна робота:

Для початку згадаємо:

1. Які формули скороченого множення Ви знаєте?

(Квадрат суми, квадрат різниці, різниця квадратів, куб суми, куб різниці, різниця кубів, сума кубів)

Отже, ми згадали формули. Можна вирушати в дорогу.

2. «Збери формули ...»

     Перед вами картки з правою і лівою частиною, вам необхідно зібрати їх і відновити формули скороченого множення.

3. «Закінчи формулювання» , повторимо визначення.

4. Знайдіть помилки

(в - у)² = в - 2ву + у²

(7 + с)² = 49 - 14с + с²

(р - 10)² = р² - 20р + 10

(2а + 1)² = 4а² + 2а + 1

учитель:

- Теорію ми повторили, а зараз практично перевіримо себе.

III. Математичний диктант.

Зараз ми напишемо математичний диктант.

Запишіть:

1. квадрат а;

2. подвоєне число b;

3. суму х і у:

4. суму квадрата х і куба у;

5. подвоєний добуток а і b;

6. потроений добуток с і d;

7. квадрат суми а і b;

8. квадрат різниці х і у;

9. добуток b і квадрата а;

10. добуток куба а й подвоєного b;

учитель:

-Зараз обмінялися роботою з сусідом по парті і здійсните взаємоперевірку по готовому рішенням, записаних на дошці, і поставте оцінку.

Все правильно «5»

1 помилка «4»

2 помилки «3»

В інших випадках «2».

IV Гра "Дивись, не помилися!»

- Завдання на екрані. Вписати замість точок букву або число щоб виконувалося рівність.

1. 1…² – b² = (a - …) (a +…)

2. (a +…)² =… + 2…b + b²

3. (m -…)² = m² - 20m + …

4. (5a + …)² =… + … + 81

5. (x² - 1) = (1+ …) (… - 1)

6. 47 ² – 37² = (47 - …) (… + 37)

7. (… - 3)(… +3) = x² - …

8. (… + b)² = a² + 2a… + …

V. Тестова робота.

Деякі учні отримують картки і працюють за картками.

За допомогою тестів перевірте свої знання і вміння застосовувати ці формули. Тести складені за зразком матеріалу для складання іспитів в 9 класі, тобто завдання з вибором відповіді, на відповідність, а в останньому завданні треба написати тільки відповідь.

VI. творче завдання

Мета: відпрацювання розуміння математичної мови на слух.

  На екрані записані формули, у кожної формули свій номер. Учитель називає ліву чи праву частину будь-якої формули. А учні в зошитах записують номер цієї формули. В кінці виходить число. Це число потім перевіряється.

1) Квадрат суми двох виразів. (5)

 2) Добуток суми двох виразів і неповного квадрата їх різниці. (1)

 3) Різниця квадратів двох виразів. (3)

 4) Різниця кубів двох виразів. (4)

  5) Квадрат першого виразу мінус подвоєний добуток першого і другого виразів, плюс квадрат другого виразу. (2)

 6) Добуток різниці двох виразів і їх суми. (3)

Відповідь: 513423.

 

VII.Практіческая робота

- Ще Евклід знав прийом зведення в квадрат суми двох доданків. Ми вміємо будувати суму двох доданків в куб. Чи існує прийом зведення в 4-ту, 5-ту і більш високі ступені суми двох доданків?

Зараз з'ясуємо, як можна звести в більш високу ступінь суму двох доданків.

Проект I групи.

Мета проекту: навчитися зводити в квадрат суму трьох, чотирьох, і т.д. доданків.

Зводити в квадрат суму трьох, чотирьох, і більше доданків.

(а+в+с+d)² =((a+ b)+(c+ d))²=(a+ b)² + 2(a+ b)(c+ d)+(c+ d)² =

=a²+ 2ab+ b²+ 2ac+ 2ad+ 2bc+ 2bd+ c²+ 2cd+ d²=

=a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

- А чи зручно кожен раз виконувати множення многочленів?

- Звичайно, завжди зручніше користуватися готової формулою. Давайте проаналізуємо результати множення многочлена на многочлен, встановимо закономірності і спробуємо вивести формулу квадрата суми трьох або чотирьох чисел.

ВИСНОВОК: квадрат суми трьох, чотирьох і більше чисел дорівнює сумі квадратів кожного з цих чисел плюс подвоєні твори кожного з цих чисел на числа, які йдуть за ним .

(а+в+с+d)2 =a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

 Обчисліть: (3х+4у+5z)²= 9x² +16y² +25z² +24xy +30xz + 40yz

Проект II групи.

Мета проекту: навчитися зводити двочлен в будь-яку натуральну ступінь.

1) Зведемо двочлен (а + в) в четверту і п'яту ступеня алгебраїчним способом.

А) (а+b)⁴ =(a+ b)²(a+ b)²= (a²+ 2ab+ b²)(a²+ 2ab+ b²)=

=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

В) (а + в)⁵ =(a+ b)³(a+ b)²=

Спосіб другий:

2) Поспостерігаємо за ступенями:

(а+b)⁴ =((a+ b)²)²=( a²+ 2ab+ b²)²= а⁴+4а²b²+b⁴+4a³b+2a²b²+4ab³ =

= а⁴ +4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

• Ступінь кожного одночлен дорівнює показнику степеня, в яку ми зводили двочлен.

• Ступінь першого множника в кожному рядку зменшується від найбільшої до нульової, ступінь другого множника навпаки збільшується від нульової до максимальної.

3) Тепер нам відомі ступеня одночленним для будь-якої натуральної ступеня, але коефіцієнти залишаються невідомими. Поспостерігаємо за коефіцієнтами одночленним. Для цього зведемо двочлен в нульову і першу ступеня:

4) Ми помічаємо, що перший і останній одночлен завжди має коефіцієнт 1.

Ми записали коефіцієнти у вигляді трикутника, при цьому коефіцієнти першого і останнього одночленним утворюють бічні сторони трикутника:

          Складає таблицю з їх коефіцієнтів, помічаючи закон освіти коефіцієнтів. По краях кожного рядка стоять одиниці, а кожне з інших чисел дорівнює сумі двох які стоять над ним чисел попереднього рядка. За цим правилом легко виписувати одну за одною нові рядки цього трикутника. Саме в такій формі він приведений в «Трактаті про арифметичний трикутник» французького математика Б. Паскаля, опублікованому в 1665 р вже після смерті автора.

Трикутник, складений за описаним правилом, називають трикутником Паскаля, на ім'я добре відомого вам з підручника фізики французького філософа, письменника, фізика та математика Блеза Паскаля (1623-1662), сучасника Декарта і Ферма. Історія виникнення трикутника Паскаля йде глибоко корінням в минуле. Трикутник Паскаля надрукований вперше в 1527 році в книзі П. Апіа за 100 років до народження Паскаля.

      Трикутник був частково відомий в Індії ще в 2 столітті до н.е. У 13-14 століттях в працях Китайського математика Чжу Ши - цзе і арабського математика ал - Каші (пом. В 1530 г.). Однак Паскаль першим обгрунтував його і тому трикутник названий на його честь.

Трикутник Паскаля має масу цікавих властивостей, головне з яких ми вже помітили: не виконуючи самого множення з його допомогою просто, швидко і точно можна зводити в будь-яку ступінь двочлен (а + в). Правда коефіцієнти розкладання ми знаходимо рекуррентно, тобто для того щоб дізнатися коефіцієнти розкладання бінома сьомий ступеня, треба знати їх для шостий, а щоб знати для шостий - спочатку знайти їх для п'ятої і так далі до самого початку. . Тепер ми з легкістю можемо обчислити шосту ступінь двочлена (а + в):

VIII. Підведення підсумків уроку

учитель:

Де застосовуються формули скороченого множення?

• При спрощення виразів.

• При розкладанні виразів на множники.

• При вирішенні рівнянь.

• При доказі тотожностей.

• Застосовуються в деяких математичних фокусах.

Пропонується кому-небудь задумати не дуже велике число і звести його в квадрат. До результату попросіть додати подвоєне задумане число і ще одиницю. З'ясувавши остаточний результат, ви зможете назвати задумане число. Як знайти задумане число? (формула а² + 2 а + 1 = (а +1)² )

    Всі ваші роботи будуть перевірені і оцінені мною до наступного уроку;

ми повторили формули скороченого множення, закріпили їх у практичній діяльності; я думаю, що навик роботи з многочленами залишиться у вас на довго, причому він стати в нагоді в старших класів, як на уроках математики, так і фізики, і допоможе вам при спрощень обчислень

IX. Домашня робота:

1. Повторіть формули скороченого множення

2. Побудуйте трикутник Паскаля

3. Зведіть до степеня (а + b)⁵

4. Зводите в квадрат суму п'яти доданків (а +b+с +d +e)²; (в+5+с)²?

5. Вирішіть за підручником № 1048; 1 044 (а, б)

6. Підготуватися до контрольної роботи

Додаток 1

Формули скороченого множення

[1]       ( a + b )²  =  a²  + 2ab + b² ,

[2]       ( a – b )²  =  a² – 2ab + b² ,

[3]       ( a + b ) ( a – b ) = a²  –  b²,

[4]       ( a + b )³  =  a³  + 3a² b + 3ab²  + b³ ,

[5]       ( a – b )³  =  a ³  – 3a² b + 3ab²  – b³ ,

[6]       ( a + b )( a²  – ab + b² ) =  a³ + b³ ,

[7]       ( a – b )( a ²  + ab + b² ) =  a³ – b³ .

Математичний диктант.

Запишіть:

1. квадрат а;

2.удвоенное число b;

3.Сумма х і у:

4.Сумма квадрата х і куба у;

5.удвоенное твір а й b;

6.утроенное твір з і d;

7.квадрат суми а і b;

8..квадрат різниці х і у;

9.проізведеніе b і квадрата а;

10. твір куба а й подвоєного b;

Гра "Дивись, не помилися!»

Вписати замість точок букву або число.

1. …² – b² = (a - …) (a +…)

2. (a +…)² =… + 2…b + b²

3. (m -…)² = m² - 20m + …

4. (5a + …)² =… + … + 81

5. (x² - 1) = (1+ …) (… - 1)

6. 47 ² – 37² = (47 - …) (… + 37)

7. (… - 3)(… +3) = x² - …

8. (… + b)² = a² + 2a… + …

творче завдання

1) Квадрат суми двох виразів.

2) Твір суми двох виразів і неповного квадрата їх різниці.

3) Різниця квадратів двох виразів.

4) Різниця кубів двох виразів.

5) Квадрат першого виразу мінус подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу.

6) Твір різниці двох виразів і їх суми

Проект I групи.

Мета проекту: навчитися зводити в квадрат суму трьох, чотирьох, і т.д. доданків.

Зводити в квадрат суму трьох, чотирьох, і більше доданків.

(А + в + с + d) 2 = ((a + b) + (c + d)) 2 = (a + b) 2 + 2 (a + b) (c + d) + (c + d) 2 = = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + c2 + 2cd + d2 =

= A2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

ВИСНОВОК: квадрат суми трьох, чотирьох і більше чисел дорівнює сумі квадратів кожного з цих чисел плюс подвоєні твори кожного з цих чисел на числа, які йдуть за ним.