Формула n-ого члена геометрической прогрессии

План-конспект урока по теме "Формула n-ого члена геометрической прогрессии"

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Формула n-ого члена геометрической прогрессии»

План-конспект урока по теме: «Формула n-ого члена геометрической прогрессии». Подготовка к ОГЭ.

Основная цель: закрепить понятие геометрической прогрессии;

познакомить учащихся с формулой n-ого члена геометрической прогрессии;

применение этой формулы и свойства на примерах и задачах.

Задачи:

Образовательные:

рассмотреть примеры геометрической прогрессии; вывести формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии; выработать навыки её применения.

Развивающие:

Развивать логическое мышление, память, исследовательские качества учащихся; развивать рефлексивные умения через проведение анализа результатов урока.

Воспитательные:

Развивать речь как показатель интеллектуального и общего развития обучающегося; воспитывать аккуратность, точность; развивать коммуникативные качества; показать связь алгебры с действительной жизнью.

УМК: Алгебра.9класс.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ (А.Г.Мордкович и др.); под редакцией А.Г.Мордковича.-11-е изд., стер.-М.:Мнемозина, 2009.-255 с.: ил.

Класс: 9

Тип урока: урок изучения нового материала.

Ход урока.

Организационный момент (1 мин)

Учитель приветствует детей.

Устная работа.(9 мин)

Найдите среднее геометрическое чисел 16 и 25; 9 и 36; 49 и 81; 12 и 25.
Решите уравнение: b²=3, b²=-3, b³=-27, x⁶=164.
Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, вес которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи сутки? На восьмые сутки? (256; 128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1;…)
Мы с вами видим, что полученная нами последовательность является... геометрической прогрессией. Давайте вспомним ее определение.

Дается определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Вопрос: - Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? (Делением предыдущего члена на 2 или умножением на 12 ).Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают q.

Проверка домашнего задания (5 мин)

№17.8

Изучение нового материала.(10 мин)

Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи.

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты каждая из них делится на две. Сколько бактерий появилось на 5-ой минуте? (см. рис.1)

Сколько их будет через три минуты?

На 1-ой минуте — 2

на 2-ой минуте — 4

на 3-ей минуте — 8

на 4-ой минуте — 16

на 5-ой минуте — 32

Можем продолжить?

на 6-ой минуте — 64

на 7-ой минуте — 128

на 8-ой минуте — 256

на 9-ой минуте — 512

на 10-ой минуте — 1024

на 11-ой минуте — 2048

на 12-ой минуте — 4096

на 13-ой минуте — 8192

на 14-ой минуте — 16384

Сложно считать, не так ли?

А если я вас попрошу просчитать сколько бактерий будет через 1440 минут?

Вам придется считать очень долго, а это не рационально!

Вывод: следовательно необходима формула для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию b₁; b₂; b₃,...,b_n, со знаменателем q. Имеем:

b₁ = b₁

b₂ = b₁ q

b₃ = b₂ q = (b₁ q ) q = b₁ q ²

b₄ = b₃ q = (b₁ q ² ) q = b₁ q ³

b₅ = b₃ q = (b₁ q 3) q = b₁ q ⁴ ^{и т.д.}

Нетрудно догадаться что для любого n справедливо неравенство

b_n = b₁ q ^{n - 1}

Это n-ого члена геометрической прогрессии.

Попробуем проверить справедливость этой формулы для уже известной нам задачи с бактериями. Посчитаем 5-ый член последовательности

b_n = b₁ q ^{n - 1} = b₅ = b₁ q ^5-1 = 1·2 ⁴= 1·16=16.

b_n = b₁ q ^{n - 1} = b₁₁ = b₁ q ^11-1 = 1·2¹⁰= 1·1024=1024.

Закрепление изученного материала: (10)

ПР Пример 1-2.

УЧ: № 17.10(а,б),

№ 17.11(а,б),

№ 17.12(а,б)

№ 17.14

Физкультминутка (1 мин)

Подготовка к ОГЭ. (15 мин)

Карточки

Домашнее задание: (1 мин.)

№ 17.10(в,г), 17.12(в,г), 17.14, 17.16

Подведение итогов урока (1 мин)

Задача №1

Дана арифметическая прогрессия: -7; -5; -3; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов.

Чтобы найти сумму арифметической прогрессии у нас есть две формулы.
a50 мы не знаем, поэтому воспользуемся второй формулой. Для этого найдем d - разность прогрессии.
d=a2-a1=-5-(-7)=2.
Подставляем все в формулу:
S50=50*(2*(-7)+(50-1)*2)/2=50*(-14+98)/2=50*42=2100
Ответ: S50=2100

Задача №2

Дана арифметическая прогрессия: 1; 3; 5; … . Найдите сумму первых шестидесяти её членов.

d=a2-a1=3-1=2.
Подставляем все в формулу:
S60=60*(2*1+(60-1)*2)/2=30*(2+118)=30*120=3600
Ответ: S60=3600

Задача №3

Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями: a₁=3, a_n+1=a_n+4. Найдите a₁₀.

Зная, что an+1=an+4, т.е. a10=a9+4, можно,конечно, вычислить все первые 10 членов последовательности, но это трудоемко. К тому же, если бы потребовалось вычислить 300-ый член, то это заняло бы очень много времени.
Есть способ проще:
В арифметической прогрессии an=a1+(n-1)d, нам неизвестна только d. Вычислить ее можно по формуле: d=an+1-an
Используя эту формулу и условие задачи, мы видим, что d=4. Тогда:
a10=a1+(10-1)4
a10=3+9*4=39.Ответ: a10=39

Задача №4

Геометрическая прогрессия (b_n) задана условиями: b₁ = –128, b_n+1=1/2*b_n. Найдите b₇.

Зная, что bn+1=1/2*bn, т.е. b7=1/2*b6, можно,конечно, вычислить все первые 7 членов последовательности, но это трудоемко. К тому же, если бы потребовалось вычислить 300-ый член, то это заняло бы очень много времени.
Есть способ проще:
В геометрической прогрессии bn=b1qn-1, нам неизвестна только q. Вычислить ее можно по формуле: bn+1/bn=q
Используя эту формулу и условие задачи, мы видим, что q=1/2. Тогда:
b7=b1(1/2)(7-1)
b7=-128*(1/2)6=-128*1/64=-2.
Ответ: b7=-2

Задача №5

Геометрическая прогрессия задана условием b_n=62,5*2ⁿ. Найдите сумму первых её 4 членов.

Чтобы найти сумму первых 4 членов данной геометрической прогрессии, воспользуемсяформулами. В нашем случае, удобней воспользоваться первой. Для этого необходимо узнать b1 - первый член прогрессии и q - знаменатель прогрессии.
b1=62,5*21=125 (из условия задачи). А q=2.
Тогда S4=125*(1-24)/(1-2)=125*(1-16)/(-1)=125*15=1875
Ответ: S4=1875

Задача №6

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.
bn=b1qn-1
Тогда b2=b1q2-1=b1q
По условию:
1) b1+b2=75
b1+b1q=75
b1(1+q)=75
2) b2+b3=150
b1q+b1q2=150
b1(q+q2)=150
b1(q+1)q=150
Подставляем из п. 1)
75q=150 = q=2, тогда b1(1+2)=75 = b1=25
b2=25*2=50
b3=25*22=100
Ответ: b1=25, b2=50, b3=100

Задача №7

Геометрическая прогрессия (b_n) задана условиями: b₁=64, b_n+1=b_n*1/2. Найдите b₇.

В данном случае, вместо того, чтобы воспользоваться формулами для геометрической прогрессии, легче решить эту задачу "в лоб". Т.е. найти b2, b3, ..., b7.
b1=64 (по условию).
b2=b1*1/2=64*1/2=64/2=32
b3=b2*1/2=32/2=16
b4=16/2=8
b5=8/2=4
b6=4/2=2
b7=2/2=1 Ответ: b7=1

Карточка 1

№1. Дана арифметическая прогрессия: -7; -5; -3; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов.

№2. Дана арифметическая прогрессия: 1; 3; 5; … . Найдите сумму первых шестидесяти её членов.

№3. Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями: a₁=3, a_n+1=a_n+4. Найдите a₁₀.

№4. Геометрическая прогрессия (b_n) задана условиями: b₁ = –128, b_n+1=1/2*b_n. Найдите b₇.

№5. Геометрическая прогрессия задана условием b_n=62,5*2ⁿ. Найдите сумму первых её 4 членов.

№6. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.

№7. Геометрическая прогрессия (b_n) задана условиями: b₁=64, b_n+1=b_n*1/2. Найдите b₇.

Карточка 1

№1. Дана арифметическая прогрессия: -7; -5; -3; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов.

№2. Дана арифметическая прогрессия: 1; 3; 5; … . Найдите сумму первых шестидесяти её членов.

№3. Арифметическая прогрессия (a_n) задана условиями: a₁=3, a_n+1=a_n+4. Найдите a₁₀.

№4. Геометрическая прогрессия (b_n) задана условиями: b₁ = –128, b_n+1=1/2*b_n. Найдите b₇.

№5. Геометрическая прогрессия задана условием b_n=62,5*2ⁿ. Найдите сумму первых её 4 членов.

№7. Геометрическая прогрессия (b_n) задана условиями: b₁=64, b_n+1=b_n*1/2. Найдите b₇.

Задача №3 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 1C5D03

Показать решение задачи

Дана арифметическая прогрессия: -6; -2; 2; … Найдите сумму первых пятидесяти её членов.

Чтобы найти сумму арифметической прогрессии у нас есть две формулы.
a50 мы не знаем, поэтому воспользуемся второй формулой. Для этого найдем d - разность прогрессии.
d=a2-a1=-2-(-6)=4.
Подставляем все в формулу:
S50=50*(2*(-6)+(50-1)*4)/2=50*(-12+196)/2=50*92=4600
Ответ: S50=4600

Задача №4 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - FD1ABB

Показать решение задачи

Дана арифметическая прогрессия: -1; 2; 5; … . Найдите сумму первых пятидесяти пяти её членов.

Чтобы найти сумму арифметической прогрессии у нас есть две формулы.
a55 мы не знаем, поэтому воспользуемся второй формулой. Для этого найдем d - разность прогрессии.
d=a2-a1=2-(-1)=3.
Подставляем все в формулу:
S55=55*(2*(-1)+(55-1)*3)/2=55*(-2+162)/2=55*80=4400
Ответ: S55=4400

Задача №19 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 34D7F8

Показать решение задачи

Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 17; 14. Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте?

n-ый член арифметической прогрессии равен a1+(n-1)d
a1=20
d=a2-a1=17-20=-3
a91=a1+(n-1)d=20+(91-1)(-3)=20-270=-250
Ответ: a91=-250

Задача №22 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 4CBA5B

Показать решение задачи

Записаны первые три члена арифметической прогрессии: -4; 2; 8; … Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 81-м месте?

n-ый член арифметической прогрессии равен a1+(n-1)d
a1=-4
d=a2-a1=2-(-4)=6
a81=a1+(n-1)d=-4+(81-1)6=-4+480=476
Ответ: a81=476

Задача №79 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 4C12DC

Показать решение задачи

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: -7; -5; -3; … Найдите её шестнадцатый член.

n-ый член арифметической прогрессии равен a1+(n-1)d
a1=-7 (по условию)
a2=-5 (по условию)
d=a2-a1=-5-(-7)=2
a16=a1+(n-1)d=-7+(16-1)2=-7+30=23
Ответ: a16=23

Задача №82 из 127. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 4D6C7C

Показать решение задачи

Дана геометрическая прогрессия (b_n), знаменатель которой равен 2, b₁=16. Найдите b₄.

Каждый член геометрической прогрессии можно выразить через первый член.
bn=b1qn-1
Следовательно, b4=b1q4-1=b1q3=16*23=16*8=128
Ответ: 128

Срочный вклад, положенный в сберегательный банк ежегодно увеличивался на 5%. Каким станет вклад через 8 лет, если вначале он был равен 1000 руб.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625;…) Вопрос: Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? (Умножением предыдущего на 1,05).