Формула n-го члена арифметической прогрессии

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Самарской области средняя общеобразовательная школа №4

п.г.т. Алексеевка городского округа Кинель Самарской области.

Разработка открытого урока алгебры по теме:

«Формула n-го члена арифметической прогрессии»

(9 класс)

Разработала:

учитель математики высшей категории

Верчагина Ольга Геннадьевна

март

2014 год.

Тема урока: «Формула n-го члена арифметической прогрессии»

Тип урока: урок изучения нового материала

Класс: 9 класс

Цели урока:

1. Вывести формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

2. Рассмотреть основные типы задач на применение формулы n-ого члена арифметической прогрессии.

3. Использовать на уроке элементы развивающего и проблемного обучения.

4. Развивать аналитическое мышление учащихся.

Оборудование: технологическая карта урока, тест в двух вариантах, карточки с формулами, цветные карандаши, раздаточный материал: приложение для психологической разгрузки, магический квадрат, модели задач

Ход урока:

1. Организационный момент: Добрый день, ребята! Хочется начать наш урок с хорошего настроения, пожелать вам удачи на уроке.

2. Вычислительная пятиминутка: У нас впереди с вами очень важное в жизни каждого выпускника событие: итоговая аттестация, поэтому каждый урок мы начинаем традиционно с вычислительной пятиминутки. Откройте рабочие тетради, запишите число. Помогать в работе на уроке нам поможет технологическая карта нашего урока. ( на парте)

Найдите значение выражения (примеры записаны на доске и в технологической карте урока пункт 1, дети решают примеры самостоятельно, а потом разбирают вместе с классом, анализируя ошибки).

-Запишите последовательность чисел, состоящую из результатов вычисления (1, 4, 7, 11.)

-Дайте определение числовой последовательности.

-Какая это последовательность возрастающая или убывающая? Конечная или бесконечная?

-Какое число в этой последовательности лишнее и почему? (11)

-Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Какой рекуррентной формулой задаётся арифметическая прогрессия? (а_n=а_n-1+d)

-Как ещё можно записать эту формулу? (a_n+1=a_n+d)

-Как называю число d? По какой формуле можно найти d? (d=a_n-a_n-1)

- Как ещё можно записать формулу для d? (d=a_n+1-a_n)

- Какой станет прогрессия, если поставить многоточие после числа 7?

1, 4, 7, ….. (бесконечная, возрастающая).

-Назовите ещё несколько членов этой прогрессии.

-Что означает слово «прогресс»? (в переводе с латинского «прогрессио»– это движение вперёд. Мы продолжаем с вами двигаться вперёд. Мы знаем, как задаётся арифметическая прогрессия. Девиз нашего урока: «Мало знать, надо уметь пользоваться».

3. Подготовка к изучению нового материала:

Работа в парах: В арифметической прогрессии a₁, a₂, 6, 4, a₅ .Найти a₁, a₂, a₅ (технологическая карта пункт 2)

Решение: d=4-6=-2

a₅=a₄+d=4-2=2

a₂=a₃-d=6+2=8

a₁=a₂-d=8+2=10

-Укажите в этой прогрессии a₈. (a₈= -4)

- Найдите a₁₂₆. (найти можно, но долго придётся считать).

Возникает проблема: нужно найти такой способ, который позволит нам быстро отыскать любой член арифметической прогрессии.

4.Изучение нового материала:

-Давайте попробуем вместе с вами найти этот способ, используя определение арифметической прогрессии (ученик у доски выводит формулу)

a_n=a_n-1+d

a₂=a₁+d

a₃=a₂+d= a₁+2d

a₄=a₃+d= a₁+3d

a_n=a₁+(n-1)d

-Теперь найдём a₁₂₆ по формуле n-го члена арифметической прогрессии: а₁₂₆=10+(126-1)·(-2)=10-250= - 240.

Итак, что необходимо знать для нахождения любого члена прогрессии? (а₁ и d).

5.Закрепление изученного материала:

1) Верно ли, что (устно): a₄=a₁+3d a_2k=a₁+(2k-1)d

a₉=a₁+10d a_k-4= a₁+(k-3)d

a₃=a₁-4d a_k+7= a₁+(k-6)d

2) Исследовательская работа: давайте попробуем выяснить какие типы задач с использование формулы a_n=a₁+(n-1)d можно решать. (по заданным а₁ и d найти а_n- это прямая задача). Какие обратные задачи можно составить?

1. Дано: а₁ и а_n. Найти: d

2. Дано: d и а_n. Найти: а₁

3. Дано: а₁ , d и а_n. Найти: n

3)Решение задач у доски: (технологическая карта пункт 3)

Задача1. ÷(а_n): a₁=10, a₅=22, d-?

Задача2. ÷(a_n): a₅=6, d=2, a₁=?

Задача3. ÷(a_n): a₁=0, d=0,5, a_n=5, n=?

4) Решение реальной задачи с практическим применением:

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует применять ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 ч 45 минут? (10 дней)

Решение: a_n=a₁+(n-1)d

15+(n-1)·10=105

n-1=(105-15):10

n=10 Ответ: 10 дней.

6.Психологическая разгрузка:

У вас на столах лежат листы, на которых написаны цифры от 1 до 9. Теперь раскрасьте ряд двумя разными цветами в любом порядке.

А пока вы раскрашиваете, я расскажу про замечательного математика по имени Рамсей. Он жил в начале 20 века. Им была создана теория, доказывающая, что в мире нет абсолютного хаоса. Что даже, казалось бы, самая неупорядоченная система имеет определённые математические закономерности. Вспомните, когда вы смотрите на звёзды, то может показаться, что расположены они в самом случайном порядке. Но ещё в древности люди увидели там созвездие Рыб и Кассиопеи, Льва и Ориона. И вот на ваших карточках, казалось бы, цифры раскрашены в случайном порядке. Но Рамсей доказал, что это не так, доказав следующий факт: обратите внимание, что хотя бы три каких-либо числа одного цвета обязательно составляют арифметическую прогрессию. Запишите эти числа.

7.Проверочная работа: тест в двух вариантах (задания из ГИА №6)

Тест

Вариант1.

1.Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите её

1. 3;6;9;12 3)1;2;4;8

2. 1;3;4;5 4)1;;;

2. Арифметическая прогрессия начинается так: 5; 4; 3;…. Какое число стоит на 101 месте? Ответ:_________________

3. Найти первый член арифметической прогрессии (а_n), если а₄=18, d= -3

Ответ_________________

4. Найти а₁,d, а₂₆ для арифметической прогрессии (а_n): 10;4; -2;…..

Ответ_________________________

Тест.

Вариант 2

1.Одна из последовательностей является арифметической прогрессией. Укажите эту последовательность.

1) 5;7;9;11;… 3); ;;…

2) 1;2;4;6;… 4) 9;3;1;…

2. Арифметическая прогрессия начинается так: 16; 12;8;… Какое число стоит на 71 месте? Ответ________

3. Найти первый член арифметической прогрессии (а_n), если а₁₆=4, d=2.

Ответ_________

4. Найти а₁, d, а₃₁ для арифметической прогрессии (а_n): -11; -7; -3;…

Ответ________

8.Итог урока. Рефлексия: Давайте вспомним, с какой проблемой мы столкнулись в начале урока. Удалось ли нам решить её? Можем ли мы найти любой член прогрессии по формуле n-го члена?

Свою работу вы можете оценить сами. Представьте гору, на которую нужно подняться. На каком уровне вы находитесь после сегодняшнего урока. Если усвоили всё хорошо, то – вершина, если нет, то где? Не расстраивайтесь – есть к чему стремиться!

Дополнительное задание:(если останется время): Магический квадрат.

(магический квадрат – это квадрат с 9 клетками, в которые вписывают числа так, чтобы сумма по вертикали, горизонтали, диагонали была одним и тем же числом – constanta).

Дана «стайка девяти чисел» 3,5,7,9,11,13,15,17,19.

Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата 3×3, так что образуется магический квадрат с константой, равной 33

Дело в том, что из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат.