Электронное учебное пособие по геметрии "Многогранники"

Автор преподаватель математики КГКП

«Аксуский колледж черной металлургии»:

Шабалина Н. А.

В электронном учебном пособии «Многогранники» разработан необходимый материал по формированию основных знаний, умений и навыков студентов по разделу геометрии общеобразовательных дисциплин.

В электронное пособие вошел материал по стереометрии, изучающий многогранники. Каждый раздел пособия содержит краткий обзор теоретического материала, также имеются задания на знания характеристик и формул многогранников, тестовый контроль знаний, видеоматериал по теме «Многогранники».

Электронное учебное пособие может использоваться,

как при теоретическом и практическом обучении

студентов учебных заведений ТиПО, так и при

самостоятельном повышении качества знаний по геометрии в разделе многогранники.

• Активизация познавательной деятельности обучающихся на уроках математики в процессе применения электронного учебника.
• Обучение пониманию изучаемого материала за счет информационно - коммуникационных технологий.
• Формирование устойчивого интереса к учебе, к знаниям и потребности в их самостоятельном поиске .

Формы предметов очень разнообразны и не для всякой формы имеется специальное название.

Так как математики изучают не сами предметы, а их формы, то вместо предметов они рассматривают геометрические тела: цилиндр, шар, конус и т.д. Названия многих геометрических тел идут из глубокой древности, причем произошли они от соответствующих предметов. Например, из древней Греции термины конус ( conus — предмет, которым затыкали бочку), “пирамида” ( pura — огонь, костер), “цилиндр” ( cylindrus — валик).

Интересный факт: все геометрические тела, кроме шара, называются словами иностранного происхождения. А линии и их части называются чисто русскими словами: прямая, отрезок, ломаная, луч, треугольник, многоугольник

Могогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233м и высота которой достигает 146,5м. Над её сооружением трудились ежедневно около 100000 человек в течение 20 лет.

К началу нашей эры ученые древности накопили достаточно сведений по теории многогранников. Они описали комбинаторные свойства (связанные с количеством граней, вершин, ребер) основных простейших выпуклых многогранников — призм, пирамид, правильных многогранников, знали метрические свойства этих многогранников, в том числе умели вычислять объем пирамиды, применяя метод исчерпывания, использовали многогранники в строительстве и архитектуре.

Многогранники

• Многогранник – тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Многогранник – тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Грани многогранника – плоские многоугольники, образующие его поверхность. Ребра – стороны граней. Вершины многогранников – вершины граней. Диагональ многогранника – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Многогранник выпуклый, если он лежит целиком по одну сторону от плоскости любой его грани. Вместе с двумя любыми точками содержит целиком весь отрезок, соединяющий эти точки. Грани – выпуклые многоугольники.

Куб, призма, пирамида — это многогранники.

В любом выпуклом многограннике выполняется условие: b – p + r = 2, где b – число вершин, p – число ребер, r – число граней (теорема Эйлера).

Многогранники

Плоские многоугольники, из которых состоит многоугольник называются гранями многогранника,

стороны многоугольника –

ребрами многогранника,

вершины многоугольника –

вершинами многогранника. 

С

Многогранник выпуклый, если он лежит целиком по одну сторону от плоскости любой его грани.. Грани – выпуклые многоугольники.

ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ

ПРИЗМА

ПИРАМИДА

ПРАВИЛЬНЫЕ

МНОГОГРАННИКИ

ПИРАМИДА

Содержание

• Определение пирамиды
• Правильная пирамида
• Площадь пирамиды
• Усеченная пирамида
• Правильная усеченная пирамида
• Объем пирамиды
• Задания
• Тесты

ВИДЫ МНОГОГРАННИКОВ

Определение

Пирамида – многогранник, составленный из n - угольника А 1 А 2 …А n , которые являются основанием, и треугольников, которые есть боковые грани

Вершина

P

Высота – перпендикуляр, проведенный

из вершины пирамиды к плоскости основания

Боковые грани

Основание

H

Боковые ребра

А n

А 2

А 1

α

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины

Апофемы

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу

Пирамиды

Треугольная пирамида (тетраэдр)

Четырехугольная пирамида

Шестиугольная пирамида

СОДЕРЖАНИЕ

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной , если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой

P

h

O

А n

А 3

А 1

А 2

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

Р

О

А 3

А n

А 1

А 2

СОДЕРЖАНИЕ

Площадь пирамиды

S бок.

S полн. = S бок. + S осн.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

S осн.

l

S бок = ½lP

a

СОДЕРЖАНИЕ

Усеченная пирамида

многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Боковые ребра

Нижнее и верхнее основания

Высота (перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания)

Боковые грани

Все боковые грани усеченной пирамиды - трапеции

СОДЕРЖАНИЕ

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему

S бок = ½(Р 1 + Р 2 ) d

P 2 = 4a 2

a 2

d

a 1

P 1 = 4a 1

СОДЕРЖАНИЕ

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади её основания на высоту:

СОДЕРЖАНИЕ

ПРИЗМА

Содержание

• Определение
• Элементы призмы
• Общие свойства призм
• Виды призм и их особенности
• Площадь поверхности призм
• Объем призмы
• Задания

Определение

Призма - это многогранник

состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом,

и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

А

В

К

D

С

A ’

B’

K’

D’

C’

СОДЕРЖАНИЕ

Элементы призмы

Ребро основания

Верхнее основание

вершина

Боковое ребро

Боковая грань

диагональ

Нижнее основание

высота

СОДЕРЖАНИЕ

Общие свойства призмы

• Основания призмы равны
• Основания призмы лежат в параллельных плоскостях
• У призмы боковые рёбра параллельны и равны
• Любая боковая грань является параллелограммом

СОДЕРЖАНИЕ

Виды призм

n – угольная призма

Прямая призма - боковые ребра расположены перпендикулярно основанию

Наклонная призма - боковые ребра наклонены к основанию

Правильная призма

N -угольная призма

- это призма, в основании которой лежит n - угольник

Треугольная призма

Четырёхугольная призма

Шестиугольная призма

Правильная призма

- это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

В основании правильный

6-угольник

В основании равносторонний треугольник

В основании квадрат

Параллелепипед, основанием которого является прямоугольник или квадрат называется прямым  

Свойства параллелепипеда: 1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

СОДЕРЖАНИЕ

Площадь призмы

Площадь полной поверхности призмы

– это сумма площадей всех её граней

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведения периметра основания на высоту

S бок = Ph

СОДЕРЖАНИЕ

Объём призмы равен произведения площади её основания на высоту:

СОДЕРЖАНИЕ

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани – правильные равные многоугольники и все двугранные углы равны.

ДАЛЕЕ

( от греческого ,,гекса” - шесть и ,,hedra” - грань) имеет 6 квадратных граней, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.Гексаэдр больше известен как куб (от латинского ,,cubus”; от греческого ,,kubos”.

( от ,,тетра”- четыре и греческого ,,hedra” - грань)

состоит из 4-х правильных треугольников, в каждой его вершине сходятся 3 ребра.

Тетраэдр символизировал огонь,

т.к. его вершина устремлена вверх

Гексаэдр (куб) символизировал землю,

так как самый «устойчивый»

ДАЛЕЕ

(от греческого okto - восемь и hedra - грань)

имеет 8 граней (треугольных),

в каждой вершине сходятся 4 ребра.

(от греческого eikosi - двадцать и hedra - грань)

имеет 20 граней (треугольных),

в каждой вершине сходится 5 рёбер

Икосаэдр символизировал воду,

так как он самый «обтекаемый»

Октаэдр символизировал воздух,

как самый "воздушный"

икосаэдр-вода

ДАЛЕЕ

(от греческого dodeka - двенадцать и hedra - грань) имеет 12 граней (пятиугольных),

в каждой вершине сходятся 3 ребра.

Додекаэдр воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным

ДАЛЕЕ

Название

Тетраэдр

Форма граней

Куб

Число граней

Октаэдр

Число ребер

Додекаэдр

Число вершин

Икосаэдр

Виды многогранников

Описать данную фигуру:

• Что это?
• Её вид.

3. Чем представлено основание?

4. Какой фигурой изображена

боковая грань?

5. Что обозначено буквой М?

6. Перечислите боковые ребра.

• Что такое отрезок ОМ?
• Как называют отрезок МР?

Как он расположен?

Р

Задание 1

Описать данную фигуру:

• Что это?
• Её вид.

• Чем представлено основание?
• Как расположены основания?

5. Какой фигурой является

боковая грань?

6. Что обозначено буквой М?

7. Перечислите боковые ребра.

8. Что такое отрезок ?

Далее

СОДЕРЖАНИЕ

Задание 2

Найти объем фигуры, если объем каждого кубика равен 1см 3

Найти объем куба

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите объем параллелепипеда

Далее

СОДЕРЖАНИЕ

1. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 7см, а высота 9см. Найти объем пирамиды А) 63 см 3 B ) 21 c м 3 С) 401 см 3 D ) 147 см 3 Е) 126 см 3

2. Найдите боковую поверхность правильной четырехугольной призмы со стороной основания 8 см и высотой 10 см

A ) 32 c м 2 В) 96 см 2 С) 120см 2 D ) 184 см 2 Е) 320см 2

3. Найдите объем куба ребром 4 см

А) 28 см 3 В) 16 см С) 64 см 3 D ) 24 см 3 Е) 12 см 3

4. Найдите объем правильной четырехугольной призмы

со стороной основания 4 см и высотой 6 см

А) 96 см 3 В) 24 см 3 С) 144 см 3 D ) 48 см 3 Е) 64 см 3

5. Найдите боковую поверхность правильной

четырехугольной пирамиды со стороной основания

8 см и апофемой 9см

А) 72 см 2 В) 144 см 2 С) 64 см 2 Е) 88 см 2

СОДЕРЖАНИЕ