Элективное занятие по математике в 11 классе "Решение уравнений методом мажорант"

Элективное занятие, М-11

Тема: Решение уравнений методом мажорант.

Цель: отработка умений проводить оценку областей значений выражений, находить мажоранту, решать уравнения методом мажорант;

-выявить затруднения по теме, провести коррекцию знаний;

-воспитывать внимательность, умение анализировать, применять знания в незнакомой ситуации;

Ход занятия:

1. Мотивация к учебной деятельности.

2. Проверка д.з.

3.Устная работа

Определите мажоранты и область значений функции:

1^*.  f(x) = x² + 4x + 5, E(f) = [1; + ∞).
2^*.   E(f) = [–5; + ∞)
3^*.  f(x) = 4 – 3x², E(f) = (– ∞; 4].
4^*.  f(x) = 5 – 2sin x, E(f) = [3; 7].
5.  f(x) = 2 + | x |, E(f) = [2; + ∞).
6.  E(f) = [2; + ∞).
7.   E(g) = [5; + ∞).
8.  g(x) = 3sin 2x – 4cos 2x, E(g) = [–5; 5].
9.   E(f) = [–8; –4].

Звездочкой (*) отмечены задания, входившие в пробные ЕГЭ.

4.Выполнение заданий у доски, выявление затруднений.

1.  Решить уравнение 

Решение. Рассмотрим функции

f (x) = cos 4x – cos 2x, f(x) ≤ 2, и 

Данное уравнение равносильно системе:

Найдем решения системы с помощью единичной окружности:

 — решения системы, следовательно и уравнения.

Ответ: 

2.  Решить уравнение 

Решение. Рассмотрим функции

f(x) = (x – 8)² + 3, D(f) = R, f(x) ≥ 3. , D(g) = R.

Так как   для всех  поэтому g(x)≤3.
Данное уравнение равносильно системе

Число 8 — корень первого уравнения системы. Проверим, является ли оно корнем второго уравнения:

Значит, число 8 — решение системы.

Ответ: 8.

3. Решить уравнение 

Решение

.

g(x) = (x – 3)² + 2; D(g) = R, g(x) ≥ 2.

Найдем мажоранту функции f(x) с помощью производной:

D(f') = (2; 4).

Найдем критические точки:

3 — внутренняя точка D(f) и f'(3) = 0, следовательно, 3 — критическая точка.

Непрерывная на данном отрезке функция имеет единственный экстремум, он максимум, значит, это наибольшее значение функции.

Ответ: x = 3

Учитель. Несмотря не то, что способ нахождения наибольшего и наименьшего значений с помощью производной достаточно громоздкий, иногда он бывает единственно возможным. Поэтому владеть им необходимо.

4. Решить уравнение 

Решение. Рассмотрим функции 

и найдем значения x, при которых возможно существование корней уравнения.

0 ≤ (x – 2)² ≤ 1, | x – 2 | ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 3.

При x  [1; 3] возможно существование корней. На промежутке [1; 3] функция g(x) принимает наименьшее значение 0.

При   На данном промежутке   принимает наибольшее значение 0. Исходное уравнение равносильно системе

2 — корень второго уравнения системы; при x = 2 равенство   неверно; 2 не является решением системы, а значит, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

5.Самостоятельная работа

1. Решите уравнение cos x = 1 + x².

На экране высвечивается верное решение самостоятельной работы. Учащиеся осуществляют самоконтроль и самооценку выполненной работы с самостоятельным определением для себя программы регулирования и коррекции знаний по допущенным ошибкам (в рабочей тетради).

6.Задание на дом

1.  Решите уравнение:

а) 2sin x = 5x² + 2x + 3; б) 

7.Итоги занятия. Рефлексия.