Числовая последовательность. Пределы функций и последовательности. Числовые ряды. Сходимость и расходимость рядов. Признак Даламбера.

	Методическая разработка теоретического занятия
	Специальность «Лечебное дело», 1 курс
	УД «Математика»

УТВЕРЖДАЮ Зав. по УМР ______________Е.Г. Ярандаева «_____»__________20___г.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

теоретического занятия

по предмету «Математика»

(специальность «Лечебное дело», 1 курс)

ТЕМА: «Числовая последовательность. Пределы функций и последовательности. Числовые ряды. Сходимость и расходимость рядов. Признак Даламбера.»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ

Пояснительная записка

Методическая разработка теоретического занятия по теме «Числовая последовательность. Пределы функций и последовательности. Числовые ряды. Сходимость и расходимость рядов. Признак Даламбера» создана в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования (ФГОС СПО) по специальности Лечебное дело и предназначена для проведения занятия со студентами 1 курса по дисциплине «Математика». Согласно рабочей программе и КТП на изучение данной темы отводится 2 часа. Материалы методической разработки теоретического занятия составляют три основных блока: методический, информационный и самоконтроля.

В методическом блоке даны рекомендации по работе с методической разработкой, определены цели занятия, актуальность темы, мотивация, место проведения занятия, оснащение, указаны междисциплинарные связи, список литературы, домашнее задание, задание для самостоятельной внеаудиторной работы студентов, представлена хронологическая карта занятия.

Информационный блок включает терминологический словарь, материалы теоретического задания, раздаточный материала для студентов.

Блок самоконтроля знаний включает в себя:

-контрольные вопросы для самоконтроля;

С целью улучшения восприятия темы предлагается визуализация информации с помощью мультимедийной обучающей системы, где представлены текстовый материал, иллюстративный материал, схемы и т.д., которые отражают основные моменты теоретического занятия.

Предложенные варианты внеаудиторной самостоятельной работы студентов, (написание сообщений, составление терминологического словаря, составление кроссвордов и т.д.) способствуют более углубленному и детальному изучению данной темы.

Предлагаемый в методической разработке материал может быть использован как дополнительный к учебнику для более качественного усвоения материала, обобщения ранее полученных знаний.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ

В соответствии с требованиями ФГОС:

Студент должен уметь:

• решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

• решать задачи при освоении образовательной программы.

Студент должен знать:

• значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

• основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

• основные понятия и методы числовая последовательности

• основные понятия предела функции и последовательности..;

• основы сходимости и расходимости рядов.

Цели занятия:

1. Дидактические: формирование умений в соответствии с требованиями ФГОС:

• участие в формировании элементов общих и профессиональных компетенций в области математики:

• участие в формировании элементов ПК1.7, ПК 2.8, ПК 3.7, ПК 4.9. Оформлять медицинскую документацию отпускать лекарственные средства населению (ПК 1.2.)

2. Развивающие:

1. развивать способность осуществлять поиск информации;

2. развивать способность организовывать свою деятельность, выбирать методы и способы решения поставленных задач;

3. развивать способность организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество (ОК 2).

4. развивать способность принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность (ОК 3).

5. развивать вычислительные навыки.

3. Воспитательные: воспитывать устойчивый интерес к профессии мед.работника;

- воспитывать чувство ответственности за результаты своей работы;

- воспитывать толерантность;

- продолжить формирование аккуратности и точности.

Тип занятия: лекция -дискуссия

Вид занятия: теоретическое занятие

Методы обучения: частично-поисковый

Оснащение: Мультимедийная презентация

Продолжительность занятия: 90 минут.

ИНТЕГРАЦИЯ УЧЕБНОЙ ИНФОРМАЦИИ ТЕМЫ.

1. Межпредметные связи

Обеспечивающие дисциплины	Обеспечиваемые дисциплины и МДК
	МДК 02.01.3 Сестринской уход при заболеваниях в хирургии

2. Внутрипредметные связи

Обеспечивающие темы	Обеспечиваемые темы
Первообразная функция и неопределенный интеграл. Вычисление определенных интегралов различными методами. Применение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры, объемов тел. Решение дифференциальных уравнений.	Элементы и множества. Операции над множествами и их свойства. Элементы и множества. Операции над множествами и их свойства.

Используемая литература:

Для студентов: Основная литература:

1. Пехлецкий И.Д. Математика. М.,2011.

2. Учебное пособие по математике. Иванова Н.Л., Костригина Т.А.2004г.

Для преподавателей:

1. Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, в 2-х ч. М., 1986

2. Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983

ХОД ЗАНЯТИЯ

Основные этапы теоретического занятия и их содержание	Время мин.	Обоснование методических приемов
1. Организационный момент Проверка санитарного состояния аудитории и внешнего вида студентов; регистрация отсутствующих.	5	С целью настроить студентов на восприятие учебной атмосферы занятия, воспитания организованности и ответственности студентов.
2. Постановка целей и задач. Создание мотивационного пространства. Актуализация знаний. Сообщение темы занятия, плана теоретического занятия; информация о целях занятия, методах подачи теоретического материала. Указание на межпредметные связи и связь с будущей профессией. Актуальность темы. Мотивация. Актуализация опорных знаний	10	С целью мотивации необходимости  получения знаний, использования их  в  будущей практической деятельности.
3. Изложение нового материала с использованием активных методов изложения. План: Пропорции и проценты. Системы линейных уравнений и неравенств.	60	Достигаются дидактические, развивающие и воспитательные задачи, происходит формирование общих компетенций.
5. Подведение итогов занятия.	10	С целью логического завершения занятия, создания ситуации для системного подхода в изучении дисциплины.
6. Сообщение домашнего задания	5	С целью координации самостоятельной работы студентов.

Приложение 1 Информационный блок

Ряд Фурье — представление произвольной функции  с периодом  в виде ряда

Этот ряд может быть также переписан в виде

.

где

 — амплитуда k-го гармонического колебания,

 — круговая частота гармонического колебания,

 — начальная фаза k-го колебания,

 — k-я комплексная амплитуда

В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество систем ортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова и др.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции  называют функциональный ряд вида

(1)

где

Числа ,  и  () называются коэффициентами Фурье функции . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию  в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты ,  и . Если умножить правую часть (1) на  и проинтегрировать по промежутку , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент . Аналогично для 

Ряд (1) сходится к функции  в пространстве . Иными словами, если обозначить через  частичные суммы ряда (1):

,

то их среднеквадратичное отклонение от функции  будет стремиться к нулю:

.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство  комплекснозначных функций со скалярным произведением

.

Мы также рассматриваем систему функций

.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье:

,где ряд в правой части сходится к  по норме в . Здесь

.

Коэффициенты :  связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения  и  не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода

Пусть выполнены условия:  и имеет на  ограниченную первообразную , то есть ; функция ; . Тогда  сходится.

• Очевидно, что вместо второго условия можно также записать .

• Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

Однако, условие монотонности не является необходимым.

 — сходится.

• Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд , где  и последовательность  — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)

Пусть выполнены условия: Последовательность частичных сумм  ограничена, то есть . . . Тогда ряд  сходится.

• Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.

• Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

 сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

• Оценка остатка ряда Абелева типа
  Рассмотрим ряд  и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: .

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если  ряд сходится, если  ряд расходится, если  вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство

1. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное  получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд  сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд  тоже сходится.

2. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то подставив в определение предела выбранное  получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд  расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд  тоже расходится.

Приложение 2

Вопросы для самоконтроля:

1. Дать определение числовой последовательности

2. Дать определения числового ряда

3. Рассказать о признаке Даламбера

Лист регистрации изменений

№ изменения	Номера листов (страниц)			Всего листов (страниц) в документе	Вход. № сопроводительного документа и дата	Подпись ответственного за внесение	Дата
	Измененных	Новых	Аннулиро-ванных

Редакция: 1.0