"Арифметикалы? ж?не геометриялы? прогрессиялар"

Сабақтың тақырыбы: Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар.

Сабақтың мақсаты:

Білімділік: а) арифметикалық және геометриялық прогрессияның анықтамасы; арифметикалық прогрессияның айырымы; геометриялық прогрессияның еселігі; арифметикалық және геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формулалары және қасиеттерімен таныстыру;

ә) практикалық жағдайларда білімдерін қолдану;

Дамытушылық: математикалық тілін, математикалық ойлау қабілетін дамыту.

Тәрбиелік: білімдерін үздіксіз жетілдіруге ұмтылдыру; математикалық мәдениетке тәрбиелеу.

Сабақтың типі:

Өткізу түрі: Lesson Stady

Көрнекілік: компьютер, интерактивті тақта, презентация, кеспе қағаздар.

1. Ұйымдастыру.

2. «Шаттық шеңберін құру»

3. Топқа бөліну: координатор, спикер сайлау- 2мин

Үй жұмысын тексеру:

1-топ: «Арифметикалық прогрессия»

2-топ: «Геометриялық прогрессия»

3-топ: «Прогрессия» (айырмашылығы мен ұқсастығы)

Оқушылардың жасаған қорытындылары:- 5мин+ 3мин*3= 14мин

1-2 топ жауаптары:

3- топтың жауабы:

1. Арифметикалық және геометриялық прогрессияның анықтамаларын оқи отырып, олардың ұқсас екендігіне көз жеткізуге болады.Қосу амалын көбейтумен немесе керісінше ауыстыруға болады. Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын біле отырып, ондағы қосуды көбейтумен, ал көбейтуді дәрежеге шығарумен алмастыру арқылы геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын алуға болады.

1. Прогрессия мүшелерінің қасиеттерінен де ұқсастықты байқауға болады.

Бұл жерде қосуды көбейтумен, ал 2-ге бөлуді 2-ші дәрежелі түбірден шығарумен алмастырса болғаны, арифметикалық прогрессияның қасиетінен геометриялық прогрессияның қасиеті шығады.

«Жоба қорғау» 5*3=15 мин

Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар күнделікті өмірде қолданылады ма?, деген сұраққа топпен бөлініп, жоба дайындау керек болған.

Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар ғылымның қай саласында қолданылады?

Экономикада, Медицинада, Тарихи есептер.

Экономикада:

1. Тауардың бастапқы бағасы бірнеше рет бірдей бағаға көтерілді. Үшінші реттен кейін баға 1200 тг., ал он екінші реттен кейін баға 1650 теңгеге тең болды. Нешінші көтерілгеннен кейін баға екі еселенді?

Шешуі: - арифметикалық прогрессия, b=1200; b=1650;

Тауар бағасы екі еселенгендіктен, 2100 теңге болaды.

= 2b; 2100 = 1050+50(n-1)

50(n-1) = 1050

n-1 = 21

n = 22

Жауабы: 22 рет көтерілгеннен кейін.

1. Жыл бойы «Азия-Авто» автокөлік зауыты өз жұмысшыларының жалақысын ай сайын бірдей долларға көтеріп отырды. Маусым, шілде және тамыз айларында жұмысшылардың жалақысының қосындысы 9900 доллар, ал қыркүйек, қазан және қараша айларындағы жалақы қосындысы 10350 доллар болды. Жылдың басында жұмысшының жалақысы қандай еді? Жыл бойғы жалақысы қанша ?

Шешуі. - арифметикалық прогрессия, , ал

Осы екі теңдіктен теңдеулер жүйесін алып, оны шығарамыз:

Сонда жыл басында жұмысшының жалақысы 3000 доллар болған.

Енді бір жұмысшының 1 жылдық жалақысын есептейік.

S_n=

Жауабы.. 3000$, .

Медицинада:

Микробиология- жай көзге көрінбейтін, ұсақ тірі ағзаларды, олардың құрылысы мен биологиялық, биохимиялық қасиеттерін , табиғатта жүріп жатқан процесстердегі ролін, адам тұрмысы саласындағы пайдасы мен зиянын жан-жақты зерттейтін ғылым.

Эпидемия- індет, жұқпалы аурудың қалың көпшілік арасына жаппай таралуы.

1. Тұмаумен ауырған адам тұмауды 4 адамға жұқтыруы мүмкін. Егер бір ауылда 341 адам тұратын болса, неше күннен соң барлығы жұқтырады?

Шешуі: ()- геометриялық прогрессия.
 = 1; q= 4. 
табу керек: =341, мұндағы k –ауылдағы барлық адамдардың ауыратын күнінің реттік саны.
=
341=1
=341 болғандықтан, =256, ал =1024, онда ауылдағы барлық адамдар бесинши күн дегенде тұмаумен ауыратын болады.
Жауабы: 5 күн.

1. Гомеопатия- науқасты дәрінің өте аз мөлшерімен емдеу жүйесі. Гомеопатияны 19ғасырдың басында неміс дәрігері С.Ганеман ұсынған. Ганеман дәрі әсерінің оның ауруға берілетін мөлшерін кеміткен сайын күшейе түсетінін байқаған.

Мынадай есепті шығарып көрейік:

Ауру адам гомеопатиялық дәріні мына кесте бойынша қабылдайды: 1-ші күні 5 тамшы, ал қалған әр күн сайын алдыңғы күнге қарағанда 5 тамшы артық қабылдайды. 40тамшы ішкенсоң , ол 3 күнде 40 тамшы дәрі қабылдайды, ал әр күн сайын алдыңғы күнге қарағанда 5 тамшы аз қабылдайды. Егер әр флаконда 20мл (яғни 250мл) дәрі болса, қанша флакон дәрі сатып алу керек болады?

Берілгені : ()- арифметикалық прогрессия
 = 5
d=5    
: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5
Табу керек :=180
Шешу: а = а₁+d(n-1)  
40=5+5(n-1),     

n=8 

S n    
S₈ = (5+40)·8:2=180 ; 180 тамшы дәріні ауру адам кесте бойынша бастапқыда және екінші кезеңде де сонша тамшы дәрі қабылдады. Ол барлығы 180+40+180=400 (тамшы), ауру адам барлығы 400:250=1,6 (флакон) дәрі қабылдайды. Сонымен, 2 флакон дәрі сатып алу керек екен.

Жауабы: 2 флакон дәрі.

Тарихи есептер:

1. формуласымен байланысты. Бірде сабақта өзі 3-ші сыныппен жұмыс істемекші болған мұғалім 1-ші сынып оқушыларына 1-ден 100-ге дейінгі сандарды қосуды тапсырады. Бірақ кішкентай Гаусс бірден 1+100=101, 2+99=101 және т. т. екенін байқайды . Және мұндай сандар 50. Енді 50 көбейту ғана қалады, ол оны ауызша есептейді. Мұғалім есеп шартын оқи салысымен, ол грифель тақтасына жазылған жауабын көтереді. Таң қалған мұғалім, бұл бала оның тәжірибесіндегі ең қабілетті оқушы екенін түсінеді. Кейінірек К. Гаусс көптеген тамаша жаңалықтар ашады. Оны «математика патшасы» деп те атаған.

2. Прогрессиялар арасындағы байланысқа алғаш көңіл бөлген адам -Архимед.1544 жылы неміс математигі М. Штифельдің «Жалпы арифметика» атты кітабы шықты.Штифель кестесі берілген:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

1/16 1/8 1/4 ½ 1 2 4 8 16 32 64 128

Жоғарғы жолында – айырымы 1-ге тең арифметикалық прогрессия. Астыңғы жолда- еселігі 2-ге тең геометриялық прогрессия. Мүшелерінің орналасуы: арифметикалық прогрессияның 0-іне геометриялық прогрессияның 1-і сәйкес келеді. Бұл аса маңызды айғақ.

Көбейту мен бөлуді біз білмейміз деп есептейік, ал бізге ½-ді 128-ге көбейту керек болсын. Кестеде ½-дің үстінде -1, ал 128-дің үстінде 7 жазылған. Осы сандарды қоссақ 6 шығады.

Ал 6 санының астында 64 жазылған. Сонда 128-ді ½-ге көбейткенде 64 шығады.

Екінші мысал. 32-ні 8-ге бөлейік. Дәл солай: 5-3=2

32 : 8 = 4.

Егер тепе-теңдін еске түсірсек, онда Штифель кестесінің екінші жолын: түрінде жазуға болады, және де екеніне көз жеткізу қиындық туғызбайды.

Сонда дәреженің көрсеткіштері арифметикалық прогрессия құраса, онда дәреженің өздері геометриялық прогрессия құрайтынын айтуға болады.

Қысқаша тарихи мағлұматтар.

Арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың мысалдары египет папирустарындағы сияқты, б.д. 2 мың жыл бұрынғы Вавилондықтардың сына жазу тақталарында кездеседі.

• Прогрессияға байланысты алғашқы теориялық мағлұматтар бізге Ежелгі Греция құжаттарымен жеткен.

• Прогрессияға қатысты кейбір формулалар үнді ғалымдарына да белгілі болған.

• Арифметикалық прогрессияның мүшелерінің қосындысын табу ережесі Леонардо Фибоначчидің «Книга абака» (1202ж.) кітабында беріледі.

• Кез келген шектеулі геометриялық прогрессия қосындысының жалпы ережесі Н.Шюкенің 1484 жылы жарық көрген «Сандар туралы ғылым» атты кітабында кездеседі.

Логикалық есеп

1. Бастапқы биіктігі 1 м, сиқырлы ағаш өзінің биіктігін күн сайын 2 есе ұзартады. Сонымен қатар 36 күннен кейін ол Айға да «жетеді». Бастапқы биіктігі 8 м болғанда ,ол қанша уақыттан кейін Айға жетер еді.

Шешуі: Әр күн сайын 2 есе ұзаратын болғандықтан 8 м биіктікке 3 күнде жетеді. Сонда 36-3=33 күнде Айға жетеді.

Жауабы: 33 күн.

1. Техникалық есеп: Дене 1-ші секундтағы қозғалысында 7 м. жол жүріп өтті, ал әрбір келесі секундтарда алдыңғыға қарағанда 3 м артық жүреді. Дене 8-ші секундта қанша жол жүреді?

2. Теңсіздікті шешіңіздер: .

Шешуі: Теңсіздік мына түрге келтіріледі: (3х-18) (х+126)0.

Оқушы тақтада интервалдар әдісімен шығарады.

Жауабы: (- ∞ ; -126) U (6; + ∞ )

Үйге тапсырма: №12(ә), №14(ә), №31-32. Емтихан есептері жинағынан

Шығармашылық тапсырма: «Прогрессия» тақырыбына 2 есеп ойлап табу, шығару.