Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии.

Тема: Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии.

Цель: Совершенствование навыков применения формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Задачи:

1. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.

2. Содействовать рациональной организации труда, развивать память, логику мышления, внимание. Побуждать учащихся к самоконтролю и взаимоконтролю.

3. Воспитывать познавательный интерес к предмету.

Оборудование: интерактивная доска, презентация, раздаточный материал.

Класс разбит на две группы по 4-5 человек с разным уровнем знаний.

У каждого учащегося имеются оценочные листы, в которых они выставляют баллы на каждом этапе урока.

Ход урока:

Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.(Слайд 1) Французский писатель Анатоль Франс как-то заметил «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, нужно поглощать их с аппетитом». Последуем совету писателя, будем на уроке активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они скоро вам понадобятся.

1. Экспресс-опрос.

У доски двое учащихся (от каждой группы по одному) выводят формулу n-го члена арифметической прогрессии и доказывают теорему о характерном свойстве арифметической прогрессии. Остальные учащиеся «по цепочке» задают друг другу вопросы:

1) Какая прогрессия называется арифметической?

2) Что называется разностью арифметической прогрессии?

3) Как найти разность арифметической прогрессии?

4) Что нужно указать, чтобы задать арифметическую прогрессию?

5) Является ли арифметическая прогрессия функцией? Если является, то какой?

Заслушиваются ответы учащихся у доски.

6) Сформулируйте теорему, обратную теореме 1.

Теоремы 1и 2 объясняют причину названия «арифметическая прогрессия».

Учащиеся выставляют в оценочные листы по 1 баллу за каждый правильный ответ и 2 балла за вывод формулы и доказательство.

II. Математический диктант.(Слайды 3-5)

1. Какие из последовательностей являются арифметическими прогрессиями:
1) 2; 5; 8; 11; 14; 17;…
2) 2; 0; -2; -4; -6;…
3) 0,7; 1; 1,5; 1,8;…
4) 1; 6; 11; 16; 21;…?
В случае утвердительного ответа укажите d.

2. В арифметической прогрессии а₁=-3, а₁₅=-17. Разность арифметической прогрессии равна …

3.В амфитеатре расположены 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает первый ряд?
Сколько человек вмещает седьмой ряд?

Проверка правильности выполнения, выставление баллов в оценочные листы (За каждый правильный ответ -1 балл)

III. Групповая работа. (Слайды 6-8)

Рассматриваются задачи нового типа.

Задание 1.

I группа. №177(а)

II группа. №177(б)

Защита решения задания у доски.

Задание 2.

I группа. №178(а)

II группа. Между числами 2,5 и 4 вставьте четыре таких числа, чтобы они вместе с данными числами организовали арифметическую прогрессию.

Защита решения задания у доски.

Задание 3.

I группа. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии

5; 7; 9; 11;…

II группа. Покажите, что числовая последовательность, заданная

формулой а_n=4n+3, является арифметической прогрессией. Найдите

первый член и разность.

Защита решения с места, одновременно у доски двое учащихся решают

задания из сборника ЕНТ.(Слайд 9)

Задача 1. (Сборник ЕНТ-2014)

Найдите первый член арифметической прогрессии, в которой сумма

первого и пятого членов равна 14, а разность девятого и седьмого

членов равна 4.

Задача 2. (Сборник ЕНТ-2013)

В арифметической прогрессии, разность которой равна 12, а восьмой член

равен 54, найдите количество отрицательных членов.

Комментирование решений заданий 1 и 2.

Учащиеся записывают условия задач в тетради, восстановить решение

дома.

Выставление баллов в оценочные листы (максимальный балл-5)

IV. Физкультминутка (Слайд 10)

V. Тестирование (Слайд11)

I вариант
1.Является ли число 98 членом арифметической прогрессии
12; 17; 22;…?
А)является 16 членом В) не является
С) является 18 членом Д) является 17членом

2.Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии
9; 7; 5; 3;…
А) а_n=2-11n В) а_n=11-2n
С) а_n=11+2n Д) а_n=2+11n

3.Арифметическая прогрессия задана формулой а_n=7n+4. Найдите а₁ и d.
А) а₁=7, d= 10 В) а₁=10, d=7
C) а₁=7, d=11 Д) а₁=11, d=7

4. В арифметической прогрессии а₈=4, а₂₀=64. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
А) а₁=31, d=5 В) а₁=-31, d=-5
С) а₁=-31, d=5 Д) а₁=31, d=-5

II вариант

1.Является ли число 156 членом арифметической прогрессии 2; 9; 16;…?
А)является 23 членом В) является 24 членом
С) является 22 членом Д) не является

2.Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии
-2; 1; 4; 7;…
А) а_n=-3n-5 В) а_n=3n+5
С) а_n=3n-5 Д) а_n=-3n+5

3.Арифметическая прогрессия задана формулой а_n=13n-8. Найдите а₁ и d.
А) а₁=5, d= -13 В) а₁=5, d=13
C) а₁=-5, d=13 Д) а₁=-5, d=-13

4. В арифметической прогрессии а₅=10, а₁₇=82. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
А) а₁=14, d=6 В) а₁=-14, d=-6
С) а₁=14, d=-6 Д) а₁=-14, d=6

Взаимопроверка по кодам ответам (Слайд 12).За каждый правильный ответ -1 балл.

VI. Историческая справка.

Учащийся 1 группы (Слайды 13-16)

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progressio означает «движение вперед»). Этот термин был введен римским автором Боэцием (VI век) и понимался как бесконечная числовая последовательность.

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать.

Древнегреческий ученый, математик и механик Архимед в ходе своих исследований нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем ¼, что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда.

Учащийся 2 группы (Слайды 17-18)

Первым самостоятельным математиком Западной Европы был итальянец Леонардо Пизанский, известный также под именем Фибоначчи. Основной труд Леонардо «Книга абака», написанная им в 1202 году. В 12 главе этой книги приводятся задачи на применение арифметической и геометрической прогрессий.

О прогрессии знали китайские и индийские ученые. Об этом говорит известная легенда об изобретателе шахмат. Индийский царь Жерами позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подручного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую – две, за третью – четыре и т.д., увеличивая в два раза до 64 клетки. Оказалось, что царь был не в состоянии выполнить его просьбу.

Учитель:

- Почему царь не в состоянии был выполнить его просьбу, мы узнаем, когда познакомимся с понятием геометрической прогрессии и формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Ребята, известна интересная история о знаменитом немецком математике Карле Гауссе, который еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за 1 минуту(Слайд 19).

Попробуйте и вы ,ребята, вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 (нужно заметить закономерность, присущую арифметической прогрессии).

Домашнее задание:
п.10, №168(б) (уровеньА)
2 задачи из сборника ЕНТ(уровеньВ)
Вычислите : 1+2+3+…+100 (уровеньС)

Подведение итогов урока.

Подсчет баллов и выставление оценок

Критерии оценок

17 баллов и более – «5»
14-16 баллов – «4»
10 – 13 баллов – «3»
9 баллов и менее – «2»

Рефлексия
- Сегодня я узнал…
- У меня получилось…
- Было интересно…
- Было трудно…
- Я научился…
- Меня удивило…
- Я получил оценку…
-Мне не понравилось на уроке…

Спасибо за урок!