Арифметические действия с могозначными числами

1. Арифметические действия с многозначными натуральными числами

(записываем тему урока)

Давайте разберем тему сегодняшнего урока:

• Что такое арифметические действия? (основные арифметические действия – это сложение, вычитание, умножение, деление). Есть еще такие арифметические действия, как возведение в степень и извлечение корня. Но сегодня мы о них говорить не будем.

• Что такое натуральные числа? (это числа, используемые для счета).

• Что такое многозначные числа? (это целые числа, при записи которых нужно использовать несколько цифр (знаков)).

Давайте сегодняшний урок начнем с разминки:

• Запишите цифрой порядковый номер текущего месяца (9) 

• В следующей клетке запишите цифру, показывающую порядковый номер текущего дня недели. (4) 

• Рядом запишите последнюю цифру текущего года. (3) 

Какое число у вас получилось? (943).

Что вы о нем можете сказать? (943 – 3-значное число, т.к. для его записи нужны 3 цифры; в нём 9 сотен 4 десятка 3 единицы, оно нечётное).

А теперь попробуйте самостоятельно записать другие многозначные числа, используя эти цифры. Цифры в записи числа не должны повторяться.

Теперь я запишу все варианты на доске, а вы проверьте себя. Если задание выполнено верно, поставьте на полях «+». Если записали не все числа «-».  (943, 349, 394, 493, 934, 439).

Что можно сказать об этих числах? (натуральные)

На какие группы можно разбить данные числа? (чётные и нечётные) 

Назовите чётные числа. (394, 934)

Нечётные числа. (943, 349, 493, 439)

Назовите наибольшее число (943).

Наименьшее число (349)

Давайте запишем эти числа в порядке возрастания (349, 394, 439, 493, 934, 943)

А теперь запишите, пожалуйста, самостоятельно эти цифры в порядке убывания (943, 934, 493, 439, 394, 349). Если задание выполнили верно, поставьте на полях «+». Если допустили ошибки «-».

Следующее задание посерьезнее: давайте запишем эти числа в виде разрядных слагаемых:

943 = 900 + 40 + 3 (чтобы было проще, представим, что у нас в кармане 943 рубля). Можно эту запись сделать еще подробнее: 9*100 + 4*10 + 3*1)

934 = 900 + 30 + 4

493 = 400 + 90 + 3

и т.д. …. Делаем самостоятельно.

А теперь усложним?

9431 = 9000 + 400 + 30 + 1 (в этом примере у нас появился новый разряд – тысячи)

Ну вот, с помощью нашей разминки мы повторили как читать, записывать, сравнивать и представлять многозначные числа в виде разрядных слагаемых.

А теперь перейдем непосредственно к теме урока. Давайте начнем с самого простого арифметического действия – сложения:

Сложение многозначных натуральных чисел:

Сегодня я покажу вам 2 способа сложения многозначных чисел.

1 Способ. Устное сложение.

При сложении чисел бывает удобно представить одно из слагаемых в виде суммы. Давайте рассмотрим на примере: 286 + 78. Для начала мы должны определить бОльшее число. В нашем примере — это 286. Это число нам нужно довести до ближайшего круглого числа. Это 300. Сколько нужно прибавить к 286, чтобы получить 300? (14). Тогда второе число, 78, мы можем разложить на 2 слагаемых, одно из которых – 14:

286 + 78 = 286 + 14+64 = 300 + 64 = 364

Рассмотрим еще один пример:

279 + 56 = 279 + 21 + 35 = 335

Следующий пример:

182 + 438 = 120 + 62 + 438 = 620

2 Способ. Письменное сложение. Это, всем известное, сложение в столбик.

Самое главное, что нужно помнить это то, что когда мы складываем в столбик, единицы нужно писать под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями, тысячи под тысячами и т.д. Не зря мы сегодня повторили разряды чисел.

Рассмотрим это на примере. Найдём сумму чисел 567 и 254 

1. Сначала запишем одно число под другим так, чтобы единицы были под единицами, десятки под десятками, а сотни под сотнями.

1. Складываем единицы: 7 + 4 = 11; 1 пишем под единицами, а 1 дес. запомним и прибавим к десяткам.

1. Складываем все десятки: 6 + 5 + 1 = 12; 2 пишем под десятками, а 1 сот. запомним и прибавим к сотням.

1. Складываем все сотни: 5 + 2 + 1 = 8; 8 пишем под сотнями.

Ответ: 821

Обратите внимание!

Если при выполнении сложения в разряде появились единицы другого разряда, их надо запомнить и прибавить к следующему разряду.

Чтобы быть уверенным в правильности решения примера, нужно не полениться и выполнить проверку. Для этого мы из суммы должны вычесть одно из слагаемых. Получилось другое слагаемое? Если «да» - мы молодцы!!! Если «нет» - ищем ошибку!

А как вычитать многозначные числа? Вот так плавненько мы подошли к следующему арифметическому действию – вычитанию.

Вычитание многозначных натуральных чисел:

Давайте с помощью вычитания сделаем проверку последнего примера, который мы решили. Из суммы 821 вычтем первое слагаемое – 567.

1. Сначала запишем одно число под другим так, чтобы единицы были под единицами, десятки под десятками, а сотни под сотнями.

2. Вычитаем единицы. Из 1 невозможно вычесть 7. Занимаем 1 десяток и ставим точку над двойкой. 1 дес. + 1 ед. = 11; 11 - 7 = 4; 4 пишем под единицами:

3. Вычитаем десятки. Помним, что 1 десяток занимали. Десятков не два, а один. Из 1дес. вычесть 6 дес. нельзя. Занимаем 1 сотню у 8 сот. и ставим точку над цифрой 8, чтобы знать, что на 1 сотню осталось меньше. Из 11дес. вычитаем 6 дес., 5 пишем под десятками.

1. Вычитаем сотни. Помним, что одну сотню занимали. Из 7 сотен вычитаем 5 сотен. 2 пишем под сотнями.

Ответ: 254

Именно это число было вторым слагаемым. Значит, сложение выполнено, верно.

А давайте попробуем из суммы 821 вычесть второе слагаемое – 254 .

1. Сначала запишем одно число под другим так, чтобы единицы были под единицами, десятки под десятками, а сотни под сотнями.

2. Вычитаем единицы. Из 1 невозможно вычесть 4. Занимаем 1 десяток и ставим точку над двойкой. 1 дес. + 1 ед. = 11; 11 - 4 = 7; 7 пишем под единицами:

3 . Вычитаем десятки. Помним, что 1 десяток занимали. Десятков не два, а один.

Из 1 дес. вычесть 5дес. нельзя. Занимаем 1 сот.у 8 сот. и ставим точку над цифрой 8, чтобы знать, что на 1 сотню осталось меньше. Из 11 дес. вычитаем 5дес.

6 пишем под десятками.

4. Вычитаем сотни: помним, что одну сотню занимали. Из 7 сотен вычитаем 2 сотни. 5 пишем под сотнями.

Ответ: 567

Именно это число было первым слагаемым. Значит, сложение выполнено, верно.

Давайте потренируемся. Выполним действия вместе:

141 + 228 = 369 828 - 456 = 372

682 + 560 = 1242 1250 – 632 = 618

А теперь самостоятельно:

463 + 639 = 1102 724 – 361 = 363

315 + 236 = 551 986 – 368 = 618

356 + 407 = 763 1529 – 1482 = 47

368 + 841 = 1209 3276 – 585 = 2691

Мы забыли про наши плюсики. Давайте снова поставим на полях «+», если примеры посчитаны без ошибок и «-», если ошибки были.

Если записали не все числа «-».

Еще одно задание: заполните пустые клетки таблицы.

Правильный вариант:

И снова поставим на полях «+», если примеры посчитаны без ошибок.

А теперь давайте, чтобы нам было поинтереснее, порешаем задачки на сложение и вычитание многозначных чисел:

Задача 1. У Вани в коллекции 297 марок, а у его брата Саши на 148 марок больше. Сколько марок у Саши и у Вани вместе?

Решение:

1) 297 + 148 = 445

2) 297 + 445 = 742

Ответ: 742 марки.

Задача 2. Город Курган был основан в 1679 году. Сколько лет исполнилось городу Кургану в 2023 году?

Решение:

1. 2023 - 1679 = 344

Ответ: 344 года.

Задача 3. Город Курган был основан в 1679 году, а город Курган – в 1679 году. Какой город и на сколько лет старше?

Решение:

1) 1679 - 1586 = 210

Ответ: на 93 года.

Задача 4. Для строительства дома было закуплено со склада 128 ящиков стекла. После этого на складе осталось 128 ящиков стекла. Какое количество ящиков было на складе до покупки?

Решение:

1. 1048 + 128 = 1176

2. Ответ: 1176 ящиков.

Задача 5. На сколько километров река Вятка короче реки Волга, если Вятка 1314 км, а Волга 3530 км?

Решение:

1) 3530 - 1314 = 2216

Ответ: 2216 км.

Задача 6. Максимальная глубина океана 11 022 м. высота самой высокой горы в мире (Эверест) равна 8 848 м над уровнем моря. Вычисли разницу между глубиной океана и самой высокой точкой на Земле.

Здесь есть один секрет: поскольку оба размера (глубина и высота) исходят из одной отметки - уровень моря, разница между ними будет равна их сумме:

Решение:

1) 11 022 + 8 848 = 19 870

Ответ: 19 870

Задача 7. Хозяину пекарни нужно купить: муки на 563 рубля, молока на 392 рубля, сахара на 638 рублей. Достаточно ли ему будет 1900 рублей?

Решение:

1) 563 + 392 = 955

2) 955 + 638 = 1593

3) 1900 1593

Ответ: Достаточно.

Задача 8. В течение 3 дней выставку посетило 1700 студентов. В первый день - 462 студента, во второй на 147 студентов больше. Сколько студентов посетило выставку в третий день?

Решение:

1) 462 + 147 = 609

2) 462 + 609 = 1071

3) 1700 - 1071 = 629

Ответ: 629 студентов.

Задача 9. Расстояние от Новгорода до Москвы, если ехать по шоссе 510 километров, от Новгорода до Санкт-Петербурга на 330 км меньше. Вычисли расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга.

Решение:

1) 510 - 330 = 180

2) 510 + 180 = 690

Ответ: 690 км.

Задача 10. В первый месяц в типографии израсходовали 1540 кг бумаги, во второй на 350 кг больше. Сколько осталось бумаги, если сначала в типографии ее было 6000 кг?

Решение:

1) 1540 + 350 = 1890

2) 1890 + 1540 = 3430

3) 6000 - 3430 = 2570

Ответ: 2570 кг.

Задача 11. На овощном складе было одинаковое количество свеклы и картофеля. После того, как в один магазин увезли 220 ц. картофеля еще осталось 142 ц. Свеклы увезли на 125 ц больше чем картофеля. Сколько центнеров свеклы осталось на овощной базе?

Решение:

1) 220 + 142 = 362

2) 220 + 125 = 345

3) 362 - 345 = 17

Ответ: 17 центнеров.

Задача 12. Билеты на концерт продавали 3 дня: в первый день продали 327 билетов, во второй на 39 билетов больше, чем в первый, в третий день было продано 593 билета. Сколько в зале будет незанятых мест, если вместительность зала 1550 мест?

Решение:

1) 327 + 39 = 366

2) 366 + 593 = 959

3) 959 + 327 = 1286

4) 1550 - 1286 = 264

Ответ: 264 места.

Задача 13. Сорное растение василек дает 6680 семян в год, а такое растение, как ржаной костер на 5260 меньше, полевой осот на 12 920 больше, чем василек. Сколько семян в год дают вместе эти растения?

Решение:

1) 6680 - 5260 = 1420

2) 6680 + 12920 = 19600

3) 6680 + 1420 + 19600 = 27700

Ответ: 27700 семян.

Умножение многозначных натуральных чисел:

Давайте рассмотрим правила умножения многозначных чисел на примере: нам нужно умножить столбиком 4235 на 7043.

Для начала правильно запишем наш столбик. Обратите внимание, что записывать число нужно по разрядам. Единицы мы пишем под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и так далее, сколько у нас там разрядов.

То есть мы выравниваем нашу запись по правому краю.

Итак, запись у нас есть, начинаем умножать.

Умножаем тройку и не обращаем внимание на семёрку с четверкой.

Трижды 5 будет 15. Поскольку мы умножаем тройку, то её результат мы пишем ровно под ней. 5 пишем и, по-хорошему, нам нужно 1 в уме. При сложении столбикам мы привыкли в следующем разряде подписывать сверху единичку. Но при умножении, особенно многозначных чисел, этот способ может не сработать. Почему? Хорошо, тройку то мы умножим, а когда пойдём умножать четверку, семёрку и так далее, у нас здесь сверху получится нагромождение всевозможных цифр. И мы в них можем запутаться. Поэтому есть хитрый способ: поскольку у нас 15, пятёрку пишем, а единичка переходит в следующий разряд, в соседнюю клеточку. И вот в этой соседней клеточке и мы ставим точку. Одну, потому что один в уме. Если бы было два, поставили бы две точки, если бы три - три точки. Если у нас большие числа, можно маленькую-маленькую циферку вписать прямо в эту клеточку.

Дальше умножаем тройку на три. 3*3 = 9, да 1 точечка = 10. 0 пишем, а вместо единички ставим точку в следующий разряд.

Трижды 2 будет 6, да, единичка ещё была = 7.

Трижды 4 = 12, 2 пишем, единица - в соседнюю клетку.

Мы умножили тройку.

Теперь мы с вами будем умножать четверку. И всё, семёрки и тройки для нас больше не существует. То есть мы сейчас смотрим только вот на эту четверочку. Полученный результат будем писать четко под ней.

5*4 = 20; 0 пишем, две точки - в соседнюю клетку.

Трижды 4 = 12, да 2 в уме = 14.

4*2 = 8, да 1 в уме = 9

4*4 = 16, 6 пишем, единичку - в следующий разряд.

Мы умножили четверку. Всё, теперь мы про неё забываем и переключаемся на семёрку. Поскольку мы умножаем семёрку, то писать наши подсчеты будем тоже ровно под ней.

7 *5 = 35, 5 пишем ровно под семёрочкой.

7*3 = 21, да 3 в уме = 24. 4 пишем, двойка в уме.

7*2 = 14, да 2 в уме = 16. 6 пишем, 1 в уме.

7* 4 = 28, да 1 в уме = 29.

Умножили семёрку. Ровно под ней написали её результат.

А теперь осталось суммировать наш ответ.

Ставим плюсик, подводим черту и суммируем: 5 плюс пустота, так и будет 5; 0 плюс 0, так и будет 0; 7 + 4 + 5 = 16. Так как сверху места у нас по-прежнему нет, то что держим в уме опять будем отмечать точками.

2 + 9 + 4 = 15. да 1 в уме = 16. И снова 6 пишем, 1 в уме.

1 + 6 + 6, да 1 в уме = 14. 4 пишем, 1 - в сторонку.

9 + 1, да 1 в уме = 11. 1 пишем, 1 в сторонку.

2 да 1 в уме = 3.

Вот получилось в наше число. Можем разбить его по классам и прочитать: 3 миллиона, 146тысяч 645. Наше умножение в столбик окончено.

Давайте порешаем примеры:

8758 * 679 = 594 668 561 * 97 = 54 417 432 * 1219 = 526 608

9872 * 4567 = 4 5085 424 17532 * 65879 = 1 154 990 628 561 * 97= 54 417

425 * 108 = 45 900 6005 * 136 = 816 680 4473 * 213 = 952 749

Деление многозначных натуральных чисел:

Давайте правила деления также рассмотрим сразу на примере. Возьмем число 1365040 и поделим его на 4 (написать на доске в строчку).

Я специально беру большое число. На самом деле алгоритм деления 3-х, 4-х, 5-значных чисел и так далее абсолютно один и тот же. Научитесь делить 5,6,7-значные числа, 3-х значное тем более сможете.

Итак, при делении многозначных чисел действия выполняются строго по алгоритму. Наша задача - запомнить последовательность действий (алгоритм повестить на доску)

И так, первый шаг алгоритма – это записать пример уголком. Это как? Пишем делимое, вот оно у нас. Ставим на 2 клетки вертикального черту и посередине проводим горизонтальную линию.

Шаг второй - найти первое, неполное делимое. И вот тут возникает вопрос. Что такое делимое мы разобрались уже, а что такое неполное делимое? Посмотрите, у нас число-то большое, и мы его делить будем не сразу, а по кусочкам: кусочкам один, кусочек второй, кусочек третий и так далее.

Первое неполное делимое — это первый кусочек, который мы начнем делить. Как его найти? Давайте посмотрим. Первое неполное делимое находится подбором: берем первую цифру, единичку, и задаем себе вопрос: вот эта четверка в единичке сидит? Давайте посмотрим. Рисую на доске:

В от она у нас единичка - одна клеточка. А вот у нас четверка (4 клеточки).

Залезет ли четверка в эту единичку? Ну конечно, нет, не поместится, она гораздо больше. Значит, единица нам не подходит.

Берем уже две цифры. Получается число 13. И опять спрашиваем себя четверка в 13 сидит? Да, конечно!

В от она у нас 13, а вот 4. Входит 1, 2, 3 раза. Но нам сейчас это не важно. Нам важно то, что 13 нам подходит. Если бы не подходила, (допустим, нам нужно разделить это число на 45), мы бы взяли уже 3 циферки.

Итак, мы нашли первое неполное делимое и обозначили его сверху маленькой дужкой.

Следующим шагом определяем количество цифр в частном. Для этого над каждой оставшейся циферкой ставим дужку. И считаем, сколько их у нас (5 дужек). Это значит, что в частном у нас будет 5 цифр. Давайте их тоже обозначим чиселками. обозначить их точками вот так вот.

Шаг четвертый. Сколько раз делить сидит в неполом делимом? Это значение мы должны записать в частное. Вот давайте вернёмся к нашей схеме. Вот наша тринадцать, а вот наша четверка. Сколько раз четверка сидит в тринадцати?

О дин раз это 4, 2 раза это 8, 3 раза это 12, 4 раза это 16, а 16 уже не лезет.

Значит, 3 раза.

В этом случае очень хорошо поможет знание таблицы умножения. Но в крайнем случае можно просто сидеть плюсовать, плюсовать, плюсовать по четверке, пока мы не наберём такое число, которое максимально помещается в нашем неполном делимом.

Вот у нас четверка в 13 помещается 3 раза и еще маленький хвостик остается. Значит, в ответе пишем цифру 3. Записали.

Пятый шаг: сколько места занимает делитель взятый это число раз. 3 четверки это у нас 12. То есть из 13 мы заняли 12. А сколько же осталось? Можем посмотреть нас схеме.

Шаг 6: находим разницу между неполным делимым и получившимся произведением. Можем столбиком: 3-2=1, 1-1=0. Можем так. Можем на схеме посмотреть. Вот у нас единичка осталась. Нам не важно. Записали 1 в частное.

Шаг 7: К остатку сносим следующую цифру из делимого. У нас это цифра 6. Сносим ее на тот же уровень, где стоит единичка. Снесли. Получили следующее неполное делимое – 16.

Шаг 8. Теперь мы должны повторять все эти пункты с 4-7 до тех пор, пока мы не закончим деление. Пока все циферки в нашем делимом не используются. Давайте посмотрим, как это делать.

Сколько четверок сидит в шестнадцати? Давайте посмотрим: 4, 8, 12, 16 – 4 четверки. Подписываем в ответ 4. Сколько места они занимают? 4+4+4+4 = 16. Все 16 заняли. Какой у нас остаток? А нет у нас тут остатка. Ноль можем не писать, это не принято, если это не самый конец вычислений. Можем написать, это не страшно.

Сносим пятерочку. Вот, ноль у нас был бы вот здесь, значит, пятерочку сносим. Как раз рядышком с ним. Теперь делим пятерку. Сколько четверок поместится в пятерку? Только одна. Записываем в ответ - один. Одна четверка, сколько места займет? 4. Записываем. Находим остаток. 5 - 4 = 1.

С носим следующую циферку - четыре. Получили следующее неполное делимое – 14. Сколько четверок сидит в 14? Ну, мы сказали, что 4*4 = 16. Многовато. Значит берем по 3. 3*4=12 Записываем троечку в ответ. Находим остаток: 14-12=2.

Сносим опять нулик. Ровненько-ровненько напротив двоечки. Снесли. Получили следующее неполное делимое - 20. Сколько четверок сидит в 20? 5 четверок. Как это узнать? Вспоминаем таблицу умножения. А можно прямо посчитать: 4, 8, 12, 16, 20. 5 штук. Хорошо. Ставим 5. Проверяем умножение: 4*5=20. Записываем результат умножения.

Всё! мы пришли к нулю. Все точки мы закрыли цифрами. Деление окончено!

И вот он вам алгоритм деления.

Еще раз пробегаем:

1. Записываем пример уголком.

2. Находим первое неполное делимое.

3. Определяем число цифр в частном. Расставляем точки.

4. А вот здесь начинается, собственно, деление: сколько раз делитель входит в неполное делимое? Это первая циферка в ответ.

5. Проверяем умножением. Результат подписываем под неполным делимым.

6. Находим на разницу между неполным делимым и произведением.

7. К остатку сносим следующую циферку.

8. Продолжаем п.п. 4-7 пока все цифры не закончатся. Если мы пришли к нулю прекрасно, если у нас в конце остался не ноль, значит, это будет остаток.

Как не ошибиться с нулями:

Начнем мы с умножения.

Например, нам нужно умножить 2 314 на 305. Обратите внимание во втором множителе, в разряде десятков есть нуль.

Начинаем умножать. Сначала, как обычно, умножаем пятерку.

Дальше мы должны умножить на 0, но при умножении на нуль все равно будет нуль. Поэтому умножать на 0 и делать запись смысла нет.

Н ачинаем умножать тройку. Вопрос, куда писать ответ? Смотрите: мы умножали пятерку и результат писали под ней. Теперь мы будем умножать тройку. И результат мы будем писать под тройкой. То есть какую циферку умножаем, ровно под ней и начинаем записывать результат.

Получили вторую строку. И осталось только нам просуммировать.

Итак, давайте запомним: какую циферку умножаем, под той и начинаем писать результат.

Это то, что касается умножения.

Теперь разберемся с делением.

Вот, например, нам нужно 31 542 поделить на 7. И здесь сразу несколько моментов, на которые нужно обратить внимание. Прежде чем делить, нужно провести некоторую предварительную работу. Чтобы избежать ошибок.

Начинаем делить. 3 разделится на 7? Нет не разделится. Значит, берем 31. И вот здесь мы сверху рисуем скобочку. А дальше рисуем скобочки над каждой циферкой. Это очень важно: над каждой цифрой мы ставим еще по одной скобке. Сколько скобой получилась у нас? Столько из знаков будет в ответе. И давайте поставим точечки. 4 точки. В ответе будет 4 циферки. Каждую из этих точек мы должны обязательно какой-то циферкой закрыть. Если у нас вдруг окажутся точки пустые, значит, мы где-то сделали ошибку, какую-то цифру пропустили.

Начинаем делить. 31 поделить на 7. Сколько семерок сидит в 31? Поместится одна? А две, а три, а четыре? Поместится. А 5? Нет, 5 уже многовато. Проверяем умножением: 7*4=28. 31-28=3. Записываем тройку и сносим вторую цифру.

Это 5. Получили второе неполное делимое – 35. 35:7=5. Ставим пятерку. 35-35=0, 0 писать не принято. Сносим 4.

С несли. Вот тут обычно дети говорят: о, не делится, сносим двоечку. Ни в коем случае! Как только снесли 4 задаем опять вопрос: сколько 7 входит в 4? Нисколько? А как нисколько на математическом языке сказать? Это 0. Значит мы обязательно должны поставить 0. И только тогда, когда мы поставили этот 0, мы имеем право снести еще одну цифру. Не раньше!

Сносим циферку 42. Сколько семерок поместится в 42? 6 семерок. 6*7=42. Всё, наше деление окончено.

Давайте еще раз: как только мы сносим сверху очередную цифру, мы должны результат деления записать в ответ. Только после этого мы имеем право снести следующую цифру. И еще: у нас была подсказочка в виде точек. Если бы мы вдруг пропустили циферку, пустая точечка нам подсказала: у вас здесь ошибка перепроверьте.

Выбрать задачи на умножение и деление многозначных чисел.