Algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan amallar.
Algebraik kasrlar ustidagi to`rt amalni bajarishni o`rgandik.
Bugungi darsimizda algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan amallarni o'zlashtiramiz. 1- ma s a l a . Katerning turg‘un suvdagii tezligi soatiga a kilometrga teng, daryo oqimining tezligi soatiga b kilometrga teng. Katerning daryo oqimi bo‘yicha harakat tezligi uning daryo oqimiga qarshi harakat tezligidan necha marta ortiq? Amallarni bajaramiz.
Katerning daryo oqimi bo‘yicha tezligi (a+b) kilometrga teng; oqimga qarshi tezligi soatiga (a–b) kilometrga teng. Shuning uchun daryo oqimi bo‘yicha harakat tezligi oqimga qarshi harakat tezligidan
marta ortiq bo‘ladi.
ifoda algebraik kasr deyiladi. Bu kasrning surati a+b, maxraji esa a–b.
Umuman, surat va maxraji algebraik ifodalar bo‘lgan kasr algebraik kasr deyiladi.
Algebraik kasrlarga doir yana bir necha misollar keltiramiz:
Agar algebraik kasrga kiruvchi harflar o‘rniga biror sonlar qo‘yilsa, u holda zarur hisoblashlar bajarilgandan keyin shu algebraik kasrning son qiymati hosil bo‘ladi.
Masalan, a=10, b=8 bo‘lganda algebraik kasrning son qiymati ga teng bo‘ladi.
algebraik kasrda a va b o‘rniga o‘zaro teng bo‘lmagan (a≠b) istalgan sonlarni qo‘yish mumkin, chunki a=bbo‘lganda kasrning maxraji nolga aylanadi, nolga bo‘lish esa mumkin emas.
Bundan keyin algebarik kasrga kiruvchi harflar yo‘l qo‘yiladigan (joiz) qiymatlarnigina, ya’ni shu kasrning maxraji nolga teng bo‘lmaydigan qiymatlarnigina qabul qiladi, deb shartlashamiz.
Kasrning asosiy xossasini bunday yozish mumkin:
bu yerda b≠0, m≠0.
Kasrning asosiy xossasidan foydalanib, algebraik kasrni surat va maxrajga bir vaqtda kiruvchi umumiy ko‘paytuvchiga qisqartirish mumkin, masalan:
Kasrlarni soddalashtirish uchun avval ularning surat va maxrajining umumiy ko‘paytuvchisini ajratib olish kerakligiga doir misollar keltiramiz.
12a2b va 4ab2 birhadlar 4ab umumiy ko‘paytuvchiga ega. Kasrning surat va maxrajini 4ab ga bo‘lamiz:
m2–n2 va m2+mn ko‘phadlar m+n umumiy ko‘paytuvchiga ega, chunki m2–n2=(m+n)(m–n), m2+mn=m(m+n). Kasrning surat va maxrajini m+n ga bo‘lamiz:
Shunday qilib, kasrlarni qisqartirish uchun bu kasrlarning surat va maxrajini ularning umumiy ko‘paytuvchisiga bo‘lish kerak.
Agar A,B kasrning surat yoki maxrajidagi ishorani qarama-qarshi kasr hosil bo‘lishini ta’kidlab o‘tamiz:
Kasrning asosiy xossasidan foydalanib, algebraik kasrni surat va maxrajga bir vaqtda kiruvchi umumiy ko‘paytuvchiga qisqartirish mumkin, masalan:
Kasrlarni soddalashtirish uchun avval ularning surat va maxrajining umumiy ko‘paytuvchisini ajratib olish kerakligiga doir misollar keltiramiz.
12a2b va 4ab2 birhadlar 4ab umumiy ko‘paytuvchiga ega. Kasrning surat va maxrajini 4ab ga bo‘lamiz:
m2–n2 va m2+mn ko‘phadlar m+n umumiy ko‘paytuvchiga ega, chunki m2–n2=(m+n)(m–n), m2+mn=m(m+n). Kasrning surat va maxrajini m+n ga bo‘lamiz:
Shunday qilib, kasrlarni qisqartirish uchun bu kasrlarning surat va maxrajini ularning umumiy ko‘paytuvchisiga bo‘lish kerak.
Agar A,B kasrning surat yoki maxrajidagi ishorani qarama-qarshi kasr hosil bo‘lishini ta’kidlab o‘tamiz:
Oddiy kasrlarni qo‘shishda avval kasrlarni umumiy maxrajga keltirib olinadi. Masalan, kasrlar uchun umumiy maxraj 100 soni bo‘ladi, bu son 4, 25, 10 sonlarining eng kichik umumiy karralisidir.
Algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirishda ham xuddi shunday almashtirishlarni bajarishga to‘g‘ri keladi, uni ham kasrlarni umumiy maxrajga keltirish deyiladi.
Berilgan kasrlarning umumiy maxraji har bir kasrning maxrajiga bo‘linishi kerak. Demak, u 3 ga, 6 ga, 4 ga, ya’ni 12 ga;a2 ga, a ga va a ga, ya’ni a2 ga; b ga va b2 ga, ya’ni b2 ga; c ga bo‘linishi kerak.
Shunday qilib, kasrlarning umumiy maxraji 12, a2, b2 va c ko‘paytuvchilarni o‘z ichiga olishi kerak. Umumiy maxraj sifatida 12a2b2c ko‘paytmani olish lozim bo‘ladi. Bu umumiy maxrajni birinchi kasrning maxrajiga bo‘lib, uning surat va maxrajini ko‘paytirish kerak bo‘lgan birhadni topamiz. Bu birhad berilgan kasrning qo‘shimcha ko‘paytuvchisi deyiladi. Birinchi kasr uchun bunday birhad 4bc ga teng. Xuddi shunday yo‘l bilan ikkinchi va uchinchi kasrlar uchun qo‘shimcha ko‘paytuvchilarni topamiz: 2a va 3ab2.
Birinchi, ikkinchi va uchinchi kasrlarning surati va maxrajini mos ravishda 4bc, 2ac va 3ab2 ga ko‘paytirib, ularni12a2b2c umumiy maxrajga keltiramiz:
Kasrlarning maxrajini ko‘paytuvchilarga ajratamiz:
x2–y2=(x–y)(x+y);
2x2–4xy+2y2=2(x2–2xy+y2)=2(x–y)2;
3x2+6xy+3y2=3(x2+2xy+y2)=3(x+y)2.
Umumiy maxraj berilgan kasrlarning har birining maxrajiga bo‘linishi kerak.
Umumiy maxraj birinchi kasrning maxrajiga bo‘linishi uchun uning tarkibida (x–y)(x+y) ko‘paytma bo‘lishi kerak.
So‘ngra, umumiy maxraj ikkinchi kasrning maxrajiga bo‘linishi kerak va shuning uchun unda 2(x–y)2 ko‘paytuvchi bo‘lishi kerak. Demak, birinchi kasr maxrajiga 2(x–y) ko‘paytuvchini yozib qo‘yish kerak, ya’ni umumuiy maxraj tarkibida 2(x–y)2(x+y)
ko‘paytma bo‘lishi lozim.
Umumiy maxraj uchinchi kasrning 3(x+y)2 maxrajiga bo‘linishi uchun hosil qilingan ko‘paytmaga 3(x+y) ko‘paytuvchini yozib qo‘yish kerak. Demak, uchala kasrning umumiy maxraji 6(x–y)2(x+y)2
ga teng bo‘ladi.
Surati x va y sonlarning ko‘paytmasiga, maxraji esa ularning yig‘indisiga teng bo‘lgan algebraik kasrni yozing.
Surati p va q sonlarning ayirmasiga, maxraji esa ularning ko‘paytmasiga teng bo‘lgan algebraik kasrni yozing.
Surati a va b sonlar kvadratlarining ayirmasiga, maxraji esa shu sonlar ayirmasining kvadratiga teng bo‘lgan algebraik kasrni yozing.
Surati c va d sonlar kublarining yig‘indisiga, maxraji esa shu sonlar ko‘paytmasining ikkilanganiga teng bo‘lgan algebraik kasrni yozing.
