Ааааа вмамв ммва

Графическое решение неравенства с двумя переменными

Цель: рассмотреть графики неравенств с двумя переменными.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Сумма двух чисел равна 30, а их произведение равно 216. Найдите эти числа.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а его периметр равен 48 см. Найдите катеты треугольника.

Вариант 2

1. Сумма двух чисел равна 40, а их произведение равно 364. Найдите эти числа.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а его периметр равен 60 см. Найдите катеты треугольника.

III. Изучение нового материала

Часто приходится изображать на координатной плоскости множество решений неравенства с двумя переменными. Напомним, что решением неравенства с двумя переменными называют пару значений этих переменных, которая обращает данное неравенство в верное числовое неравенство.

Пример 1

Рассмотрим неравенство 3х2 – 1/y ≤ 8.

Пара значений переменных (-1; 1) обращает это неравенство в верное числовое неравенство 3 · (-1)2 – 1/1 ≤8, или 2 ≤ 8, и является решением неравенства. Пара значений (2; 1) приводит к неверному числовому неравенству 3 · 22 – 1/1 ≤ 8, или 11 ≤ 8, и не является решением данного неравенства.

На примерах рассмотрим, как изображается множество решений неравенства с двумя переменными на координатной плоскости.

Пример 2

Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства 2у + 3х ≤ 6.

Сначала построим прямую 2у + 3х = 6, или у = 3 – 3/2х. Она разбивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные выше ее, и точки, расположенные ниже ее. Возьмем из каждой области по контрольной точке, напримерA(1; 1) и B(1; 3).

Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у + 3х ≤ 6, т. е. 2 · 1 + 3 · 1 ≤ 6.

Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2 · 3 + 3 · 1 ≤ 6.

Так как данное неравенство может изменить знак на прямой 2у + 3х = 6, то неравенству удовлетворяет множество точек той области, где расположена точка А. Заштрихуем эту область.

Таким образом, мы изобразили множество решений неравенства 2у + 3х ≤ 6.

Пример 3

Изобразим множество решений неравенства х2 + 2х + у2 - 4у + 1 0 на координатной плоскости.

Построим сначала график уравнения х2 + 2х + у2 - 4у + 1 = 0. Выделим в этом уравнении уравнение окружности: (х2 + 2х + 1) + (у2 - 4у + 4) = 4, или (х + 1)2 + (у - 2)2 = 22.

Это уравнение окружности с центром в точке O(-1; 2) и радиусом R = 2. Построим эту окружности.

Так как данное неравенство строгое и точки, лежащие на самой окружности, неравенству не удовлетворяют, то строим окружность.

Легко проверить, что координаты центра О окружности данному неравенству не удовлетворяют. Выражение х2 + 2х + у2 - 4у + 1 меняет свой знак на построенной окружности. Тогда неравенству удовлетворяют точки, расположенные вне окружности. Эти точки заштрихованы.

Пример 4

Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства (у - х2)(у - х - 3) ≤ 3.

Сначала построим график уравнения (у - х2)(у - х - 3) = 0. Им является парабола у = х2 и прямая у = х + 3. Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения (у - х2)(у – х - 3) происходит только на этих линиях. Для точки А(0; 5) определим знак этого выражения: (5 - 02)(5 - 0 - 3) 0 (т. е. данное неравенство не выполняется). Теперь легко отметить множество точек, для которых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).

Как видно из рассмотренных примеров, для построения множества решений неравенства с двумя переменными используется метод интервалов на координатной плоскости.

IV. Задание на уроке

Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства.

V. Задание на дом

 Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых неравенством.

 VII. Подведение итогов урока