7 сынып стандартты емес ж?мыс д?птері

«Жезқазған қаласының білім, дене шынықтыру және спорт бөлімінің № 11 орта мектебі» КММ

«Стандартты емес есептерді шығару»

таңдау курсының

жұмыс дәптері

Маматхожина Гульнар Омиржановна

Жезқазған -2014

Түсінікхат

Жұмыс дәптері «Стандартты емес есептерді шығару» таңдау курсының бағдарламасына сәйкес жасақталған. Оқушыны өз бетімен жұмыс істеуге икемдейді, сонымен қатар оның ғылыми тұрғыда ойлануына, танымдық және шығармашылық қабілеттерінің оянуына ықпал жасайды. Стандартты емес есептер оқушыны зерделілікке, тапқырлыққа, ұстамдылыққа, шапшаң есептеу қабілетін дамытуға, ойын ұштай түсіп, еңбектене білуге тәрбиелейді. Оқушы өз білімінің деңгейі мен біліктілігін тексеру мақсатында әртүрлі логикалық есептердің шешілу тәсілдері көрсетілген. Тереңдетілген бағытта алынған тапсырмалар оқушылардың білімдерін жетілдіріп, дамытуға бағытталған. Жинақтағы тапсырмалар 7 сынып оқушыларына ұсынылып отыр.

Тақырып: «Жиындағы амалдар. Қосу ережесі»

Жиын туралы түсінік: Екі оқиғаның қосындысы, көбейтіндісі, айырмасы турулы анықтамалар. Оқиғалардың белгілеулері.

1-анықтама. Қандай да бір белгілері бойынша біріктірілген заттар жиынтығын жиын деп айтамыз.

2-анықтама. Екі оқиғаның А және В қосындысы дегеніміз – А және В оқиғаларының бірігуі. – логикалық қосынды деп аталады.

А В

3-анықтама. А және В жиындарының көбейтіндісі деп элементтері А және В оқиғаларына ортақ элемент-терден тұратын оқиғаны айтады.

A

және

Комбинаториканың есептері қосу және көбейту ережелерімен шығарылады:

Қосу ережесі	Көбейту ережесі
Егер қандай бір А объектіні m  элементтен, ал В объектісі  n элементтен тұратын болса, онда А немесе В  объектінің элементтері (m + n) -ға тең	Егер қандай бір А объектіні m  элементтен, ал В объектісі  n элементтен тұратын болса, онда А және В  объектінің элементтері (m · n) -ға тең

Есеп. Сыныптағы 32 оқушының 14-і мектепте өткен футбол турниріне, 10-ы баскетбол турниріне және 8-і волейбол ойынынан жарысқа қатысқан. Мұнда 6 оқушы әрі футбол, әрі баскетбол жарысына, 5 оқушы әрі футбол, әрі волейбол жарысына, 4 оқушы әрі баскетбол, әрі волейбол турниріне, ал 3 оқушы барлық үш ойыннан жарысқа қатысқан. Сынып оқушыларының нешеуі осы турнирлердің бірде – біреуіне қатыспаған?

Талдау:

Эйлер – Венн диаграммасын қолданайық.

А – футболға қатысқан оқушылар жиыны,

В – баскетбол,

С – волейбол,

U – сыныптағы барлық оқушылар жиыны болсын. Есеп шарты бойынша:

(3) формула бойынша

Сыныптағы оқушылардың жарыстың қандай да бір түріне қатысқандарын біліп алдық. Онда сыныпта оқушы жарыстың бірде – бір түріне қатыспаған.

Алмастырулар.

Х жиыны n элементтен құралған жиын болсын. Онда Х жиынының элементтерінен құралған, ұзындығы k-ға тең және элементтері қайталанбайтын әрбір шеруді n – нен k бойынша алынған қайталанбайтын орналастыру деп аталады. Оны арқылы белгілейді.

немесе

Есеп. 4 оқушыны 7 орындыққа неше түрлі тәсілмен отырғызып шығуға болады?

шешуі: Мұнда Х жиыны 7 элементтен тұрады. Онда бізге қажетті сан барлық 7-ден 4 бойынша қайталанбайтын орналастырулар санына тең. Өйткені бірнеше оқушы бір орындыққа отырмайды деп есептейміз.

Сонда .

Есеп. Бес адамды кезекке неше түрлі тәсілмен тұрғызуға болады?

Талдау: Бізге қажетті сан 5 элементтен алынған барлық алмастырулар санына тең. .

Өзің шығар!

1. Үш таңбалы саннан қанша әртүрлі цифрдан құрастырылған үш таңбалы сан алуға болады?

_______________________________________________________________

1. Сыныптағы 20 оқышыны екіден қанша тәсілмен отырғызуға болады?

_______________________________________________________________

1. Орналастырулар санын есепте: ___________________ =_________

1. Бес элементтен 3-тен алынған орналастырулар санын есепте

_______________________________________________________________

Терулер.

n элементі бар Х жиынының әрбір k элементі ішкі жиынын n – нен k бойынша алынған қайталанбайтын терулер деп атайды.

арқылы белгілейді.

.

Есеп. Шахмат турниріне 12 ойыншы қатысты және әрбір шахматшы өзгелермен бір-бір ойыннан ойнайды. Турнирде барлығы неше партия ойналды?

шешуі: Әрбір партияны өткізуге екі ойыншы қатысады. Онда барлық өткізілген партиялар саны 12-ден 2 бойынша алынған терулер санына тең.

.

ӨЗІҢ ШЫҒАР!

1. Шахмат турниріне 15 ойыншы қатысты және әрбір шахматшы өзгелермен бір-бір ойыннан ойнайды. Турнирде барлығы неше партия ойналды?

____________________________________________________________________

1. Ішінде 10 бұйым бар жәшіктен 2 бұйымды қанша тәсілмен алуға болады?

____________________________________________________________________

А оқиғасының пайда болу ықтималдығы:

мұндағы m-А оқиғасының пайда болуына қолайлы оқиғалар саны,n-берілген тәжірибедегі мүмкін болатын оқиғалар саны

Бұл анықтама оқиға ықтималдығының классикалық анықтамасы деп аталады.

• 4 карточкаға бір-бірден у,л,ұ,с әріптері жазылып, келесі бетімен аударылып, мұқият араластырылды. Кездейсоқ бір-бір карточкадан алып, бір қатарға тізіп шыққанда «сұлу» сөзінің шығуы ықтималдығы қандай?

____________________________________________________________________

• 6 карточкаға бір-бірден е,ж,н,ә, т,и әріптері жазылып, келесі бетімен аударылып, мұқият араластырылды. Кездейсоқ бір-бір карточкадан алып, бір қатарға тізіп шыққанда «нәтиже» сөзінің шығуы ықтималдығы қандай?

____________________________________________________________________

Ньютон биномы

Коэффициенттер мынадай үшбұрыштан табылады: /Паскаль үшбұрышы/

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Ньютон биномының жіктелуін жаз:

(х+1)⁸=____________________________________________________________

(а-1)⁹=_____________________________________________________________

(у+2)⁶=____________________________________________________________

(2b+3)⁵=___________________________________________________________

Орналастыру, алмастыру, теру.

Анықтама: элементтің әрқайсысы -нен жасалған орналастыру деп әрқайсысында сол элементтің -сі болып келетін және бір-бірінен өзгешелігі не элементінде, не элементтерінің ретінде болатын қосылыстарды айтады.

– n элементтен m жасалған орналастыру:

– n элементтен m жасалған орналастыру:

Анықтама: элементтен жасалған орналастырудың әрқайсысында элементтен болып келсе, бір-бірінен өзгешелігі тек элементтерінде болса, ондай орналастыруды алмастыру деп атаймыз. Ол мына формуламен өрнектеледі:

(1.2)

Анықтама: n элементтің m-нен жасалған орналастырудың ішінен бір-бірінен өзгешелігі ең болмағанда бір элементінде болатынды таңдап алсақ, одан шығатын қосылысты теру деп атайды. Сөйтіп элементтің әрқайсысы -нен жасалған орналастырулардың барлық саны элементтің, -нен жасалған терулердің барлық саны элементтен жасалған алмастырудың барлық санын көбейткенге тең болады. – C _n ^m теру белгісі.

C _n ^m= (1.3)

Факториал- 1-ден n-ге дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісін n-факториал деп атайды. n! белгімен белгілейді.

n!= 1·2·3...(n-2)(n-1)· n

0!=1 1! =1

Ғажайып факториалдар. Ақиқаттығын өзің тексер!

145 = 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

40 585 = 4! + 0! + 5! +8! + 5!

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Өзің шығар!

1. Жазылуында 1,2,3,4 цифрлары болатын қанша үштаңбалы сан жазуға болады?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. 12 адамның арасынан бригадир, санитар, редакторды сайлау керек. Мұны неше тәсілмен істеуге болады?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. n кісіден үшеуін 3 қызметке сайлаудың неше тәсілі бар?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. 5 прибор қойылған үстел басына 5 адамды неше тәсілмен отырғызуға болады?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Орыс алфавитінің 30 әрпін, 10 дауысты, 20 дауыссыз пайдаланып 5 әріптен тұратын әртүрлі неше сөз құрастыруға болады? Әрбір сөзде 2 дауысты дыбыс- екінші және төртінші орындарда боды деп алыңдар. Көптеген сөздер мүлде мағынасыз болуы мүмкін.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Тақырып: «Дирихле принципі»

1. Мәскеуде 7,8 млн шамасында тұрғын бар, олардың әрқайсысының басында 100 000 –нан аспайтын шаш бар. Мәскеуде жоқ дегенде 70 адамның басындағы шашының саны бірдей болатынын дәлелде.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Жер бетінде 3,6 млрдтан астам адам өмір сүреді. Олардың ішінде 100 жастан көп жасағандар 1%-дан аспайды. Бір секундта туған екі адамды табуға болатынын дәлелде.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Сыныпта 41 оқушы бар. Арман диктанттан 13 қате, ал қалғандары одан азырақ қате жіберді. Жоқ дегенде 3 оқушы бірдей қате жіберетінін дәлелде

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

«Танысу». Танысу- адамдар арасындағы «симметриялық» қатынас деп есептеледі. Егер Мереке Жасланмен таныс болса, онда Жаслан да Мерекемен таныс болады.

Есеп: Кез келген тәсілмен 5 адам таңдап алынды. Олардың жоқ дегенде екеуінің таңдап алынғандардың ішінде таныстарының саны бірдей болатынын дәлеледе.

Шешуі: 0, 1,2,3,4 нөмірлері бар 5 «тор» жасайық. «Тордың» нөмірі оның ішіндет отырған кісілердің таныстарының санына тең болсын.

2 жағдай болуы мүмкін: - басқа ешкіммен таныс емес бір кісі бар

• ондай кісі жоқ

1-ші жағдайда 4-ші торда ешкім жоқ (әйтпесе 4 пен 0-де отырғандар таныс болар еді) және 5 кісі 4-ші торда орналастырылған.

2-ші жағдайда 0-ші тор бос болады, қайтадан 5 кісіні 4-ші «торға» орналастырамыз. Дирихле принципі бойынша бір торда кем дегенде 2 кісі болады.

Өзің шығар!

1. Кез келген тәсілмен 100 адам таңдап алынды. Олардың жоқ дегенде екеуінің таңдап алынғандардың ішінде таныстарының саны бірдей болатынын дәлелде.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Футбол біріншілігіне 10 команда қатысты. Олардың әрбір екеуі

Өзара бір матч ойнау керек. Жарыстың кез келген мезетінде ойнаған матчтарының саны бірдей екі команда болатындығын дәлелде.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________

1. 1-ден 10-ға дейінгі сандар кез келген ретпен бір жолға жазылған және олардың әрқайсысын өзі тұрған нөміріне қосқан.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Жоқ дегенде екі қосындының соңында бірдей цифр тұратындығын дәлелде. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

«Бөлінгіштік»

Есеп: Кез келген 12 натурал санның ішінде айырмасы 11-ге бөлінетін екі санды таңдап алуға болатынын дәлелде.

Шешуі: 11-ге бөлгенде қалдық 0,1,2,3,...,12 сандарының ішінен шығады. 12 сан берілген. Дирихле принципі бойынша 11-ге бөлгенде гі қалдықтың қандай да бір екеуі дәл келеді. Осы екі санның айырмасы 11-ге бөлінеді.

Өзің шығар!

1. Бір жолға 5 натурал сан жазылған: а₁, а₂, а₃, а₄, а₅ Олардың не біреуі 5-ке бөлінеді, не қатар тұрған бірнеше санның қосындысы 5-ке бөлінетінін дәлелде.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Бір жолға n натурал сан жазылған. Олардың не біреуі n -ге бөлінеді, не қатар тұрған бірнеше санның қосындысы n-ге бөлінетінін дәлелде.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Кез келген 52 натурал санның ішінен екі санды, не олардың қосындысы, не олардың айырмасы 100-ге бөлінетіндей етіп, таңдап алуға болатындығын дәлелде.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Дирихле принципін геометрияда қолдану

Есеп: қабырғасы 1 м болатын квалрат ішіне еркін тәсілмен 51 нүкте салынған. Солардың кез келген үшеуін қабырғасы 0,2 м болатын квадратпен жабуға болатындығын көрсет.

Шешуі: квадратты қабырғасы 0,2 м болатын тең кішкентай 25 квадратқа бөлейік. Солардың кемінде біреуінде берілген нүктелердің жоқ дегенде 3-еуі болатынын дәлелдейміз. Дирихле принципі бойынша: егер әрбір кішкентай квадраттағы нүктелер саны 2-ден аспаса онда оның барлығы 50-ден аспайды. (2х25=50)

Өзің шығар!

1. Қабырғасы 1 м болатын квадраттың ішіне 51 нұкте салынған. Солардың кез келген үшеуін радиусы м дөңгелекпен жабуға болатынын дәлелде.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Қабырғасының ұзындығы 1 болатын квадраттың ішінен 101 нүкте еркін алынған. Олардың ешқандай үшеуі бір түзудің бойында жатпайды. Төбесі осы нүктелерде жататын, ауданы

-ден артық емес үшбұрыш бар болатынын дәлелде.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Қабырғасының ұзындығы 1 болатын квадраттың ішінде дөңес 100 бұрыш бар. Төбелері 100-бұрыштың төбелерінде жататын, ауданы 0,0005-ден артық емес үшбұрыш бар болатынын дәлелде.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Бағалау өлшеуіштері

Қорытынды тест

1. Бір кубикті екі рет иіргенде түскен цифрларды ретімен жазғанда пайда болатын екі цифрдың көбейтіндісі 10-ға бөлінетін мүмкіндік нешеу?

Нұсқау: Кубиктің беттерінде 1-ден 6-ға дейінгі цифрлар жазылған.

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12

2. 6х6 шахмат тақтасында бір ақ, бір қара көзден тұратын жұп көзді неше әр түрлі тәсілмен белгілеуге болады? Бір баған немесе бір жол бойында болмайтын мүмкіндіктер саны қанша?

Нұсқау: Ақ көзді таңдау мүмкіндігі 18 болатынын ескер.

a) 18x18, 18x14 b) 18x17, 6x5 c) 18x16, 14x9 d) 18x18, 6x6

3. Екі 0, екі 1, үш 2 цифрларының бәрін керектеніп, 7 таңбалы неше әр түрлі код нөмірін жаза аламыз?

a) b) c) d) 7!

4. 1000-нан артық емес натурал сандардың ішінде 2-мен 3-тің кемінде біреуіне бөлінетін сан нешеу?

a) 334 b) 667 c) 833 d) 167

5. 5 әр түсті ленталардан 3 көлденең жолақтан құралған жалауды әр түрлі неше тәсілмен жасауға болады?

Нұсқау: Әр түрлі үш түспен боялатын және шеткі екеуі бірдей (ортаңғысынан басқаша) болатын екі жағдайды қарастыр.

a) 15 b) 70 c) 60 d) 80

6. 1, 2, 3 цифрларын пайдаланып неше 6 таңбалы сан жазуға болады?

a) b) c) 6! d)

7. c cанының әр түрлі неше бөлгіші болады?

a)  b)  c) 3 d) 

8. 1-ден 20-ға дейінгі сандардан қосындысы 3-ке бөлінетін екі санды неше тәсілмен таңдап алуға болады?

a) 36 b) 190 c) 51 d) 15

9. Әр түрлі 8 кітапты сөреге белгіленген 2 кітап қатар тұрмайтындай неше тәсілмен орналастыруға болады?

a) 6 b)  c)  d) 7!

10. "Математика" сөзінің әріптерінің орнын ауыстыру арқылы неше әр түрлі сөз құрастыруға болады?

a) 10! b)  2! c)  d)  7!

Өздік жұмыс

1- есеп: 1, 2, 3, . . ., 9 сандарынан а) қосындысы 3-ке бөлінетін 7 санды неше әр түрлі тәсілмен таңдап алуға болады. (Сан қайталанбайды, қосылғыштардың орыны ескерілмейді) б) Ол барлық мүмкін жетілік парлардың қанша бөлігін иеленеді.

2- есеп: Ара қашықтықтары әр түрлі 102 қаланың кейбіреулерін орталық етіп, олардың әр қайсысынан оған ең жақын қалаларға кішкене ұшақтар ұшырып, бұл орталық қалалар арасына бір үлкен ұшақ қатынайтындай әуе қатынасын құруға шешім қабылдады. Осы шешімді орындау үшін ең аз және ең көп дегенде неше ұшақ пайдалану қажет.

3 есеп: Бригадада 7 адам бар және олардың жас шамаларының қосындысы332-ге тең. Олардың арасынан жас шамаларының қосындысы 142-ден кем емес

үш адам бар екендігін дәлелде.

4 есеп. Олимпиадада 12 оқушы 36 есеп шығарды, олардың ішінде бір, екі

және үш есеп шығарғандары да бар. Осы оқушылардың арасында кем дегенде

бес есеп шығарған оқушы бар екендігін дәлелде.