Занятие математического кружка по теме:
«Какие же они простые и какие дружественные числа»
Цели: учить детеи? обобщать знания, осмысливать материал, анализировать, наблюдать, делать выводы; содеи?ствовать рациональнои? организации труда, обобщить и систематизировать знания о числах, показать связь теории с практикои?;продолжить подготовку к ОГЭ ( выполнение задании? ,работа по бланкам) .
Тип занятия. Обобщение и систематизация знании? с применением практическои? работы .
Оформление. Высказывание Г. Веи?ля «Простые числа остаются всегда готовыми ускользнуть от исследователя».
Оборудование: таблица простых чисел, портреты Пифагора, Эи?лера, Евклида, Ферма, Чебышева; таблица совершенных чисел, таблица дружественных чисел, раздаточныи? материал с рядами натуральных,дружественных,совершенных чисел.
Математическая разминка
• Сколько хвостов у семи котов? (7) • Сколько носов у двух псов? (2) • Сколько пальчиков на руках у четыре?х мальчиков? (40) • Сколько ушеи? у пяти малышеи?? (10) • Сколько ушек у тре?х старушек? (6) • Сколько у десяти ослов ушеи? и хвостов? (30 = 20 ушеи? + 10 хвостов) • На однои? ноге страус весит 60 кг. Сколько килограммов он весит
на двух ногах? (60 кг) • Трои?ка лошадеи? пробежала 30 км. Сколько километров пробежала
каждая лошадь? (30 км) • В 12 часов ночи иде?т дождь. Можно ли утверждать, что через 48
часов будет светить солнце? Почему? (Нет, так как через 2 суток
будет вновь ночь) • Что тяжелее : килограмм сена или килограмм железа?
(Одинаковыи? вес)
1. Вступительная беседа.
Когда речь иде?т о че?м-нибудь очень прос- том, понятном, мы часто говорим: «Дело ясно, как дважды два - четыре!»
А ведь прежде чем додуматься до того, что дважды два - четыре, людям пришлось учиться много, много тысяч лет. Конечно, это учение шло не за партои?. Человек постепенно учился жить: строить жилища, находить дорогу в дальних походах, обрабатывать землю. И одновременно он учился считать. Потому что даже в самые дале?кие времена, когда люди жили в пещерах и одевались в звериные шкуры, они не могли обои?тись без сче?та и меры. Учиться считать люди начали в незапамятные времена, а учителем у них была сама жизнь. В материальном мире нет предмета, название которого - «число».
«Число – это абстрактное понятие, удачно отображающее некоторые свои?ства реального мира».
В жизненных ситуациях нередко требуется проявить хорошее ощущение числа. Это понятие вырабатывается постепенно и нуждается в тренировке. Полезны разнообразные реализации числа, поражающие воображение даже для самых обыкновенных рядовых чисел.
Например: сердце человека в 1 мину ту делает в среднем 75 биении?, за 75 лет безостановочнои? работы оно делает около 3 000 000 000 биении?!
Математика, как «многолетнии? дуб, раскинула такие могу- чие ветви, что ни один математик, даже «самыи? маститыи?» уже не в силах изучить всю математику в целом, а избирает лишь какую – нибудь ее? ветвь», - говорил А. И.Маркушевич.
Мы сегодня выбрали одну из таких ветвеи? – ветвь простых чисел.
2. Актуализация опорных знании?.
В старину говорили, что умноженье – мученье, а с делением – беда. Тот, кто умел быстро и безошибочно считать, считался боль шим математиком. Ведь в школе тогда учили только сложению, вычи- танию, таблице умножения. Делимость интересовала математиков уже в глубокои? древности. Особое внимание они уделяли простым чис- лам.
Итак, даваи?те вспомним, какие числа называются простыми? Сколько их? Как их наи?ти?(записывается определение простых чисел)
Ученик.
Хорошо бы, если бы эти числа можно было сосчитать! Но это не так. Греческии? уче?ныи? Евклид в своеи? книге «Начала» утверждал следующее: «Самого большого числа не существует». Если бы на ленте, где выписа- ны натуральные числа, в тех местах, где записаны простые числа, за - жечь фонарики, не нашлось бы на ленте места, где была бы сплошная
темнота. Фонарики на ленте расположены очень причудливо. Между ними есть только одно число – че?тное, это – 2, а остальные нече?тные, 2 и 3 последовательные натуральные числа, наименьшие простые – такая пара – единственная, где одно число че?тное, а другое нече?тное.
Два последовательных нече?тных числа, каждое из которых является простым, называются числами – близнецами, например:
11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. 1) Самостоятельная работа по подбору чисел – близнецов.
2) Задание.Решить уравнение и в бланк ответов No1 внести корень , являющии?ся простым числом: 4х2 -20х=0.
(Раздаются таблицы простых чисел)
Учитель. Посмотрите на таблицу простых чисел и наи?дите на неи? еще? числа – близнецы. До сих пор неизвестно, есть ли самые большие числа – близнецы или нет. До сих пор нет ответа на вопрос: существу- ет ли бесконечно много пар простых чисел – близнецов.
Первым глубокие исследования о том, как разбросаны простые числа среди остальных натуральных чисел получил великии? русскии? матема- тик Пафнутии? Львович Чебышев, основатель и руководитель мате матических исследовании? 19 века. До сих пор математики не знают формулы, с помощью которои? можно получить простые числа одно за другим, нет даже формулы, дающеи? только простые числа. Так как прос тые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, то на- до было бы составить их список. Над тем, как составить таблицу прос- тых чисел, задумал ся живущии? в третьем веке до нашеи? эры александ- рии?скии? уче?ныи? Эратосфен.
Имя Эратосфена вошло в науку в связи с методом отыскания простых чисел. В древности писали на восковых табличках острои? палочкои? – стилем, поэтому Эратосфен «выкалывал» составные числа острым кон цом стиля. После выкалывания всех составных чисел таблица напомина- ла решето. Отсюда название «решето Эратосфена».
Метод этот очень прост. Пусть надо наи?ти все простые числа от 2 до 100 и, оставив число 2, выбросим все остальные че?тные числа. Для этого достаточно, начав с числа 3, командовать «раз, два!» и выбрасывать числа, на которые выпадает команда «два!» Первым уцелевшим числом (кроме, конечно, самого числа 2) будет число 3.Теперь, начиная со следую- щего за ним числа 4, будем командовать «раз, два, три!» После этого примемся за следующее уцелевшее число 5 ,и т.д. В конце концов все сос- тавные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые. Сеи?час для такои? работы используют ЭВМ. Уже есть список первых
50 000 000 этих чисел
Таблица простых чисел.
.
Ребята выполняют практическую работу по методу Эратосфена, называют простые числа в пределах 2 десятков, затем проверяют свои ответы по таблице простых чисел(раздаются таблицы простых чисел в пределах )
Интересно, что среди простых чисел различают дружественные числа.
История дружественных чисел веде?т нас из дворца багдадского халифа в современные вычислительные центры.(Раздаются таблицы дружест- венных чисел)
Ученик.
В древности было замечено, что числа 220 и 284 обладают удивитель- ным свои?ством: сумма собственных делителеи? числа 284 равна 220, а сумма собственных делителеи? числа 220 равна 284. Эту пару чисел наз- вали парои? Пифагора. А сами числа дружественными. Отысканием таких пар чисел занимались в разное время различные уче?ные, а занятие отыскания называли охотои? за дружественными числами. Узнать какои? нибудь способ получения дружественных чисел – задача, представляю- щая трудность и в наши дни.
Пифагор наше?л пару 220 и 284 около 500 лет до нашеи? эры, а следующую пару наше?л ибн аль Бана в 1300 году. Декарт свою пару отыскал в 1638 году и до 1750 года непревзои?де?нным рекордсменом в этом старом виде спорта в математике - охоте за дружественными числами – был
Леонард Эи?лер. Он отыскал 59 таких пар. До 1946 года Эскот наше?л 219 пар.
До 1948 года Пуле наше?л 108 пар, а в 1972 году Эдвином Дж. Ли было наи?дено 390 пар. Но этот уче?ныи? прибегнул к помощи ЭВМ. В настоящее время известно около 1100 пар дружественных чисел.
Математическая пауза. Разгадывание ребусов (см.приложение)
Учитель.
Не менее интересным свои?ством обладают другие числа. Еще? в древнос- ти было замечено, что существуют числа, равные сумме своих делите- леи?, кроме самого себя.
Делители числа 6 – это числа 1, 2, 3, 6.Нетрудно проверить, что их сум- ма без самого числа 6 равна 6. Делители числа 28 – числа – 1, 2, 4, 7, 14, 28. И здесь проверкои? легко установить, что сумма всех делителеи? без самого числа 28 равна 28.
Наи?дите делители числа 496 и проверьте, обладает ли оно таким свои?ством.
А вот сделать подобную проверку для числа 33 550 336 без микрокалькулятора уже сложно.
Ученик.
Античные математики считали очень важным рассматривать число вместе с его делителем. При этом в качестве меры использовалось не количество, а сумма собственных делителеи?, которую сравнивали с чис- лом.
Делители числа 10 - 1, 2, 5. Их сумма равна 8, считали, что это недос- таток, т. к. 8 меньше 10. Делители числа 12 – 1, 2, 3, 4, 6. Их сумма равна 16, что считали избытком. А числа, у которых сумма делителеи? равна самому числу, особенно ценили и называли совершенными.
Точно неизвестно, где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они уже были известны в Древнем Вавилоне и Древнеи? Греции. Во всяком случае до пятого века нашеи? эры в Египте был известен пальцевои? сче?т, при котором на руке безымянныи? палец заги- бался, если число было совершенным, поэтому
безымянныи? палец получил привилегию носить на себе кольцо.
Учитель.
О дружественных и совершенных числах современники вспоминают с улыб- кои?, как о детском увлечении, а введе?нные Пифагором понятия простого и составного числа являются до сих пор предметом исследовании?.
Приложение.
1) 1)Краткая таблица дружественных чисел
Ниже приведены все пары дружественных чисел, меньших 100 000.
220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.) 1184 и 1210 (Паганини, 1860) 2620 и 2924 (Эи?лер, 1747) 5020 и 5564 (Эи?лер, 1747)
6232 и 6368 (Эи?лер, 1750) 10744 и 10856
(Эи?лер, 1747) 12285 и 14595 (Браун, 1939)
17296 и 18416 (Ибн ал-Банна, около 1300, Фариси, около 1300, Ферма, Пьер, 1636)
63020 и 76084 (Эи?лер, 1747) 66928 и 66992 (Эи?лер, 1750)
67095 и 71145 (Эи?лер, 1747) 69615 и 87633 (Эи?лер, 1747)
79750 и 88730 (Рольф (Rolf), 1964)
2)Совершенные числа образуют последователь ность:6;28;496;8128;33550336;8589869056;
137438691328;2305843008139952128;...
Примеры.
1-ое совершенное число- 6 имеет собственные делители :1;2;3. Их сумма равна 6.
2-ое совершенное число - 28 имеет собствен- ные делители: 1;2;4;7;14. Их сумма- 28.
3-тье совершенное число 496 имеет собствен-
ные делители:1;2;4;8;16;31;62;124;248. ИХ су-
ма- 496
4-ое совершенное число -8128имеет собствен- ные делители :1;2;4;8;16;32;64;127;254;508;
1016;2032;4064. Их сумма равна 8128.
3) РЕБУСЫ. 1бор(разбор) ; 1ум(разум); ф1а(фраза) ;по2л (подвал); за1ка(заколка); ш1а(школа);
с3жи(стрижи); 2д(парад).
