Задания по математике для подготовки к ЕГЭ. "Объемы многограников"

Объем прямоугольного параллелепипеда

1 вариант

1. Изобразить прямоугольный параллелепипед. Записать формулу объема.

2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина - 7 см, а диагональ - 11 см.

3. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ которого равна 6. Через диагональ основания и противолежащую вершину верхнего основания проведена плоскость под углом 45° к нижнему основанию. Найдите объем параллелепипеда.

4. Площадь полной поверхности куба равна 150 см². Найдите объем куба.

5. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 8. Через диагональ основания проведена плоскость, параллельная диагонали параллелепипеда. Проведенная плоскость составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

6. Найдите площадь диагонального сечения куба, если его объем равен .

7. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 2. Эта диагональ составляет с боковой гранью, содержащей сторону, равную 1, угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

8. Ребро куба равно 3 см. Найдите сторону квадрата, равновеликого данному кубу.

9. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся, как 1:2:3, а его объем равен 96 см³. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

10. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 12 см, диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда

2 вариант

1. Изобразить прямоугольный параллелепипед. Записать формулу объема.

2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, длина которого равна 2 см, ширина - 6 см, а диагональ - 7 см.

3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равна 12, она составляет угол 30° с плоскостью боковой грани. Найдите объем параллелепипеда.

4. Объем куба равен 27 см³. Найдите площадь полной поверхности куба.

5. Через диагональ основания и вершину В₁ прямоугольного параллелепипеда АВСDA₁B₁C₁D₁ проведена плоскость, удаленная от вершины В на расстояние, равное 2,4. Найдите объем параллелепипеда, если АВ = 6, ВС = 2,4√5

6. Найдите объем куба, если площадь его диагонального сечения равна 2.

7. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 4. Эта диагональ составляет с боковой гранью, содержащей сторону, равную 2, угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

8. Сторона квадрата равна 3 см. Найдите ребро куба, равновеликого данному квадрату.

9. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся, как 1:2:3, площадь его боковой поверхности равна 36√2 см². Найдите объем параллелепипеда.

10. Боковое ребро и одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны соответственно см и 16 см, его диагональ составляет с плоскостью основания угол в 30°. Найдите объем параллелепипеда.

Объем прямой призмы

1 вариант

1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2√3 см, а высота – 5 см. Найдите объем призмы.

2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна √3 см. Через сторону основания и противолежащую вершину верхнего основания проведена плоскость, которая находится под углом 45° к основанию. Найдите объем призмы.

3. Основанием прямой призмы является ромб, сторона которого равна 13 см, а одна из диагоналей – 24 см. Найдите объем призмы, если диагональ боковой грани равна 14 см.

4. Найдите объем правильной шестиугольной призмы со стороной основания, равной 2, и высотой, равной √3.

5. Основание прямой призмы служит треугольник со сторонами 10, 10, 12. Диагональ меньшей боковой грани составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем призмы.

6. Основание прямой призмы – параллелограмм, диагонали которого пересекаются под углом 30°. Найдите объем призмы, если площади его диагональных сечений равны 16 см² и 12 см², а высота равна 4 см.

7. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник. Катеты основания и боковое ребро относятся между собой, как 3:4:4. Объем призмы равен 24. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

8. Найдите объем прямой призмы АВСА₁В₁С₁, если ВАС = α, АС = а, ВС₁ составляет с плоскостью основания угол β.

Объем прямой призмы

2 вариант

1. Боковое ребро правильной треугольной призмы равна 4√3 см, сторона – 5 см. Найдите объем призмы.

2. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 см. Через сторону основания и противолежащую вершину верхнего основания проведена плоскость, которая находится под углом 60° к основанию. Найдите объем призмы.

3. Основанием прямой призмы АВСDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм АВСD, АВ = 12 см,

АD = 15 см, DС₁ = 13 см. Найдите объем призмы, если ВАD = 45°.

4. Найдите объем правильной четырехугольной призмы со стороной основания, равной 2, и высотой, равной √3.

5. Основание прямой призмы служит треугольник со сторонами 5, 5, 6. Диагональ меньшей боковой грани составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем призмы.

6. Основание прямой призмы – параллелограмм, диагонали которого пересекаются под углом 60°. Найдите объем призмы, если площади его диагональных сечений равны 18 см² и 24 см², а высота равна 3 см.

7. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник. Катеты основания и боковое ребро относятся между собой, как 3:4:2. Объем призмы равен 96. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

8. Найдите объем прямой призмы АВСА₁В₁С₁, если АСВ = 90°, САВ = α, ВС = а и двугранный угол АВСА₁ равен φ.

Объем пирамиды

1 вариант

1. Найдите объем правильного тетраэдра, если его ребро равно 2√2 см.

2. Найдите объем правильной четырёхугольной пирамиды, если все ее ребра равны 2√2 см.

3. Найдите объем усеченной пирамиды, площади оснований которой равны 3 см² и 12 см², а высота равна 2 см.

4. Основанием пирамиды МАВС служит треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 12 см,

АС = 13 см. Найдите объем пирамиды, если МВ⊥АВС и МВ = 10 см.

5. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.

6. Объем правильной треугольной пирамиды равен 6. Найдите угол между высотой и боковым ребром пирамиды, если сторона основания равна 2√3.

7. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 4 см, а сторона основания – 2 см. Найдите объем пирамиды.

8. В каком отношении параллельная основанию плоскость делит объем пирамиды, если она делит высоту в отношении 2:3?

9. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом α. Все боковые ребра наклонены к основанию под углом β. Найдите объем пирамиды.

Объем пирамиды

2 вариант

1. Объем правильного тетраэдра равен 9 см³. Найдите его ребро.

2. Найдите ребро правильной четырёхугольной пирамиды, если ее объм равен 18 см³, а все ребра имеют одинаковою длину.

3. Найдите объем усеченной пирамиды, площади оснований которой равны 28 см² и 7 см², а высота равна 3 см.

4. Основанием пирамиды SKLM служит треугольник со сторонами KL = 9 см, KM = 15 см,

LM = 12 см. Найдите объем пирамиды, если SK⊥MKL и SK = 4 см.

5. Основанием пирамиды служит ромб с углом 30° и стороной, равной 2√3. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите объем пирамиды.

6. Объем правильной треугольной пирамиды равен 3. Найдите угол между высотой и апофемой пирамиды, если сторона основания равна 2√3.

7. В правильной шестиугольной пирамиде апофема и сторона основания равны 6 см. Найдите объем пирамиды.

8. В каком отношении параллельная основанию плоскость делит объем пирамиды, если она делит высоту в отношении 3:4?

9. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой р и острым углом φ. Все боковые ребра образуют с высотой угол α. Найдите объем пирамиды.