"ықтималдықтың классикалық анықтамасын математикалық сауаттылық есептерінде қолдану"

Математикалық сауаттылық есептері оқушыларға теориялық білімдерін тәжірибе барысында қолдануға көмекші. Осы есептердің басым көпшілігі математиканың ықтималдықтар теориясы бөлімінің тақырыптарына байланысты болып отыр. Оқушылардың білім деңгейін арттыру барысында «Оқиға және оның түрлері», «Ықтималдықтың классикалық анықтамасы» тақырыптарын қарастырайық.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«"ықтималдықтың классикалық анықтамасын математикалық сауаттылық есептерінде қолдану"»

ЫҚТИМАЛДЫҚТЫҢ КЛАССИКАЛЫҚ АНЫҚТАМАСЫН МАТЕМАТИКАЛЫҚ САУАТТЫЛЫҚ ЕСЕПТЕРІНДЕ ҚОЛДАНУ

Манапова Ш.А., Тоқтарғазинова Р.М.

Семей қаласының Шәкәрім атындағы мемлекеттік университеті, Семей қаласы

Тиынды теп-тегіс еденге лақтырайық, сонда мына төмендегі құбылыстарды байқаймыз. Тиынды лақтыру үшін өзімізді белгілі бір қалыпқа келтіреміз. Одан соң бас бармақпен тиынның бір ұшын жоғары қарай түртіп жібереміз. Сонда ол шыр көбелек айналып, белгілі бір биіктікке дейін көтеріліп, төмен қарай құлдилап, еденге түседі де, бірнеше рет секіректеп, жалпағынан не сан жағы, не елтаңба жағы жоғары қарап жатады. Сайып келгенде, тиын жалпағынан жатуы үшін көптеген әрекеттер жасалады, солардың жиыны комплексті шарт деп аталады. Оның сан (не елтаңба) жағының жоғары түсуі – осы комплексті шарттың орындау нәтижелері оқиғалар болып табылады. Әдеттте оқиғаларды үлкен әріптер А, В, С, ... арқылы, ал бұларға қарама-қарсы оқиғаларды , , , ... арқылы белгілейміз. Мысалы, теңгенің «сан» жағының пайда болуы А оқиғасы болса, «елтаңба» жағының пайда болуы оқиғасымен белгіленді және т.с.с.

1-мысал. Сыныптан тандалған кез келген бір оқушының биология пәннен алған бағасы жақсы болуы А оқиғасы, орташа болуы В оқиғасы, нашар болуы С оқиғасы болсын. А+В, , АВ, АС оқиғаларын сипаттап беру керек.

Шешуі. А+В оқиғасы А не В оқиғаларының кемінде біреуінің пайда болатынын көрсетеді. Сондақтан оқиғасы А+В оқиғасына қарама-қарсы оқиға, ол – баланың нашар оқитынын көрсететін С оқиғасы, яғни =С. Осы сияқты =В болады. АВ оқиғасы – мүмкін емес оқиға, өйткені оқушының алған бағасы бірден жақсы да, орташа да болуы мүмкін емес. Осы сияқты АС да мүмкін емес оқиға.

Оқиға

Ақиқат оқиға деп тәжірибе барысында міндетті түрде орындалатын оқиғаны айтады. Мысалы, жаз мезгілінен кейін күз мезгілі келеді; қазіргі заманда барлығы сымсыз ұялы телефон қолданады; ойын сүйегін лақтырғанда бір, екі, үш, ..., алты ұпайының біреуінің түсуі ақиқат оқиға болады. Егер ойын сүйегінің алтыдан көп ұпай түсуі болса, ол мүмкін емес оқиға болады.

Кездейсоқ оқиға бұл алдын-ала болжауға болмайтын сынақ нәтижесі, бұл оқиға болады ма, жоқ па, ол туралы айту мүмкін емес немесе егер оқиға орын алса, онда бұл оқиғаның нәтижесі қандай мәнге ие болатыны белгісіз. Мысалы, нысанға бір рет оқ атқандағы мүмкін оқиғалар: А – нысанға тиеді, В – нысанға тимейді. Нәтижесінде не А не В пайда болуы мүмкін.

Сынау нәтижесінде оқиғаның (А оқиғасы) пайда болу мүмкін болмаса, ондай оқиғаны мүмкін емес дейді. Мысалы, қаңтар айынан кейін наурыз айы келеді; кактус жаңбырлы жерлерде өседі; «интеграл» ұғымымен оқушылар 6 сыныпта танысады.

Кейдейсоқ оқиғалар үйлесімді, үйлесімсіз, жалғыз ғана мүмкіндікті және теңмүмкіндікті оқиғалар болып бөлінеді.

Үйлесімді оқиға деп тәжірибе нәтижесінде бір мезгілде бірге пайда болатын оқиғалар айтады. Мысалы, екі оқты бір рет атқанда оқтардың бірыңғай тиюі не бірыңғай тимеуі; екі тиынды лақтырғанда тиынның елтаңба жағымен не цифр жағымен түсуі; тауарлардың бір зауыттан жасалуы; қоржында фигуралардың бірдей алтыбұрыш табылуы.

Үйлесімсіз оқиға деп тәжірибе нәтижесінде бір мезгілде бірдей бола алмайтын оқиғаларды айтады. Мысалы, нысанға бір рет оқтарды атқанда оқтардың тиюі және тимеуі; тиындарды бір рет лақтырғанда елтаңбаның және цифрдың пайда болуы; ойын сүйегін бір рет лақтырғанда бір, екі, үш, ..., алты ұпайының бір уақытта пайда болуы; жәшікке салынған шарлардың әр түрлі түсті болуы.

Оқиғалар жалғыз ғана мүмкіндікті деп аталады, егер тәжірибе нәтижесінде олардың ең болмағанда біреуі міндетті түрде орындалса. Ал, оқиғалардың пайда болу мүмкіндіктері бірдей болса, онда оны теңмүмкіндікті оқиғалар деп атайды. Мысалы, екі лотерея билет сатып алынса, оның мүмкін оқиғалары мыналар: А – бірінші билет ұтысты, ал екінші билет ұтысты емес; В – бірінші билет ұтысты емес, екінші билет ұтысты; С – екі билетте ұтысты; D – екі билетте ұтысты емес. Осы оқиғалардың ішінде тек қана біреуі орындалса, ол – жалғыз ғана мүмкіндікті оқиға болады.

Француз ғалымы Пьер-Симон Лаплас (1749-1827) алғаш болып ықтималдықтың классикалық анықтамасын берген. Ықтималдықтың бұл анықтамасы тек қана теңмүмкіндікті оқиғалар кеңістігінде қарастырылады.

Анықтама. А оқиғасына қолайлы элементар оқиғалар санының (m) сынаудың теңмүмкіндікті барлық элементар оқиғалары санына (n) қатынасын А оқиғасының ықтималдығы деп атайды. А оқиғасының ықтималдығы: формуласымен есептеледі. Мұндағы, m – оқиғаға қолайлы нәтижелер сан болса, n – сынаудың барлық нәтижелар саны.

Қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең, яғни болады.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы өз уақытында ықтималдықтар теориясын құруға негіз болды. Ықтималдықтарды есептеу сынаудың жалпы саны мен оқиғаның пайда болуына қолайлы нәтижелер санын анықтауға тіреледі, бұл көп жағдайда үлкен қиындыққа ұшыратады. Оның үстіне, тәжірибеде кездесетін оқиғалар күрделі болып келеді де, олардың ықтималдығын табу үшін, ол оқиғаларды бірнеше қарапайым оқиғалардың қосындысы не көбейтіндісі түрінде жазып, солардың ықтималдықтары арқылы күрделі оқиға ықтималдығын анықтайды. Сондықтан да қарастырып отырған оқиға ықтималдығын екінші ықтималдық арқылы табудың маңызы өте зор. Ол үшін негізінен ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларын пайдаланады. Енді ықтималдықтың классикалық анықтамасын пайдалана отырып, оларды есептеуге бірнеше мысалдар келтірейік.

2-мысал. Жәшікте бірдей 20 шар бар. Оның 6 ақ шар, 4 көк шар, 10 қызыл шар. Жәшіктен кез келген бір шар алынады. Алынған шар а) ақ шар (А оқиғасы); ә) қызыл шар (В оқиғасы); б) көк шар (С оқиғасы) болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. а) Шарлардың үлкендігі және салмағы бірдей болғандықтан, олардың шығу мүмкіндіктері де бірдей. Элементар оқиғалар саны n=20. А оқиғасына (ақ шардың шығуы) қолайлы элементар оқиғалар саны m=6. Демек,оның ықтималдығы: . Қалғандарын да осылай анықтаймыз, сонда ә) Р(В)=0,5; б) Р(С)=0,2.

3-мысал. Ойын сүйегі лақтырғанда 1-ден 6-ға дейінгі цифрлар түседі, жұп санның түсу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. А – жұп сандардың түсу ықтималдығы. Берілген барлық сандар: {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ал жұп сандар: {2, 4, 6}. Сонымен 6 барлық сандар саны және 3 жұп сандар саны бар. Сонда болады.

4-мысал. Екі ойын сүйегі бір мезгілде лақтырылғанда түскен ұпайлар санының қосындысының 2-ге (3-ке, 4-ке, 5-ке, 6-ға, 7-ге, 8-ге, 9-ға, 10-ға, 11-ге, 12-ге) тең болу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. Бірінші ойын сүйегінде 1, 2, 3, 4, 5, 6, ал екіншісінде де 1, 2, 3, 4, 5, 6 ұпай сандары бар. Екі ойын сүйегі лақтырылса, онда барлық сынаудың нәтижелер саны 36-ға тең.

Қосындысы	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	1+1	1+2 2+1	1+3 2+2 3+2	1+4 2+3 3+2 4+1	1+5 2+4 3+3 4+2 5+1	1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1	2+6 3+5 4+4 5+3 6+2	3+6 4+5 5+4 6+3	4+6 5+5 6+4	5+6 6+5	6+6
	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
	36	36	36	36	36	36	36	36	36	36	36

5-мысал. Қызыл, жасыл, көк, сары түсті шарлардың барлық саны 70. Қызылдан басқа шарлар саны 45, жасылдан басқа шарлар саны 50, көктен басқа шарлар саны 55. Осы шарлардың ішінен кездейсоқ алынған бір шардың сары түсті болу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. А – кездейсоқ алынған бір шардың сары түсті болуы. Қ – қызыл, Ж – жасыл, К – көк, С – сары деп белгілеп алайық. Есептің шартын жазайық: Қ+Ж+К+С=70, Қ+45=70, Ж+50=70, К+55=70. Әр шардың санын есептеп шығарайық: Қ=25, Ж=20, К=15. Сары шардың саны: С=70-( Қ+Ж+К)=70-60=10. Сары болу ықтималдығы: .

6-мысал. Қорапта 5 көк, 4 ақ және 6 сары түсті шар бар. Оларды араластырып, қарамай алынған шардың әр түрінен міндетті түрде екі-екіден болу үшін, кем дегенде неше шар алу керек.

Шешуі. Барлық 6 сары шар мен 4 ақ шар аламыз. Көк шардан 2-еу алу керек болады. Сонда көк, ақ және сары түстердің екі-екіден шығу шарты орындалатынын көреміз. Кем дегенде 12 шар алу керек.

7-мысал. Әлішердің 6 жұп көк және 6 жұп қара шұлығы бар. Өте қажет жағдайда бөлмеде жарық сөніп қалғанда, қараңғыда міндетті түрде 2 бір түсті шұлық алып шығу үшін Әлішер кемінде неше шұлық алу керектігін табыңыз.

Шешуі. А – 12-і көк шұлықтан 1-еу және 12-і қара шұлық ішінен 2-еу шығуы; В – барлық 24 шұлықтың ішінен 2 көк және 1 қара шұлық шығуы. А не В оқиғаларында міндетті түрде 2 бір түсті шұлық алып шығу шарты орындалып тұр. Сонда Әлішер кемінде 3 шұлық алу керек.

8-мысал. Ыдыста 4 қияр, 5 қызанақ және 2 пияз салынған. Аспаз ыдыстан қарамай алған көкөністердің кем дегенде әр түрінен міндетті түрде бір-бірден алу үшін ең кем дегенде қанша көкөніс алуы керек екенін табыңыз.

Шешуі. Аспаз алдымен ең көп көкеністі алу керек болады, яғни 5 қызанақты. Кейін 4 қиярды алады, соңында 1 пияз алғанда ғана көкөністердің кем дегенде әр түрінен міндетті түрде бір-бірден болу шығады. Барлық 10 көкөніс алуы керек болады.

9-мысал. Қорапқа 250 бірдей бұйым салынған. Алынған кезде кез келген бұймның жарамсыз болу ықтималдығы 0,04-ке тең. Қорапта неше жарамсыз бұйым бар екенін анықтаңыз.

Шешуі. , болады. = = . Жарамсыз бұйым саны 10-ға тең.

10-мысал. Кітапта 120 бет бар. Осы кітаптың кездейсоқ ашылған бетінің реттік нөмірі 2 санына аяқталу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. 2 санымен ақталған сандар тізбегі: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102, 112. Осы сандардың жалпы саны 12-ге тең. Кітаптың нөмірі 2 санына аяқталу ықтималдығы: .

11-мысал. Қапта 1-ден 40-қа дейін нөмірленген жетондар бар. Қарамай алынған жетонның бір ғана 3 цифры кездесетін санмен нөмірленген болу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. 3, 13, 23 және 30-39 аралығындағы сандар 3 цифрымен нөмерленген, бірақ бір ғана 3 цифры кездесетін сандар керек болғандықтан тізілген сандар ішінден 33 санын алып тастаймыз: (3+10)-1=12. Қарамай алынған жетонның бір ғана 3 цифры кездесетін санмен нөмірленген болу ықтималдығы: .

12-мысал. Карточкаларға 20-ға дейінгі (20-ны қоса алғанда) натурал сандар жазылдан. Мұғалімнің қарамай алған карточкадағы санның тақ сан болу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. 4-ден 20-ға дейінгі тақ сандар саны 10-ға тең. Карточкадағы санның тақ сан болу ықтималдығы: .

13-мысал. Еркін ойдан үш таңбалы санды жазды. Осы санның 1 цифрынан басталып 6 цифрымен аяқталған сан болатындағының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. Барлық үш таңбалы сандардың жалпы саны 900-ға тең. Ал Еркіннің ойлаған саны 1у6 саны болса, у-тің орнына 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 сандарын қоюға болады. Қолайлы нәтижелер саны 10-ға тең. Сонда болады.

14-мысал. Дорбада 5 ақ, 5 көк, 5 қызыл шар бар. Дорбадан бір шар алынды. Алынған шардың қызыл болмау ықтималдығы анықтаңыз.

Шешуі. 1-тәсіл. А – қызыл шардың пайда болмауы. Дорбадағы барлық шарлар саны 15-ке тең. Сары шарды алмасақ, қалған шарлардың саны: А+К=5+5=10. .

2-тәсіл. А – қызыл шардың пайда болуы: .

15-мысал. Жәшікте 9 шар бар. Шарлардың 2-еуі ақ, 3-еуі қызыл және 4-еуі жасыл. Кез келген бір шар алсақ, оның ақ түсті болмау ықтималдығы табыңыз.

Шешуі. А – қызыл шардың пайда болуы; В – жасыл шардың пайда болуы; С – алынған шардың ақ түсті болуы. Сонда олардың ықтималдығы: ; ; . С оқиғасы орындалмау керектігінен А және В оқиғалары ғана орындалу керектігі шығады: . А және В оқиғалары үйлесімсіз болғандықтан қосу теоремасын қолданайық: . Ақ түсті шардың болмауын мына түрде де есептеп алуға болады, ол: .

Мектеп математика курсын меңгеруде оқушылардың алған білімдерін өмірде қолдана алуға бейімдеудің аса маныздылығы артып отыр. Оқушылардың физиологиялық ерекшеліктеріне қарай оқуға деген ынтасын жоғарлату үшін әр түрлі мысалдар қолдану тиімдірек болмақ. Егер оқушы елестету, талдау, қолдану жүргізсе ғана тиімді нәтиже аламыз.

Қолданылған әдебиеттер тізімі

В.Б.Монсик, А.А.Скрынников. Ықтималдық және статистика: Оқулық / Ауд. С.Ж.Қабақбаев. – Алматы: MV-Print, 2012. – 425 бет.
В.Е.Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. Издание 4-е, дополненное. Учеб. Пособие для вузов. Москва: «Высшая школа», 1972. – 368 с.
Қ.Б.Бектаев.Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика. – Алматы: Рауан, 1991.
А.Е.Әбілқасымова, Т.П.Кучер, В.Е.Корчевский, З.Ә.Жұмағұлова. Алгебра және анализ бастамалары: Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытында 9-сыныбына арналған оқулық. 2-бөлім. – Алматы: Мектеп, 2019. -152 б., сур.