"Великое искусство и жизнь Джероламо Кардано" проект по математике

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №5»

456040 г. Усть-Катав тел./факс (835167) 3-01-03 МКР-2, д.18 E-mail:[email protected]

Индивидуальный проект

Тип: Информационно-познавательный

Великое искусство и жизнь

Джероламо Кардано

Выполнил: Кузин Андрей

обучающийся 10 класса

Наставник: Поздеева Л.И.

Усть-Катав

2021 год

Содержание:

1. Цель проекта. Задача........................................................................................3

2. Актуальность проекта……………………………………………….………4

3.ДжероламоКардано. Биография……………………………………….…….5

1. Краткая биография Д. Кардано………………………………….….5

2. Изобретения в технике……………………………………….……….7

3. Математические работы Д. Кардано…………………………….…9

4.Характеристика «решетки Кардано»…………………………………...…13

5.Свойства поворотной решетки……………………………….………...….14

6.Формула Кардано: история и применение…………………….……..…..15

1. Несколько слов из истории формулы кубических уравнений…………………………………………………………15

2. Математические споры (диспуты) в среднеи века…….…….17

3. Формула Кардано………………………………………..………21

4. Примеры универсальных способов решения кубических уравнений………………………………………………………….23

7.Кубические уравнения и способы его решения…………………..…..…..16

1. Примеры решения……………………………………………………..28

8. Приложение……………………………………………,…………………….30

9. Вывод………………………………………………………………………….34

10. Литература………………………………………………………..…………35

Цель работы:

Узнать о жизни Джероламо Карадано и о влияние его исследований на математику.

Задача:

• Разобрать решение уравнений по способу Джероламо Кардано

• Проанализировать вклад Д. Кардано в развитие математики, криптографии, техники.

Актуальность проблемы

Меня заинтересовало что, Джероламо Карданов учился в университете Павии на медицинском факультете, занимался сначала исключительно медициной. И через несколько лет стал профессором по математике. Данная работа открывает перед учащимися уникальную возможность научиться решать уравнения по способу Кардано.

ДжероламоКардано. Биография

Краткая биография Д. Кардано

24 сентября 1501 года в Павии родился будущий итальянский математик, механик и врач Кардано Джироламо (Джеронимо или Иеронимус). Кардано получил образование в университетах Павии и Падуи. В 1534  г. стал профессором математики в Милане и Болонье.

В 1539 его приняли в Коллегию врачей, специально изменив для этого правила приема. Вскоре Кардано стал ректором Коллегии и знаменитым врачом. Слава Кардано - врача была несомненной: его приглашали лечить таких знатных особ, как шотландский архиепископ Гамильтон, кардинал Марон и т.д.

В свободное время Кардано занимался самыми разными вещами. Так, его книга «О тонких материях» служила популярным учебником по статике и гидростатике в течение всего XVII в. Указаниям Кардано на возможность использования частоты собственного пульса для измерения времени последовал Галилей. Известны рассуждения Кардано о создании вечного двигателя, о различии между электрическим и магнитным притяжением.

Ученый занимался экспериментальными исследованиями и конструированием различных механизмов.

Кардано был страстным любителем азартных игр. Результатом этого увлечения книга «Об азартных играх» содержащая начала теории вероятности, формулировку закона больших чисел, некоторые вопросы комбинаторики. И хотя в нём Кардано допустил немало ошибок, это один из первых серьёзных трудов по комбинаторике и теории вероятностей.

Публикация книги «Великое искусство, или О правилах алгебры» вызвала знаменитую тяжбу Кардано относительно приоритета в решении кубических уравнений с Никколо Тартальей, лектором из Венеции. Способ решения кубических уравнений был найден СципиономдельФерро из Болоньи еще в 1515году. В 1535 Тарталья независимо от него изобрел свой метод и сообщил о нем Кардано, взяв с последнего клятву сохранить открытие в тайне. Тем не менее Кардано опубликовал в своей книге все известное ему о кубических уравнениях, заявив, что знал о содержании работы Ферро и это освобождает его от всех обязательств по отношению к Тарталье. В 1546 Тарталья обвинил Кардано в вероломстве. Тяжба окончилась после публичного диспута в 1548, в котором интересы Кардано представлял Феррари.

Последние годы жизни Кардано были омрачены трагическими событиями. Его сын, тоже миланский врач, был казнен в 1560 за отравление неверной жены. В 1562 Кардано был назначен профессором в Болонью, где его в 1570 арестовала инквизиция. В чем он обвинялся, точно не известно. Приговор был относительно мягким, но ему запрещалось публиковать своисочинения. Остаток жизни он провел в Риме, пытаясь добиться прощения.

Существует легенда, что Карданодаже вычислил день своей смерти. Когда «пришёл» день вычисленной смерти, Кардано отравил себя, чтобы доказать правильность расчётов.

В автобиографии, составленной на склоне лет, Кардано так пишет о себе: «Цель, к которой я стремился, заключалась в увековечении моего имени, поскольку я мог этого достигнуть, а вовсе не в богатстве или праздности, не в почестях, не в высоких должностях или власти».

Умер Кардано в Риме 20 сентября 1576.

(Приложение 1)

Изобретения в технике

В книгах «О тонких материях» и «О разнообразии вещей» он обсуждал устройство и принцип действия огромного числа механизмов, аппаратов, машин и сооружений.

Например, Кардано принадлежит также целый ряд мелких изобретений:

• масляный светильник с автоматической подачей масла,

• замок «с секретом»,

• дымоход, в котором проделаны отводящие трубы (по две на каждую сторону света) так, чтобы при «противных ветрах» дым мог выходить в соответствующие отверстия,

• камера – обскура с установленной линзой у выходного отверстия и т.д.

Он описал четыре вида «сосудов для перегонки», различных в зависимости от сжигаемого и перегоняемого материала, от формы трубок и их расположения и т. д.; способ изготовления бутылок повышенной прочности; методы конструирования сводов; машины для подъема грузов и затонувших кораблей, принципы устройства шлюзов, планы фортификационных укреплений; «водоподъемные машины» - насос Ктезибия, насос с полым поршнем, архимедов винт и «аугсбургскую машину», состоящую из ряда таких винтов; устройства водостоков и отхожих мест; машину для просеивания муки - одно из первых производственных средств автоматизации; ветряные мельницы и многое другое.

В области механики Кардано занимался теорией рычагов и весов. Он изобрел шарнирный механизм, предназначенный для передачи вращения между пересекающимися осями, названный впоследствии карданным механизмом. Ему принадлежит изобретение устройства, позволяющего сохранить неизменным положение тела при любых поворотах кинематической системы. С именем Кардано связаны такие понятия, как карданный вал и карданная передача автомобиля.

В книге «О тонких материях» он описал «повозку императора», в которой сиденье устанавливалось на специальной подвеске, так что сиятельное тело сохраняло неизменное положение при езде по наклонным или ухабистым дорогам. Почти четыре века спустя об изобретении Кардано вспомнили автомобилестроители.

Особый интерес для Кардано представляли различные способы передачи движения и часовые механизмы. Он исследовал и описывал зубчатые, корончатые и червячные зацепления, канатные передачи, передачи гибкими нитями; приводил определение передаточного числа и пользовался им при подсчете чисел зубьев в зубчатой передаче; сообщал способы преобразования поступательного движения во вращательное и наоборот в насосах и воздуходувных машинах», приводил методику нарезания зубьев; сформулировал правила построения часовых механизмов с подробным описанием часовых пружин и баланса.

Он указывал, что добиться равномерности хода часов на протяжении суток невозможно: зубья колес неодинаковы, а натяжение пружины вначале сильнее, чем в конце. Грязь и пыль со временем ослабляют пружину, поэтому все часовые механизмы со временем идут медленнее и ни один не движется быстрее.

(приложение 2)

Математические работы Д. Кардано

Математические работы Кардано - «Практика общей арифметики и простые измерения», «Великое искусство, или о правилах алгебры», «Правила Анализа», «Великое искусство арифметики», «Новое сочинение об отношениях чисел», «Об игре в кости» и т.д.

Анализ этих работ представляет немалые трудности, так как Кардано писал почти обо всем, что знала математика Возрождения, перемежая новые, собственные, результаты с теми, которые уже были полученыдругими авторами. Однако, ни в одной из областей математики его достижения не являются столь весомыми и неоспоримыми, как в алгебре: даже многочисленные враги и критикине отказывали ему в славе крупнейшего алгебраиста XVI века.

В первой главе «Великого искусства» Кардано называл создателем алгебры «Мохаммеда, сына араба Мусы». Совершенно очевидно, что он имел в виду великого арабского ученого Абу Абдулла Абу Джафар Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (787 - ок. 850), написавшего в 820 году «Краткую книгу об исчислении ал-джабры и ал-мукабалы».Название трактата ал-Хорезми соответствует методам решения уравнений: ал-джабр(восстановление, араб) означает перенос отрицательных членов из одной части уравненияв другую, но уже с положительным знаком, действие ал-мукабалы (противопоставление,араб) заключается в приведении подобных членов, то есть сокращении равных членов вобеих частях уравнения.

Выполнив, например, преобразования уравнения х ² + 2х - 5х = 4

(х² + 2х = 4 + 5х и х² = 4 + 3х), мы произведем операции ал-джабр и ал-мукабала соответственно. В «Краткой книге» содержались методы решения уравнений первой и второйстепени, которые автор приводил в числовой форме, но сопровождал геометрическимидоказательствами, заимствованными арабской наукой у древних греков. Сочинение «Мухаммеда, сына араба Мусы», переведенное на латинский язык, пользовалось большой известностью в средневековой Европе. Поначалу переводчики полностью переписывали заглавие «Краткой книги», но постепенно вторая часть стала воспроизводиться все реже и,наконец, совсем исчезла. Осталось только слово «ал-джабр», которое затем превратилосьв «алгебру».

Основная алгебраическая проблема, занимавшая Кардано, - нахождение способов решений уравнений третьей и четвертой степеней. В соответствии с математическими традициями своего времени он рассматривал только уравнения с положительными коэффициентами, поэтому, например, уравнение x³ + qx + r = 0 распадалось у него на три отдельныхслучая:

• x³ + qx = r;

• x³ = qx + r;

• x³ + r = qx

Эти уравнения вслед за Кардано мы будем называл «уравнениями Тартальи».

Крометого, он следил, чтобы коэффициент при старшей степени неизвестной был равен единице.

Кардано удалось справиться лишь с уравнениями частного вида, но методы, которые он применял, заслуживают внимания, так как впоследствии он с успехомиспользовал их и в «Великом искусстве». Он подметил, что кубическое уравнение иногдаудается решить, если добавить в обе его части одно и то же выражение, так чтобы образовался общий делитель, который можно было бы сократить. При этом решение кубического уравнения сводилось к решению квадратного.

Например, если в обе части уравнения2х³ + 4х² + 25 = 16х + 55 добавить 2х² + 10х + 5, то после простейших преобразованийможно получить (2х + 6) (х² + 5) = (2х + 6) (х + 10) или х² + 5 = х +10, откуда далее находится значение переменной x.

Однако общую формулу решения Кардано так и не удалось отыскать. В конце концов ему удалось заполучить «великий секрет», и с этого времени начался второй и наиболее плодотворный этап его алгебраического творчества.

Предложенный Кардано прием искусственных подстановок оказалсявесьма плодотворным для дальнейшего развития алгебры. Он стал той почвой, на которойвеликому французскому математику Франсуа Виету удалось создать применяемый и ныне «общий способ преобразования уравнений».

Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины. Кардано также обнаружил, что кубическое уравнение может иметь три вещественных корня (этот факт остался незамеченным даже в трудах Омара Хайяма), причём сумма этих корней всегда равна коэффициенту при x² (одна из формул Виета).

Кардано первым из математиков нетолько дал способы решения уравнений, но и попытался проникнуть в их природу, сформулировать положения, общие для всех алгебраических уравнений.

Определенных успехов Кардано достиг и в других областях математики.

В «Новом сочинении об отношениях чисел» он касался некоторых вопросов комбинаторики, основываясь главным образом на рассмотрении свойств таблицы биноминальныхкоэффициентов, получившей впоследствии название «треугольника Паскаля». Кардано выписал все пятнадцать сочетаний из шести элементов по два, утверждая без доказательства справедливостьсоотношения С¹_n + С²_n +… + Сⁿ_n, = 2ⁿ-1; наконец, привел правило для нахождения элементов «треугольника Паскаля», из которого следует, что ему было известно важное соотношение.

Еще одним разделом математики, привлекавшим внимание Кардано, была теория вероятности. Он рассматривал некоторые вероятностные задачи, связанные с игровыми ситуациями, в «Практике арифметики», причем, как утверждают некоторые историкиматематики, фактически уже пользовался теоремой сложения вероятностей, которая появилась значительно позже.

Существенным шагом в развитии вероятностных представлений явилась его «Книга обигре в кости». Тридцать две ее главы посвящены истории азартных игр, тому, как распознавать мошенников и помешать их замыслам, о чем наглядно свидетельствуют названия некоторых глав - «Мошенничество», «Условия, при которых стоит играть», «Об одной ошибке…», «Об обманах…». Кардано рассказывал и о психологии игры и об отличии игры в карты от игры в кости. В той части книги, которая посвящена стратегииигры, Кардано рассматривал задачи, связанные с бросанием двух и трех игральных костейи выпадением на верхних гранях определенного числа очков.

Писал Кардано и о совершенных и треугольных числах, о связи «магических» квадратов с планетами, о «полезных и вредных для человека числах», о различных геометрических проблемах, о правилах коммерческой арифметики, о календарных вычислениях и омногом другом.

Характеристика «решеткиКардано»

В книге «О тонких материях» описано криптографическое средство, получившее название «решетки Кардано».

С помощью решетки секретное послание оказывалось сокрытым внутри более длинногои совершенно невинно выглядевшего открытого текста. В простейшем варианте она представляла собой лист плотного материала (картона или пергамента), в котором через неправильные интервалы прорезаны прямоугольные отверстия постоянной высоты и переменной длины, расположенные на различном расстоянии друг от друга (трафарет).

Человек,передающий сообщение, накладывал решетку на чистый лист бумаги и в перфорированных отверстиях писал текст сообщения, так что в каждом из них помещались либо буква,либо слог, либо целое слово. Затем решетка убиралась, а оставшиеся пробелы заполнялисьнеким текстом, маскирующим секретное сообщение. Для прочтения сообщения достаточно было наложить на лист бумаги аналогичную решетку и читать через «окна» текст.

Подобным криптографическим методом пользовались многие известные исторические лица,например кардинал Арман Жан дюПлесси Ришелье и А. С. Грибоедов (во время своейдипломатической миссии).

(Приложение 3)

Свойства поворотной решетки

Ключом шифра, называемого «поворотная решетка», является трафарет, изготовленный из квадратного листа клетчатой бумаги размера n×n (n - четно). Некоторые из клеток вырезаются. Одна из сторон трафарета помечена. При наложении этого трафарета на чистый лист бумаги четырьмя возможными способами (помеченной стороной вверх, вправо, вниз, влево) его вырезы полностью покрывают всю площадь квадрата, причем каждая клетка оказывается под вырезом ровно один раз. Буквы сообщения, имеющего длину n², последовательно вписываются в вырезы трафарета, сначала наложенного на чистый лист бумаги помеченной стороной вверх. После заполнения всех вырезов трафарета буквами сообщения трафарет располагается в следующем положении и т. д. После снятия трафарета на листе бумаги оказывается зашифрованное сообщение.

(Приложение 4)

Формула Кардано: история и применение

Несколько слов из истории формулы кубических уравнений

Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла).

Математики средневековья Востока создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы» Омара Хайама (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами.

В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1593).

Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось найти С. Ферро (около 1515 года), однако оно не было опубликовано. Открытие независимо повторил Н. Тарталья (1535 г.), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия были в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи.

ДжероламоКардано

24 сентября 1501, Павия — 21 сентября 1576, Рим) — итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог.

Никколо Фонтана Тарталья (итал. NiccolòFontanaTartaglia, 1499—1557) — итальянский математик.

Вообще история рассказывает, что формула изначально была открыта именноТартальей и передана Кардано уже в готовом виде, однако сам Кардано отрицал этот факт, хотя и не отрицал причастность Тартальи к созданию формулы.

За формулой прочно укоренилось название «формула Кардано», в честь ученого, который фактически объяснил и представил её публике.

Математические споры (диспуты) в средние века.

Диспуты в средние века всегда представляли собой интересное зрелище, привлекавшие праздных горожан от мала до велика. Темы диспутов носили разнообразный характер, но обязательно научный. При этом под наукой понимали то, что входило в перечень так называемых семи свободных искусств было, конечно, и богословие. Богословские диспуты были наиболее частыми. Спорили обо всем. Например, о том, приобщать ли мышь к духу святому, если съест причастие, могла ли Кумская сивилла предсказать рождение Иисуса Христа, почему братья и сестры спасителя не причислены к лику святых и т. д.

О споре, который должен был произойти между прославленным математиком и не менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как толком никто ничего не знал. Говорили, что один из них обманул другого (кто именно и кого именно, неизвестно). Почти все те, кто собрались на площади имели о математике самые смутные представления, но каждый с нетерпением ожидал начала диспута. Это всегда было интересно, можно было посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.

Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для спорщиков. Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то, что находились в церкви. Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении. Его противником должен был быть математик и врач ДжеронимоКардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в том, что последний в своей книге «Arsmagna» опубликовал способ решения уравнения 3-й степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари. Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а на противоположную кафедру взошел молодой человек двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты с восторгом.

Начал Тарталья.

- Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет. Он не остановился ни перед обманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его ученика на состязание. Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан. Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они были решены неправильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичный диспут.

      Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:

- Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как пишет ДжеронимоКардано о роли моего противника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть поистине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым».

Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали неверное решение его задач. Но как может быть неверным корень уравнения, если, подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы, укравшие, по его словам, его изобретение и использовавшие его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы — мой учитель и я — не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Arsmagna» мой учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом?

- Господа, господа, — закричал Тарталья, — я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены неправильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно, как известно...

В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы, начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать. Толпа, требовала от него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари. Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.

Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й степени? Мы говорим сейчас — Никколо Тарталье. Он открыл, а Кардано выманил у него это открытие. И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это — историческая несправедливость. Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется тайной...

Формула Кардано

Если воспользоваться современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих, в высшей степени элементарных, соображений:

 Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

x3 + ax2 + bx + c = 0,

(1)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

      Заменим в уравнении (1) переменную х на новую переменную y по формуле:

x³+ax²+bx+c = (y )³ + a(y )² + b(y ) + c = y³ 3y² + 3y + a(y² 2y + by = y³ y³ + (b

то уравнение (1) примет виду: y³ + (b

Если ввести обозначения: p =b , q = ,

то уравнение примет вид: y³ + py +q = 0.

Это и есть знаменитая формула Кардано.

Корни кубического уравненияy³ + py +q = 0 зависят от дискриминанта

D=

Если D0, то кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.

Если Dкубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).

Если D = 0, он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один единственный вещественный корень кратности 3).

Примеры универсальных способов решения кубических уравнений

Попробуем применить формулу Кардана к решению конкретных уравнений.

Пример 1:x³ +15x+124 = 0

Здесь p = 15; q = 124.

Ответ: х

Пример 2:x³ +6x – 2 = 0

Здесь p = 6; q =–2.

Ни подбор, ни разложение на множители не помогли бы решить это уравнение. В принципе в данном выражении формула сработала.

Налицо первый её недостаток – множество корней, большая часть которых на практике просто не извлекается, оставляя ответ громоздким.

Ответ: х

Пример 3:

1.Способ разложения на множители.

или

Ответ: х=1

2.Графический способ.

Построим в одной системе координат графики функций у = х³ и у = 4 – 3х (рис 1)
Функция у=х³ возрастающая, а функция у=4-3х убывающая. Одно решение очевидно.

РИС 1

Ответ: х=1

3.Решение уравнения по Формуле Кардано.

Здесь p = 3; q =–4.

Формула не дает точного ответа х=1, хотя, решая уравнение другими способами, мы его получаем.

Кубические уравнения и способы его решения

Кубическое уравнение имеет общий вид:

Рассмотрим 3 возможных способа его решения.

1-й способ - группировка

В отдельных случаях при удачном подборе коэффициентов с помощью группировки удается разложить кубический многочлен на множители, после чего легко находятся все корни уравнения.

Внимание! Любое кубическое уравнение всегда имеет от одного до трех действительных корней.

Рассмотрим пример, в котором удобно сгруппировать первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

откуда находим, что уравнение имеет единственный корень x = 2,
так как вторая скобка при любом значении x принимает исключительно положительные значения.

Но в самом общем случае коэффициенты уравнения могут быть подобраны менее удачно, тогда решить его подобным способом не получится. В этом случае применим следующий алгоритм.

(Приложение 5)

Более универсальный 2-й способ

• Ищем такой x, при котором вся левая часть уравнения обращается в ноль, т.е. находим подбором первый корень x_

• Практически всегда подходит одно из чисел: 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4, 0.5, -0.5.

• Производим операцию деления многочлена на многочлен в столбик: делим исходный кубический многочлен на(x−x₁),
  где x₁ - корень, найденный в предыдущем пункте. В результате деления получаем квадратичную функцию, корни которой находятся без труда (дискриминант или теорема Виета всем в помощь).

• В ответ записываем корень x₁ и корни квадратичной функции, найденной во 2-м пункте.

Примеры решения

Подбором находим, что корнем уравнения является число 1, т.е. y₁=1. Далее в столбик делим кубический четырехчлен, стоящий в левой части уравнения, на y−у₁ и получаем квадратичную функцию:

Приравниваем её к нулю, решаем квадратное уравнение и находим еще два корня:

Решаем простейшее уравнение:

или

2

В данном случае это числа 2 и 1. Таким образом, весь кубический многочлен можно записать в виде произведения:

Теперь прекрасно видно, что корнями исходного кубического уравнения являются числа 1 и 2, причем корень 1 имеет кратность, равную двум!

А как быть, если первый корень не находится подбором?

В этом случае помочь может только одно...

(Приложение 5)

3-й способ - формула Кардано

Эта формула 100% сможет расколоть любое кубическое уравнение, даже с самыми страшными коэффициентами! Правда, есть у неё один минус... Она громоздкая и сложная. Настолько, что порой Вы задумаетесь, а так ли сильно хотите решить рассматриваемое уравнение

Именно эта формула, а точнее целый набор формул, находится внутри всех компьютерных программ, которые за считанные доли секунды способны выдать корни кубического уравнения. Однако, на экзаменах и олимпиадах полагаться приходится только на себя - никаких калькуляторов и прочих чудес техники...

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Вывод

Меня заинтересовало что, ДжероламоКарданоучился в университете Павии на медицинском факультете, занимался сначала исключительно медициной. И через несколько лет стал профессором по математике. Данная работа открывает перед учащимися уникальную возможность научиться решать уравнения по способу Кардано. И в ходе работы я узнал о жизни ДжероламоКарадано и о влияние его исследований на математику. Разобрал решение уравнений по способу ДжероламоКардано .Проанализировалвклад Д. Кардано в развитие математики, криптографии, техники.

Литература

• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BE,_%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%BE

• https://multiurok.ru/index.php/blog/kardano-i-iegho-vielikoie-iskusstvo.html

• http://remkasam.ru/jizn-djerolamo-kardano.html

• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D1%91%D1%82%D0%BA%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BE

• https://nightquests.ru/knowledgebases/reshetka-kardano/

• https://3dnews.ru/916293

• https://vbeg.ru/magazin/shifrator-reshyotka-kardano-v3/