Учебно-методическое пособие «Решение неравенств методом интервалов»

Пример. 1. Решить неравенство: 5х²-6х+2 0.

Решение. D=36-4×5×2 0, левая часть неравенства положительна для всех х Î (-¥; +¥). Следовательно, решением неравенства является интервал (-¥; +¥).

2. Неравенство 5х²-6х+2 0 не имеет решения, так как левая часть неравенства положительна для всех х Î (-¥; +¥).

§ 2. Стандартные алгебраические неравенства

Отметим на координатной оси OX точку х₀, точка х₀ делит ось OX на две части: для любого х, находящегося справа от точки х₀, двучлен х-х₀ положителен, а слева от точки х₀ он отрицателен. Это свойство двучлена лежит в основе метода интервалов.

Определение.

Неравенство вида * 0,

где * – один из знаков: “”, ““, “³“, “£“, все a_i и b_j – попарно различные числа, называется стандартным алгебраическим неравенством. Важность этих неравенств обусловлена двумя причинами:

1) эти неравенства легко решаются по определенному алгоритму;

2) любое алгебраическое неравенство с помощью равносильных преобразований сводится к решению стандартных.

Стандартное неравенство решается методом интервалов с помощью следующего алгоритма:

1. откладываем на числовой прямой все точки a_i, b_j (будем называть их граничными). Эти точки разбивают числовую прямую на интервал знакопостоянства для данного неравенства.

2. Если граничная точка обращает в 0 знаменатель, то она в решение не входит. Обозначение:

Если граничная точка обращает в 0 числитель, то она также не входит в решение, если * есть знак строгого неравенства, и входит, если * есть знак нестрогого неравенства. Обозначение:

3. Над правым интервалом стандартному алгебраическому выражению всегда соответствует знак +. При переходе через граничную точку С при движении справа налево знак выражения меняется, если множитель х-С входит в стандартное выражение в нечетной степени, и знак не меняется, если х-С входит в выражение в четной степени.

4. В качестве ответа выбираются интервалы, соответствующие знаку неравенства.

Рассмотрим несколько примеров

Пример 1. Решить неравенство: £ 0.

Решение.

Ответ: х Î [-4; -3) È (-2; -1] È [-1; ) È( ; 3].

Пример 2. Решить неравенство: 0.

Решение.

Ответ: х Î (-¥; -2) È (1; 3).

Пример 3. Решить неравенство: ³ 0.

Решение.

Ответ: х Î (-¥; -1] È [3; +¥).

Урок 1. Решение неравенств методом интервалов.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний. На уроке выделяются общие и существенные понятия, законы и закономерности, устанавливаются связи и отношения между важнейшими явлениями и процессами. Это урок осмысления, обобщения отдельных фактов и решения неравенств методом интервалов на основе алгоритма.

Цель урока: Показать учащимся универсальный аналитический метод решения неравенств – метод интервалов. Используя функционально-графический метод решения неравенств, опираясь на анализ, синтез, сравнение, обобщение.

Ход урока

1. Организационный момент ( постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся).

Учитель приветствует учащихся, проверяет посещаемость, записывает на доске дату, тему урока и называет цели урока (этот этап урока нужен для того, чтобы учащиеся переключились с одного вида деятельности «отдыха» на другой, настроились на учебную деятельность.

2. Воспроизведение и коррекция опорных знаний .

Учащиеся решают устно следующие упражнения:

1. Найти точки пересечения с осью Ox и осью Oy. Укажите область определения этих функций

а) ; б) .

2. Решите неравенства:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

Упражнения, которые необходимо решить устно, как правило, готовят учащихся к дальнейшей работе. Здесь очень важно вспомнить методику выполнения предложенных заданий. В первом задании учащимся нужно строить графики функций по базовым точкам. Второе задание дает возможность учащимся вспомнить графический способ решения неравенств второй степени, и тем более аналитический метод решения линейных неравенств. Кроме этого повторяются способы нахождения корней квадратного уравнения по теореме Виета и через дискриминант. Активно работавшим учащимся за верно решенные задания можно поставить оценки после завершения устной работы.

3. Воспроизведение и коррекция опорных знаний в аналитической и графической форме.

Подготовительный этап к этапу обобщения и систематизации знаний.

У доски желающие решить неравенства:

а) ; б) .

При решении неравенств, учащиеся выясняют, что линейное неравенство легко решается как аналитически так и графически, а при решении неравенства второй степени они могут воспользоваться только графическим способом. Решая неравенства графическим способом, учителю необходимо в обязательном порядке напомнить о нахождение области определения рассматриваемых функций. Это необходимо для того, чтобы подчеркнуть непрерывность функций на выделенных интервалах.

 Результаты работы видны как на доске, так и в тетрадях.

Аналитический метод:

а) ; б) .

; Аналитически решить не готовы

.

Графический метод:

а) б)

4. Обобщение и систематизация известных ранее приемов решения неравенств. Запись решения в форме алгоритма.

Учитель прописывает пошаговое решение неравенств делает акцент на графическом способе, здесь же обращает внимание учащихся на то, что при решении неравенств можно не чертить график функции, а отметить только нули функции. Промежутки знакопостоянства функции можно определить, подставив значения x взятые из интервалов, на которые нули функции разбили числовую прямую, в саму функцию. На этом этапе важно подчеркнуть, что пошаговое решение, описанное как для неравенства а), так и для неравенства б), практически одинаковые, а совокупность действий, правил для решения поставленных задач, можно назвать алгоритмом.

Метод интервалов:

а) б)

5. Усвоение ведущей идеи урока на основе систематизации знаний, полученных на предыдущих этапах урока.

Учитель предлагает учащимся решить и оформить решение в пошаговом варианте следующих неравенств:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

При возникновении трудностей в процессе решения необходима своевременная коррекция действий учащихся и комментарий учителя к решениям. Так, для решения второго неравенства необходимо отметить только один интервал, при решении третьего неравенства нужно отметить теоретически возможные интервалы между числами 2 и -2 (здесь работает обобщенный метод интервалов), при решении четвертого неравенства при нахождении области определения функции, где , можно работать со всеми числами, кроме . При оформлении решения предложенных неравенств, необходимо оставить записи решений неравенств а) и б) для того, чтобы учащиеся могли воспользоваться образцами решений.

Результаты работы учащихся и их записи в тетради при решении предложенных неравенств могут выглядеть следующим образом:

6. Домашнее задание.

Учитель записывает на доске четыре неравенства, которые предлагается дома решить методом интервалов.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Учитель вправе подобрать и другие неравенства. Это зависит от уровня готовности выполнения домашнего задания учащимися класса

7. Подведение итогов урока.

Учащиеся записывают алгоритм:

1) Исходное неравенство преобразуется к виду  или ( ; ; ), где  - функция соответствующая левой части неравенства.

2) Находится .

3) Находятся нули функции, т.е. решается уравнение .

4) Нули функции, точки не входящие в  отмечаются на числовой прямой, которая разбивается этими точками на интервалы. Если учтена кратность нулей функции и точек не входящих в , то отмечаются на числовой прямой все теоретически возможные интервалы. Проверяется знак функции в одном из интервалов, длина которого не равна нулю, и расставляются знаки в интервалах, чередуя их. Если кратность нулей функции и точек не входящих в область определения не учтена, то проверять знак  нужно в каждом интервале.

5) С учетом  или ( ; ; ) записываются значения x, являющиеся решениями неравенства.

6) Записывается ответ.

При рассмотрении данного метода у учащихся могут возникать вопросы, связанные с тем, какому из методов решения неравенств нужно отдать предпочтение. Необходимо подчеркнуть, что линейные неравенства нужно решать все же ранее известным аналитическим или графическим методом. Неравенства второй степени – как графически, так и методом интервалов. Более сложные неравенства, которые невозможно решить графически, необходимо решать методом интервалов. Метод интервалов – это такой метод, которым практически можно решать любые виды неравенств (линейные, квадратичные, дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические, показательные, тригонометрические). В этом и заключается универсальность данного метода.

8. Тренировочная самостоятельная работа.

Тренировочная самостоятельная работа выполняется на листочках и после звонка сдается учителю. Данный этап урока можно перенести на следующий урок и время его продолжения будут зависеть от предыдущих этапов. Временные промежутки предыдущих этапов могут либо уменьшаться, либо увеличиваться в зависимости от тех затруднений, которые могут испытывать учащиеся. Так как учащимся предлагается тренировочная, а не контролирующая самостоятельная работа, то учитель может подойти к ученикам, просмотреть их решения и дать к ним комментарий с целью устранения ошибок. Все замечания учитель может фиксировать на листке с записями решений учащихся красным цветом. При проверке работ эти замечания влияют на выставление оценки. Учитель проверяет работы, анализирует ошибки, которые допустили учащиеся, оценивает их. За хорошо выполненные работы можно выставить оценки. Время выполнения самостоятельной работы – около 18 минут. Число заданий в работе может уменьшаться.

Учащиеся приступают к выполнению этой, работы придерживаясь в оформлении тех форм записи, которые они уже делали в тетради.

Урок 2. Решение простейших неравенств, представленных в виде произведения линейных множителей.

Предварительное повторение. Прежде чем переходить к неравенствам, необходимо вспомнить, как решаются уравнения вида (*)(*)=0. Можно задать вопрос классу: «Когда произведение равно нулю?» Хорошо, если кто-нибудь из школьников ответит, если же нет, то учителю целесообразно самому дать ответ и попросить записать его в тетрадь: «Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю». Другими словами, ab=0, и тогда и только тогда, когда либо а=0, либо b=0.

Кроме того, стоит вспомнить, как записать ответ, когда решением неравенства является промежуток без разрывов. После этого можно переходить непосредственно к решению неравенств.

Пусть требуется решить неравенство

(х - 2) (х+5)(2х-3) 0.

Найдем точки, в которых выражение (х - 2)(х+5)(2х - З) обращается в 0.

О п р е д е л е н и е. Назовем критической точкой дробно-рационального выражения f(х) такое значение переменной х, при котором выражение f(х)равно 0 или не определено, т. е. такое значение х, при котором либо числитель, либо знаменатель рациональной дроби f(х) обращается в 0.

Выражение (х - 2)(х+5)(2х - З) представляет собой произведение трех линейных множителей. Таким образом, для нахождения критических точек необходимо решить три линейных уравнения: х – 2=0, х+5=0, 2х - 3=0.

Отсюда х₁=2, х₂= - 5, х₃ =1,5.

Нанесем эти точки на координатную ось. Поскольку мы решаем строгое неравенство, то все критические точки будут «выколоты»; на рисунке все такие точки оставляем светлыми (рис. 1, а).

На каждом из полученных промежутков каждый из множителей (х - 2), (х+5) и (2х - 3) сохраняет знак, и, следовательно, сохраняет знак все выражение. Кроме того, при переходе через любую из критических точек меняется знак ровно в одной из скобок. Поэтому достаточно вычислить знак лишь на одном из интервалов, а на остальных расставить знаки, чередуя плюсы и минусы. Для простоты вычислений определим знак выражения на интервале, содержащем 0. (Следует отметить, что точка 0 выбирается исключительно для удобства и только тогда, когда она не является критической. Вместо нее можно взять любую другую точку на любом другом интервале.) В точке 0 выражение (х - 2) имеет знак « - », выражение (х+5) имеет знак «+», (2х - 3) – знак « - ». Таким образом, значение всего выражения имеет знак «+». Приведенные рассуждения удобно записать в виде схемы:

Расставляя знаки на всех интервалах, получаем рис. 1, б:

В задании требовалось найти те значения х, при которых исходное выражение больше нуля. Значит, искомыми являются те интервалы, на которых наше выражение положительно. Ответ: х (- 5; 1,5) (2; + ).

Найдем теперь решения неравенства

(х -2) (х+ 5) (2х - 3) 0.

Здесь последовательность действий полностью соответствует приведенной выше. Единственное отличие состоит в том, что данное неравенство нестрогое, поэтому критические точки входят во множество решений. Такие точки отмечаются на вспомогательных рисунках темным цветом.

Ответ: х [- 5; 1,5] [2; + ).

Урок 3. Решение простейших неравенств, разлагающихся на линейные множители.

До сих пор речь шла исключительно о тех неравенствах, левая часть которых уже разложена на линейные множители, а в правой части стоит 0. Рассмотрим теперь неравенства, которые возможно привести к аналогичному виду.

Предварительное повторение. При решении неравенств широко используется разложение на множители, поэтому рекомендуется повторить формулы сокращенного умножения:

а² - b² =(a - b) (а+ b),

а² 2аb + b²==(а b)²,

а³ 3а²b +3аb² b³= (а b³),

а³ b³=(а b)(а²+ а b + b²),

а также разложение на множители квадратного трехчлена: если х₁ и х₂ – корни квадратного трехчлена ах²+ bх+с, то ах²+ bх+с = а(х – х₁)(х – x₂).

Пусть требуется решить неравенство х³ х. Записан это неравенство на доске, можно попросить школьников самим предложить решение. Достаточно часто кто-нибудь предлагает сократить обе части неравенства на х, т. е. получить неравенство х² 1. Даже если такого предложения не прозвучало, стоит обратить внимание ребят на то, что неравенство х² 1 не эквивалентно неравенству х³ х, и предложить самим найти причину этого явления. Чаще всего школьники замечают только, что при сокращении теряется одно из решений х=0. В этом случае целесообразно напомнить одно из свойств неравенств: при умножении (делении) обеих частей неравенства на отрицательное число знак этого неравенства меняется на противоположный. В нашем же случае переменная х может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Итак, метод «сокращения» в данном случае не подходит. Придется поискать другой способ решения.

Желательно добиться от ребят того, чтобы они сами подсказали этот другой способ: перенести х в левую часть и разложить на множители х³ - х 0, тогда

х(х-1)(х+1) .

Решение полученного неравенства методом интервалов показано на рис. 2. Из него ясен ответ: х ; -1] [0; 1].

Урок 4. Решение простейших дробно-рациональных неравенств без кратных корней.

Предварительное повторение. При решении дробно-рациональных неравенств возникает понятие области допустимых значений выражения, поэтому с учащимися целесообразно повторить, при каких значениях переменной дробь имеет смысл. В частности, можно предложить классу решить уравнение вида а/b = 0. Полезно записать следующий вывод: «Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля».

Пусть требуется решить неравенство

Критические точки числителя: х₁=2, х₂=-3, критические точки знаменателя: х₃=2,5, х₄= -1. Найденные значения нанесем на координатную ось. Неравенство строгое, значит, все отмеченные точки должны быть светлыми. Более того, так как расположение скобок в числителе или знаменателе не влияет на знак всего выражения, то наше неравенство эквивалентно неравенству

(х -2) (3+х) (1+х) (2х - 5) 0.

Решение методом интервалов приведено на рис. 3, а. Совершенно очевиден и ответ: х ; -3) (-1; 2) (2,5; + ).

З а м е ч а н и е. Справедливо более общее утверждение: «Любое строгое неравенство вида а/b 0 (или а/b ) эквивалентно неравенству аb 0 (аb )».

Пусть теперь требуется решить нестрогое неравенство

В данном случае критические точки числителя принадлежат множеству решений рассматриваемого неравенства, поэтому на рис. 3, b они отмечены темным цветом. Критические точки знаменателя всегда будут «выколоты».

Теперь можно, как и в предыдущем случае, решать не данное неравенство, а эквивалентное ему

(х - 2)(3+х)(1+х)(2х - 5)

при условии, что х -1 и х 2,5.

Ответ: х [- 3; - 1) [2; 2,5).

З а м е ч а н и е. Для нестрогих неравенств также справедливо более общее утверждение: «Любое нестрогое неравенство вида а/b 0 (а/b 0) эквивалентно неравенству аb 0 (аb 0) при условии b 0».

Урок 5. Решение неравенств с множителем, не имеющим критических точек.

До сих пор мы решали неравенства, левую часть которых можно разложить на линейные множители и тем самым найти критические точки выражения. Обратимся теперь к рассмотрению неравенств, «левая часть которых содержит множитель, не принимающий нулевого значения на всей числовой прямой».

Предварительное повторение. Для успешного решения следующих неравенств школьникам потребуется понимание того, что решением неравенства вида Р(х)0 (или Р(х) 0, Р(х) 0, Р(х) 0). где Р(х) – квадратный трехчлен, не имеющий действительных корней, является либо пустое множество, либо вся числовая ось.

Пусть требуется решить неравенство

Рассмотрим отдельно множитель 3+х². Легко видеть, что ни при каких значениях переменной он не обращается в 0 и принимает на всей числовой оси только положительные значения. В этом случае наше неравенство эквивалентно неравенству, решить которое можно изученным ранее способом.

Разберем еще одно неравенство:

Перенесем 1 из правой части в левую и разложим на множители получившуюся разность. Мы придем к неравенству:

Множитель – х²+2х - 2 при любом значении х принимает отрицательные значения, поэтому исходное неравенство эквивалентно неравенству

решить которое можно тем же способом, что и раньше.

З а м е ч а н и е. При использовании приведенного выше метода у школьников могут возникнуть сложности с определением того, когда надо менять знак неравенства, а когда не надо, особенно если в выражении встретятся несколько множителей, не имеющих корней. В этом случае можно применить описанный ниже метод определения знаков на интервалах.

Пусть после разложения на множители мы получили следующее неравенство:

Нанесем на координатную ось критические точки числителя темным цветом, а критические точки знаменателя – светлым. После чего будем решать неравенство

(х-7)( - х² - 2)(х+5)(2+х)(х²+1) 0. (2)

В любой из критических точек меняет знак ровно один из множителей (выражение х²+1 не меняет знака ни в одной точке!), поэтому можно вычислить знак выражения только на одном из интервалов. для удобства выберем интервал, содержащий 0, т. е. (- 2; 7). На нем распределение знаков множителей и общий знак выражения определим по схеме:

+

– – + + +

Итак, на интервале (- 2; 7) левая часть неравенства (2), а, следовательно, и неравенства (1) принимает положительные значения. На остальных интервалах знаки определить легко, поскольку они чередуются. По рис. 4 легко дать ответ:

х (- 5; - 2) [7; ).

Урок 6. Решение простейших неравенств с кратными корнями.

Решение неравенств с кратными критическими значениями переменной связано обычно с наибольшими сложностями. Если ранее можно было расставлять знаки на интервалах, просто чередуя их, то теперь при переходе через критическое значение знак всего выражения может не измениться. Преодолению трудностей с расстановкой знаков служит так называемый метод лепестков, который мы разберем ниже на примерах.

Пусть требуется решить неравенство (х+5)²0. Левая часть имеет единственную критическую точку х = - 5. Отметим ее на числовой прямой. Эта точка имеет кратность 2, поэтому можно считать, что у нас две слившиеся критические точки, между которыми также есть интервал с началом и концом в одной и той же точке - 5. Будем отмечать такие интервалы «лепестками», как на рис. 5, а. Таким образом, получилось три интервала: два числовых промежутка (- ; - 5), (- 5; + ) и «лепесток» между ними.

Осталось расставить знаки. Для этого вычислим знак на интервале, содержащем 0, и на остальных расставим знаки, просто их чередуя. Результат расстановки знаков показан на рис. 5, б. Ответ: х (- ; - 5) (- 5; ).

Рассмотрим теперь более сложное неравенство:

Отметим на числовой прямой критические точки, учитывая их кратность, – на каждую дополнительную скобку с данным критическим значением рисуем дополнительный «лепесток». Так, на рис. 6 у точки 2 появится один «лепесток», так как (х - 2)² = (х - 2)(х - 2).

Первый из этих множителей учтен самим появлением на координатной оси точки 2, а второй учитывается добавлением «лепестка». Поскольку (х-5)³ =

(х-5)(х-5)(х-5), у точки 5 появляются два «лепестка», символизируя два дополнительных множителя у стоящего в знаменателе двучлена (х - 5). Далее определяем знак на одном из интервалов и расставляем знаки на остальных, чередуя плюсы и минусы. Все промежутки, отмеченные знаком «+», и темные точки дают ответ:

х [- 3; - 1) {2} (5; ).

Методическое замечание. Таким образом, мы избавились от необходимости давать определение кратности критической точки при расстановке знаков. Преимущество этого метода особенно ярко видно при решении неравенств, у которых критические точки числителя и знаменателя могут совпадать. Чтобы избежать сложностей при определении цвета точек в этом случае, посоветуйте школьникам сначала отмечать точки знаменателя, а потом числителя. При этом если при нанесении критической точки некоторого множителя на координатную ось такое значение переменной уже отмечено, то добавляем над ней такое количество «лепестков», какова степень этого множителя. Поясним сказанное примером.

Решим неравенство

Разложив на множители левую часть неравенства (3), имеем

Нанесем критические точки на координатную ось. Сначала точки знаменателя (рис. 7, а). Добавляя точки числителя, получаем рис. 7, б. Определив знаки на интервалах и в «лепестках», получаем рис. 7, в и ответ:

х (- 1; 0) (0; 1) {}.

Несколько слов в заключение.

Обобщая все вышесказанное, перечислим еще раз наиболее существенные, на наш взгляд, преимущества данной системы изложения метода интервалов:

1. Появляется возможность расставлять знаки на интервалах, просто их чередуя.

2. Отпадает необходимость считать кратность корней. Если школьник, отмечая последовательно критические точки, обнаруживает новый множитель, содержащий уже отмеченную критическую точку, то он просто добавляет над ней то, количество «лепестков», какова степень множителя.

3. Исчезает необходимость приводить все скобки к стандартному виду

(х-а). При обнаружении как скобки (х - а), так и скобки (а - х) школьник просто добавляет еще один «лепесток» над точкой а.

4. При таком методе решения неравенств школьники практически никогда не теряют одиночные корни.

Последнее утверждение проиллюстрируем, возвращаясь к неравенству (3). При его решении обычным способом школьник часто ищет те интервалы, которые отмечены знаком « - », и чаще всего забывает включить в ответ корень х=2. При нашем же методе над этой точкой появляется «лепесток», отмеченный как раз знаком « - » (см. рис. 7, в), что дает возможность обратить внимание на этот корень и включить его в ответ.

Тест по теме: «Метод интервалов»

Самопроверка результатов теста.

6