kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

Нажмите, чтобы узнать подробности

В школьном курсе математики при изучении темы "Логарифмические неравенства "  очень мало внимания уделяется логарифмическим неравенствам с переменным основанием, однако в экзаменационной работе (КИМы ЕГЭ задача №17) неравенства такого вида предлагаются для решения!

Решение таких неравенств предполагат рассмотрение двух случаев (сравнение основания с единицей) на ОДЗ и объединение найденных промежутков в ответе.Зачастую этот путь сопряжен с громоздкими выкладками.

Существует теорема, которая позволяет решить логаримическое неравенство с переменным основанием методом рационализации. Применение этой теоремы позволяет существенно упростить решение логарифмического неравенства с переменным основанием и существенно сэкономить время на экзамене. 

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств »

Сведение логарифмического неравенства с переменным основанием к системе рациональных неравенств

Малышева Ирина Николаевна

учитель математики высшей категории

МБОУ СОШ №3 г. Вязьмы Смоленской области

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида , где ОДЗ неравенства задается системой

Известен стандартный метод решения такого неравенства: рассмотрение двух случаев на области допустимых значений неравенства.

В первом случае, когда основания логарифмов удовлетворяют условию, знак неравенства изменяется: .

Во втором случае, когда основание удовлетворяет условию , знак неравенства сохраняется: .

При решении мы рассматриваем два случая и потом объединяем ответы.

Вот уже многие годы при подготовке к ЕГЭ (да и на самом ЕГЭ) моих учеников выручает следующая теорема.

Теорема. Логарифмическое неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

Доказательство: первые четыре неравенства системы задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если же , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана.

Рассмотрим пример.

Решить неравенство .

Первый способ.

Стандартный метод решения, который предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства.



или

Решаем первую систему:, откуда получаем 2

Решаем вторую систему: , откуда получаем

Объединяя полученные ответы, имеем окончательное решение данного неравенства.

Ответ: 2

Второй способ.

Применение теоремы.



Решив которую, получим 2

Ответ: 2

Итак, применение этой теоремы позволяет существенно упростить решение логарифмического неравенства с переменным основанием и существенно сэкономить время на экзамене.






Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: 11 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

Автор: Малышева Ирина Николаевна

Дата: 25.05.2015

Номер свидетельства: 215102


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства