Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

Малышева Ирина Николаевна

учитель математики высшей категории

МБОУ СОШ №3 г. Вязьмы Смоленской области

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида , где ОДЗ неравенства задается системой

Известен стандартный метод решения такого неравенства: рассмотрение двух случаев на области допустимых значений неравенства.

В первом случае, когда основания логарифмов удовлетворяют условию, знак неравенства изменяется: .

Во втором случае, когда основание удовлетворяет условию , знак неравенства сохраняется: .

При решении мы рассматриваем два случая и потом объединяем ответы.

Вот уже многие годы при подготовке к ЕГЭ (да и на самом ЕГЭ) моих учеников выручает следующая теорема.

Теорема. Логарифмическое неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

Доказательство: первые четыре неравенства системы задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если же , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана.

Рассмотрим пример.

Решить неравенство .

Первый способ.

Стандартный метод решения, который предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства.

или

Решаем первую систему:, откуда получаем 2

Решаем вторую систему: , откуда получаем

Объединяя полученные ответы, имеем окончательное решение данного неравенства.

Ответ: 2

Второй способ.

Применение теоремы.

Решив которую, получим 2

Ответ: 2

Итак, применение этой теоремы позволяет существенно упростить решение логарифмического неравенства с переменным основанием и существенно сэкономить время на экзамене.