Статья об арифметической прогрессии, как частном случае числовой последовательности

Арифметическая прогрессия

Одной из важнейших тем, рассматриваемых в девятом классе, являются последовательности чисел. Последовательности могут задаваться различными формулами и условиями. Важную роль в рассмотрении последовательностей имеет арифметическая прогрессия.

Арифметическую прогрессию создал английский математик Абрахам де Муавр. В престарелом возрасте однажды обнаружил, что продолжительность его сна увеличивается на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда бы она достигла 24 часов – 27 ноября 1754 года. В этот день он и умер.

В математике изучают бесконечные числовые последовательности: a₁,a₂,a₃,…,.. 

Число a₁ называют первым членом последовательности, число а₂- вторым, число а₃- третьим и так далее. Число а_n называют энным членом последовательности, а n его номером.

Арифметическая прогрессия— это числовая последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа, другими словами, выполняется следующее равенство a_n+1=a_n+d, где а₁-первый член прогрессии, d-ее разность.

Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле а_n=a₁+(n-1)d, а каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим и объясняется название «арифметическая» прогрессия.

Нередко в задачах необходимо найти сумму нескольких первых чисел последовательности S_n=a₁+a₂+a₃+...+а_n, для удобства счета существует формула

Существует легенда, согласно которой, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

то есть к формуле суммы первых  чисел натурального ряда.