«способы извлечения квадратных корней из больших чисел без калькулятора»

Дидактический материал

по теме:

«СПОСОБЫ ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

ИЗ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА»

Выполнил: ученик 9^а класса

Тарской гимназии №1

Гермизеев Кирилл

Извлекать корни люди научились задолго до изобретения электронно-вычислительных машин.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧУДЕСА ГАРДНЕР МАРТИНА

1. БЫСТРОЕ ИЗВЛЕЧЕНИЕ КУБИЧЕСКОГО КОРНЯ

В книге Мартина Гарднера «Математические чудеса и тайны», описан фокус по быстрому извлечению кубического корня. Демонстрация фокуса начинается с того, что кого-нибудь из присутствующих просят взять любое число от 1 до 100, возвести его в куб и сообщить вслух результат.

Для того чтобы показывать этот фокус, нужно сначала выучить кубы чисел от 1 до 10.

С помощью данной таблицы, можно легко найти корни

3 степени из чисел:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.

1. ИЗВЛЕЧЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОГО КОРНЯ НЕЧЁТНОЙ СТЕПЕНИ

Легко находить корни пятой степени, потому что любое число и его пятая степень всегда оканчиваются одной и той же цифрой.

С помощью данной таблицы,

можно легко найти корни 5 степени из чисел: 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000.

1. ИЗВЛЕЧЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОГО КОРНЯ ЧЁТНОЙ СТЕПЕНИ

Корень n-ой степени обозначается -ⁿ√a, если n – чётное, а a – отрицательное, то такого числа не существует.

Пример: Извлечь квадратный корень из чисел √-9; √9; √-256; √256.

²√-9= не существует

²√9=3

⁴√-256= не существует

⁴√256=4

Попробуйте вынести корень из √-25; √25 самостоятельно.

СПОСОБ РАЗЛОЖЕНИЯ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Извлечение корня разложением на простые множители (числа которые делятся только на 1 и сами на себя) - трудоёмкая задача, которая не всегда приводит к желаемому результату.

Методом проб и ошибок, подбором  разложение, конечно, можно сделать, если быть уверенным в том, что получится красивый ответ, но практика показывает, что очень редко предлагаются задания с полным разложением. Чаще мы видим, что корень до конца не извлечь.

Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения без калькулятора.

Пример: Извлечь квадратный корень из чисел √24; √34.

√24=√2*2*6=√2*2=2√6

√54=√2*27=√2*9*3=√2*3*3*3=3√6

Попробуйте вынести корень из √12 самостоятельно.

СПОСОБ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТАБЛИЦЫ КВАДРАТОВ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Способ очень прост в применении и даёт мгновенное извлечение квадратного корня из любых целых чисел  от 1 до 100,  с точностью до десятых без калькулятора. Одно условие для этого метода – наличие таблицы квадратов чисел до 99.

Н о сразу понятно, что корни, больше 100 уже этим способом извлечь невозможно.

Способ удобен для заданий с маленькими

Корнями и при наличии таблицы.

С помощью данной таблицы,

можно легко найти корни из чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

КАНАДСКИЙ МЕТОД

Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в XX веке. Его точность – не более двух, трёх знаков после запятой.

Метод несложный и удобный.

Вот их формула:

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), где X - число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S - число ближайшего точного квадрата.

Пример: Извлечь квадратный корень из 17.

X = 17, S =16. Это означает, что √ S = 4.

Просчитаем по этой формуле √17: √ 17 = 4+ (17 - 16) / (2∙ 4)
√ 17 = 4 + (1/8 ) = 4 + 0,125 = 4,125

Попробуйте вынести корень из √1982 самостоятельно.

ЧЕРЕЗ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

Способ этот дает возможность вычислить значение корня с точностью до одного - двух знаков после запятой, а при желании, достичь и большей точности.

Так что подобный способ вычисления квадратного корня необычайно точен и удобен, а погрешность вычисления зависит исключительно от вашего терпения и упорства.

Пример: Извлечь квадратный корень из чисел √75;√45.

√75=√25*3=√5²*3=√5²*√3=5√3

√45=√9*5=√3²*5=√3²*√5=3√5

Попробуйте вынести корень из √72 самостоятельно.

СПОСОБ ОТБРАСЫВАНИЯ ПОЛНОГО КВАДРАТА

Этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от  величины подкоренного числа.

Способ нахождения очень интересен и в какой – то мере оригинален, но достаточно сложен в запоминании из-за двойственности алгоритма и применим только для четырёхзначных чисел точных корней.

Способ доступен тем, кто уже запомнил наизусть квадраты чисел от 11 до 29,

ведь без их знания, он будет бесполезен.

Пример: Извлечь квадратный корень из чисел √867;√968.

   √867=√289*3=17√3

√968=√484*2=22√2

Попробуйте вынести корень из √1058 самостоятельно.

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД

Этот метод извлечения квадратных корней можно использовать для маленьких чисел, когда под рукой нет таблицы квадратов. Он полностью основан на графическом решении уравнения b= х²,  полученном из √ b= х путём возведения в квадрат первого. С алгоритмом решения этого уравнения знаком каждый школьник.

Предварительная подготовка –

п остроение графика параболы.

При этом может быть

неточность в построении

кривых линий  и получение

больших погрешностей,

в отличие от других методов.

ДЕЛЕНИЕ НА ПАРЫ ЧЕРЕЗ СОСТАВЛЕНИЕ РЕБУСА

Способ универсальный, так  как применим к любым числам, но составление ребуса (угадывание цифры на конце числа) требует логики и хороших вычислительных навыков  столбиком. Он трудоёмкий, но очень точный.

Пример: Извлечь квадратный корень из чисел

√5541316; √124397129.

 √5541316 =√5^,54^,13^,16^,=2354

√124397129=√12^,43^,97^,29^,=3527

Попробуйте вынести корень из √3024121 самостоятельно.

Тара 2023