Создание элективного курса "Делимость чисел и уравнения в целых числах"

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

1. Теоретические основы создания элективного курса 5

«Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике» 5

1.1. Роль элективных курсов по математике 5

при реализации профильного образования 5

1.2. Структура и тематическое планирование элективного курса 12

«Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике» 12

1.2.1. Роль элективного курса в подготовке школьников к олимпиадам 12

1.2.2. Методические указания для преподавателей 13

1.2.3. Методические указания учащимся 15

2. Содержание курса «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике» 18

2.1. Задачи на делимость в олимпиадной математике 18

2.2. Задачи на свойства чисел 23

2.3. Решение уравнений в целых числах 31

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 40

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 42

ВВЕДЕНИЕ

Реализация ФГОС общего образования нацеливает школу на привлечениеобучающихсяк внеурочной деятельности и участию в предметных олимпиадах и конкурсах для развития всесторонней личности. Это предполагает формирование познавательной самостоятельности ученика, внедрение методического сопровождения внеурочной деятельности.

Вопросы делимости и обучение методам решения задач в целых числах, которые широко представлены в олимпиадной математике не достаточно рассмотреныне только в школьном курсе математики, но и в образовательном процессе в целом. Следует отметить, что при анализе базы вопросов в Федеральном тестировании по математике профильного уровня, выявлено, что вопросы, относящиеся к делимости чисел, составляют 6-8% материала. Можно сделать вывод, что указанные вопросы следует рассматривать как дополнительный образовательный курс для систематизации знаний и умений школьников при подготовке к математическим олимпиадам.

В рамках внутривузовского инновационного проекта «Организация олимпиадной подготовки школьников» начата работа по проектированию элективного курса, который носит обучающий характер, но его главная цель – систематизация знаний в области математики, а также расширение круга мировоззрений обучающихся. Структурирование и методическая обработка имеющихся материалов по организации подготовки школьников к математическим олимпиадам указала на необходимость данного курса и его введение в образовательный процесс.

Цель дипломной работы – разработать элективный курс, который направлен на развитие познавательного интереса обучающихся и расширение знаний по методам решения задач на делимость чисел, развитие их креативных способностей для подготовки к математическим олимпиадам.

Объект исследования – процесс обучения математике на старшей ступени профильной школы.

Предмет исследования – методика разработки элективных курсов по математике в профильной школе.

Гипотеза исследования состоит в том, что если разработать методическое сопровождение элективного курса «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике» для организации учебной деятельности обучающихся, то возможно повысить уровень теоретической и практической подготовки школьников.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

• изучить основные положения по проектированию элективных курсов;

• определить место элективного курса «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике» в системе образования;

• систематизировать теоретический материал элективного курса;

• разработать структуру и тематическое планирование элективного курса;

• создатьэлектронный образовательный ресурс «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике» для организации самостоятельной работы школьников.

Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы в количестве 30 источников.

Во введении обосновывается актуальность дипломной работы, определяется цель, задачи исследования, раскрывается практическая и теоретическая значимость.

В первой главе рассматривается назначение, классификация и место элективных курсов в системе образования. В данной главе представленообоснование актуальности элективного курса «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике»для учащихся профильного уровня, его структура, тематическое планирование и дидактические материалы.

Во второй главе обосновывается место курса «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике»в системе среднего образования. Центральным моментом главы является содержание элективного курса, методические рекомендации для учащихся и преподавателей,систематизированный практический материал для организации внеурочной деятельности.

В заключении изложены основные выводы исследования и результаты апробации курса «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике».

1. Теоретические основы создания элективного курса

«Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике»

1. Роль элективных курсов по математике

при реализации профильного образования

Немаловажным моментоморганизации профильного обучения в школе считается проектирование и использование элективных курсов, которые направлены на реализацию школьного компонента учебного плана. Элективные курсы предполагают учет индивидуальных особенностей обучающихся, а также потребности в продолжении образования.

Профилизация образования предполагает, что встарших классах учащиеся самостоятельно определяют направление будущей деятельности, приступая к обучению повыбранному профилю. Поэтому занятияследует проводить систематично по установленному расписанию (как правило 1 час в неделю).

Среди целей элективных курсов можно отметить:

• углубление и расширение знанийобучающихся по конкретной теме;

• формирование специфических умений и навыков в предметной области;

• расширение представления знаний в предметной области в рамках выбранного профиля;

• развитие познавательной активности и самостоятельности в получении знаний;

• развитие творческих способностей, логического мышления и познавательного интереса;

• развитие универсальных учебных действий обучающихся;

• дополнение содержания базовых дисциплин.

Задачи элективных курсов формулируются следующим образом:

• повышение уровня индивидуализации обучения и социализации личности;

• подготовка к осознанному и ответственному выбору сферы будущей профессиональной деятельности;

• содействие развитию у школьников отношения к себе как к субъекту будущего профессионального образования;

• выработка у обучающихся практико-ориентированных умений и способов деятельности;

• создание условий для самообразования, формирования у обучающихся умений и навыков самостоятельной работы и самоконтроля своих достижений.

Тематика элективных курсов в базисном учебном плане определяется администрацией школысогласно специфике профиля обучения. Элективные курсы выполняют следующие основные функции:

- во-первых, являются надстройкой профильного обучения;

- во-вторых, расширяют содержание одного из базисных курсов, что позволяет поддерживать изучение смежных учебных дисциплин на профильном уровне;

- в-третьих, способствуют удовлетворению познавательных интересовобучающихся в различных предметных областях.

Среди мотивов выбора элективных курсов старшеклассниками можно выделить: приобретение знаний и навыков для продолжения образования; возможность проявления личностных качеств для осуществления успешной карьеры;профессиональную ориентацию школьников.

Реализация элективных курсов предполагает выбор индивидуальной образовательной траектории школьником для его профессионального самоопределения. Соответственно основными принципами обучения выступают: индивидуализация и дифференциация обучения,доступность,преемственность ирезультативность.

Среди требований к элективным курсам, которые определены Министерством образования и науки Российской Федерации, указывается:

• соответствие ФГОСобщего образования;

• реализация личностно-ориентированного и деятельностного подходов к обучению;

• создание условий для самообразования ииндивидуализации обучения;

• формирование у учащихся познавательной самостоятельности и умений самоконтроля;

Очевидно, данные требования должны найти отражение и в программе, и во всей методической системе элективного курса.

Рассмотрим одну из возможных классификаций элективных курсов, опишем каждый из представленных блоков. Выделяют курсы предметной подготовки и курсы универсальной подготовки.

Задачей элективных курсов предметной подготовки является углубление и расширение знаний по предметам, которые входят в базовый или профильный компонент учебного плана. Такие элективные курсы подразделяют на три группы по признаку тематического согласования учебного предмета и элективного курса:

1) «Сквозные курсы повышенного уровня направлены на углубление того или иного учебного предмета, имеющие как тематическое, так и временное согласование с этим учебным предметом. Выбор такого элективного курса позволяет изучить выбранный предмет на углублённом уровне» [22].

2) «Компенсирующие (дискретно-тематические) курсы повышенного уровня – элективные курсы, в которых углублённо изучаются отдельные разделы предмета, входящего в базовый или профильный компонент» [16].

3) «Вариативные (тематико-дополняющие) курсы – элективные курсы, в которых углублённо изучаются отдельные разделы учебного предмета,не входящие в обязательную программу данного предмета» [17].

Курсы универсальной подготовки наиболее часто применяются в образовательной деятельности поскольку направлены на удовлетворение познавательных интересов учащихся, выходящих за рамки выбранного профиля.По содержательному компоненту выделяют межпредметные и надпредметные курсы. Межпредметные курсы интегрируют содержание учебных предметов, а надпредметные ориентированы на изучение предметов, которые не входят в учебный план. По признаку ведущей деятельностиэлективные курсы подразделяют на учебно-познавательные и практико-ориентированные.

В состав учебно-познавательных курсов входят: «мировоззренческие элективные курсы, посвящённые изучению методов познания природы;культурно-исторические элективные курсы, посвящённые истории предмета как входящего в учебный план школы, так и не входящего в него;экспериментальные элективные курсы, посвящённые изучению методов решения задач, составлению и решению задач на основе эксперимента» [19].

Среди практико-ориентированныхкурсов можно отметить:

• прикладные элективные курсы, цель которых познакомить учащихся с важнейшими методами применения знаний на практике;

• предпрофессиональные элективные курсы, реализующие вопросы профориентации школьников[3].

Несмотря на то, что элективные курсы отличаются по целевому содержанию, они все должны соответствовать запросам учащихся.Многие педагоги занимаются проектированием различных элективных курсов в процессе предпрофильной подготовки. Классификация предпрофильных элективных курсов является относительной, но большинство авторов выделяют общеориентационные, предметно-ориентационные и межпредметные элективные курсы.

Общеориентационные элективные курсы призваны оповестить ученика о различных профилях обучения в старшей школе, познакомить его с выбором будущих профессий и помочь выбрать профиль обучения с учетом своих индивидуальных особенностей.

Предметно-ориентационные элективные курсы направлены на осуществление предпрофильной подготовки по определенному учебному предмету. Учителя стремятся создать такой элективный курс, который вызовет интерес у ученика, привлечет его к дальнейшему изучению дисциплины в данном профиле. В результате ученик выбирает профиль для продолжения своего дальнейшего образования. Другой особенностью имеющихся сегодня предметно-ориентационных предпрофильных элективных курсов является стремление к углублению знаний учащихся.Такие элективные курсы предполагают углубленное изучение отдельных тем или разделов учебных курсов основной школы, выходящее за пределы школьной программы.

В свою очередь предметные элективные курсы можно разделить на несколько групп.

1) Элективные курсы повышенного уровня направлены на углубление того или иного учебного предмета, имеющие как тематическое, так и временное согласование с этим учебным предметом. Выбор такого элективного курса позволит изучить выбранный предмет не на профильном, а на углубленном уровне. В этом случае все разделы курса углубляются более или менее равномерно.

2) Элективные спецкурсы углубленно изучают отдельные разделы основного курса, входящие в обязательную программу данного предмета.

3) Элективные спецкурсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, не входящие в обязательную программу данного предмета.

4) Прикладные элективные курсы, основной целью которых является знакомство учащихся с существенными путями и методами применения знаний на практике, развитие интереса учащихся к современной технике и производству.

5) Элективные курсы, посвященные истории предмета, как входящего в учебный план школы, так и не входящего в него.

6) Элективные курсы, посвященные изучению методов решения задач.

Межпредметные элективные курсы в системе подготовки не только ориентируют учеников на изучение конкретного учебного предмета на профильном уровне, но и раскрывают специфику изучения этого предмета во взаимосвязи с другими профильными предметами. Такие элективные курсы следует называть профильно-ориентационными, поскольку именно они в полной мере реализуют саму идею предпрофильной подготовки. Они могут быть либо компенсирующими, либо обобщающими знания.

Принципиальным положением организации школьного математического образования в настоящее время является дифференциация обучения математике – уровневая дифференциация и профильная дифференциация в старших классах средней школы.

Программа по математике для средней общеобразовательной школы, работающей по базисному учебному плану, предполагает формированиеу школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры, как определённом методе познания мира. Но на данный момент содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Объём знаний, необходимый человеку, резко возрастает, в то время как количество отводимых часов для занятий сокращается. Математика, как школьная дисциплина, чрезвычайно мало знакомит учащихся с современными научными достижениями.

Одним из средств реализации требований программы и разрешения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов по математике.

Широкие предметные связи математики с другими дисциплинами, значительная прикладная составляющая содержания обучения математики представляет собой естественную сферу дифференциации содержания обучения в условиях информатизации образования.

Можно выделить ряд факторов,определяющих специфику элективных курсов по математики, их особое значение при обучении старшеклассников и их возможности для профильного обучения:

• интенсивный характер предметных связей математики с другими учебными дисциплинами;

• широкое использование понятийного аппарата, методов и средств предметной области «математики» при изучении практически всех предметов;

• значение математики для формирования ключевых компетенций выпускника современной школы;

• возможность приобретения образовательных достижений, востребованных на рынке труда;

• исключительная роль изучения математики для формирования системно-информационной картины мира;

• интегрирующая роль математики в содержании общего образования человека.

Элективные курсы по математике могут обеспечить функциональную грамотность старшеклассников, их социальную адаптацию. Учет интересов и склонностей учащихся позволит сформировать и развиватьинтерес к продолжениюобразования и получению современной профессии, направить процесс обучения на профессиональное самоопределение личности.

Профессиональное самоопределение является главной проблемой жизненного самоопределения старшеклассника. Элективные курсы по математике для различных профилей позволяют учащимся представить себя субъектом будущей профессиональной деятельности, актуализировать его самосознание, самооценку, саморазвитие, что обеспечит основу стимулирования профессионально важных качеств личности.

По мере достижения старшего школьного возраста возникает достаточная стабилизация интересов, осознание собственного творческого потенциала, общих и специфических особенностей развития личности, стремление к активному самоопределению, поиску своего места в жизни общества и профессиональной деятельности, появляется стремление к объективной оценке своих познавательных и личностных возможностей, сознательному саморегулированию своего поведения и поступков.

Формирование профессионального самоопределения старших школьников осуществляется на основе внутренней активности их личности через внутриличностные факторы мотивации обучающихся, направленные на природные потребности к саморазвитию, на стремление к самовыражению и самоутверждению, самоопределению и самоуправлению. Для этого необходимо использовать такие формы обучения, которые будут способствовать процессу превращения познавательных потребностей старших школьников в мотивы их будущей профессиональной деятельности, то есть такие формы, которые помогают старшеклассникам не только приобрести профессионально необходимые знания и умения, но и осознать себя субъектами будущей профессиональной деятельности.

1. Структура и тематическое планирование элективного курса

«Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике»

1. Роль элективного курса в подготовке школьников к олимпиадам

Разработанный элективный курс «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике» рассчитан на 36 часов для учащихся среднихобщеобразовательных школ.

Целями элективного курсаявляются:

• углубление и расширение знаний обучающихся по применению методов теории делимости;

• расширение знаний в вопросах решения уравнений в целых числах;

• развитие познавательной активности и самостоятельности в получении знаний;

• развитие творческих способностей, логического мышления и познавательного интереса;

Элективный курс направлен на:

• выработку у обучающихся практико-ориентированных умений и способов деятельности;

• подготовку к осознанному и ответственному выбору будущей профессиональной деятельности;

• создание условий для самообразования;

• формирование у обучающихся умений и навыков самостоятельной работы.

Современная школа накопила богатый опыт проведения кружковых занятий по математике, неразрывно связанных с подготовкой к олимпиадам, нов этом направлении имеются свои проблемы, которые волнуют в настоящее время педагогическую общественность страны, о чем свидетельствуют беседы с учителями, публикации в печати. Актуальность курса и его место в системе образования определяется тем, что он дополняет кружковую работу и направлен на расширение математической культуры школьников.

Проведение олимпиад позволяет выявить учащихся, имеющих интерес и склонности к занятиям математикой. Ведь олимпиадная задача – это задача повышенной трудности, нестандартная как по формулировке, так и по методам решения. К сожалению, на уроках математики часто не хватает времени на решение и разбор таких задач. Для освоения дисциплины студенты используют знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения дисциплин информационного блока.

Задачи на делимость и уравнения в целых числах часто встречаются на олимпиадах разного уровня, а также включены в ЕГЭ по математике и оцениваются максимальным количеством баллов, поэтому важно организовать учебную деятельность на обучение методам решения подобных задач.

Приведем тематическое планирование курса (см. табл. 1.1)

Таблица 1.1. Тематическое планирование

№п.п.	Тема урока	Количество часов
Задачи на делимость чисел
1	Общие вопросы делимости чисел	4
2	Основная теорема арифметики	4
Задачи на свойства числа
1	Числовые неравенства	4
2	Преобразование числовых выражений	4
Решение уравнений в целых числах
1	Общие методы решения уравнений в целых числах	8
2	Методы решения систем уравнений в целых числах	4
3	Разбор задач математических олимпиад	8
Итого: 36 часов

1. Методические указания для преподавателей

Изучение дисциплины следует начинать с проработки рабочей программы, особое внимание, уделяя целям и задачам, структуре и содержанию курса.

Данный курс состоит из трех разделов:

1. Задачи на делимость чисел;

2. Задачи на свойства числа;

3. Решение уравнений в целых числах.

Тематическое планирование соответствует физико-математическому профилю средних общеобразовательных школ.

При построении лекционного курса важно продумать не только содержание, но логику изложения материала каждого раздела. Учителю важно выделять основные понятия и методы для формирования у обучающихся универсальных учебных действий, которые направлены на реализацию познавательной самостоятельности школьника. Чтение лекций должно сопровождаться достаточным количеством примеров и методов решения задач. Следует придерживаться строгости в изложении материала излагать его на доступном для восприятия уровне.

Преподавателю необходимо обращать внимание на внутрипредметные и межпредметные связи разделов курса. Основным результатом освоения курса лекций является формирование математической картины мира, предполагающее свободное оперирование основными понятиям, умение решать задачи практической направленности.

В ходе освоения дисциплины при проведении аудиторных занятий используются следующие образовательные технологии: лекции с использованием интерактивных форм проведения занятий, практические работы с использованием персональных компьютеров.

Интерактивным методом обучения выступает коллективная мыслительная деятельность. Активные методы обучения: проблемная лекция, самостоятельная работа с литературой.

С целью повышения активизации учебно-познавательной деятельности учащихся могут быть использованы основные современные информационные и коммуникационные технологии обучения:

• интерактивная доска при обучении;

• интернет-ресурсы в образовании;

• математические пакеты и обучающие программы;

• дистанционный контроль обучения;

• разработка тестов и опыт их применения в обучении;

• мультимедийные презентации лекций.

Использование электронных презентаций при объяснении нового материала, решении задач, повторении, контроле знаний. Наглядное представление определений, таблиц, схем и рисунков, предъявление подвижных зрительных образов в качестве основы для осознанного овладения научными фактами обеспечивает эффективное усвоение обучающимися новых знаний и умений. Динамические элементы на слайдах повышают наглядность, способствуют лучшему пониманию и запоминанию учебного материала. Применение мультимедийных технологий на занятиях повышает статус преподавателя, который идет в ногу не только со временем, но и с учащимися.

Текущий контроль результатов освоения курса проводится на практических занятиях. Умения и навыки, формируемые на практических занятиях, являются основным средством интеллектуального развития обучающихся.

1. Методические указания учащимся

Самостоятельная работа учащихся направлена на:

• работу с конспектом лекций;

• работу с основной и дополнительной литературой;

• подготовку к итоговой аттестации по дисциплине.

Самостоятельная работа учащихся предполагает:

• подготовку к лекциям;

• подготовку к письменным работам;

• подготовку к зачетной итоговой работе.

Успешное изучение курса требует от учащихся посещения лекций, активной работы на практических занятиях, выполнения всех заданий преподавателя.

Запись лекции – одна из форм активной самостоятельной работы учащихся, требующая навыков и умения кратко, схематично, последовательно и логично фиксировать основные положения, выводы, обобщения, формулировки. Культура записи лекции – один из важнейших факторов успешного и творческого овладения знаниями.

Для выполнения письменных домашних заданий учащимся необходимо внимательно прочитать соответствующий раздел пособия и проработать аналогичные задания, рассматриваемые преподавателем на лекционных занятиях.

Основным методом обучения является самостоятельная работа студентов с учебно-методическими материалами, научной литературой, статистическими данными, в том числе из сети Интернет.

Постоянная активность на занятиях, готовность ставить и обсуждать актуальные проблемы курса – залог успешной работы и положительной оценки.Самостоятельная работа учеников должна соответствовать более глубокому усвоению изучаемого материала, формировать навыки исследовательской работы и ориентировать их на умение применять теоретические знания на практике.

Выводы по первой главе.

Профилизация образования в старших классах школы предполагает углубление и расширение знаний обучающихся по математике;расширение знаний в рамках выбранного профиля;развитие познавательной активности и самостоятельности в получении знаний;развитие творческих способностей, логического мышления и познавательного интереса;развитие универсальных учебных действий обучающихся. Осознание этих фактов сделало очевидным необходимость построения нового курса, при разработке которого преследовалось несколько основных целей: систематизация задач по типам, разбор основных методов решения и апробирование курса на практике.

Элективный курс дополняет содержание базовых дисциплин, направлены на: повышение уровня индивидуализации обучения и социализации личности; подготовку к осознанному и ответственному выбору сферы будущей профессиональной деятельности; развитие у школьников отношения к себе как к субъекту будущего профессионального образования; выработку у обучающихся практико-ориентированных умений и способов деятельности.

Разработанный элективный курс «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике» направлен на формирование умений применять методы теории делимости в процессе подготовки к математическим олимпиадам. Тематическое планирование созданного курса рассчитано на 36 часов и в его структуре отражены основные разделы, входящие в математические олимпиады различного уровня.

1. Содержание курса «Делимость и задачи в целых числахв олимпиадной математике»

2.1.Задачи на делимость в олимпиадной математике

Далее будем считать, что все числа целые, если не оговаривается противное.

Определение. Число делится на число , если существует такое число , что .

Свойства делимости

• Если делится на , то и число делится на.

• Если число делится на и число делится на , то сумма и разность чисел и делится на.

Признаки делимости

• Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра четна.

• Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифрделится на 3.

• Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, составленноеиз последних двух цифр его десятичной записи, идущих в том жепорядке, делится на 4.

• Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчиваетсяна 0 или 5.

• Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифрделится на 9.

• Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, считая справа в десятичной записи данного числа, и суммы цифр, стоящих на четных местах в десятичной записи данного числа, делится на 11 (например, число 305792608 делится на 11, так как (8+ 6+9 + 5 + 3) - (0+ 2+7 + 0) = 22 – делится на 11).

Простые и взаимно простые числа

• Натуральное число, отличное от 1, называется простым, если у него нет натуральных делителей, отличных от 1 и него самого.

• Числа, отличные от 1 и не являющиеся простыми, называются составными.

• 1 не является ни простым, ни составным числом.

• Два числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются взаимно простыми.

• Если число делится на числа и , причем числа и взаимно просты, то число делится на их произведение . Данное утверждение верно не только для двух чисел, но и для любого количества попарно взаимно простых чисел (а именно: если число делится на каждое из чисел, причем любые два числа из данных чисел взаимно просты, то число делится на произведение данных чисел).

Основная теорема арифметики и количество делителей. Каждое натуральное число имеет единственное (с точностью до порядка множителей) разложение на простые множители

( попарно различные простые числа, натуральные числа). Данная форма записи называется каноническимразложением числа .

Количество натуральных делителей числа , записанного в канонической форме, равно

Остатки. Любое целое число можно поделить с остатком на любое ненулевое целое число , а именно существуют числа (неполноечастное) и (остаток) такие, что выполняется равенство,причем

Сумма (произведение) чисел и дает тот же остаток при делениина число , что и сумма (произведение) остатков чисел и приделении на число .

Задача 1. Доказать, что число делится на 6 при любом натуральном .

Решение. Заметим, что

Поскольку произведение трех последовательных натуральных чисел, то хотя бы одно из них четно, а значит, делится на 2, и есть одно, которое делится на 3. Второе слагаемое также делится на 6. Таким образом число делится на 6 при любом натуральном .

Задача 2. Найти наименьшее натуральное число, сумма цифр которого делится на 7 и сумма цифр следующего за ним числа тоже делится на 7.

Решение. Заметим, что сумма цифр изменяется на при одной девятке в конце числа (к примеру 889(25) и 890(17)), следовательно, нам нужно минимальное количество девяток такое, что (n - количество девяток в конце) кратно 7. Наименьшее подходящее на конце искомого числа стоят 4 девятки. Сумма 4 девяток –36, а т.к. нам нужно, что сумма цифр искомого была равна 7, ближайшее число к 36, которое кратно 7 и больше его –42. Значит искомое число - 69999.

Ответ: 69999

Задача 3. Найти в числе , которое кратно 24.

Решение. Если число делится на 24, то оно будет делится на 8 и на 3. Если число делится на 8, то делится на 8, т.е

Чтобы делилось на 3, достаточно, чтобы сумма делилась на 3, т.е

Заметим, что т.е или значит,

Вычитая из (1) - (2), получим откуда Чтобы было целым, необходимо, чтобы делилось на 8.

Если то

Если то .

Если то или .

Если то .

Если то .

Если то или .

Из

При найденных значениях и находим числа 567840, 567816, 567864,567808, из которых условию задачи удовлетворяют лишь первые три числа:

Ответ:

Задача 4. Доказать, что из любых 13 натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 11.

Решение. При делении на 11 получается один из одиннадцати остатков: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. По условию дано 13 чисел, значит, у каких-то двух чисел остатки совпадут. Разность этих двух чисел делится на 11.

Задача 5. Может ли число, в записи которого участвуют 2015 цифр 3 и несколько нулей, быть полным квадратом?

Решение. Не может быть, так как это число делится на 3, но не делится на 9 (по признаку делимости на 3 и 9). А если полный квадрат делится на 3, то он делится на 9.

Задача 6. Доказать, что число делится на 13.

Решение.

а, значит, делится на 13.

Задача 7. Доказать, что сумма делится на 37.

Решение.

Сумма делится на 37, а значит, и сумма делится на 37.

Задача 8. Доказать, что число делится на 13.

Решение.

. Тогда

Поскольку делится на 13, то и данное число также делится на число 13.

Задача 9. Доказать, что если делятся на , то делится на

Решение. Известно, что

Как видно, выражение в каждой скобке делится на , значит, произведение делится на

Задача 10. Доказать, что

Решение.

1. Сумма нечетных степеней делится на сумму оснований.

2. Разность любых целых степеней делится на разность оснований.

3. кратно 10

Таким образом,

Задача 11. Доказать, что кратно 31.

Решение.

кратно 31, а значит, и все произведение кратно 31.

Задачи для самостоятельного решения

1. Какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 5?

2. Какое наименьшее натуральное число не является делителем числа ?

3. Каково наименьшее натуральное число , такое, что делится на 990?

4. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2,5,9 и 11.

5. Найдите 10 натуральных чисел, обладающих тем свойством, что их сумма делится на каждое из них.

2.2. Задачи на свойства чисел

Краткая теоретическая справка

Всякое натуральное число единственным образом представимо в виде

где натуральное число или 0, , , , …, , , – цифры

от 0 до 9, причем цифра

Это представление натурального числа в десятичной системе счисления называют десятичной записью числа. Для краткости мы будем записывать это -значное число в виде:

(черта, как правило, ставится, чтобы отличить десятичную запись числа от произведения цифр ).

Натуральное число является –значным в том и только в том случае, когда оно удовлетворяет неравенству .

Всякая правильная дробь представима в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. Дробь называется чисто периодической, если ее период начинается сразу после запятой, отделяющей целую и дробную часть числа.

Несократимая правильная дробь представляется в виде конечной десятичной дроби в том и только в том случае, когда ее знаменатель не делится на простые числа, отличные от 2 и 5.

Задача 1. Найти наименьшую пару натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

Решение.

Выразим переменную через

Выделим целую часть правой части:

Т.к, то натуральное число. Очевидно, что при получим наименьшую пару чисел , удовлетворяющую условию задачи.

Ответ:

Задача 2. Найти , если

Решение.

Ответ:

Задача 3. Число 7 возвели в 19-ю степень. Полученное число вновь возвели в 19-ю степень и т.д. Возведение повторено 2011 раз. Определить последнюю цифру полученного числа.

Решение. Определим последнюю цифру , для чего возведем 7 последовательно в степень и будем находить только последнюю цифру степени: цифру после многоточия будем считать последней цифрой степени.

и т.д. И вообще,

Итак, оканчивается цифрой 3.

Аналогично находим, что ( оканчивается цифрой 7, ( цифрой 3. Таким образом, нечетное число возведений в степень оканчивается цифрой 3, а четное – цифрой 7, а так как 2011 – нечетное число, то искомое число оканчивается цифрой 3.

Ответ: 3.

Задача 4. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

Решение.

или

или

или

Так как пара и не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: ,

Задача 5. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если к этому числу прибавить 27, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.

Решение. Пусть цифра десятков, цифра единиц. Тогда, согласно условию задачи, имеем систему уравнений:

Ответ: 47

Задача 6. Доказать, что произведение трех последовательных целых чисел, сложенное со вторым из них, равно кубу второго числа.

Решение.

Задача 7. Если между цифрами двузначного числа вписать нуль, то полученное трехзначное число будет в 9 раз больше исходного. Найти это число.

Решение. Пусть двузначное число, где цифра десятков, цифра единиц. Если между цифрами вписать нуль, то получим трехзначное число вида

единственная пара возможных чисел.

Итак, искомое число 45, так как

Ответ: 45

Задача 8. Найти все трехзначные числа, которые уменьшаются в 13 раз при вычеркивании средней цифры.

Решение. Запишем условие задачи:

Отсюда имеем:

.

Таким образом, это числа 130,195,260,390.

Ответ: 130,195,260,390.

Задача 9. Доказать, что в записи числа , есть две одинаковые цифры.

Решение. Поскольку , то в этом числе больше, чем 10 цифр, значит, найдутся две одинаковые цифры.

Задача 10. Найти натуральные, если

Решение. Разложим левую часть равенства на множители.

Это равенство в области натуральных чисел выполняется, если

Ответ:

Задача 11. При каком натуральном число вида будет простым?

Решение.

При простое.

Ответ:

Задача 12. Квадратный трёхчлен имеет целые корни, по модулю большие 2. Докажите, что число — составное.

Решение. Пусть и — корни трёхчлена. Тогда по теореме Виета . Из условия следует, что каждая скобка не равна или . То есть число — составное.

Замечание. Так как для квадратного трёхчлена величина , то разложение , можно было получить сразу, вспомнив о разложении приведённого квадратного трёхчлена на множители .

Задача 13. Найти такое простое число , что тоже простое.

Решение. Заметим, что нечетно, тогда четные. Такое число единственное, т.е

Ответ:

Задача 14. Сколько существует трехзначных чисел, у которых последняя цифра равна произведению двух первых цифр?

Решение.

Последняя цифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Числа	111	122 212	133 313	144 222 414	155 515	166 616 326 236	177 717	248 428 818 188	199 911 339	100 200 300 400 500 600 700 800 900

Итого, 32 числа.

Ответ: 32

Задача 15. Существуют ли натуральные числа , для которых выполняется неравенство

Решение. Так как , то

Следовательно, .

Задача 16. Докажите, что квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5, оканчивается на 25.

Решение. Всякое натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, можно представит в виде где количество его десятков (не обязательно цифра!). Например, Квадрат числа будет равен Это число оканчивается на 25, так как первые два слагаемых оканчиваются двумя нулями и не влияют на последние две цифры суммы.

Задача 17. Может ли число оканчиваться цифрой 7?

Решение.

Данная сумма может оканчиваться на 0; 1; 3; 5; 6; 8.

Ответ: нет.

Задача 18. Трехзначное число оканчивается цифрой 5. Если эту цифру переставить на первое место и найти разность между исходным и полученным числом, то получится трехзначное число с одинаковыми цифрами. Найти это число.

Решение. Запишем условие задачи:

. Число после преобразования: . По условию получим:

. Отсюда , т.к 37 – простое.

Имеем и

2. нет решения, т.к. .

3. .

Ответ: 925.

Задача 19. Найти все трехзначные числа, которые при делении на 11 дают полный квадрат.

Решение.

При 176, 275, 396, 891.

При 539, 704.

Ответ: 176, 275, 396, 891, 539, 704.

Задача 20. Найти цифры если

Решение.

1. 

441

1. 

Такого быть не может, т.к не квадрата, оканчивающегося на цифру 2.

1. 

Такого быть не может.

Ответ:441

Задача 21. Найти целое число, которое обращается в квадрат как при увеличении его на 307, так и после уменьшения на 192.

Решение. Пусть искомое число. Получим систему уравнений:

Отсюда, . Число 499 – простое, значит,

Этим условиям удовлетворяют

Ответ:

Задача 22. Найти все целые положительные числа, произведение цифр которых

Решение.

.

Произведение цифр любого числа не больше самого числа, значит:

Таким образом, значит,

Ответ:

Задача 23. Найдите все двузначные числа, которые равны сумме цифры десятков и квадрата цифры, стоящей в разряде единиц.

Решение. Запишем условие задачи, обозначив за цифру десятков, а за цифру единиц:

Из уравнения получим:

откуда

Ответ:

1. Решение уравнений в целых числах

Приведем краткую теоретическую справку по методам решения уравнений в целых числах. Здесь все числа целые, если не оговаривается противное.

Уравнение вида , переменные в котором считаются целочисленными, называется уравнением в целых числах, или диофантовым уравнением. Набор целочисленных значений переменных, при подстановке которых в уравнение получается верное равенство, называется решением диофантова уравнения.

Уравнение вида называется линейным диофантовым уравнением. Очевидно, что такое уравнение имеет решения в целых числах только тогда, когда.

Однако верно и обратное утверждение: если, то уравнение имеет целочисленные решения. В этом случае можно разделить оба коэффициента и свободный член уравнения наи решать полученное, более простое уравнение.

Если пара чисел является решением такого уравнения, то все его решения можно получить по формулам

Обычно указанную пару решений находят подбором, подставляя вместо одной переменной остатки от деления на коэффициент при другой.

Задачи

Задача 1. Решить в натуральных числах уравнение

Решение. Так как четно, то уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней

Задача 2. Решить в целых числах уравнение

Решение.

Ответ:

Задача 3. Решить в целых числах уравнение

Решение.

или

или

Ответ:

Задача 4. Решить уравнение в натуральных числах.

Решение.Пусть . При таких подстановках данное уравнение примет наиболее простой вид:

Но 19 и 15 – взаимно простые, тогда Значит,

Следовательно, и будут одновременно натуральными, если

Если , то последовательно получим пары чисел

Ответ:

Задача 5. Решить в целых числах уравнение

Решение.Запишем уравнение в следующем виде:

Преобразуем его:

.

Пусть тогда последнее уравнение примет вид

Имеем систему:

Так как , то для возможны значения:

Из всех этих значений системе удовлетворяет лишь значение тогда

Следовательно, исходное уравнение имеет четыре решения:

Ответ:

Задача 6. Решить в целых числах уравнение

Решение.

и четно ⇒ произведение двух чисел одной четности. Подходят и .

или

Нет целых решений

Удовлетворяют следующие пары чисел .

Ответ: .

Задача 7. Решить в целых числах уравнение

Решение.

произведение трех последовательных целых чисел. Так как 2015 не делится на 3, то уравнение не имеет решения.

Ответ: нет корней.

Задача 8. Имеет ли решение в натуральных числах уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде Заметим, что . Полученное равенство является тождеством. При нечетномможно положить и . Таким образом, всякая тройка чисел где и нечетное число, является решением исходного уравнения. Т.е, исходное уравнение имеет сколь угодно решений в натуральных числах.

Задача 9. Доказать, что уравнение имеет решение в целых числах.

Решение.

Решением может быть

Задача 10. Решить в целых числах уравнение .

Решение.

.

Итак, решением являются пары чисел

Ответ:

Задача 11. Решить в натуральных числах уравнение

Решение.

Таким образом,

Ответ:

Задача 12. Решить в целых числах уравнение

Решение.

⇔

⇔

⇔

нет решения

нет решения

нет решения

нет решения

Ответ: .

Задача 13. Решить в натуральных числах уравнение

Решение.

Имеем Откуда

Так как то или т.е

Следовательно, Условию задачи удовлетворяют лишь тогда т.е получим две пары решений:

Задача 14. Решить в целых числах уравнение

Решение. Нетрудно заметить, что исходное уравнение равносильно уравнению

Если , имеем , т.е уравнение решений не имеет.

Если , то , т.е уравнение решений не имеет.

Подставляя значения , равные 0 и -1, находим соответствующие значения .

Ответ:

Задача 15. Решить в целых числах уравнение

Решение.

Рассмотрим 4 случая:

1. 2. 3. 4.

Только третья система имеет решение в целых числах: .

Ответ: .

Задача 16. Решить уравнение где

Решение.

Разделив на , получим Тогда

.

Выражение должно быть целым, поэтому Отсюда или . Значение не удовлетворяет. Поэтому

Ответ:

Задача 17. Решить в целых числах систему уравнений

Решение.

Так как то:

Согласно условию, . Имеем:

.

Либо всечетные, либо два четных, а одно нечетное

Получим 4 решения:

Выводы по второй главе.

Во второй главе рассмотрено содержание элективного курса «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике». Материал разбит по темам для проведения занятий с обучающимися на применение различных методов делимости и решения уравнений в целых числах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенный анализ методической литературы показал, что с основными принципами обучения при построении элективного курса должны являться: индивидуальность, систематичность и последовательность, доступность, преемственность, научность, направленность, использование новых технологий в обучении, результативность.

Посколькуимеющиеся элективные курсы не могут в полной мере обеспечить учащихся необходимыми знаниями по методам решения уравнений в целых числах и отсутствуют систематизированные электронные образовательные ресурсы, то появилась необходимость создания такого курса, который раскрывает перед учениками новые знания.

В ходе работы над проектомвсе поставленные задачи были решены, в частности:

• проведен анализ методической, психолого - педагогической и учебной литературы, связанной с введением профильного обучения на разных ступенях образования;

• систематизирован теоретический материал по теме «Делимость чисел», «Уравнения в целых числах»;

• изучены особенности создания элективных курсов;

• разработан курс «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике», который реализован в виде электронного образовательного ресурса.

Апробация курса «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной подготовке» проходила на базе МАОУ «БЛИ №3» в 2015-2016 учебном году при проведении занятий в11 классе физико-математического профиля. Проверка эффективности использования курса «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной математике» показала актуальность темы. Обучающиесяпроявили интерес к данной теме и показали хорошие результаты по завершению данного курса.

Учащимся были интересны разделы данного курса. Особый интерес вызвала тема«Задачи на свойства чисел». Затруднения у учащихся вызвали вопросы раздела «Уравнения в целых числах». По завершению курса все учащиеся справились с итоговой проверочной работой и показали высокие результаты обучения.

Апробация курса «Делимость и задачи в целых числах в олимпиадной подготовке» проводилась посредством выступления на научно-практической конференции «Молодежь. Прогресс. Наука», где работа заняла второе место. Также опубликованы статьи:

- Обучение математике на основе проективной модели личностно-ориентированного обучения // Материалы VII Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум» (дата обращения: 09.05.2016)

- Формирование метапредметных компетенций на уроках математики // Материалы VIII Международной студенческой электронной научной конференции «Студенческий научный форум» (дата обращения: 09.05.2016)

- Тестирование как один из методов мониторинга качества образования // Актуальные проблемы науки третьего тысячелетия: материалы международной. науч.–практ. конф. (Стерлитамак, 11.01.2015 г.). – Стерлитамак: РИО АМИ, 2015. – С.156-158.

- Метод оценок при решении задач с параметром // Научные трудыSWorld. – 2015, Выпуск 2(39). - Том 10. – С. 85-88.

- Организация занятий по комбинаторике при подготовке к математическим олимпиадам // Мир науки и инноваций. – 2015, Выпуск 1(1). Том 7. – С. 51-54.

Работа написана мною самостоятельно и не содержит неправомерных заимствований.

___________/______________

«___»__________20___г.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Агаханов, Н.Х., Купцов, Л.П., Нестеренок, Ю.В.Математические олимпиады школьников [Текст] / Н.Х. Агаханов, Л.П. Купцов, Ю.В. Нестеренок. – М.: Просвещение, 2007. – 208 с.

2. Алфутова, Н.Б., Устинов, А.В. Алгебра и теория чисел: Сборник задач для математических школ [Текст] / Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов. – М.: МЦНМО, 2002. –264 с.

3. Базылев, Д. Ф. Справочное пособие к решению задач: диофантовы уравнения [Текст] / Д. Ф. Базылев. – Мн.: НТЦ "АПИ", 1999. –160 с.

4. Балаш, О.С., Высочанская, Е.Ю., Попова А.А. Методические указания и варианты контрольных заданий для студентов 1 и 2 курсов всех специальностей заочной формы обучения [Текст] / О.С. Балаш, Е.Ю. Высочанская, А.А. Попова. – Саратов: Сарат. институт Рос.гос. торгово-экон. ун-та, 2007 - 47с.

5. Бардушкин, В.В., Кожухов, И.Б., Прокофьев, А.А., Фадеичева, Т.П. Основы теории делимости чисел. Решение уравнений в целых числах. Факультативный курс [Текст]/ В.В. Бардушкин, И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев, Т.П.Фадеичева. – М.: МГИЭТ(ТУ), 2003. – 224 с.

6. Виленкин, Н.Я. Алгебра 8 кл. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики[Текст] / Н. Я. Виленкин. –М. Просвещение, 2005. – 234 с.

7. Воробьев, Н.Н. Признаки делимости -4-е изд. [Текст] / Н.Н. Воробьев. –М.:Наука, 2008. – 96 с.

8. Галкин, В.Я., Сычугов, Д.Ю., Хорошилова, Е.В. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел [Текст] / В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов, Е.В. Хорошилова. –М.: факультет ВМиК МГУ, 2006. –180 с. 

9. Галкин, Е. В. Нестандартные задачи по математике. Задачи с целыми числами: Учеб.пособие для учащихся 7-11 кл. [Текст]/ Е.В. Галкин– Челябинск: Взгляд, 2005. –271 с.

10. Гальперин, Г.А., Толпыго, А.К. Московские математические олимпиады [Текст] / Г.А. Гальперин, А.К. Толпыго. – М.: Просвещение, 2006. – 303с.

11. Генкин, С.А., Итенберг, И.В., Фомин, Д.В. Ленинградские математические кружки [Текст]/ С.А. Генкин, И.В Итенберг, Д.В. Фомин. – Киров, "Аса", 2004. – 272 с.

12. Горбачёв, Н. В. Сборник олимпиадных задач по математике [Текст]/ Н.В. Горбачёв. – М.: МЦНМО, 2004. – 560 с.

13. Ермаков, Д. С., Петрова Г. Д. Создание элективных учебных курсов для профильного обучения[Текст]/ Д.С. Ермаков, Г.Д. Петрова. –М.:Школьные технологии, 2003. –134с.

14. Звонников, В.И., Челышкова, М.Б. Современные средства оценивания результатов обучения[Текст] / В.И. Звонников, М.Б. Челышкова. –М.: Изд.центр «Академия», 2007. –224с.

15. Канель-Белов, А. Я., Ковальджи, А. К. Как решают нестандартные задачи / Под ред.В. О. Бугаенко. – 4-е изд., стереотип. [Текст] /А.Я. Канель-Белов, А.К. Ковальджи. – М.: МЦНМО,2008. – 96 c.

16. Кинзибаева, И.Г. Элективные курсы – требования к разработке//Мастер-класс: приложение к ж. «Методист» [Текст]/ И.Г. Кинзибаева. –2006.–161 с.

17. Лебедев, О.Е. Роль элективных курсов в создании нового поколения учебных материалов: материалы к семинару НФПК «Создание учебников новых поколений» [Текст]/ О.Е. Лебедев. –М., 2000.– 27с.

18. Левченко, И.В., Лагашина, Н.И. Элективные курсы по информатике как средство формирования профессионального самоопределения учащихся старших классов в условиях информатизации образования [Электронный ресурс]: URL: http://imp.rudn.ru(Дата обращения 15.04.2016)

19. Леднев, В. С. Концепция оценки достижения учащимися требований общеобразовательного стандарта [Текст]/ В.С. Леднев. – M.: Изд-во РАО, 2009. – 327с.

20. Лернер, П.С. Роль элективных курсов в профильном обучении [Текст]/ П.С. Лернер. –М.:Профильная школа2004. – 97с.

21. Маттис, Л.А., Степчева, З.В. Методические рекомендации по разработке контрольно- измерительных материалов для выявления уровня подготовки студентов[Текст]/ Л.А. Маттис, З.В. Степчева. – Ульяновск: Ульяновский государственный технический университет, 2010. –138с.

22. Мухин, М.И., Мошнина, Р.Ш., Фоменко, И.А. Профильное обучение как стратегическое направление модернизации образования. Профильное обучение. Вопросы теории и практики [Текст] / М.И. Мухин, Р.Ш. Мошнина, И.А. Фоменко. –М., Педагогическая академия, 2005. –237с.

23. Нецветайлова, А.В., Ромаева, Н.Б. Роль элективных курсов по информатике в условиях предпрофильной подготовки учащихся общеобразовательной школы [Электронный ресурс]: URL: http://jurnal.org/articles/2009/ped26.html(Дата обращения 17.04.2016)

24. Прасолов, В.В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу[Текст] / В.В. Прасолов. –М.: МЦНМО, 2007. –608 с.

25. Пратусевич, М. Я. и др. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра [Текст] /М.Я Пратусевич. – М.: МЦНМО, 2011. –48 с.

26. Проскуряков, И.В.Сборник задач по линейной алгебре[Текст] / И.В. Проскуряков. – М.: Лаборатория Базовых знаний, 2001. – 98 с.

27. Севрюков, П. Ф. Подготовка к решению олимпиадных задач по математике[Текст] / П. Ф. Севрюков. – Изд. 2-е. –М.:Илекса; Народное образование; Ставрополь:Сервисшкола, 2009. – 112 с.

28. Фомин, Д. В. Санкт-Петербургские математические олимпиады [Текст]/ Д.В. Фомин. –СПб.: Политехника, 2004. – 309 с.

29. Шевкин, А.В., Пукас, Ю.О. ЕГЭ. Математика. Задание С6[Текст] / А.В. Шевкин, Ю.О. Пукас. – М.: Издательство «Экзамен», 2011. – 62 с.

30. Шклярский, Д.О., Ченцов, Н.Н., Яглом, И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра [Текст]/ Д.О. Шклярский, Н.Н Ченцов, И.М. Яглом.–М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. –480 с.