Симметирические и антисимметрические многочлены почти не изучаются в школе. Решая неоторые системы уравнений высших степеней сталкиваешься с уравнением высшей степени, которое в школьной программе нельзя решить, чтобы его решить, надо использовать дополнительную учебную информацию. Мне удалось найти источник, в которм рассматривается решение систем уравнений, где используется метод понижения стпеней. Используя этот метод я достигла своей цели, то есть решила выбранную мною систему. Целью моей работы является рассмотреть, как применяются симметрические и антисимметрические многочлены в решении систем высших степеней.Для ее достижения необходимо решить следующие задачи:
1) Рассмотреть теоритический материал, необходимый для решения;
2) Исследовать различные подходы к решнию систем, в том числе из личного опыта;
3) Расширить знания для успешной сдачи экзамена.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
6. Задачи о квадратных уравнениях …………………………………………….7
7. Возвратные уравнения ………………………………………………………..8
8. Разложение симметрических многочленов на множители……………… 10
9. Антисимметрические многочлены от двух переменных ………………….10
III. Заключение ………………………………………………………………….11
IV. Библиография ……………………………………………………………….12
I. Введение.
Тема моей исследовательской работы «Симметрические и антисимметрические многочлены».
Эту тему я выбрала потому, решение систем уравнений высших степеней вызывают большие затруднения при решении, а также разложение многочленов на множители.
Для квадратного уравнения с одним неизвестным x2 + px + q = 0 выводится формула , указывающая стандартный путь решения. Не вызывает затруднения и решение уравнения вида ах2 + bх +с = 0. Для систем уравнений первой степени тоже есть стандартные приемы решения (исключение неизвестных, уравнение коэффициентов и т. д.).
Наиболее общим способом решения таких систем является метод исключения неизвестных. Рассмотрим пример следующей системы уравнений:
Решив первое уравнение относительно неизвестного у. Находим у = 4 – х. Подставив полученное для у выражение во второе уравнение, получаем новое уравнение, содержащее только одно неизвестное х:
.
После очевидных упрощений приходим к уравнению
,
решая, которое, находим два корня
.
Каждому из этих корней соответствует определенное значение у
Проверка показывает, что оба найденных решения
Удовлетворяют заданной системе.
Развивая, свои навыки решения систем уравнений я решила применить этот метод в решении следующей системы:
Из первого уравнения находим: х2 = 4 – у2 , и тогда х6 = (4 – у2)3 = 64 – 48у2 + 12у4 – у6.
Из второго уравнения находим: х3 = 8 – у3, и тогда х6 = (8 – у3)2 = 64 – 16у3 + у6.
Приравнивая найденные значения для х6, получаем уравнение содержащее одно неизвестное у: 2у6 -12у4 -16у3 +48у2 = 0.
Таким образом, решение такого уравнения завело меня в тупик. Я стала искать в дополнительных источниках решение систем уравнений высших степеней. В результате поиска я нашла метод решения систем уравнений высших степеней, который приводит не повышению, а к понижению степени уравнений.
Цель работы: рассмотреть решение систем уравнений высших степеней.
Для этого необходимо решить следующие задачи:
--------- рассмотреть теоретический материал, необходимый для решения.
---------- исследовать различные подходы к решению, в том числе и из личного опыта.
----------расширить знания для успешной сдачи экзамена и будущей жизни.
Я провела анализ решения систем, используя данные из дополнительных источников и исследование различных подходов к их решению.
II. Основная часть.
1. Примеры симметрических многочленов.
Если в левой части в многочленах поменять х на у, а у на х, то многочлены не изменятся.
Определение. Многочлен от х и у называется симметрическим, если он не изменяется при замене х на у, а у на х.
Из арифметики мы знаем, что сумма двух чисел не меняется при перестановке слагаемых, то есть: х + у = у + х для любых х и у. Это равенство показывает, что многочлен х + у
является симметрическим.
Точно также из закона коммутативности умножения ху = ух следует, что произведение ху является симметрическим многочленом.
Симметрические многочлены х + у и ху являются самыми простыми. Их называют элементарными симметрическими многочленами от х и у и обозначают σ1 = х + у, σ2 = ху.
2. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.
Если взять любой многочлен от σ1 и σ2 и подставить в него вместо σ1 и σ2 их выражения
σ1 = х + у, σ2 = ху, то получится симметрический многочлен от х и у. Рассмотрим на примере. Из многочлена получаем симметрический многочлен
.
Выразим степенные суммы s1,s2, s3, s4через σ1 и σ2:
Рассмотрим на примере.
Теорема. Любой симметрический многочлен от х и у можно представить в виде многочлена от σ1 = х + у, σ2 = ху.
Доказательство теоремы.
3. Выражение степенных сумм через σ1 и σ2.
Рассмотрим равенство: . Умножим обе части этого равенства на
σ1 = х + у.
Получим:
Таким образом, (1)
Формула (1), составляющая основу изложенного доказательства, позволяет последовательно вычислять выражения степенных сумм sn через σ1 и σ2. Так ,например, можно выразить:
.
В результате вычислений я получила следующую таблицу:
Выражения степенных функций sn = хn + уn через σ1 = х + у и σ2 = ху. Таблица 1
s1
σ1
s6
s2
s7
s3
s8
s4
s9
s5
s10
Доказательство основной теоремы. Любой симметрический многочлен от х и у содержит (после привидения подобных членов) слагаемые двух видов.
Во-первых, могут встретиться одночлены , в которых х и у входят в одинаковых степенях, то есть одночлены вида то .
Во-вторых, могут встретиться одночлены, в которых х и у входят в разных степенях, то есть одночлены вида,где . С одночленом симметрический многочлен содержит, также и одночлен , получаемый из перестановкой букв х и у. В симметрический многочлен входит двучлен вида b(. Пусть k l, то двучлен можно представить в виде: b( = .
А так как по доказанному степенная сумма представляется в виде многочлена от σ1 и σ2, то и двучлен выражается через σ1 и σ2. Каждый симметрический многочлен представляется в виде суммы одночленов вида и двучленов вида b(, каждый из которых выражается через σ1 и σ2. Следовательно ,любой симметрический многочлен, представляется в виде многочлена от σ1 и σ2.
4. Решение систем уравнений
А, теперь я вернусь к системе, которую не могла решить.
Введем новые неизвестные σ1 = х + у и σ2 = ху. Обращаясь, к таблице находим:
Получаем следующую систему:
Находя из первого уравнения значение σ2и подставляя его в второе уравнение, я получаю уравнение относительно σ1:
.
Применяя теорему Безу и подставляя целые значения для σ1 (т.е. σ1 = 0, ±1, ±2,…), убеждаюсь, что значение σ1 = 2, является корнем. По теореме Безу следуе, что левая часть уравнения делится на σ1 – 2.
Таким образом, искомое квадратное уравнение, имеет вид
у 2- 16у + 100 = 0.
7. Возвратные уравнения.
Симметрические многочлены можно применять и для решения некоторых уравнений высших степеней. Рассмотрю, что представляют собой возвратные уравнения.
Многочлен f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an (a0 ≠ 0) называется возвратным, если в нем коэффициенты, равноудаленные от концов, совпадают, то есть a0 = an, a1 = an-1, a2 = an-2, …
Например, возвратными являются многочлены
z5 – 3z4 + 2z3 +2z2 – 3z + 1
2z8 +z7 – 6z5 – 6z3 + z + 2
zn + 1
Уравнение f(z)= 0, левая часть которого представляет собой возвратный многочлен, называется возвратным.
Теорема. Всякий возвратный многочлен
f(z) = a0z2k + a1z2k-1 + … + a2k-1z + a2k
четной степени 2к представляется в виде
f(z) = zkh(σ)
где и h(σ) некоторый многочлен степени к от σ.
Доказательство.
Рассмотрим сначала многочлен четной степени 2к: Вынесем в этом многочлене за скобки zk , получим:
или принимая во внимание равенства a0 = a2k, a1 = a2k-1, …
.
Осталось доказать, что двучлены … можно выразить через .
Но эта задача сводится к задаче о выражении степенной суммы sк = хк + ук через
элементарные симметрические многочлены σ1 = х + у и σ2 = ху. Пусть х = z, у = , то степенная сумма sк = хк + ук превратится в выражение элементарный симметрический многочлен σ1 = х + у в а элементарный симметрический многочлен σ2 = ху примет значение 1. Подставляя в выражение степенной суммы sк через σ1 и σ2значения σ1 = σ2 =1, получим искомое выражение двучлена
через σ. Используя, таблицу 1 и полагая в этих формулах σ1 = σ2 =1, получаем
Итак, первое утверждение теоремы для возвратных многочленов четной степени доказано.
Случай возвратного многочлена нечетной степени 2к + 1:
f(z) = a0z2k+1 + a1z2k + … + a2kz + a2k+1
я рассмотрю в следующей работе.
Пример. Решить уравнение:
12z4- 16z3 – 11z2 – 16z + 12 = 0
Данное уравнение является возвратным и имеет степень 4. Преобразуем левую часть:
Так как z = 0 не является корнем исходного уравнения, то получаем квадратное уравнение относительно σ:
12σ2 - 16σ – 35 = 0
Решая его, находим два корня: . Таким образом, для нахождения корней первоначального уравнения получаем два уравнения:
Решая их находим корни: первое уравнение не имеет действительных корней, а из второго
z1 = 2, z2 = 0,5.
8. Разложение симметрических многочленов на множители
Прием разложения симметрических многочленов на множители заключается в том, что многочлен выражают через σ1 и σ2 и затем полученное выражение разлагают на множители. При выражении симметрического многочлена четвертой степени через σ1 и σ2
9. Антисимметрические многочлены от двух переменных
Антисимметрические многочлены это многочлены, меняющие знак при перестановки любых двух переменных. Примерами таких многочленов являются:
х– у, х3 – у3, х4у – ху4.
Свойство 1. Квадратантисимметрического многочлена является симметрическим многочленом.
После перестановке любых двух переменных антисимметрический многочлен меняет знак. Но это оставляет неизменным квадрат многочлена. Значит, квадратантисимметрического многочлена не меняется при любой перестановке двух переменных, то есть является симметрическим многочленом.
Свойство 2. Если перемножим два произвольных антисимметрических многочлена, то получим в произведении симметрический многочлен.
При перестановке любых двух переменных оба многочлена меняют знак, а потому произведение остается неизменным.
Свойство 3. При умножении симметрического многочлена на антисимметрический получается антисимметрический многочлен.
При перестановке двух переменных один множитель меняет знак, а второй не меняется.
Основная теорема об антисимметрических многочленов.
Любой антисимметрический многочлен f(х,у) имеет вид
f(х,у) = (х – у)g(х,у)
где g(х,у) – симметрический многочлен.
Лемма. Если f(х,у) – антисимметрический многчлен, от f(х,х)= 0.
Для доказательства достаточно заметить, что условие антисимметричности многочлена f(х,у), можно записать в виде f(х,у) = - f(у,х). Положив в этом равенстве у = х, получим соотношение f(х,х) = - f(х,х), которое может иметь место в том случае, если f(х,х)= 0.
III. Заключение.
Рассмотрев в своей работе симметрические и антисиметрические многочлены их применение к решению систем уравнений высших степеней, я повысила свой математический кругозор. Приобрела навыки в решении систем и разложении многочленов. Познакомилась с учебным материалом, который не входит в курс основной подготовки к математике.
Полученные знания мне помогут в дальнейшем обучении при поступлении в высшее учебное учреждение.
Библиография
Болтянский В.Г., Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре. – М. издательство московского центра непрерывного математического образования, 2002 г.
Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. – М. издательство «Наука», 1974 г.
