Серия опорных задач к зачету «Прямоугольная система координат на плоскости» для учащихся 8 классов.

Опорные задачи к зачету « Прямоугольная система координат»

1. Даны точки A(0; - 2), B(- 2;1), C(0;0) и D(2; - 9). Укажите те из них, которые лежат на прямой 2x - 3y + 7 = 0.

Ответ B.

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M(- 3;1) параллельно а) оси Ox; б) оси Oy.

Ответ а) y = 1; б) x = - 3.

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x + 2y - 5 = 0 и  x - 3y + 2 = 0 параллельно оси ординат.

Решение

Решив систему уравнений

найдём координаты точки B(x₀;y₀) пересечения данных прямых: x₀ = 1, y₀ = 1.

Поскольку искомая прямая параллельна оси ординат и проходит через точку B(x₀;y₀), её уравнение имеет вид x = x₀, т.е. x = 1.

1. Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых 2x + y - 6 = 0, x - y + 4 = 0 и y + 1 = 0.

Решение

Решив систему уравнений

найдём координаты точки A(x₁;y₁) пересечения данных прямых: x₁ = , y₁ = .

Аналогично найдём остальные вершины треугольника.

Ответ

(;), (- 5; - 1), (; - 1).

1. Даны точки A(0;0), B(- 2;1), C(3;3), D(2; - 1) и окружность (x - 1)² + (y + 3)² = 25. Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.

Решение

Подставив координаты данных точек в левую часть уравнения данной окружности, найдём квадраты расстояний от данных точек до центра Q(1; - 3) окружности:

QA² = (0 - 1)² + (0 + 3)² = 10

QB² = (- 2 - 1)² + (1 + 3)² = 25,

QC² = (3 - 1)² + (3 + 3)² = 40 25,

QD² = (2 - 1)² + (- 1 + 3)² = 5

Следовательно, точки A и D расположены внутри окружности, точка B — на окружности, а точка C — вне окружности.

Ответ Точки A и D расположены внутри окружности, точка B — на окружности, а точка C — вне окружности.

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M(- 3;2) параллельно прямой 

2x - 3y + 4 = 0.

Решение

Запишем уравнение данной прямой в виде y = x + . Поскольку искомая прямая параллельна данной, её угловой коэффициент равен угловому коэффициенту данной, т.е. . Значит, уравнение искомой прямой имеет вид y = x + l.

Поскольку точка M(- 3;2) лежит на этой прямой, её координаты удовлетворяют полученному уравнению, т.е. 2 =  ^. (- 3) + l — верное равенство. Отсюда находим, что l = 4. Следовательно, искомое уравнение имеет вид y = x + 4, или 2x - 3y + 12 = 0.

Ответ 2x - 3y + 12 = 0.

1. Даны точки A(3;5), B(- 6; - 2) и C(0; - 6). Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Решение

По формуле для расстояния между двумя точками находим, что

AB =  =  = , 

AC =  =  = .

Значит, AB = AC. Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный.

Ответ AB = AC = .

1. Найдите периметр треугольника ABC, если известны координаты его вершин A(- 3;5), B(3; - 3) и точки M(6;1), являющейся серединой стороны BC

Решение

Пусть (x;y) — координаты вершины C. Поскольку координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов, то

Отсюда находим, что x = 9, y = 5.

По формуле расстояния между двумя точками находим стороны треугольника ABC:

AB =  =  = 10.

BC =  =  = 10.

AC =  = 12.

Следовательно,

AB + BC + AC = 10 + 10 + 12 = 32.

 

Ответ 32.

10. Найдите периметр треугольника KLM, если известны координаты его вершин K(- 4; - 3), L(2;5) и точки P(5;1), являющейся серединой стороны LM.

Ответ 32.

1. Даны точки A(- 2;2), B(- 2; - 2) и C(6;6). Составьте уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника ABC.

Решение

Поскольку абсциссы точек A(- 2;2) и B(- 2; - 2) равны, то уравнение прямой AB имеет вид x = - 2, или x + 2 = 0.

Если x₁x₂ и y₁y₂, то уравнение прямой, проходящей через точки M₁(x₁;y₁ и M₂(x₂;y₂ можно записать в виде

.

Поэтому уравнение прямой AC имеет вид

.

. или x - 2y + 6 = 0.

Аналгично находим уравнение прямой BC.

Ответ AB :  x + 2 = 0, AC :  x - 2y + 6 = 0, BC :  x - y = 0.

1. Даны точки A(4;1), B(- 8;0) и C(0; - 6). Составьте уравнение прямой, на которой лежит медиана AM треугольника ABC.

Ответ x - 2y - 2 = 0.

Если M(x₀;y₀) — середина отрезка с концами в точках B(x₁, y₁) и C(x₂, y₂), то

x₀ =  =  = - 4, y₀ = = 

Если x₀x₂ и y₀y₂, то уравнение прямой, проходящей через точки M₀(x₀;y₀ и A(x₂;y₂ можно записать в виде

 = .

Поэтому уравнение прямой AM имеет вид

  или x - 2y - 2 = 0.

1. Даны точки A(2;4), B(6; - 4) и C(- 8; - 1). Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Решение

Первый способ.

По формуле для расстояния между двумя точками находим, что

AB =  =  = , 

AC =  =  = , 

BC =  =  = .

Поскольку AB² + AC² = 80 + 125 = 205 = BC², то треугольник ABC — прямоугольный.

1. Даны точки A(- 6; - 1), B(1;2) и C(- 3; - 2). Найдите координаты вершины M параллелограмма ABMC.

Решение

Первый способ.

Координаты середины K(x₀;y₀) диагонали BC параллелограмма ABMC есть средние арифметические соответствующих координат концов отрезка BC, т.е.

x₀ =  = - 1, y₀ =  = 0.

Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то K(x₀;y₀) — середина отрезка с концами в точках A(- 6; - 1) и M(x₁;y₁). Поэтому

x₀ =  = - 1, y₀ =  = 0.

Отсюда находим, что x₁ = 4, y₁ = 1.

Ответ M(4;1).

1. Найдите радиус и координаты центра окружности, заданной уравнением

                               а) (x - 3) ² + (y + 2)² = 16;

                               б) x² + y² - 2(x - 3y) - 15 = 0;

                               в) x² + y² = x + y + .

Решение

а) Окружность радиуса R с центром в точке A(a;b) имеет уравнение вида

(x - a)² + (y - b)² = R².

В данном случае a = 3, b = - 2, R = 4.

б)

x² + y² - 2(x - 3y) - 15 = 0  x² - 2x + 1 + y² + 6y + 9 - 1 - 9 - 15 = 0 

  (x - 1)² + (y + 3)² = 25.

Следовательно, a = 1, b = - 3, R = 5.

в)

x² + y² = x + y +   x² - x +  + y² - y +  + +  +  +   

  +  = 1.

Следовательно, a = b = , R = 1.

Ответ а) (3; - 2), R = 4; б) (1; - 3), R = 5; в) (;), R = 1.

1. Найдите периметр треугольника ABC, если его вершины имеют следующие координаты: A(3;2), B(5;9) и C(11;6).

2. Даны точки A(4;4) и B(6;6).

Найди координаты точек C и D, если известно, что точка B — середина отрезка AC, а точка D — середина отрезка BC. Найдите координаты точек С и Д

1. Рассчитай расстояние между точками с данными координатами.

 

1. A(2;−7) и B(2;7)     

2. M(7;2) и N(−7;2)   

1. Дан треугольник ABC и координаты вершин этого треугольника. Определи длины сторон треугольника и укажи вид этого треугольника. A(6;0), B(6;8) и C(3;4). Треугольник ABC

А) равносторонний В) разносторонний С) равнобедренный

1. Даны координаты трёх точек A(4;3), B(2;5) и C(8;9)

Вычисли медианы AD,BE,CF треугольника ABC. Координаты центра тяжести треугольника.

1. Дана точка A(3;3;3) и точка B(5;9;9). Точка M — середина отрезка AB.

Найдите координаты точки М. Составьте уравнение окружности с центром в точке М , радиусом МА.