Санау ж?йелеріні? т?рлері

Абстракт (аннотация)

Зерттеудің мақсаты: Позициялық және позициялық емес санау жүйелері. Олардың орналасу реті, жазылу реті. Сандарды позициялық санау жүйелеріне көшіру және осы жүйеде арифметикалық амалдар орындау.

Зерттеудің ғылыми болжамы: Санау жүйелерін математикаға толық енгізу және оларға амалдар қолдану

Зерттеудің негізгі кезеңдері:

1. Бірінші кезең: Осы тақырыптар бойынша керекті материалдар көзін іздеу;

2. Екінші кезең: Жинақталған материалдарды қорыту, жүйелеу;

3. Үшінші кезең: Зерттеу жұмыстарын жүргізу арқылы нақты нәтижелер алу, жинақталған материалдарды баспаға дайындау, ғылыми жобаны ғылыми конференцияда қорғауға дайындалу.

Зерттеу әдістері: жинау, сараптау

Алынған мәліметтер негізінде автордың қорытындысы: жұмысты орындау кезінде оқушы санау жүйелері туралы толық түсінік бере отырып, ондық санау жүйесі сияқты екілік, сегіздік, он алтылық санау жүйелерін тек қана информатикада ғана қолданып қоймай, онымен байланысты математикаға енгізуге болатынын көрсетті. Сол сияқты сандарды позициялық санау жүйелеріне көшіру, позициялық санау жүйелеріне амалдар қолдануды қарастырды.

Алған жұмыстың іс-жүзінде қолданылуы:

1. Математика сабақтарында қолдану.

2. Математика үйірмелерінде пайдалану.

3

Абстракт (аннотация)

Цель исследование: Позиционные и непозиционные системы счетов: порядок их расположения и написания.

Перевод цифр в системы позиционных счетов и выполнение арифметических задач в системе.

Научные предположение исследовании: Полное внедрение в математику систему и выполнение задач на них.

Основные этапы исследования:

1. Первый этап: Искать материалы по данной теме.

2. Второй этап: Изучать и систематизировать собранный материал.

Третий этап: Проводив исследование прийти в точный результать, готовить собранный материал в печать, готовить научную работу на защиту в научной конференции.

Методы исследования: собрать материал, систематизировать.

Вывод автора на основе собранных материалов: Во время исследование ученик наряду с информацией о системе счетов подвердил, что систему счетов можно исползовать не только в информатике, но и о возможности внедрить в математику.Вместе с этим он исследовал перевод цифр в позиционные системы счетов, использование задач в позиционных системах счетов.

Использование работы на практике:

1. На уроках математики.

2. В кружках математики.

Abstract

Aim of scientific work:

Position and nonposition system of count: The location order, writing order of them. Moving of number to the positive system of counting and doing arithmetic estimations.

Supposition of scuntific work: To introduce this system of counting to Mathematics and doing estimations

Stages of scientific work:

1. First stage: To look for necessary materials from these themes.

2. Second stage: Systematize conclusion of collection materials.

3. Third stage: To take results through scientific work, to prepare collecting materials to publishing

Methods of scientific work: collecting, experting

Conclusion: In this work the pupil give notion about system of counting, he, points that like dozens system of counting may be intraduce to mathematic the, two, eight, sixteenth system of counting. And he investigate to move numbers to the position system of counting, to do examples

The use of scientipic work:

1. To use in mathematic lesson

2. To use in study group in mathematic

Мазмұны

1.Абстракт (аннотация) .................................................................................... 3

2.Кіріспе

2.1. Сан ұғымы және санау жүйелері ...............................................................4

3.Зерттеу бөлімі

3.1. Позициялық емес санау жүйелері .............................................................5

3.2. Позициялық санау жүйелері ......................................................................7

3.3. Сандарды позициялық санау жүйелеріне көшіру ...................................12

3.4. Позициялық санау жүйелеріне амалдар қолдану ....................................15

4.Қорытынды .....................................................................................................17

5.Әдебиеттер тізімі ............................................................................................18

6. Ғылыми жетекшінің пікірі (іске тігілмейді)

2

І. Кіріспе бөлім

Сан ұғымы және санау жүйелері.

Тұрмыс мұқтаждарының басқа қарапайым түрлері: жер учаскелерін өлшеудің, әр түрлі конфигурацияларды бір-бірінен ажырата білудің әдістерін ойлап табуға әкеп соқтырды.

Адамның бірден сандардың әр түрлі заттарға тән ортақ сандық мәніне түсініп, геометриялық фигураларды классификация жасауы үшін оған, тұрмыс қажетіне сай, мыңдаған ғасырлар бойы сан тәжірибе жасауына тура келді. Осылайша, мыңдаған жылдарға созылған адамзаттың сәбилік дәуірін белгілі сатыға көтере математика пайда бола бастады. Бұл адам ой- өрісінің дамуындағы сапалы серпіліс еді.

Математиканың негізгі түсініктері толықтырылған сайын оның даму қарқыны тездеп, жеделдей бастады. Өлшеу қажеттеріне байланысты бөлшек сандар ұғымы және олармен істелетін амалдар ашылып, математиканың көне тармағы – арифметиканың іргесі қаланды. Күрделі құрылыс жұмыстарының талабына сай геометрия дамыды.

Математиканың дамуы қалыптасып, кемеліне келген сайын оған қойылатын талаптар күрделіленіп, көбейе түсті. Бұл талаптар математиканың ғылым ретінде өз дамуының талаптары ғана емес, математикаға іргелес жатқан ғылым салаларының дамуына байланысты, өскелең қоғамның жетілген техникасы одан әрі биік сатыға көтеруге байланысты талаптар еді.

Сандарға амалдар қолданудан абстракты шамаларға амалдар қолдануға көшу, адам ой- өрісі дамуының келесі сапалы серпілісі еді. Бұл процесс жүздеген жылдарға созылды.

Дегенмен ХҮІІ ғасырға дейінгі кезеңдегі математиканың негізгі түсініктері сандар шамалар геометриялық фигуралар, кеңістіктегі формалар мен сандық қатынастарды ғана қамтитын еді.

4

ІІ. Негізгі бөлімі

2.1. Позициялық емес санау жүйелері

Адамдар санай бастағаннан бастап оларда жазу қажеттілігі туды. Археологтар алғашқы адамдардың тұрған жерлерін зерттеу нәтижесінде, олардың заттарды санау үшін қандай да бір белгілерді (таңба, таяқшалар, нүктелер) пайдаланғандарын анықтаған. Мысалы, Жаңа Гвинеядағы Папуа аралдарындағы тайпаларды санаудың кем дегенде 900 әр түрлі жүйесі бар.

Көптеген тайпалар саусақтарымен санайды, бірақ ондық жүйені пайдаланбайды. Мысалы: бе,бе,бе, бе,бе- ибон бе деп бір қолдың бес саусағын айтса,

Бе,бе,бе,бе,бе – ибон али деп екі қолдың саусақтарын айтқан. Сол сияқты бе-бе-бе-бе-бе самбо бе деп бір аяқтың бармақтарын санаған.

Жаңа Гвинеяның кейбір аралдарында тұратын адамдар санауды шынашақтан бастайды., содан соң қолға, кеудеге ауысады да, тек осыдан кейін ғана екінші қолға көшеді. Файвол тайпасы адамның денесі 27 мүшеден тұрады деп есептейді және дене атауларын сандарды белгілеу үшін пайдаланады. Мысалы, 14 санын олар мұрын деп атайды. 27-ден көп сандар үшін олар бір адам деген сөзді қосады. Ал 40 санын атаған кезде олар бір адам және оң жақ көз деп айтады.

Келесі бір «Баруга» тайпасында санау ретінде тек дене мүшелері алынған, өйткені олар тек сөздердің көмегімен не нәрсені болса да дұрыс санай алмайды. Олар өздерінің денесінің 22 мүшесін пайдаланады, бірақ «саусақ» деген бір сөз 2,3,4, 19,20 және 21 сандарын белгілеу үшін пайдаланылады.

Санауды жеңілдету үшін белгілеулерді үштен, бестен топтап пайдаланған. Мұндай санау жүйелері бірлік деп аталған, себебі кез-келген сан бұл жүйеде бірлікті белгілейтін таңбаларды қайталау арқылы құрылған. Бірлік санау жүйелері қазір де кездеседі. Кішкентай балалар қанша жаста екенін айту үшін саусақтарын көрсетеді, ал санау таяқшалары 1- сынып оқушыларын санауға үйрету үшін қолданылады. Бірлік жүйе сандарды жазудың ең ыңғайлы әдісі емес. Кейін уақыт өте келе басқа да

5

ыңғайлы санау жүйелері пайда бола бастады. Санау жүйесінің ішіндегі тұңғыш

пайда болғаны екілік санау жүйесі. Бұл жүйе бойынша қолданылатын сандар: бір және екі.

Австралия және Полинезия тайпалары осы бір мен екі сандарынан үшті, төртті, бесті, алтыны құрастырған. Алтыдан артық сандарды «көп» немесе «сан жетпес» сандар деген.

Мысалы: бірді- урапун, екіні- оказа, үшті – оказа – урапун, төртті – оказа – оказа, бесті – оказа- оказа – урапун, алтыны – оказа- оказа – оказа деген.

Позициялық емес санау жүйелерін ертедегі мысырлықтар, гректер, римдіктер және басқа да халықтар пайдаланады. Мысалы, ежелгі мысырлықтар түйінді сандар үшін 1,10,100 және т.с.с арнайы таңбаларды – иероглифтерді пайдаланған. Ежелгі мысырлықтардың санау жүйелері ондық, бірақ позициялық емес болып табылады. Лотос гүлі 1000- ды, саусақ 10000 – ды, ілмек 100000 – ды белгілесе, ал миллионды құдайдың бейнесімен таңбалаған. Үлкен сандарды таңбалау үшін иероглифтерді бірнеше бағанға және сызықтарға жазған. Иероглифтерді тастарға қашап түсірген, бірақ қағазға жазу үшін басқа жүйе пайдаланылған. Мысырлықтардың сандары бөлшектер жасау үшін қолайсыз болды, сондықтан олар әр бірлікті ең аз бірлікке бөлген. Мысалы, бір шынтақ 7 алақаннан, ал алақан 4 саусақтан тұрған.

Солтүстік Американың байырғы тұрғындары да сондай – ақ мал шаруашылығымен және егіншілікпен айналысқан. Олар сандарды жазудың өздеріне тән тәсілін ойлап тапқан. Майя тайпасының сандар жүйесі тіпті египеттіктердің жүйесінен де артықтау болған. Олар күнді анағұрлым дәл анықтаған. Жылдың 365, 242 күнге созылатынын нақ сол тайпаның адамдары есептеп шығарған. Олар жиырмалықтармен санақ жүргізген. Сандардың бейнесі оларда бұршақтарға, таяқшалар мен ұлутастарға ұқсас болған, осы заттарды абактар (қазіргі есепшоттар) ретінде пайдаланған. 1-4 сандарына арналған символдар какао бұршақтарына немесе ұсақ малта тастарға ұқсас болған. 5 санын белгілейтін символ таяқша тәріздес.

20- дан көп сандарды бейнелеу үшін таяқшалар мен бұршақтар топтастырылған.

6

Рим империясы үстемдік құрып тұрған кезде рим сандары бүкіл Еуропаға тарады. Римдіктер ондықтармен санаған және әріптерді сан ретінде пайдаланған. Еуропалықтар үшін бұл 2000 жыл уақыт бойы сандарды жазудың негізгі тәсілі болды.

Римдік санау жүйесі – позициялық емес. Оның негізіне 1 саны үшін І белгісі (бір саусақ), 5 саны үшін Ү (ашылған алақан) белгісі, 10 саны үшін Х (айқасқан алақандар) белгісі, 100, 500 және 1000 сандарын өрнектеу үшін сәйкес латын сөздерінің

(centum –жүз, demimille- мыңның жартысы, mille- мың) алғашқы әріптері қолданылады. Римдіктер аралық сандарды жазу үшін қосу ғана емес, азайту амалын да пайдаланған. Біз осы уақытқа дейін рим сандарын сағаттардан, корольдік лауазымдар есімдерінен немесе параграфтарды нөмірлеу үшін қойылатын кітаптардан кездестіреміз.

2.2. Позициялық санау жүйелері

Жүз мыңдаған жылдар бойы адамдарға тек саусақтармен санаудың өзі-ақ жеткілікті болып келді. Бірақ осыдан 6000 жылдай бұрын дүние өзгерді. Таяу Шығыста тұратын халық мал шаруашылығымен және егіншілікпен айналыса бастады да, олар фермерлерге айналды. Олар сауда есебін жүргізу үшін қыш жетондар жасай бастады. Заттарды белгілеу үшін түрлі символдарды пайдаланды.

Сопақ пішіндегі жетон бір қап бидайды білдірсе, дөңгелек жетон бір құмыра майды білдірген.

Мәміле бірнеше жетонды құраған кезде жетондарды қыш конвертке салатын еді. Конверттің ішінде не бар екенін көрсету үшін саудагер таяқшамен оның сыртына символдарды салған. Вавилондық жүйе – позициялық принципке негізделген бірінші санау жүйесі. 5000 жылдай бұрын Иракта өмір сүрген вавилондықтар алпыс – алпыстан санаған. Олар бір жылдағы 360 күнді 6 х 60 ретінде елестеткен, олардың

7

санау кезіндегі саусақтарды қалай пайдаланғаны бізге белгісіз, бірақ олар бас бармақпен бір қолдың саусақтарындағы 12 сегментті көрсеткен деген болжам бар.Ал екінші қолдың әр саусағы 12 санын білдірген, сондықтан саусақтардың қосындысы 60 санын құрайтын болған. Вавилондықтар минуттар мен секундтарды ойлап тапқан, осы уақыт өлшемдерін біздер әлі күнге дейін 60-тан есептеп отырмыз.

Үнді математиктері біздің дәуіріміздің 300 жылына дейін 1-ден 9- ға дейінгі сандар үшін жеке символдарды пайдаланып келген. 600 жылға қарай олар енді есептеп шығарудың позициялық жүйесін ойлап тапты.

Солтүстік Африка 1200 жыл Үнді сандарын Еуропаға Солтүстік Африкадағы Араб елдерінен Итальяндық Фибоначчи өзінің «Либер Абачи» кітабында үнді сандарын қалай пайдалану керек екенін түсіндірді, ол үнділік сандар жүйесін Италияға таратуға септігін тигізді. Басқа есептеу жүйелерінен айырмашылығы – үнділер тек 10 символды ғана пайдаланған, бұл амал жүйені оңайлатқан. Символдар бүкіл әлемге тарай отырып, ғасырлардан ғасырларға қарай өзгеріп отырды да, біртіндеп біз пайдаланып жүрген қазіргі заманға сандарға айналды.

Сонымен позициялық санау жүйесінің бірі - ондық санау жүйесі осылайша дамыған еді.

Позициялық санау жүйелерінде әрбір цифрдың мәні, осы санның жазылуында тұрған орнына (позициясына) тәуелді. Әрбір позициялық жүйенің нақты анықталған цифрлар алфавиті мен негізі бар. Позициялық санау жүйесінің негізі цифрлар санына тең және көрші позицияда тұрған бірдей цифрлардың мәндері неше есеге ерекшеленетінін анықтайды.

Осы тұста ерекше тоқталып, айтар бір жайт бар. Біздің ата- бабаларымыз ежелгі замандардан бастап-ақ жас балаларға тиянақты тәрбие берумен қатар, олардың математикалық білім-өрісін кеңейтуге де көңіл бөліп отырған. Бұл қазақ отбасында санамақтар, жұмбақтар, жаңылтпаштар, мақал-мәтелдер және ауызша есептер арқылы жүзеге асырылған. Санамақтар – халқымыздың жас балалардың онға дейінгі сандар жөніндегі білім – түсініктерін қалыптастыру мақсатында туған аса терең

8

әдістемелік – математикалық пайымдауларының бірі. Санамақтар, негізінен, дыбыстық үйлесім принципіне негізделген. Осыдан барып дыбыс ұйқасымын қуалаған балалар кейбір сөздерді өздерінше өңдеп, түрлендіріп әкеткен де, оның сан алуан жаңа нұсқаларын туғызған. Санамақтарда бір дыбыс қана өзгеріп, қайталанып келіп, отыратын сөздердің жиі кезігуі, жұмбақ – сөздердің балалар репертуарында ұзақ сақталуының, басты себебі – олардың психологиялық ерекшеліктеріне байланысты екендігін көрсетеді. Онға дейінгі әр санның таңбалануын кескіні оған ұқсайтын, қазақ баласына таныс заттармен алмастыру үлкен әдістемелік шеберлікпен жүзеге асырылғаны аңғарылады. Сонымен қатар бұл заттардың барлығының да қазақ халқының қолөнеріне қатысы барлығын аңғару қиын емес.

Бір дегенің – білеу. Бір санының таңбасы, яғни бір цифрының кескінделуі білеуге ұқсайды. «Білеу – қайрақтас, қайрақ»

Екі дегенің – егеу. Қазақта ағаштан ыдыс-аяқ жасағанда оның ішін ұңғып, оятын, ұшы қайқы құрал түрі болған. Сондай- ақ көлденең қимасының пішініне қарай айшық секілді егеу де бар. Демек, екі саны егеуге ұқсайтын пішінде таңбаланады.

Үш дегенің – үскі. Үскі – жергілікті тілде бұрғы, тескіш сөздерінің синонимі ретінде жұмсалады. Демек, үш саны – бұрғы тәріздес.

Төрт дегенің – төсек. Төрт санының таңбасы қазақтың төсек ағашының пішініне ұқсайтыны көрініп тұр.

Бес дегенің бесік. Біздіңше, бұл жерде бестің таңбалануы «бесік жамбыға» ұқсас екендігі меңзеліп тұрған сияқты.

Алты дегенің – асық. Алты санының таңбалануы «асық жамбы» пішіндес.

Жеті дегенің – желке. Бұл жерде жеті санының таңбалануы қазақ қолөнеріне қатысы бар желкелік сөзімен байланысты деп ойлаймыз.

Сегіз дегенің – серке. Сегіздің таңбалануын серкенің – мүйізіне ұқсату болуы мүмкін. Бірақ жоғарыдағы заттардың бәрі дерлік қазақ қолөнеріне қатысты болғандықтан, біздің пікірімізше, бұл жерде серке емес, бастапқыда сірке сөзі қолданылған сияқты. Сірке- аяқ киімнің сірісіне салынатын түртік-түртік өрнек.

9

Тоғыз дегенің – торқа. Тоғыздың таңбалануы оралған матаның кескініне ұқсайды.

Он дегенің – оймақ. Демек, он саны саусақ пен оның қасындағы оймақ пішіндес ноқат арқылы таңбаланады.

Қазақтың халық санамақтарының бұл үлгілерінің қашан, қай заманда шыққанын дәл тауып, бағдарлап айту мүмкін емес. Бір анық нәрсе, бұлар кейінгі ғасырлардың ішінде пайда бола қалған жоқ, оның қай – қайсысы болмасын әлденеше жүздеген жылдар айтыла жүріп, әбден іріктеліп, өңделіп және сұрыптала келіп, қазақ отбасында балаға сан үйретудің негізгі әдіс-тәсілдері ретінде қалыптасқандығына талас болмаса керек. Бұдан шығатын қорытынды- қазақ даласында үнді цифрларына негізделген математикалық сауаттылық өте ерте замандардан бастап-ақ кеңінен өріс алған. Біздің зерттеулеріміз бұл санамақтың шығуы және қазақ арасында қолданылу мақсатына байланысты беймәлім болып келген аса маңызды да, құнды мәселелерді айқындап отыр.

Біздің ойымызша, ол балаларға араб цифрларының таңбалануын оқытып- үйретудің әдістемелік құралы ретінде пайда болған және қазақтар арасында осы мақсатта пайдаланылғандығын аңғаруға болады.

Қол саусақтарын тек санау үшін ғана емес, сонымен бірге көбейту үшін де пайдалануға болады. Бұл айлалы әрекетті тоғызға көбейтуге қолданып көруге болады. Қолдарыңды алдыңа қой да, сол жақтан қарай санай баста. Қайсы бір санды 9-ға көбейту үшін тиісті саусағыңды бүк.

Мысалы, 6 – ны 9-ға көбейту үшін алтыншы саусағыңды бүк. Енді сол жақта 5 саусақ және оң жақта 4 саусақ қалды, демек жауабы 54.

Соңы 5-пен аяқталатын бірдей сандарды көбейту жағдайына тоқталайық: Мысалы, 85-ті 85-ке көбейтейік. 5 –тің 5-ке көбейтіндісі 25 болғандықтан әуелі 25 – ті жазамыз. Кейін оның алдына 8 –ді 8 –ге көбейтіп оған 8 –ді қосып жазамыз.

(5 х 5 = 25, 8 х 8+8 = 72)

85 х 85 = 7225 Нәтиже 7225

Санды ондық жүйеде жазу ережесіне тоқталайық:

10

55, 5 = 5 • 10¹ + 5• 10⁰ + 5 • 10^-1

Сонымен, ондық жүйеден басқа екілік, сегіздік, он алтылық санау жүйелері информатикада қолданылады. Екілік жүйе 0 мен 1 цифрынан тұрады, негізі -2; сегіздік жүйе – 0-ден 7-ге дейінгі сегіз цифрдан тұрады, негізі – 8;

Он алтылық жүйеде ондық санау жүйесінің он цифры және қалған 6 цифрдың орнына А, В,С, Д, Е, Ғ латын алфавитінің әріптері қолданылатын барлығы он алты цифр бар, негізі – 16.

Кез – келген позициялық санау жүйесінің негізгі құндылығына арифметикалық амалдардың орындалуының қарапайымдылығы мен кез –келген санды жазу үшін қажетті символдар санының шектеулілігі жатады.

Америкалық ғалым Джон фон Нейман принципі бойынша электронды есептеуіш машиналары арифметикалық есептеулерді екілік санау жүйесінде орындайды, яғни кез – келген мәлімет «0» және «1» - ге сәйкес сигналдардың 2 түрлі (магниттелген және магниттелмеген) тізбегімен қолданылды.

Сандар екілік санау жүйесінде жаймаланған, негізі 2 болатын дәрежелердің қосындысы түрінде 0 немесе 1 коэффициенттерімен жазылады. Мысалы, екілік санау жүйесінде:

А₂ = 1· 2² + 0·2¹ + 0 · 2 ⁰ + 0 · 2^-1 + 1· 2^-2 түрінде жазылған санның ықшамдалып жазылуы мынадай:

А₂ = 100, 01₂

Санның жазылуындағы төменгі индекс, оның қай жүйеге жататынын көрсетеді. Егер сан қолданылып жүрген ондық санау жүйесінде жазылса, онда төменгі 10 индексі жазылмайды. Демек, екілік санау жүйесі нөлдер мен бірліктердің тізбегі болып табылады. Мұнымен қатар ол разрялдтардың жеткілікті санын қамтиды. Екілік санау жүйесінің кемшілігі санды жазудың қолайсыз үлкендігі болып табылады. 227₁₀ саны екілік жүйеде былай жазылады. 11100011₂ Оған қарағанда сегіздік немесе он алтылық санау жүйелерін қолданған ыңғайлы.

Сегіздік санау жүйесі. Сегіздік санау жүйесінің негізі 8-ге тең, ал 0,1,2,3,4,5,6,7

11

сандары алфавиттік сандар болып табылады.

Мысалы: 110 саны сегіздік жүйеде 156 түрінде жазылады:

1·8² + 5·8¹+ 6·8⁰= 64+40+6= 110 яғни, 156₈=110₁₀

Ал 83,5 ондық санын сегіздік жүйеде жазайық:

1·8²+1·8¹ +3·8⁰ + 4·8^-1 = 64+16+3+4 =83,5

8

Яғни, 83,5₁₀= 123,4₈

Он алтылық санау жүйесі. Он алтылық санау жүйесі көп жағдайда мәліметтерді өрнектеу үшін және компьютерлерде жадыны адрестеу үшін қолданылады. Он алтылық санау жүйесінің алфавиті ондық санау жүйесінің 10 цифрын және латын алфавитінің цифрлар рөлін атқаратын алғашқы алты әрпін қамтиды.

Мысалы, 1532 саны он алтылық жүйеде 5 ҒС түрінде жазылады.

5·16² + 15·16¹ + 12·16⁰=1280+240+12=1532 яғни, 1532₁₀ = 5 ҒС₁₆

Ал 175,5 саны он алтылық жүйеде АҒ,8 түрінде жазылады.

Мысалы 10 · 16¹ + 15·16⁰ + 8 · 16^-1 = 160+15+8/16=175,5

175,5₁₀= АҒ,8₁₆

Он алтылық жүйе ондық және екілік жүйедегі сандарды ықшамдап жазу үшін қолданылады.

2.3. Сандарды позициялық санау жүйелеріне көшіру

Сандарды ондық санау жүйесіне көшіру. Екілік, сегіздік, он алтылық санау жүйелерінде жазылған сандарды ондық жүйеге түрлендіруді орындау өте жеңіл. Бұл үшін санды жаймаланған түрде жазып, оның мәнін есептеу жеткілікті.

Сандарды екілік жүйеден ондыққа көшіру.

Кез - келген екілік жүйедегі санды алып, оны жаймаланған түрде жазамыз содан соң есептеулер жүргіземіз.

Мысалы, 11,01₂= 1·2¹+1·2⁰+0·2^-1+1·2^-2= 2+1+0+ 1 = 3,25₁₀

4

Сандарды сегіздік жүйеден ондыққа көшіру. Кез- келген сегіздік санды, аламыз оны жаймаланған түрде жазып, есептеулер жүргіземіз:

17,4₈= 1·8¹+7·8⁰ +4·8^-1=8+7+4 =15,5 ₁₀

8 12

Сандарды он алтылық жүйеден ондыққа көшіру. Кез- келген он алтылық санды алып, оны жаймаланған түрде жазып, есептейміз.

Мысалы, 51С₁₆= 5·16²+1·16¹+12·16⁰= 1280+16+12= 1308₁₀

Сандарды ондық жүйеден екілік, сегіздік, он алтылық жүйелерге көшіру күрделі және әр түрлі тәсілдермен орындалады. Сондай көшіру алгоритмдерінің бірін қарастырайық.

Бүтін санды көшіру алгоритмі.

1. Ондық санды санау жүйесінің негізіне бөлуіміз керек. Бұл процесс бөлінді бөлгіштен кіші болғанша жалғастырылады.

2. Алынған қалдықтарды кері тізбекпен жазамыз. Ондық жүйедегі 125 санын екілік, сегіздік және он алтылық жүйелерге көшіру мысалын қарастырайық:

125 2

- 124 62 2

-62 31 2

-30 15 2

-14 7 2

-6 3 2

-2

125 8 125 16

-120 15 8 -112

-8

125₁₀=1111101₂ 125₁₀=175₈ 125₁₀= 7 D₁₆

Бұдан шығатыны: 125₁₀ = 1111101₂=175₈=7 D₁₆

Ондық бөлшекті көшіру алгоритмі.

1. Ондық бөлшек жүйе негізіне тізбектей көбейтілді, ал алынған бөлшек бөлігі жүйе негізіне тағы да көбейтіледі. Бұл процесс нөлдік бөлшек бөлік алынғанша жалғастырылады.

13

1. Алынған бүтін бөліктерді тік бағанға жазамыз. 0,125 ондық санын екілік, сегіздік, он алтылық жүйелерге көшіру мысалын қарастырайық:

0 125 0 125 0 125

х 2 х 8 х 16

0 250 1 000 2 000

х 2

0500 Тік сызық бүтін бөліктерді бөлшек бөліктерден ажыратады.

х 2 Сонымен 0,125₁₀ = 0,001₂ 0,125₁₀= 0,1₈ 0,125₁₀= 0,2₁₆

1000

Санды екілік санау жүйесінен сегіздік және он алтылық жүйелерге көшіру.

Екілік санау жүйесінде берілген санды сегіздікке көшіру үшін оны оңнан солға қарай үш цифрдан топтап бөлген соң, әрбір топты сегіздік цифрға түрлендіреміз. Егер соңғы сол жақтағы топ үш цифрдан аз болса, оны нөлдермен сол жақтан толтыру қажет.

Екілік санау жүйесіндегі 101111₂ санын сегіздік жүйеге көшіру мысалын қарастырайық:

101111₂ →1·2² +0· 2¹+1·2⁰ 1·2² + 1·2¹ +1· 2⁰ → 55₈→ 57₈

Көшіруді тезірек орындау үшін екілік санау жүйесіндегі үш цифрдан тұратын топтарды сегіздік цифрларға көшіру кестесін пайдалануға болады. (2.3-кесте)

Екілік санау жүйесіндегі үш цифрлық топтардың сегіздік цифрлармен сәйкестік кестесі

Екілік жүйе	Сегіздік жүйе
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Екілік жүйедегі бүтін санды он алтылық санау жүйесіне көшіру үшін оны оңнан

14

солға қарай топтап, төрт цифрдан бөлу қажет. Әрбір топты он алтылық цифрға түрлендіреміз. Егер соңғы сол жақ топтағы цифрлардың саны төрттен аз болса, оны нөлдермен сол жақтан толықтыру қажет

Көшіруді тезірек орындау үшін төрт цифрлық екілік топтарды он алтылық цифрларға көшіру кестесін пайдалануға болады.

Екілік санау жүйесіндегі төрт цифрдан тұратын топтардың он алтылық

цифрлармен сәйкестік кестесі

Ондық жүйе	Екілік жүйе	Он алтылық жүйе
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	А
11	1011	В
12	1100	С
13	1101	D
14	1110	Е
15	1111	Ғ

2.4. Позициялық санау жүйелеріндегі арифметикалық амалдар

Арифметикалық амалдарды екілік санау жүйесінде қарастырайық. Арифметикалық амалдар барлық позициялық санау жүйелерінде бізге таныс ережелермен орындалады. Екілік санау жүйесінің арифметикасы қосу және азайту кестелерін пайдалануға негізделген. Әрбір амалды тиянақты қарастырайық.

Қосу. Екілік жүйеде сандарды қосу кестесіне негізделген. Екілік жүйедегі қосу кестесі өте қарапайым. Тек 1+1 қосу амалын орындағанда ғана жоғарғы разрядқа көшіру орындалады.

15

Екілік қосу кестесі

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

Екілік жүйедегі сандарды қосуға бірнеше мысалдар қарастырайық:

1001 1101 11111 1010011, 111

+ + + +

1010 1011 1 11001, 110

------- -------- -------- ----------------

10011 11000 100000 1101101,101

Ондық санау жүйесін есептеуге тексеру жүргіземіз. Ол үшін екілік санау жүйесіндегі санды ондық санау жүйесіне көшіріп, оларды қосамыз:

1001₂= 1 · 2³ + 0 · 2² + 0· 2¹ +1 · 2⁰ = 9₁₀

1010₂ = 1· 2³ + 0· 2² +1 · 2¹ + 0· 2⁰= 10₁₀

9₁₀+ 10₁₀ = 19₁₀

Енді алынған нәтижені ондық санға көшіреміз:

10011₂ =1· 2⁴ + 0· 2³ +0 · 2² + 1 · 2 ¹ + 1·2⁰ = 19₁₀

Нәтижелерді салыстыра отырып, қосудың дұрыс орындалғанына көз жеткіземіз.

Азайту. Екілік жүйеде азайту амалын орындау екілік жүйедегі сандарды азайту кестесінде негізделген. Азайту амалын орындау барысында әрдайым абсолют шамасы бойынша үлкенінен кішісі алынып, үлкен санның таңбасы қойылады.

Екілік санау жүйесіндегі азайту кестесі

0 – 0 = 0 0 – 1 = 1 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0

Екілік сандарды азайтудың бірнеше мысалдарын қарастырайық:

10111001,1 110101101

• -

10001101,1 101011111

----------------- -----------------

00101100,0 001001110

16

3. Қорытынды

Математика маңызды құрал болғандықтан, оның қолданылу аумағы барған сайын кеңейіп барады. Математика болған жерде қашан да есептеу болады. Мейлі классикалық математика болсын, не қазіргі заманғы математика болсын, мейлі элементар математика болса да барлығында есептеу болады.

Оның үстіне есептеу математикасы әлдеқашан математиканың маңызды бір саласы болып қалыптасқан. Санды мәліметтерді жинау, баяндау, зерттеу, талдау жасау ықтималдық, статистика, сандар теориясы сияқты математиканы құрайтын маңызды білімдерге сүйенеді. Математика адамзаттың абстракт ойынан туындаған таңбалар жүйесі болғандықтан табиғи тілді зерттеуге қолданылады. Біз қандай зерттеумен шұғылдансақ та барлығында санды мәліметтерді жинау, сандық мәліметтерді зерттеу, баяндау, абстракциялап, жинақтау заңдылығын білу қажет.

Егер бізге мынадай сұрақтар берілсе:

Мұхиттың суында қанша тамшы бар?

Сенің денеңде қанша атом бар?

Ғаламды толтыру үшін қанша майда құм керек?

Әрине сұрақтардың жауабын есептеу үшін санау жүйелерін пайдалануға әкелетіні белгілі.

Қорытындылай келе, позициялық және позициялық емес сандарды түсіндіру кезінде ертедегі халықтар мен қазіргі кездегі санау жүйелері туралы түсінік беріліп отырса, біз білмеген көп жайттар ашылған болар еді. Біз математикада ондық санау жүйесін қолданамыз.

Ал, екілік, сегіздік, он алтылық санау жүйелері тек информатикада енгізілген. Осы санау жүйелерін математикаға енгізіп, есептер шығарсақ одан да тиімді болар еді деп ойлаймын.

17

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:

1. Ә.Нысанбаев, Б.Сейсенов «Математика дегеніміз не?». Алматы «Ғылым» 1991 ж 17-22 беттер

2. Б.Қоңырбаева, А.Ахметқазиев «Математика тілімен». Алматы «Қазақстан» 1984 ж 1-5 беттер

3. Джонни Болл «Бәрі де сандар туралы». Алматы кітап 2008 ж

7,12-23,36-37 беттер

1. Алгорифм №1 2008 ж 4-5 беттер

2. Алгорифм №5 2010 ж 2-5, 14-16 беттер

3. Е.В. Шевчук, Н.С. Кольева «Информатика». Алматы «Мектеп» 2008 ж

4. Математика және физика журналы №1 2011ж 22-24 беттер

18

Математика секциясы бойынша дайындалған «Санау жүйелері» атты ғылыми

жобаға берілген

ПІКІР

Ғылыми жұмыс кіріспеден, зерттеу бөлімінен, қорытынды мен қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Кіріспеде математикадағы ең негізгі ұғымдардың бірі – сан ұғымы және санау жүйелері туралы түсініктер берілген.

Үшінші тараудың бірінші бөлімінде позициялық емес санау жүйелері, олардың жазылуы, қолданылуы туралы, екінші бөлімінде позициялық санау жүйелері, оның түрлері, жазылу реті, қолданылуы және үшінші бөлімінде сандарды позициялық санау жүйелеріне көшіру, төртінші бөлімінде оларға амалдар қолдануды көрсеткен.

Автордың нақтылы материалдармен негізделген және зерттелген ғылыми жаңалығы бар төмендегідей ғылыми нәтижелері қызығушылық туғызады және практикалық мәні бар:

- Айлалы әрекет, яғни қол саусақтары арқылы 9-дың көбейту кестесі көрсетілген;

- Соңы 5-пен аяқталатын кез-келген бірдей сандарды біршама жеңіл көбейту жолдары есептеліп, анықталған.

Ғылыми жобада дұрыс шешімдермен қатар кейбір жетіспеушіліктер де кездеседі.

Авторға бұдан да көп есептер шығарып, ұмтылыс танытуға болатынын ескертпе ретінде айтуға болады.

Жалпы алғанда өзектілігі бойынша жұмыс ғылыми жобаға қойылатын талаптарға сай келеді, ғылыми жаңалығы мен практикалық мәні бар, аяқталған ғылыми зерттеу ретінде бағаланады және қорғауға жіберіледі.

Жетекші: А. Козбагарова

Мектеп директорының м.а: Б. Досов

Медицина секциясы бойынша дайындалған «Адыраспанның емдік қасиеті» атты ғылыми жобаға берілген

ПІКІР

Ғылыми жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, қорытынды мен қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Кіріспеде жалпы емдік қасиеті бар өсімдіктер туралы, түсініктер берілген.

Негізгі бөлімде оқушы халық ұғымында «Пайғамбар шөбі» деп аталып кеткен адыраспан шөбінің адамға, малға пайдасы мен зияны туралы кеңінен тоқталған және жеке – жеке түсінік берген. Халық аузынан жинаған мәліметтермен толықтырып, одан әрі дамыта түскен.

Автордың нақтылы материалдармен негізделген және зерттелген ғылыми жаңалығы бар төмендегідей ғылыми нәтижелері қызығушылық туғызады және іс – жүзінде қолдануға болады:

адыраспан өсімдігінің кепкен кездегі тұқымының дәнектерін 12 сағат қайнатып, 12 сағат тұндырып қойып тамақтан уланған да (отрабление) берсе адам айығады;

- ауыл әйелдері бірігіп текемет басқанда, әзірленіп жатқан текемет, киіздің қасына көз тимесін деп адыраспан және қызыл түсті мата төсейді. Өйткені, ондайда текеметке немесе киізге көз тисе, салынған өрнектер қиғаш немесе қисық түседі екен.

Ғылыми жобада дұрыс шешімдермен қатар кейбір жетіспеушіліктер де кездеседі.

Авторға бұдан да көбірек ізденуге, ұмтылыс танытуға болатынын ескертпе ретінде айтуға болады.

Жалпы алғанда өзектілігі бойынша жұмыс ғылыми жобаға қойылатын талаптарға сай келеді, ғылыми жаңалығы мен практикалық мәні бар, аяқталған ғылыми зерттеу ретінде бағаланады және қорғауға жіберіледі.

Жетекші: К. Малбасова

Мектеп директорының м.а: Б. Досов

Этномәдениеттану секциясы бойынша дайындалған «Ер. Ердің құрылысы және пайдасы» атты ғылыми жобаға берілген

ПІКІР

Ғылыми жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, қорытынды мен қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Кіріспеде жалпы ер туралы, ердің түрлері туралы түсініктер берілген.

Негізгі бөлімде оқушы ердің жасалу технологиясы және қазіргі кездегі ерлердің түрлері туралы түсінік берген. Халық аузынан жинаған мәліметтермен толықтырып, одан әрі дамыта түскен.

Автордың нақтылы материалдармен негізделген жаңалығы бар төмендегідей көрсеткен нәтижелері қызығушылық туғызады және іс – жүзінде қолдануға болады:

- қазіргі кездегі атқа мінген ер адам мен ертедегі, яғни бұдан 15 – 20 жыл бұрынғы атқа міну салтын және оған салынған ер туралы айтады;

- ұмытылып бара жатқан салт – дәстүрлерге де тоқталған.

Ғылыми жобада дұрыс шешімдермен қатар кейбір жетіспеушіліктер де кездеседі.

Авторға бұдан да көбірек ізденіп, ұмтылыс танытуға болатынын ескертпе ретінде айтуға болады.

Жалпы алғанда өзектілігі бойынша жұмыс ғылыми жобаға қойылатын талаптарға сай келеді, ғылыми жаңалығы мен практикалық мәні бар, аяқталған ғылыми зерттеу ретінде бағаланады және қорғауға жіберіледі.

Жетекші: Т. Айтпағанбетов

Мектеп директорының м.а: Б. Досов

Валеология секциясы бойынша дайындалған «Топырақ» атты

ғылыми жобаға берілген

ПІКІР

Ғылыми жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, қорытынды мен қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Кіріспеде жалпы топырақ туралы, топырақтың пайдасы, құнарлылығы туралы түсініктер берілген.

Негізгі бөлімде оқушы топыраққа сипаттама беріп, топырақтың құрамы, экологиясы туралы кеңінен тоқталып кеткен.

Топырақтың түрлеріне тоқталып, оның ластану кезеңдеріне де тоқталған. Топыраққа тәжірибе жасап көрсеткен.

Ғылыми жобада дұрыс шешімдермен қатар кейбір жетіспеушіліктер де кездеседі.

Авторға бұдан да көбірек ізденуге, ұмтылыс танытуға болатынын ескертпе ретінде айтуға болады.

Жалпы алғанда өзектілігі бойынша жұмыс ғылыми жобаға қойылатын талаптарға сай келеді, ғылыми жаңалығы мен практикалық мәні бар, аяқталған ғылыми зерттеу ретінде бағаланады және қорғауға жіберіледі.

Жетекші: Г. Сақтағанова

Мектеп директорының м.а: Б. Досов

5