Реферат на тему "Задачи матричной алгебры в пакетах символьной математики"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

ЗАДАЧИ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ В ПАКЕТАХ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Автор работы

студентка группы МДМ-115 __________________________________ К. С. Дегтева

Направление: 44.03.05 Педагогическое образование

Профиль Математика. Информатика

Руководитель работы

канд. физ.-мат. наук, доцент _____________________________ Т. В. Кормилицына

Оценка____________________

Саранск 2020

Содержание

1. Пакеты символьной математики 3

1.1 MatLab 3

1.1.1 Матрицы и векторы в MatLab 4

1.1.2 Операции над матрицами и векторами в MatLab 7

1.2 Mathcad 11

1.2.1 Матрицы и векторы в Mathcad 12

1.2.2 Матричные функции в Mathcad 14

2. Задачи матричной алгебры в пакетах символьной математики 16

2.1 Задачи матричной алгебры в MatLab 16

2.2 Задачи матричной алгебры в Mathcad 17

Список использованных источников 19

1. Пакеты символьной математики
1.1 MatLab

MatLab (сокращение от англ. «Matrix Laboratory») – пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноимённый язык программирования, используемый в этом пакете. MatLab используют более 1000000 инженерных и научных работников, он работает на большинстве современных операционных систем, включая Linux, Mac OS, Solaris (начиная с версии R2010b поддержка Solaris прекращена) и Microsoft Windows.

MatLab как язык программирования был разработан Кливом Моулером (англ. Cleve Moler) в конце 1970-х годов, когда он был деканом факультета компьютерных наук в Университете Нью-Мексико. Целью разработки служила задача дать студентам факультета возможность использования программных библиотек Linpack и EISPACK без необходимости изучения Фортрана. Вскоре новый язык распространился среди других университетов и был с большим интересом встречен учёными, работающими в области прикладной математики. До сих пор в Интернете можно найти версию 1982 года, написанную на Фортране, распространяемую с открытым исходным кодом.

Первоначально MatLab предназначался для проектирования систем управления (основная специальность Джона Литтла), но быстро завоевал популярность во многих других научных и инженерных областях. Он также широко использовался и в образовании, в частности, для преподавания линейной алгебры и численных методов.

Язык MatLab является высокоуровневым интерпретируемым языком программирования, включающим основанные на матрицах структуры данных, широкий спектр функций, интегрированную среду разработки, объектно-ориентированные возможности и интерфейсы к программам, написанным на других языках программирования.

Программы, написанные на MatLab, бывают двух типов – функции и скрипты. Функции имеют входные и выходные аргументы, а также собственное рабочее пространство для хранения промежуточных результатов вычислений и переменных. Скрипты же используют общее рабочее пространство. Как скрипты, так и функции не компилируются в машинный код и сохраняются в виде текстовых файлов. Существует также возможность сохранять так называемые pre-parsed программы – функции и скрипты, обработанные в вид, удобный для машинного исполнения. В общем случае такие программы выполняются быстрее обычных, особенно если функция содержит команды построения графиков.

Библиотека MatLab позволяет пользоваться следующими категориями функций:

– операции с матрицами;

– сравнение матриц:

– решение линейных уравнений;

– разложение операторов и поиск собственных значений;

– нахождение обратной матрицы;

– поиск определителя;

– вычисление матричного экспоненциала;

– элементарная математика и т.д.

Основной особенностью языка MatLab является его широкие возможности по работе с матрицами, которые создатели языка выразили в лозунге «думай векторно» (англ. Think vectorized).

1.1.1 Матрицы и векторы в MatLab

С помощью простых переменных сложно описывать сложные данные, такие как случайный сигнал, поступающий на вход фильтра или хранить кадр изображения и т. п. Поэтому в языках высокого уровня предусмотрена возможность хранить значения в виде массивов. В MatLab эту роль выполняют векторы и матрицы.

Ниже показан пример задания вектора с именем a, и содержащий значения 1, 2, 3, 4:

a = [1 2 3 4];      % вектор-строка

Для доступа к тому или иному элементу вектора используется следующая конструкция языка:

disp( a(1) ); % отображение значения 1-го элемента вектора

disp( a(2) ); % отображение значения 2-го элемента вектора

disp( a(3) ); % отображение значения 3-го элемента вектора

disp( a(4) ); % отображение значения 4-го элемента вектора

т.е. нужно указать имя вектора и в круглых скобках написать номер индекса элемента, с которым предполагается работать. Например, для изменения значения 2-го элемента массива на 10 достаточно записать

a(2) = 10; % изменение значения 2-го элемента на 10

Часто возникает необходимость определения общего числа элементов в векторе, т.е. определения его размера. Это можно сделать, воспользовавшись функцией length() следующим образом:

N = length(a); % (N=4) число элементов массива а

Если требуется задать вектор-столбец, то это можно сделать так

a = [1; 2; 3; 4]; % вектор-столбец

или так

b = [1 2 3 4]’; % вектор-столбец

при этом доступ к элементам векторов осуществляется также как и для векторов-строк.

Следует отметить, что векторы можно составлять не только из отдельных чисел или переменных, но и из векторов. Например, следующий фрагмент программы показывает, как можно создавать один вектор на основе другого:

a = [1 2 3 4]; % начальный вектор a = [1 2 3 4]

b = [a 5 6]; % второй вектор b = [1 2 3 4 5 6]

Здесь вектор b состоит из шести элементов и создан на основе вектора а. Используя этот прием, можно осуществлять увеличение размера векторов в процессе работы программы:

a = [a 5]; % увеличение вектора а на один элемент

Недостатком описанного способа задания (инициализации) векторов является сложность определения векторов больших размеров, состоящих, например, из 100 или 1000 элементов. Чтобы решить данную задачу, в MatLab существуют функции инициализации векторов нулями, единицами или случайными значениями:

a1 = zeros(1, 100); % вектор-строка, 100 элементов с

% нулевыми значениями

a2 = zeros(100, 1); % вектор-столбец, 100 элементов с

% нулевыми значениями

a3 = ones(1, 1000); % вектор-строка, 1000 элементов с

% единичными значениями

a4 = ones(1000, 1); % вектор-столбец, 1000 элементов с

% единичными значениями

a5 = rand(1000, 1); % вектор-столбец, 1000 элементов со

% случайными значениями

Матрицы в MatLab задаются аналогично векторам с той лишь разницей, что указываются обе размерности. Приведем пример инициализации единичной матрицы размером 3х3:

E = [1 0 0; 0 1 0; 0 01]; % единичная матрица 3х3

или

E = [1 0 0

0 1 0

0 0 1]; % единичная матрица 3х3

Аналогичным образом можно задавать любые другие матрицы, а также использовать приведенные выше функции zeros(), ones() и rand(), например:

A1 = zeros(10,10); % нулевая матрица 10х10 элементов

или

A2 = zeros(10); % нулевая матрица 10х10 элементов

A3 = ones(5); % матрица 5х5, состоящая из единиц

A4 = rand(100); % матрица 100х100, из случайных чисел

Для доступа к элементам матрицы применяется такой же синтаксис как и для векторов, но с указанием строки и столбца где находится требуемый элемент:

A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]; % матрица 3х3

disp( A(2,1) ); % вывод на экран элемента, стоящего во

% второй строке первого столбца, т.е. 4

disp( A(1,2) ); % вывод на экран элемента, стоящего в

% первой строке второго столбца, т.е. 2

Также возможны операции выделения указанной части матрицы, например:

B1 = A(:,1); % B1 = [1; 4; 7] – выделение первого столбца

B2 = A(2,:); % B2 = [1 2 3] – выделение первой строки

B3 = A(1:2,2:3); % B3 = [2 3; 5 6] – выделение первых двух

% строк и 2-го и 3-го столбцов матрицы А.

Размерность любой матрицы или вектора в MatLab можно определить с помощью функции size(), которая возвращает число строк и столбцов переменной, указанной в качестве аргумента:

a = 5; % переменная а

A = [1 2 3]; % вектор-строка

B = [1 2 3; 4 5 6]; % матрица 2х3

size(a) % 1х1

size(A) % 1х3

size(B) % 2х3

1.1.2 Операции над матрицами и векторами в MatLab

В системе MatLab достаточно просто выполняются математические операции над матрицами и векторами. Рассмотрим сначала простые операции сложения и умножения матриц и векторов. Пусть даны два вектора

a = [1 2 3 4 5]; % вектор-строка

b = [1; 1; 1; 1; 1]; % вектор-столбец

тогда умножение этих двух векторов можно записать так

c = a*b; % c=1+2+3+4+5=16

d = b*a; % d – матрица 5х5 элементов

В соответствии с операциями над векторами, умножение вектор-строки на вектор-столбец дает число, а умножение вектор-столбца на вектор-строку дает двумерную матрицу, что и является результатом вычислений в приведенном примере, т. е.

Сложение и вычитание двух векторов записывается так

a1 = [1 2 3 4 5];

a2 = [5 4 3 2 1];

c = a1+a2; % c = [1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1];

с = a2-a1; % c = [5-1, 4-2, 3-3, 2-4, 1-5];

Следует обратить внимание, что операции сложения и вычитания можно выполнять между двумя векторами-столбцами или двумя векторами-строками. Иначе MatLab выдаст сообщение об ошибке, т.к. разнотипные векторы складывать нельзя. Так обстоит дело со всеми недопустимыми арифметическими операциями: в случае невозможности их вычисления система MatLab сообщит об ошибке и выполнение программы будет завершено на соответствующей строке.

Аналогичным образом выполняются операции умножения и сложения между матрицами:

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

B = ones(3);

C = A+B; % сложение двух матриц одинакового размера

D = A+5; % сложение матрицы и числа

E = A*B; % умножение матрицы А на В

F = B*A; % умножение матрицы В на А

G = 5*A; % умножение матрицы на число

Операции вычисления обратной матрицы, а также транспонирования матриц и векторов, записываются следующим образом:

a = [1 1 1]; % вектор-строка

b = a’; % вектор-столбец, образованный

% транспонированием вектора-строки а.

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3 элемента

B = a*A; % B = [12 15 18] – вектор-строка

C = A*b; % C = [6; 15; 24] – вектор-столбец

D = a*A*a’; % D = 45 – число, сумма эл-ов матрицы А

E = A’; % E – транспонированная матрица А

F = inv(A); % F – обратная матрица А

G = A^-1; % G – обратная матрица А

Из приведенного примера видно, что операция транспонирования матриц и векторов обозначается символом ‘ (апостроф), который ставится после имени вектора или матрицы. Вычисление обратной матрицы можно делать путем вызова функции inv() или возводя матрицу в степень –1. Результат в обоих случаях будет одинаковым, а два способа вычисления сделано для удобства использования при реализации различных алгоритмов.

Если в процессе вычислений требуется поэлементно умножить, разделить или возвести в степень элементы вектора или матрицы, то для этого используются операторы:

.* - поэлементное умножение;

./ и .\ - поэлементные деления;

.^ - поэлементное возведение в степень.

Рассмотрим работу данных операторов на следующем примере.

a = [1 2 3]; % вектор-строка

b = [3 2 1]; % вектор-строка

c = a.*b; % c = [3 4 3]

A = ones(3); % матрица 3х3, состоящая из единиц

B = [1 2 3;4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3

C = A.*B; % матрица 3х3, состоящая из

D = A./B; % матрица 3х3, состоящая из

E = A.\B; % матрица 3х3, состоящая из

F = A.^2; % возведение элементов матрицы А в квадрат

В заключении данного параграфа рассмотрим несколько функций полезных при работе с векторами и матрицами.

Для поиска максимального значения элемента вектора используется стандартная функция max(), которая возвращает найденное максимальное значение элемента и его позицию (индекс):

a = [1 6 3 4];

[v, i] = max(a); % v = 6, i = 2;

или

v = max(a); % v = 6;

Приведенный пример показывает два разных способа вызова функции max(). В первом случае определяется и максимальное значение элемента и его индекс в векторе, а во втором – только максимальное значение элемента.

В случае с матрицами, данная функция определяет максимальные значения, стоящие в столбцах, как показано ниже в примере:

A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];

[V, I] = max(A); % V=[6 7 8], I = [2 2 3]

V = max(A); % V=[6 7 8]

Полный синтаксис функции max() можно узнать, набрав в командном окне MatLab команду

help

Аналогичным образом работает функция min(), которая определяет минимальное значение элемента вектора или матрицы и его индекс.

Другой полезной функцией работы с матрицами и векторами является функция sum(), которая вычисляет сумму значений элементов вектора или столбцов матрицы:

a = [3 5 4 2 1];

s = sum(a); % s = 3+5+4+2+1=15

A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];

S1 = sum(A); % S1=[13 11 15]

S2 = sum(sum(A)); % S2=39

При вычислении суммы S2 сначала вычисляется сумма значений элементов матрицы А по столбцам, а затем, по строкам. В результате, переменная S2 содержит сумму значений всех элементов матрицы А.

Для сортировки значений элементов вектора или матрицы по возрастанию или убыванию используется функция sort() следующим образом:

a = [3 5 4 2 1];

b1 = sort(a); % b1=[1 2 3 4 5]

b2 = sort(a, ‘descend’); % b2=[5 4 3 2 1]

b3 = sort(a, ‘ascend’); % b3=[1 2 3 4 5]

для матриц

A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];

B1 = sort(A); % B1=[3 1 2

% 4 3 5

% 6 7 8]

B2 = sort(A, ‘descend’); % B2=[6 7 8

% 4 3 5

% 3 1 2]

Во многих практических задачах часто требуется найти определенный элемент в векторе или матрице. Это можно выполнить с помощью стандартной функции find(), которая в качестве аргумента принимает условие, в соответствии с которым и находятся требуемые элементы, например:

a = [3 5 4 2 1];

b1 = find(a == 2); % b1 = 4 – индекс элемента 2

b2 = find(a ~= 2); % b2 = [1 2 3 5] – индексы без 2

b3 = find(a 3); % b3 = [2 3]

В приведенном примере символ ‘==’ означает проверку на равенство, а символ ‘~=’ выполняет проверку на неравенство значений элементов вектора а. Более подробно об этих операторах будет описано в разделе условные операторы.

Еще одной полезной функцией работы с векторами и матрицами является функция mean() для вычисления среднего арифметического значения, которая работает следующим образом:

a = [3 5 4 2 1];

m = mean(a); % m = 3

A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8];

M1 = mean(A); % M1 = [4.333 3.667 5.000]

M2 = mean(mean(A)); % M2 = 4.333

1.2 Mathcad

Mathcad относится к системам компьютерной алгебры, то есть средств автоматизации математических расчетов. В этом классе программного обеспечения существует много аналогов различной направленности и принципа построения. Наиболее часто Mathcad сравнивают с такими программными комплексами, как Maple, Mathematica, MATLAB, а также с их аналогами MuPAD, Scilab, Maxima и др. Впрочем, объективное сравнение осложняется в связи с разным назначением программ и идеологией их использования.

Основное отличие Mathcad от аналогичных программ это графический, а не текстовый режим ввода выражений. Для набора команд, функций, формул можно использовать как клавиатуру, так и кнопки на многочисленных специальных панелях инструментов. В любом случае формулы будут иметь привычный, аналогичный книжному, вид. То есть особой подготовки для набора формул не нужно. Вычисления с введенными формулами осуществляются по желанию пользователя или мгновенно, одновременно с набором, либо по команде. Обычные формулы вычисляются слева направо и сверху вниз (подобно чтению текста). Любые переменные, формулы, параметры можно изменять, наблюдая воочию соответствующие изменения результата. Это дает возможность организации действительности интерактивных вычислительных документов.

Mathcad задумывался как средство программирования без программирования, но, если возникает такая потребность – Mathcad имеет довольно простые для усвоения инструменты программирования, позволяющие, впрочем, строить весьма сложные алгоритмы, к чему прибегают, когда встроенных средств решения задачи не хватает, а также когда необходимо выполнять серийные расчеты.

1.2.1 Матрицы и векторы в Mathcad

Операции, выполняемые над векторами и матрицами в Mathcad, можно разбить на две большие группы. К первой группе относятся операции, которые применяются к отдельным векторам и матрицами. Например, транспонирование матрицы или вычисление обратной матрицы в Mathcad. Ко второй группе относятся операции, которые выполняются над группой векторов и матриц. Как правило, они выполняются над двумя матрицами или матрицей и вектором. Например, сложение, вычитание матриц, перемножение матриц или умножение матрицы и вектора. К векторам и матрицам в Mathcad, при выполнении операций над ними, могут предъявляться определенные требования в соответствии с требованиями классической математики. Например, при перемножении матрицы и вектора, количество столбцов матрицы должно быть равно количеству срок вектора. Поэтому при работе с векторами и матрицами пользователь должен иметь необходимую математическую подготовку. На рисунке 1 приведены основные операции, выполняемые над векторами и матрицами, используемые в Mathcad. В таблице приняты следующие обозначение: А – массив, под которым понимается вектор или матрица, М – матрица, z - скаляр, v – вектор.

Рисунок 1 Основные операции над векторами и матрицами

Наиболее удобно выполнять матричные вычисления с использованием кнопок панели инструментов «Матрица». По умолчанию индексация строк и столбцов элементов матрицы начинается с 0. Для того чтобы индексация начиналась с 1, необходимо системной переменной ORIGIN присвоить значение 1. На рисунке 2 приведен пример матричных вычислений в Mathсad.

Рисунок 2 Матричные вычисления в Mathсad

1.2.2 Матричные функции в Mathcad

Mathсad имеет более 50 функций, предназначенных для работы с векторами и матрицами. Все функции можно разбить на группы по их функциональному назначению. Например, функции, предназначенные для создания матриц общего и специального вида, редактирования и преобразования матриц, функции, определяющие параметры матриц и т. д. Рассмотрим часть этих функций, которые имеют наибольшее прикладное значение.

Среди функций, предназначенных для создания матриц, следует выделить функцию matrix(L,N,f), где L – число строк матрицы, N – число столбцов матрицы, f – функция f(l,n). Другая функция из этой группы identity(n). Функция предназначена для создания единичной матрицы размерности n. Следующая функция geninv(M) позволяет осуществить обращение матрицы M, аналогично операции M^-1.

Выделить произвольную подматрицу из матрицы М в Mathcad можно посредством функции submatrix (M, r1, r2, c1, c2), где М – исходная матрица, r1 и r2 – нижний и верхний номер строки матрицы М, включаемых в результирующую подматрицу, а с1 и с2 – нижней и верхний номер столбца матрицы М, включаемых в результирующую подматрицу.

Слияние матриц можно осуществить, используя функции augment(A,B,…) и stack(A,B,…). Функция augment(A,B,…) предназначена для слияния матриц А, В и т. д. слева направо. Причем количество строк в матрицах должно быть одинаково. Вторая функция stack(A,B,…) выполняет слияние матриц сверху вниз. Количество столбцов в матрицах должно быть также одинаково. Данные функции могут быть применены и к векторам. На рисунке 3 приведен пример использования рассмотренных матричных функций.

Рисунок 3 Применение матричных функций в Mathсad

2. Задачи матричной алгебры в пакетах символьной математики
2.1 Задачи матричной алгебры в MatLab

При создании матриц в системе MatLab символы пробел и запятая используются для отделения элементов внутри строки в матрице, символ точка с запятой отделяет строки в матрице.

При создании матриц необходимо следить за равенством длин строк, ее образующих.

В MatLab операция транспонирования матрицы выполняется с помощью либо оператора «’», либо функции transpose().

Задача 1. Транспонировать матрицу А.

A=[1 3;1 3];

B=transpose(A)

B=

1 1

3 3

Задача 2. Выполнить суммирование матриц А и В.

A=[2 3;3 2]; B=[1 1;2 2];A+B

ans=

3 4

5 4

Задача 3. Вычислить произведение матриц А и В.

A=[1 3;2 4]; B=[1 2;3 4]; A*B, B*A

ans=

10 14

14 20

ans=

5 11

11 25

В MatLab используется символ «\» для решения систем линейных уравнений. Решим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Введем матрицу коэффициентов системы в массив A, а вектор правой части системы в массив b. Решим систему при помощи символа «\»:

» x = A\b

x =

1.0000

1.0000

1.0000

Проверить правильность ответа можно, умножив матрицу коэффициентов системы A на вектор-столбец x.

2.2 Задачи матричной алгебры в Mathcad

Рассмотрим системы линейных алгебраических уравнений в Mathcad в векторно-матричной форме A*x=b, где А – квадратная матрица коэффициентов при неизвестных, причем определитель матрицы должен быть отличным от нуля; х – вектор неизвестных; b – вектор свободных членов. Решение данной сводится к следующему. Если определитель матрицы А отличен от нуля, то матрица А обратима. Тогда, умножив левую и правую часть и сходного уравнения на обратную матрицу (А-1), получаем решение в виде x=A–1*b. Реализовать полученное решение средствами Mathcad не представляет сложностей. Для случая бесконечного множества решений получаем сингулярную матрицу, Mathcad выдает сообщение «Matrixissingular. Cannotcomputeitsinversу – матрица сингулярная. Нельзя вычислить эту инверсию» и прерывает вычисления. На рисунке 4 представлен пример решения систем линейных алгебраических уравнений.

Рисунок 4 Решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом

В Mathcad метод Крамера также предназначен для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными вида A*x=b на основе предварительного вычисления определителей системы, при условии, что определитель матрицы А отличен от нуля. Метод основан на формулах Крамера, вида: , где  – определитель матрицы, полученной из матрицы А системы заменой i-го столбца, т. е. столбца коэффициентов при неизвестном   вектором свободных членов, т. е. b. На рисунке 5 в Mathcad приведен пример решения системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера. 

Рисунок 5 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Список использованных источников

1. Матричные вычисления в MathCAD [Электронный ресурс] – URL : http://allmathcad.com/ru/matrichnye-vychisleniya.html.

2. Наместников, С. М. Основы программирования в MatLab : учебное пособие / С. М. Наместников. – Ульяновск : УлГТУ, 2011. – 55 с.

3. Учебник по MathCAD [Электронный ресурс] – URL : http://itmu.vsuet.ru/ Posobija/MathCAD/index.html.

4. Язык программирования MatLab. Обучающие уроки [Электронный ресурс] – URL : http://life-prog.ru/view_cat.php?cat=5&page=1.