Работа ученицы исследовательский проект: " ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ»

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА

И

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ

Секция МАТЕМАТИКА

Работу выполнила:

Епифанцева Марина, ученица 7И класса

Руководитель: Морозова Татьяна Владимировна,

учитель математики

высшей квалификационной категории

БЕРДСК – 2019

Оглавление

Оглавление. ............................................................................................................. 2

Введение …………………………………………………………………………. 3

Цель работы и ее задачи …………………………………………………………. 4

Основная часть …………………………………………………………………… 4

Краткая историческая справка ….……………………………………………... 4

Основные формулы сокращённого умножения …………………………………4

Доказательство формул сокращенного умножения ………………………….… 5

1. Геометрическая алгебра ..........................................................................5

2. Геометрический способ доказательства ………………………….…. 6

3. Алгебраический способ доказательства ……………………….……. 8

Заключение ………………………………………………………………………... 9

Список используемых источников информации …………………………….... 10

Приложения……………………………………………………………….... 11

Введение

Тему своей исследовательской работы я выбрала среди предложенных тем в своём учебнике алгебры (автор Ю.М. Калягин и др.) вместе со своим учителем.

Как известно, формулы сокращённого умножения изучают в школе в 7 классе на уроках алгебры. Эти формулы потом очень часто применяют на уроках математики и в различных жизненных ситуациях.

В своей работе я попыталась разобраться в геометрическом смысле некоторых формул сокращённого умножения.

Цель работы:

Изучение истории возникновения некоторых часто используемых формул сокращённого умножения. Доказательство формул сокращённого умножения геометрическим способом.

Задачи:

Для достижения поставленной цели мне необходимо было решить следующие задачи:

• Познакомится с предметом геометрическая алгебра.

• Проанализировать научную литературу и интернет-источники по данному вопросу.

• Сравнить алгебраический и геометрический способы доказательства формул сокращённого умножения.

• Систематизировать и обобщить полученные знания.

• Создать презентацию и бумажную модель для вывода формулы сумма кубов.

Основная часть

Краткая историческая справка

Древние вавилонские клинописные тексты свидетельствуют о том, что некоторые формулы сокращённого умножения (квадрат суммы, квадрат разности, произведение разности на сумму) были известны ещё около 4000 лет назад. Только в те времена их знали не в современном символическом (буквенном) виде, и не геометрическом виде, как их представляли древние греки.

Первые упоминания формул сокращенного умножения встречаются во времена древнегреческих математиков. В «Началах» Евклида есть практическое обоснование и доказательство одного из тождеств ФСУ.

Греки времён Евклида решали алгебраические уравнения геометрически, представляя их корни в виде отрезков. Это направление в развитии математики получило название геометрической алгебры.

Геометрическая алгебра

Под термином геометрическая алгебра подразумевается изображение чисел, алгебраических выражений, величин и соотношений с помощью средств геометрии – изображений чертежей и рисунков.

Геометрия (от греческого ge – земля и metrein – измерять) – это наука о пространстве, о формах, размерах и границах различных тел.

Геометрическая алгебра появилась раньше современной алгебры. Её появление связано с такими понятиями, как: переменные и алгебраические уравнения.

Почему греки избрали геометрический путь развития математики? Ведь именно пифагорейцам принадлежат известные слова: «Всё есть число». Почему тогда они отошли от чисел, и перешли к изучению исключительно фигур?

Например, при решении уравнений с двумя неизвестными они называли одно – «длиной», а другое – «шириной». Произведение неизвестных называлось «площадью». В задачах приводящих к кубическому уравнению, появлялась третья величина – «глубина» , а произведение трёх неизвестных называлось «объёмом».

В основном геометрическая алгебра опиралась на планиметрию и обосновывала её. Наибольшее применение геометрическая алгебра нашла в вопросах исследования квадратичных форм и тождеств, а так же при решении квадратных уравнений.

Методы геометрической алгебры позволили доказать многие геометрические тождества и теоремы. При этом общее доказательство было сделано с помощью геометрической алгебры впервые в истории. Например, геометрическое доказательство формулы суммы квадратов и геометрическое доказательство теоремы Пифагора.

  Основные положения геометрической алгебры сводятся к следующему: 
    1) алгебраические переменные, как и произвольные числа, представляются отрезкам; 

2) сумма чисел или алгебраических переменных представлялась в виде отрезка, составленного из слагаемых отрезков;

3) произведение двух чисел или переменных представлялось в виде прямоугольника со сторонами равными отрезкам-множителям;

4) вычитание происходило путём отсечения от большего отрезка части, равной меньшему отрезку.

5) деление осуществлялось с помощью понижения размерности сторон для площадей прямоугольников;

6) в задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина - “глубина”, а произведение трех неизвестных именовалось “объемом”.

Складывать можно было только однородные величины: отрезки с отрезками, прямоугольник с прямоугольником. Для прямоугольников тогда было необходимо, чтобы у них была пара одинаковых сторон.

Геометрический путь был гениальной находкой античных математиков и имеет огромное значение в современном мире. Однако этот путь имел существенные недостатки. Геометрически можно было выразить лишь длины, квадраты и кубы величин (т.е длину, площадь и объём). Степени больше чем третья выразить нельзя, неизвестные могут быть только положительными числами. Ещё один недостаток это, то что геометрические построения могут быть слишком громоздкими. Всё это сдерживало развитие алгебры.

Первым учёным, который отказался от геометрических способов выражения и перешёл к алгебраическим уравнениям, был Диофант. Появились формулы, которые стали называть формулами сокращённого умножения.

Рассмотри геометрическое доказательство некоторых формул сокращённого умножения.

Доказательство Евклида или геометрическое доказательство формулы суммы квадратов.

( а + b )² = а² + 2аb + b²

Формулу квадрата суммы вывел Евклид, используя геометрический способ. Шаг 1.

Для доказательства нужно взять квадрат, сторона которого будет равна (а + b). Площадь квадрата равна квадрату стороны, поэтому: S = (а + b)².

Шаг 2.

Так как длина стороны квадрата равна ( а + b), то этот квадрат можно представить по-другому, разделив сторону на a и b.

Шаг 3.

В результате образовалось четыре прямоугольника. Найдём площадь каждого из них:

S₁ = ab, S₂ = b², S₃ = a², S₄ = ab

Площадь большого квадрата будет равна сумме площадей этих четырех фигур: S = ab + b² + a² + ab , но S = (а + b)²

Так как равны левые части уравнения, то равны и правые:

( а + b )² = а² + 2аb + b² .Что и требовалось доказать.

Геометрическое доказательство формулы квадрат разности

( а - b )² = а² - 2аb + b²

Для доказательства нужно взять квадрат, сторона которого будет равна а. Площадь квадрата равна квадрату стороны, поэтому: S = а ².

Шаг 1.

Отложим на стороне квадрата отрезок b, так чтобы получился квадрат со стороной ( а - b ). Его площадь будет S = ( а - b )².

Шаг 2.

Продолжим стороны квадратов со сторонами ( а - b ) и b, до пересечения со сторонами исходного квадрата. В результате образовалось четыре прямоугольника. Найдём площадь каждого из них:

S₁ = ( а - b )², S₂ = b ( а - b ) , S₃ = b ( а - b ) , S₄ = b²

Шаг 3.

Площадь большого квадрата будет равна сумме площадей этих четырех фигур: S = S_{1 +} S_{2 +} S_{3 +} S₄ . Площадь квадрата S_{1 =} S – (S_{2 +} S_{3 +} S₄ ), т.е.

S_{1 =} а ² - b ( а - b ) - b ( а - b ) - b² = а² - 2аb + b² . Что и требовалось доказать.

Геометрическое доказательство формулы разности квадратов

( а - b ) ( а + b )= а² - b²

 

Для доказательства нужно взять квадрат, сторона которого будет равна а. Площадь квадрата равна квадрату стороны, поэтому: S = а ²

Шаг 1.

Отложим на стороне квадрата отрезок b, так чтобы получился квадрат со стороной b. Его площадь будет S = b ².

Шаг 2.

Продолжим стороны квадрата со сторонами b, до пересечения со сторонами исходного квадрата. В результате образовалось три прямоугольника.

S₁ = b², S₂ = а ( а - b ) , S₃ = b ( а - b )

Шаг 3.

Тогда: S – S_{1 =} S₂ + S_3, т.е. а² - b² = ( а - b ) ( а + b ) = a( а - b) + b( а - b)

Т.е. ( а - b ) ( а + b )= а² - b² . Что и требовалось доказать.

Геометрическое доказательство формулы сумма кубов.

а³ + b³ = ( а + b ) ( а² - а b + b² )

Шаг 1. Надо взять куб с длиной ребра a и куб с длиной ребра b. Объём полученного многогранника V = V₁₊ V_{2 =} а³ + b³

Шаг 2. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, у которого одно ребро (а + b), а два другие равны а. Объём прямоугольного параллелепипеда

V₃ = ( а + b ) а².

Шаг 3. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами а, b и а состоит куба объём которого V_{2 =} b³, Прямоугольного параллелепипеда объём которого

V₄ = ( а - b ) b ² и прямоугольного параллелепипеда объём которого

V₅ = ( а - b ) а b .

Тогда: V_{1 +} V_{2 =} V₃ - ( V₄ + V₅ ) или а³ + b³ = ( а + b ) а² - ( а - b ) b ² -( а - b ) а b = а²( а + b ) - b ( а - b ) ( а + b ) = ( а + b ) ( а² - а b + b² ).

Получили: а³ + b³ = ( а + b ) ( а² - а b + b² ). Что и требовалось доказать.

Вывод

С помощью таких геометрических объектов, как отрезок, прямоугольник и параллелограмм, т.е. с помощью геометрической алгебры. мне удалось доказать формулы сокращенного умножения.

Геометрический способ доказательства формул сокращённого умножения нагляднее алгебраического и достаточно простой.

Список используемых источников информации:

1. Справочник по элементарной математике. Выгодский М.Я.,Москва, 2006

2. http://n-t.ru/ N – T. ru Электронная библиотека. Наука и техника. Родословная формулы Р. САФАРОВ (Институт истории АН Таджикистана)

3. http://mf.mgpu.ru/Materials/Geom_alg . Геометрическая алгебра.

4. https://mathvox.ru/algebra/formuli-sokraschennogo-umnojeniya . Геометрическое доказательство формул сокращённого умножения.

5. http://www.kvadromir.com/geom_alg.html . История математики. Геометрическая алгебра.

6. https://www.getaclass.ru/edu/geometricheskaya-algebra#_tab-text

Геометрическая алгебра. Курс "Просто математика"

Приложение1.

Формулы сокращённого умножения.

Формулы для квадратов:

( а + b )² = а² + 2аb + b²

( а - b )² = а² - 2аb + b²

( а - b ) ( а + b )= а² - b²

Формулы для кубов:

а³ + b³ = ( а + b ) ( а² - а b + b² )

а³ - b³ = ( а - b ) ( а² + а b + b² )

(а – b)³ = а³ - 3а²b + 3а b² - b³

(а + b)³ = а³ + 3а²b + 3а b² + b³

Некоторые свойства формул:

( а - b )²ⁿ =( b - а )²ⁿ , где n из N

( а - b )²ⁿ⁺¹ = - ( b - а )²ⁿ⁺¹ , где n из N

Приложение2.

Геометрическое доказательство формулы разность кубов.

а³ - b³ = ( а +-b ) ( а² + а b + b² )

Шаг 1. Надо взять куб с длиной ребра а и куб с длиной ребра b. Объём полученного многогранника V = V_а –V_в = а³ - b³

Шаг 2. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, у которого одно ребро (а - b), а два другие равны а и b. Объём прямоугольного параллелепипеда

V₁ = ( а - b ) аb

Шаг 3. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, у которого одно ребро (а - b), а два другие равны а. Объём прямоугольного параллелепипеда

V₂= ( а - b ) а²

Шаг 4. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, у которого одно ребро (а - b), а два другие равны b. Объём прямоугольного параллелепипеда

V₃= ( а - b ) b ²

Тогда: V = V_а –V_в = V₁₊V₂₊V₃ или а³ - b³ =( а - b ) а b + ( а - b ) b ² + ( а - b ) а² = ( а - b ) ( а² + а b + b² ).

Получили: а³ - b³ = ( а - b ) ( а² + а b + b² ). Что и требовалось доказать.

13