Проект по математике на тему:"Исследование одной задачи на минимум".

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ПАЛЛАСОВСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

Тема проекта: «Исследование одной задачи на минимум»

Работу выполнил: Шаповалов Илья Николаевич /_________/

(Ф.И.О)  (подпись)

Группа 1ТВ9 специальность Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров

Дисциплина Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Преподаватель: Низамова Гульнара Ахмедовна /_________/

(Ф.И.О) (подпись)

Оценка за проект________________________

«___»____________2017г.

Палласовка, 2017г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………………................................2

1.Необходимое и достаточное условия экстремума для

классической задачи:

- на условный экстремум;

- на регулярную и нерегулярную задачу .........................................................3

2.Решение задач……………………………………....................…………….10

Заключение ……………………………………………….……..…………… ..22

Список использованной литературы………………………. ……………......23

ВВЕДЕНИЕ

В математике исследование задач на минимум началось давно, примерно 25 веков назад. Но только 300 лет назад были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.

Актуальность данной темы в том, что возникла потребность задач на минимум в области экономики и техники.

Цель работы: изучить элементы исследования задач на минимум.

Для достижения поставленной цели нами были определены следующие задачи:

- Выявить необходимое и достаточное условие экстремума.

- Показать как повлияет элементы на решение классических задач:

-на условный экстремум;

- на регулярную и нерегулярную задачу.

- Внести предложения по решению таких задач.

Объект исследования – задачи на минимум.

Предмет исследования – исследование одной задачи на минимум.

Интенсивное развитие вариационного исчисления привело к созданию стройной теории для определенного класса задач. Однако потребности практической жизни, особенно в области экономики и техники, в последнее время выдвинули такие новые задачи, которые в большинстве случаев не удавалось решать старыми методами. Необходимость решения новых задач (в частности, космос, авиация и т.д.) привела к созданию новой теории, получившей название теории оптимального управления.

Мне понравилась тема по нахождению минимумов, так как они имеют практический и прикладной характер. Я считаю, что умение решать такие задачи помогут мне успешно учиться в высшем учебном заведение и более того пригодится в жизни, так как любая задача на минимум, в конечном счете, способствует формированию рационального поведения любого человека с точки зрения законов.

Пришлось, изучить дополнительную литературу о неравенствах и об их применении в прикладных задачах на минимум.

1.Необходимое и достаточное условия экстремума для классической задачи. На условный экстремум. Регулярная и нерегулярная задача.

Условный экстремум ФНП, его геометрическая интерпретация (при n = 2), функция Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума (вывод для n = 2). Достаточные условия (без доказательства). Нахождение наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой ФНП на замкнутом ограниченном множестве.

В приложениях часто встречаются задачи поиска экстремумов функций нескольких переменных при дополнительных ограничениях на возможные изменения переменных. Такие ограничения могут иметь различный характер. Например, значения переменных должны удовлетворять одному или нескольким уравнениям или неравенствам. Как ограничение можно рассматривать условие попадания точки n-мерного линейного арифметического пространства в заданную область, или, наоборот, точки некоторого множества в не принимаются в расчет. Далее мы остановимся на случае, когда аргументы функции подчиняются ограничениям в виде одного или нескольких уравнений, часто называемых уравнениями связи.

Общая постановка задачи

Пример 1. Рассмотрим задачу определения прямоугольника с заданным периметром наибольшей площади. Обозначив через и длины сторон прямоугольника, через -- его периметр, мы придем к задаче поиска максимума площади прямоугольника при дополнительном условии (ограничении), что кратко можно записать следующим образом нас интересует решение задачи в области.

В данном случае решение задачи легко можно найти, выразив из уравнения связи одно из переменных и подставив найденное выражение в функции. В результате мы придем к задаче поиска минимума действительной функции одного действительного переменного. Например, из уравнения связи находим. Тогда площадь прямоугольника при заданном ограничении можно представить как функцию только переменного: Исходя из естественных ограничений x 0, y 0, находим область изменения переменного. Функция достигает максимума в интервале (0, p) при, что дает решение рассматриваемой задачи: Итак, среди всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Отметим, что функция двух переменных не имеет экстремумов, а у рассмотренной задачи решение существует. Это связано с тем, что для задачи (1) не играют роли значения функции в тех точках, которые не удовлетворяют ограничениям. В задачах такого типа все зависит от поведения функции лишь на части ее области определения, а именно на множестве тех точек в области определения, которые подчиняются установленным ограничениям.

Определение 1. Говорят, что функция, определенная в окрестности точки, достигает в этой точке условного локального минимума при условиях где? f(x),- некоторые функции нескольких переменных, определенные в окрестности точки a, если существует такая проколотая окрестность точки a, что для всех точек, удовлетворяющих условиям ,верно неравенство

Понятия условного локального максимума и минимума объединяют под общим названием условный экстремум функции. Если в определении 1 неравенства строгие, то говорят о строгом условном экстремуме функции.

Задачу исследования функции: на условный экстремум при ограничениях, заданных с помощью функций, часто записывают в виде и называют задачей на условный экстремум. При этом функцию называют целевой функцией. Условия (4) в общем случае представляют собой систему нелинейных уравнений - уравнений связи.

Метод решения, использованный в примере 1, может применяться лишь в простейших ситуациях. Распространение этого метода на общий случай наталкивается на трудности, связанные с исключением части переменных из аргументов целевой функции при помощи уравнений связи. Такой подход приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений, а это, как известно, -- сложная задача. Отметим, что исключение неизвестных с помощью уравнений связи приводит затем к задаче поиска локального экстремума функции нескольких переменных, т.е. к решению еще одной системы нелинейных уравнений, которые получаются приравниванием нулю частных производных. Исключение неизвестных нужно лишь затем, чтобы вычислить эти частные производные, но частные производные можно также вычислить и с помощью теоремы о неявной функции. В этом случае исключение неизвестных фактически уже не нужно, и решение задачи упрощается. Развитию этого подхода на основе теоремы о неявной функции мы и уделим внимание, начав с более простой задачи для условного экстремума функции двух переменных.

Необходимое условие условного экстремума. Остановимся на простейшем случае функции двух переменных.

Теорема 1. (необходимое условие условного экстремума). Пусть функции двух переменных и определены и непрерывно дифференцируемы в окрестности точки. Если функция имеет в точке условный экстремум при условии, причем, то существует такое число, которое вместе с координатами и точки удовлетворяет системе уравнений

Поскольку, то одна из частных производных первого порядка функции в точке отлична от нуля. Пусть, например. По теореме о неявной функции в некотором прямоугольнике с центром в точке уравнение разрешимо относительно переменного, т.е. задает неявную функцию, непрерывно дифференцируемую в окрестности точки a, причем

В прямоугольнике точки, удовлетворяющие условию, имеют вид где значит если функция имеет в точке P условный экстремум при условии, то функция одного переменного имеет в точке локальный экстремум. Эта функция, как композиция дифференцируемых функций, является дифференцируемой в точке. Следовательно, в силу необходимого условия локального экстремума верно соотношение. Согласно правилу дифференцирования сложной функции и равенству (6), находим

Введем обозначение:

Тогда где первое из этих уравнений вытекает из условия, а второе эквивалентно равенству, определяющему число. Добавив к этим уравнениям равенство, которое должно выполняться в точке условного локального экстремума, получим систему уравнений (5).

Доказательство теоремы в случае, когда, проводится аналогично.

Систему уравнений (5) можно записать в виде и придать ей следующую геометрическую интерпретацию: если в точке условного экстремума выполняются условия теоремы 1, то линия уровня целевой функции касается кривой, заданной уравнением связи. На рис. 1, а показано, почему в этом случае необходимое условие не может нарушаться в точке условного экстремума. В изображенной ситуации (это определяется направлением градиента функции, являющимся направлением ее роста) и функция на кривой не может иметь экстремума. Было показано поведение функции в окрестности условного максимума. В соответствии с указанным направлением градиента функции имеем, что и обеспечивает локальный максимум в точке на кривой.

Введем функцию, которую называют функцией Лагранжа, где -множитель Лагранжа. Тогда система (5) будет иметь вид

Таким образом, задача на условный экстремум при выполнении условий теоремы 1 сводится к поиску стационарных точек функции Лагранжа и их анализу.

Пример 2. Найдем точки, подозрительные на условный экстремум, в задаче сформулированной в примере 1.

Функции и удовлетворяют условиям теоремы 1, поэтому решать задачу можно при помощи функции Лагранжа.

Составим функцию Лагранжа.

Необходимые условия условного экстремума приводят к системе уравнения.

Теорема 2. Пусть функции и определены и непрерывно дифференцируемы в окрестности точки, причем ранг матрицы частных производных функции в точке равен. Если в точке функция имеет условный локальный экстремум при условиях, то существуют такие числа которые вместе с координатами точки a удовлетворяют системе уравнений.

Достаточные условия условного экстремума

Достаточные условия условного экстремума в задаче можно сформулировать с помощью функции Лагранжа. Пусть в задаче на условный экстремум функции: при условиях, заданных функциями, в точке выполнено необходимое условие условного экстремума. В этом случае в точке определен вектор множителей Лагранжа.

Зафиксируем в функции Лагранжа значения множителей Лагранжа, представив ее как функцию только переменных. Чтобы выяснить, является ли точка точкой условного экстремума рассматриваемой функции, нужно проанализировать дифференциал второго порядка функции в точке, являющийся квадратичной формой от приращений переменных. Рассмотрим этот дифференциал как квадратичную форму на линейном подпространстве в, заданном системой линейных уравнений.

Теорема 3. Пусть функции дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки, и координаты точки вместе с координатами некоторого вектора удовлетворяют системе уравнений.

Тогда:

1) если квадратичная форма положительно определенная, то функция имеет в точке строгий условный локальный минимум при условии;

2) если квадратичная форма отрицательно определенная, то функция имеет в точке строгий условный локальный максимум при условии;

3) если квадратичная форма знакопеременная, то функция в точке не имеет условного экстремума.

Теорема 3 утверждает, что для проверки точек, подозрительных на условный экстремум, необходимо проанализировать квадратичную форму, т.е. дифференциал второго порядка функции Лагранжа, при значениях дифференциалов, которые удовлетворяют системе линейных уравнений.

Матрица этой системы линейных алгебраических уравнений совпадает с матрицей частных производных функций в точке, ранг которой по условию теоремы 2 равен. Следовательно, система (11) позволяет выразить дифференциалов через оставшиеся дифференциалов. Зафиксируем известные значения множителей Лагранжа (координат вектора). Рассматривая функцию Лагранжа как функцию только переменных, вычислим ее дифференциал второго порядка в точке . Исключим из квадратичной формы указанные дифференциалов. Получим квадратичную форму относительно дифференциалов. Если эта квадратичная форма является положительно определенной (отрицательно определенной, знакопеременной), то в точке функция имеет условный локальный минимум (условный локальный максимум, не имеет условного локального экстремума). Если указанная квадратичная форма от переменных вырождена, но сохраняет знак (не положительно или неотрицательно определена), то в точке функция может иметь условный локальный экстремум, а может и не иметь. В этом случае по виду второго дифференциала в точке выявить поведение функции нельзя и нужны другие методы исследования.

Пример 2. В примере 2 уравнение дает, откуда можно, например, выразить через: Дифференциал второго порядка функции Лагранжа при фиксированном значении в точке имеет вид. Исключая из второго дифференциала, получаем квадратичную форму, которая отрицательно определена. Следовательно, в точке мы имеем условный локальный максимум.

Пример 4. Исследуем на условный экстремум функцию при условии, где функция, как и функция, является по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемой на всей плоскости. Составим функцию Лагранжа

Запишем систему (10) необходимых условий условного экстремума

Из первого уравнения находим, что-либо. В первом случае () из третьего уравнения вытекает, что, а из второго - что. Во втором случае () из второго уравнения сразу получаем, что. Окончательно, используя третье уравнение, заключаем, что есть четыре точки, подозрительные на условный экстремум

Исследуем эти четыре точки, применяя достаточное условие условного экстремума. Рассмотрим два случая.

В первом случае, когда, дифференциал второго порядка функции Лагранжа имеет вид. Подпространство в точке описывается уравнением или с учетом равенств

В точке подпространство описывается тем же уравнением. Легко увидеть, что квадратичная форма являющаяся сужением (или) на подпространство , положительно определена, так как . Значит, точки и являются точками условного минимума.

Во втором случае, когда? =? в точках и второй дифференциал функции Лагранжа имеет вид а подпространство описывается уравнением

Так как, квадратичная форма на подпространстве (т.е. при) отрицательно определена, и поэтому точки и являются точками условного локального максимума.

Этот пример является иллюстративным, и приведенное решение в данном случае не самое лучшее. Действительно, ограничение можно записать параметрически в виде. Это позволяет заменить исследование функции двух переменных на условный экстремум исследованием на экстремум функции одного переменного. Кроме того, поставленная задача имеет простую геометрическую интерпретацию. Кривая в данном случае представляет собой эллипс с полуосями и а линии уровня функции это концентрические окружности, причем значение функции на каждой такой окружности равно квадрату радиуса

2.Решение задач

Для решения данной задачи необходимо доказать лемму (вспомогательная теорема):

Сумма трех положительных чисел a, b, c принимает наименьшее значение, равное

3*√abc, которое достигается при a = b = c.

Доказательство:

Из неравенства Коши = (a + b + c) / 3 ≥ √ abc = a + b + с ≥ 3*√ abc

a + b + с 3*√ abc, значит a + b + с имеет наименьшее значение, если a + b + c = 3*√ abс

Осталось доказать, что при этом a = b = c.

Проведем замену переменной: a = x; b = y; с = z; x + y + z = 3*√ abc;

x + y + z = 3xyz

(x + y + z) = ((x + y) + z) = (x + y) + 3(x + y)* z + 3(x+y)*z+ z = x + 3xy + + 3xy+ y + 3(x + y)* z + 3(x+y) * z+ z;

x+ y+ z= (x + y +z)- 3xy – 3x y- 3(x + y)* z – 3(x + y) * z = (x + y +z) - - 3xy( x+y) – 3(x + y)* z – 3(x + y) * z= (x + y + z) - 3(x + y)*(xy + (x + y)* z +z);

(x + y + z) = 3xyz + 3xy + 3xy + 3(x + y) * z + 3(x + y) * z = 3xy(x + y + z) + 3(x + y)* z * (x + y + z) = 3*(x + y + z)*(xy + xz + yz);

(x + y + z) = 3(xy + xz + yz);

x+ y+ z+ xyz + 2yz + 2xz = 3xy - 3xz – 3yz = 0;

x + y +z- xy - xz – yz = 0;

2x + 2y +2z- 2xy - 2xz – 2yz = 0;

(x – y) + (y – z) + (x – z) = 0 = x = y = z = a = b = c = a = b = c.

Равносторонний треугольник.

Дано:

∆АВС – равносторонний

Р принадлеж. (∆АВС)

D, F, E – ортогональные проекции

Найти:

все точки Р, для которых минимальна.

Решение:

1) рассмотрим ∆АМС.

AB = BC = AC = a

S∆APC =1/2*AC*PE = 1/2* a *PE; PE = (2S∆APC)/a;

2) рассмотрим ∆APB.

S∆APB = 1/2*AB*PF = 1/2* a * PF; PF = (2 S∆APB )/a;

3) рассмотрим ∆BPC;

S∆BPC = 1/2*BC*PD; PD = (2S∆BPC)/a;

4) PE + PF + PD = 2/a(S∆APC + S∆APB + S∆BPC ) = 2/a * S∆ABC = 2S/a;

S = 1/2* a * a * sin A = 1/2* a * √3/2 = (a* √3)/4;

PE + PF + PD = (2* a* √3)/4a = (a√3)/2, где (a√3)/2 величина постоянная.

Прямоугольный равнобедренный треугольник.

Дано:

∆АВС – равнобедренный, прямоугольный

Р принадлеж. (∆АВС)

D, F, E – ортогональные проекции

Найти:

Все точки Р, для которых минимальна.

Решение:

1) AC = BC = a;

по теореме Пифагора = AB = a + a = 2a;

AB =√2a;

2) S∆APC = S1 = 1/2 * √2a * PE; PE = 2 S1/ √2a;

3) S∆APB = S2 = 1/2 * AB * PF = 1/2 * a * PF; PF = 2 S2/a;

4) S∆BPC = S3 = 1/2 * PD * BC = 1/2 * a * PD; PD = 2 S3/a;

Используя неравенство Коши, получим:

5) ((2 S1)/( √2a ) + (2 S2)/a + (2 S3)/a)/3 ≥ √ (8 S1 S2 S3/ √2aaa);

2 S1/ √2a + 2 S2/a + 2 S3/a ≥ 6/a * √(S1S2S3/√2);

6) Сумма слева имеет наименьшее значение, если она равна 6/a * √(S1S2S3/√2), т. е.

2 S1/ √2a + 2 S2/a + 2 S3/a = 6/a * √(S1S2S3/√2), а это равенство возможно в том случае, когда

2 S1/ √2a = 2 S2/a = 2 S3/a = S2 = S3 = S1/ √2; из = PD = PF = точка Р лежит на биссектрисе угла АВС;

из S2 = S1/ √2 = PF*a/2 = a√2*PE/2√2 = PF = PE; значит Р – центр вписанной окружности. Тогда PD = PF = PE = r = 2S/r = 2 *(1/2a/ a + a + √2a) = a/ 2a + √2a = a/ a(2 + √2 ) =

= a / 2 + √2, тогда PD + PE + PF = 3a / 2 + √2.

Произвольный прямоугольный треугольник.

Дано:

∆АВС – прямоугольный

Р принадлеж. (∆АВС)

D, F, E – ортогональные проекции

Найти:

все точки Р, для которых минимальна.

Решение:

1. S∆BPC = S1 = 1/2 * BC * PE = 1/ 2 aPE; PE = 2 S1/a;

2. S∆APC = S2 = 1/2 * AC * PD = 1/2 b PD; PD = 2 S2/b;

3. S∆APB = S3 = 1/2 * AB * PF = 1/2cPF; PF = 2 S3/c;

Тогда PE + PD + PF = 2 S1/a + 2 S2/b + 2 S3/c;

по теореме Пифагора = с = √a+ b;

1. из неравенства Коши:

2 S1/a + 2 S2/b + 2 S3/√a+ b ≥ 3 * √ (8 S1 S2 S3/ ab √a+ b);

5) PE + PD + PF минимально, когда

3 *2 * √ (8 S1 S2 S3/ ab √a+ b) = 6 * √ ( S1 S2 S3/ ab √a+ b), а это возможно, когда 2 S1/a = 2 S2/b = 2 S3/√a+ b = S1/a = S2/b = S3/√a+ b;

6) aPE/2a = b PD/2b = PE = PD = P лежит на биссектрисе угла АВС.

S3 = cPF/2, тогда из S1/a b = S3/√a+ b= PE = PF = P – центр вписанной окружности.

PE + PD + PF = 3r = 3 * 2S/r = 6S/r = 6ab/a + b + /a+ b;

Произвольный равнобедренный

Дано:

∆АВС – равнобедренный

Р принадлеж. (∆АВС)

D, F, E – ортогональные проекции

Найти:

все точки Р, для которых минимальна

Решение:

1) рассмотрим ∆АМС.

AB = BC = a

S∆APC =1/2*AC*PE = 1/2* с *PE; PE = (2S∆APC)/с;

2) рассмотрим ∆APB.

S∆APB = 1/2*AB*PF = 1/2* a * PF; PF = (2 S∆APB )/a;

3) рассмотрим ∆BPC;

S∆BPC = 1/2*BC*PD; PD = (2S∆BPC)/a;

4) из неравенства Коши получим:

((2S∆APC)/с + (2 S∆APB )/a + (2S∆BPC)/a)/3 ≥ √ (8 S1 S2 S3/ aac);

Сумма слева имеет наименьшее значение, когда:

((2S∆APC)/с + (2 S∆APB )/a + (2S∆BPC)/a)/3 = √ (8 S1 S2 S3/ aac);

(2S∆APC)/с + (2 S∆APB )/a + (2S∆BPC)/a = 6 * √ ( S1 S2 S3/ ab √a+ b), а это возможно, когда

2 S1/c = 2 S2/a = 2 S3/a = S1/c = S2 = S3 = PD = PF = т. Р лежит на биссектрисе угла ВАС

Из S1/c = S2 = PFa/2 = PEc/2 = т. Р – центр вписанной окружности.

Тогда PD = PF = PE = r = 2S/r = 2(1/2c + 2a) = 4(1/4c + a) = 4a + c,

Тогда PD + PE + PF = 4a + c.

5. Прямоугольный треугольник ( один угол = 30◦)

Дано:

∆АВС – прямоугольный

Р принадлеж. (∆АВС)

D, F, E – ортогональные проекции

угол А = 30◦

Найти:

все точки Р, для которых минимальна

Решение:

1) AB = a, BC= с, AC =b; PE = z, PD = y, PF = x;

f(P) = a/x + b/y +c/z

2) S∆APC + S∆APB + S∆BPC = S, где S – постоянная;

ax + by + cz = S, е/и P принадлеж. MN и MN // AB = cz и c/z – постоянные;

3) ax + by = S – cz, пусть S – cz = d = ax + by = d;

S – cz – постоянная, y = (d – ax)/b;

f1(x) = a/x +b/y = a/x + b/(d – ax);

f ´1(x) = - a/x + ab/(d – ax) ;

т. к. y = (d – ax)/b = f ´1(x) = - a/x + ab/ by = a/ x y * (x – y)(x + y) = f ´1(x) = 0,

при x =y, т . е при x = (d – ax)/b (минимальное значение);

4) по св-ву биссектрисы = т. - единственная, для которой функция f на этом интервале минимальна.

5) е/и Р не принадлеж. [AK], то проведем через P MN // AB;

f()

6)z = (S – (a + b)x)/c = f(P) = f2(x) = (a + b)/x + c/(S – (a + b)x) = x = z, т. е. точки минимума функции f единственна.

7) точка - центр вписанной окружности.

Произвольный треугольник

Дано:

∆АВС

Р принадлеж. (∆АВС)

D, F, E – ортогональные проекции

угол А = 30◦

Найти:

все точки Р, для которых минимальна

Решение:

1) AB = a, BC= с, AC =b; PE = z, PD = y, PF = x;

f(P) = a/x + b/y +c/z

2) S∆APC + S∆APB + S∆BPC = S, где S – постоянная;

ax + by + cz = S, е/и P принадлеж. MN и MN // AB = cz и c/z – постоянные;

3) ax + by = S – cz, пусть S – cz = d = ax + by = d;

S – cz – постоянная, y = (d – ax)/b;

f1(x) = a/x +b/y = a/x + b/(d – ax);

f ´1(x) = - a/x + ab/(d – ax) ;

т. к. y = (d – ax)/b = f ´1(x) = - a/x + ab/ by = a/ x y * (x – y)(x + y) = f ´1(x) = 0,

при x =y, т . е при x = (d – ax)/b (минимальное значение);

4) по св-ву биссектрисы = т. - единственная, для которой функция f на этом интервале минимальна.

5) е/и Р не принадлеж. [AK], то проведем через P MN // AB;

f() f(P);

6)z = (S – (a + b)x)/c = f(P) = f2(x) = (a + b)/x + c/(S – (a + b)x) = x = z, т. е. точки минимума функции f единственна.

7) точка - центр вписанной окружности.

1. Найдите точку в плоскости квадрата, сумма ортоганальных проекций которой будет минимальна.

Дано:

ABCD – квадрат

P принадлежит (АВСD)

E, F, G, H – ортогональные проекции.

Найти:

все точки Р, для которых сумма ортогональных проекций минимальна

Решение:

1. BC = CD = AD = AB = a;

SABCD = S = SΔBPC + SΔCPD + SΔAPD + SΔAPB;

2) Рассмотрим ΔBPC

SΔBPC = S1 = 1/2 BC*PF = 1/2aPF; PF = 2 S1/a;

Рассмотрим ΔCPD;

SΔCPD = S2 = 1/2CD * PG = 1/2aPG; PG = 2 S2/a;

Рассмотрим ΔAPD;

SΔAPD = S3 =1/2AD * PH = 1/2aPH; PH = 2 S3/a;

Рассмотрим ΔAPB;

SΔAPB = S4 = 1/2AB * PE = 1/2aPE; PE = 2 S4 /a;

3) PF + PG + PH + PE = 2 S1/a + 2 S2/a + 2 S3/a + 2 S4 /a = 2/a(S1 + S2 + S3 + S4 ) = 2/a * S = 2S/a│ Sквадрата = a│ =

= PF + PG + PH + PE = 2 a/a = 2a – величина постоянная.

1. Найдите точку в плоскости ромба, сумма ортоганальных проекций которой будет минимальна.

Дано:

ABCD – ромб

Р принадлежит (ABCD)

Найти:

все точки Р, для которых сумма ортогональных проекций минимальна

Решение:

1. BC = CD = AD = AB = a;

SABCD = S = SΔBPC + SΔCPD + SΔAPD + SΔAPB;

2)Рассмотрим ΔAPB;

SΔAPB = S1 = 1/2AB * PF = 1/2aPF; PF = 2 S1/a

Рассмотрим ΔBPC;

SΔBPC = S2 = 1/2BC * PM = 1/2a PM; PM = 2 S2/a;

Рассмотрим ΔCPD;

SΔCPD = S3 = 1/2 CD * PH = 1/2a PH; PH = 2 S3/a;

Рассмотрим ΔAPD;

SΔAPD = S4 = 1/2 AD * PE = 1/2aPE; PE = 2 S4/a;

3) PF + PM + PH + PE = 2 S1/a + 2 S2/a + 2 S3/a + 2 S4/a = 2/a(S1 + S2 + S3 + S4) = 2/a * S = 2S/a – величина постоянная;

3. Найдите точку в плоскости равнобедренной трапеции, у которой сумма противолежащих сторон равна, сумма ортоганальных проекций которой будет минимальна.

Дано:

ABCD –равнобедренная трапеция

Р принадлежит (ABCD)

AB + CD = AD + BC;

Найти:

все точки Р, для которых сумма ортогональных проекций минимальна

Решение:

1. В равнобедренной трапеции, у которой сумма противолежащих сторон равна, сумма ортогональных проекций будет минимальной, если эта точка будет центром вписанной окружности.

2. SABCD = S = S1 = S2 = S3 = S4;

SΔDPC = S1 = 1/2 CD * PH = 1/2a PH; PH = 2 S1 /a;

SΔAPD = S2 = 1/2 AD * PG = 1/2bPG; PG = 2 S2/b;

SΔAPB = S3 = 1/2 AB * PM = 1/2c PM; PM = 2 S3/c;

SΔBPC = S4 = 1/2 BC * PN = 1/2bPN; PN = 2 S4/b;

1. По неравенству Коши =

(2 S1 /a + 2 S2/b + 2 S3/c + 2 S4/b)/4 ≥ √(16S1 S2 S3 S4//abbc);

2 S1 /a + 2 S2/b + 2 S3/c + 2 S4/b ≥ 8 * √(S1 S2 S3 S4//abbc);

4) Сумма слева имеет наименьшее значение, если она равна 8 * √(S1 S2 S3 S4//abbc), т. е.

2 S1 /a + 2 S2/b + 2 S3/c + 2 S4/b = 8 * √(S1 S2 S3 S4//abbc),

А это равенство возможно в том случае, когда:

2 S1 /a = 2 S2/b = 2 S3/c = 2 S4/b = 2 S1 /a = S2 = 2 S3/c = S4 = PH =PG = т. P лежит на биссектрисе угла ADC;

Из 2 S1 /a = S2 = PGb/2 = PHa/2 = PG =PM│

S2 = 2 S4/b = PGb/2 = PNb/2 = PG = PN│ = т. Р – центр вписанной окружности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение как в экономических исследованиях и планировании. Этому способствует развитие таких разделов математики как математическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники.

Пришлось изучить дополнительную литературу о неравенствах и об их применении в прикладных задачах на минимум в настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение как в экономических исследованиях и планировании. Этому способствует развитие таких разделов математики как математическое программирование теория игр теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники

По поставленной нами первой задачи исследования, мы выявили необходимое и достаточное условие экстремума;

По второй задачи исследования, мы на примерах решения показали как повлияют элементы на решение классических задач как на условный экстремум так и на регулярную и нерегулярную задачи;

По третей задаче исследования уже накоплен большой опыт постановки и решения экономических и тактических задач с помощью математических методов: особенно успешно развиваются методы оптимального управления, нам пришлось только подытожить данное мнение.

Таким образом нам удалось справиться с поставленной целью и задачами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. - М.: Высш. шк., 1986.

2.Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Мир, 1998.

3.Бельков В.Н., Ланшаков В.Л. Автоматизированное проектирование технических систем: Учебное пособие - Москва: Академия Естествознания, 2009.

4. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. - 8-е изд.. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

5. Волков Е. А. Численные методы. - М.: Физматлит, 2003.

6. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. -М.: Мир, 1985.

7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1970. - С. 575-576.

8.Канатников А.Н., Крищенко А.П. Функции нескольких переменных. Конспект лекции. - МГТУ им. Н.Э. Баумана - С. 62-69

Интернет ресурсы;

1. knowledge.allbest.ru

24