"Прогрессии" доклад на методобьединение

Создано учителем математики «МОУ Школа№80 города Донецка «

Архипцевой В.А

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………2

1.Числовые последовательности: история возникновения,

основные понятия

1.1.О числовых последовательностях …………………………………….5

1.2.Арифметические прогрессии в древности…………………………….6

1.3.Геометрические прогрессии в древности……………………………..9

2. Применение числовых последовательностей в различных

областях знаний

2.1.Задачи с практическим содержанием из учебников по алгебре………11

2.2.Последовательности: путешествие в глубь веков………………………15

2.3. Прогрессии в природе, в разных отраслях науки,

в промышленности, в сельском хозяйстве, в банковских

расчетах, в исторических задачах……………………………………………20

Заключение……………………………………………………………………...27

Список литературы…………………………………………………………….28

Приложения…………………………………………………………………….29

Введение

На уроках алгебры 9 класса изучается тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».   Важность этого небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он применяется в заданиях экзамена ОГЭ и ЕГЭ, в задачах банковского содержания. Поэтому нам кажется, важным повторить уже известный из школьного курса материал о прогрессиях и узнать много нового и интересного.  Изучая математику внимательнее, мы замечаем, что рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. А в каких жизненных ситуациях можно применить знания о прогрессиях и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие?  Можно ли увидеть  прогрессию в природе, экономике и других областях жизни человека? Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?  С учетом этого нами была выбрана тема научно-исследовательской работы: «Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни».

В своей работе мы подтвердим или опровергнем утверждение того, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Проблемный вопрос: действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?

Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии.

Предмет исследования: практическое применение арифметической и геометрической прогрессии.

Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

Задачи исследования:

1. Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.

2. Выяснить:

- когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности – прогрессии;

- какие ученые внесли большой вклад в развитие практических и теоретических знаний по изучаемой проблеме.

3. Установить факты широкого применения интенсивного размножения бактерий в геометрической прогрессии в пищевой промышленности, в медицине, в фармакологии, в сельском и коммунальном хозяйствах. Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.

Гипотеза исследования: на уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Методы исследования:

1. Анализ школьных учебников математики, математической справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.

2. Обобщение найденных фактов в учебниках по биологии и по экологии и медицинских справочниках.

Структура исследования:

1. Сравнить определения, характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий;

2. Провести анализ исторического экскурса для установления авторства теории о прогрессиях;

3. Привести примеры применения прогрессий в различных областях знаний;

4. Рассмотреть влияние размножения живых организмов в геометрической прогрессии жизни на Земле.

Практическая значимоть: выступление с результатами работы перед учениками 9 класса нашей школы на открытом интегрированном уроке алгебры, биологии; материалы работы могут использоваться учителями математики и биологии на факультативных занятиях в 8 - 9 классах.

1.Числовые последовательности: история возникновения, основные понятия

1.1.О числовых последовательностях [2]

В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. (Так, например, арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента, а геометрическая прогрессия — показательной функцией натурального аргумента). Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1. 1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел.

2. 2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел.

3. 1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел.

4. 1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.

5. 2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.

6. 1,  ,  ,  ,  ,… - последовательность чисел обратных натуральным.

Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей — монотонно возрастающие, последняя — мо­нотонно убывающая. Все перечисленные последовательности, кроме 5-й, являются заданными ввиду того, что для каждой из них извес­тен общий член, т. е. правило получения члена с любым номером. Для последовательности простых чисел общий член неизвестен, однако еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ (правда, очень громоздкий) получения n-го ее члена. Этот способ был назван «решетом Эратосфена».

Идея предела последовательности восходит к V—IV вв. до н. э. Прогрессии — частные виды числовых последовательностей — встречаются в памятниках II тысячелетия до н. э.

Слово прогрессия латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VIвв.), первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например последовательность натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.

Возможно, что древние вавилоняне и другие народы той далёкой эпохи имели некоторые общие приёмы решения задач, которые дошли до нас. Однако об этих приёмах мало что известно.

Теоретические сведения связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции.

Уже в V в. до н.э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

1. 1+2+3+…+n =  ,

2. 2+4+6+…+2n = n(n+1),

3. 1+3+6+…+(2n+1) = (n+1)² и др.

В «Псаммите» Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии:

1,2,3,4,5,………………..

10,10²,10³,10⁴,10⁵,………….

И указывает на связь между ними, например:

, т.е. для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10.

У греков теория геометрических прогрессий была связана с так называемой непрерывной геометрической пропорцией:

 a:b = b:a, в котором числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию со знаменателем  .

Прогрессии рассматривались как бы продолжением пропорций, вот почему эпитеты арифметическая и геометрическая были перенесены от пропорций к прогрессиям.

Такой взгляд на прогрессии сохранился и у многих математиков XVII и даже XVIIIв. Именно так следует объяснить тот факт, что символ встречающийся у Барроу, а затем и у других английских учёных того времени для обозначения непрерывной геометрической пропорции, стал обозначать в английских и французских учебниках XVIII века геометрическую прогрессию. По аналогии так стали обозначать и арифметическую прогрессию.

В «Началах» Евклида есть теорема, которая по существу эквивалентна знакомой нам формуле суммы геометрической прогрессии:

S_n = (lq-a)/q-1

Одно из доказательств Архимеда, изложенное в его произведении «Квадратура параболы», сводится опять таки по существу к суммированию бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя её пользовались и до него. 1² + 2² +3² + ... + n² = 1/6n(n+1)(2n+1)

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским учёным. Так, Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии и др., Магавира (IXв) пользовался формулой: 1² + 2² +3² + ... + n² = 1/6n(n+1)(2n+1). И другими более сложными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. В «Науке о числах» (1484) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и даёт общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII века. [1]

1.2.Арифметические прогрессии в древности

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.

Вот одна вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия.

Задача: «10 братьев, 1 2/3 - мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом - на сколько он выше?»

Решение:

Итак, 1   мины (мина равна 60 шекелям) серебра требуется разделить между 10 братьями так, чтобы доли братьев составляли арифметическую прогрессию. Требуется найти разность прогрес­сии, зная, что восьмой брат получает 6 шекелей.

Вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни сов­ременной символики, ни готовых формул, вынужден придержи­ваться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли), деля 1   мины на 10 и получая   мины, ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть   мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет   мины. Отсюда и находится значение одной ступени, т. е. разность прогрессии,  от   мины, или  +   мины.

А вот египетская задача из папируса Ахмеса.

Задача: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна   меры».

При решении этой и других аналогичных задач египтяне, ви­димо, пользовались правилом, которое можно записать в совре­менной символике так:  .

Оно эквивалентно нашей формуле   ∙ n.

Происхождение этого правила не установлено: оно, вероятно, эмпирического характера.

Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии имеется и в древнекитайском тракте «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования.

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.

1.3. Геометрические прогрессии в древности

В папирусе Ахмеса содержится задача, в которой требуется найти сумму n членов геометрической прогрессии, зная первый её член и знаменатель.

Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2. в другой более поздней табличке речь идёт о суммировании геометрической прогрессии:

1+2+2²+…+2⁹. решение и ответ S=512+(512-1), данные в табличке наводят на мысль, что автор пользовался формулой. S_n = 2ⁿ + (2ⁿ - 1), однако о том, как он дошёл до нее никому не известно.

Издавна большой популярностью пользуется следующая задача легенда, которая относится к началу нашей эры.

«Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царём, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 и т.д. оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты».

В этой задачи речь идёт о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, 2², 2³, … 2⁶³. Её сумма равна: 2⁶⁴-1=18 446 744 073 709 551 615.

Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли.

Любопытно отметить, что в задачах на геометрические прогрессии китайской «Математики в девяти книгах» знаменатель равен 2. Формул суммирования здесь нет. По содержанию некоторые китайские задачи трактуют о растущей или убывающей производительности труда ткачих. Примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются и в индийских «сиддхантах».

Суммированием геометрических прогрессий и составлением соответствующих, не всегда отвечающих практическим нуждам задач занимались многие любители математики на протяжении древних и средних веков.

В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержаться выкладке о приплоде от скота и пчёл за известный промежуток времени. О количестве зерна, собранного с определённого участка земли и т.д. в некоторых из них вычисляется сумма геометрической прогрессии со знаменателем 2. Эти задачи, по видимому, не имели хозяйственного или юридического значения, а как и в других странах являлись результатом развития интереса любителей математики к математическому содержанию подобных задач, однако впервые задачи на прогрессии возникли из наблюдений за явлениями природы из исследования общественно-экономических явлений, к которым применим закон арифметической или геометрической прогрессии.

2.Применение числовых последовательностей в разных областях знаний

2.1.Задачи с практическим содержанием из учебников по алгебре

Задача №1

«В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?»

Решение:

Составим математическую модель задачи. Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5.Сумма первых n членов ( количество промахов) – 7. Найдем число промахов.

Ответ: Число промахов 4, в цель стрелок попал 21 раз.

Задача №2

«Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?» 

Решение:

Составим математическую модель задачи: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 а_п=а₁+d(n-1), 40=5+5(п-1), п=8, S_п=((a₁+a_п)n)/2,

S₈ =(5+40)·8:2=180, 180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2.

Задача №3

«Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?»

Решение:

a₁ =30, d=5, S_n= 525, n0. S_n= (2a₁+ d (n-1))n:2; 525= (2·30+ 5 (n-1))n:2; 1050= (60+ 5 (n-1))n; 1050= 55 n + 5n²; n² +11 n -210=0, n₁=-21, n₂=10 (n0). Улика достигнет вершины за 10 дней.

Ответ: 10.

Задача №4

« Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?»

Решение:

Составим математическую модель задачи: 1400, 1300, …, 1400-100(n-1). a₁=1400; d=-100, S_n=5000. Надо найти n.

S_n= (2a₁+ d (n-1))n:2;

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2; Условию задачи удовлетворяет

10000= (2800-100 n+100) n; n=4 ( при n=25 а_n=-1000, но а_n0)

10000= (2900-100 n) n; Значит, альпинисты покорили

100 n²-2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.

n²-29 n+100=0; n=25, n=4.

Ответ: за 4 дня.

Задача №5

«За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 условных единиц (у. в.). а за каждое следующее кольцо платили на 2 у. е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено ещё 40 у. е.. Средняя стоимость изготовления и установки кольца оказалась равной 22 и 4/9 у. е.. Сколько колец было установлено?» 

Решение:

а₁=26, d=-2.

 9n²-41n-360=0,

n₁=9, , n - целое число.

Было изготовлено и установлено 9 колец.

Ответ:9

Задача №6

«При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?»   

Решение:

1, 2, 3, 4,…,12. Это арифметическая прогрессия, а₁=1, d=1,а_n=12. Надо найти n.

а_n=a₁+d(n-1); 12=1+1(n-1); n=12. S_n=(a₁+a_n)∙n:2; S_n=(1+12)·12:2; S_n=78.

В одной кладке находится 78 бревен.

Ответ: 78 бревен.

2.2.Последовательности: путешествие в глубь веков.

Как Архимед вычислял площадь круга…

Вначале Архимед вписывал в круг шестиугольник, затем на каждой стороне построил равнобедренный треугольник – получался двенадцатиугольник. Постепенно удваивая число сторон, Архимед получил 24-угольник, 48-угольник и, наконец, 96-угольник. Построенные многоугольники все более и более покрывали собой площадь круга, как бы постепенно “исчерпывая” ее. Между прочим, этот метод нахождения площади круга до сих пор, через 2200 лет после смерти Архимеда, излагается в современных школьных учебниках геометрии.

В ходе своих исследований Архимед нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4, что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда…

В “Исчислении песчинок” Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии, устанавливает между ними связь:

• 1, 2, 3, 4, 5, …

• 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, …

и указывает на связь между ними, например:

10³·10⁵=10³⁺⁵=10⁸,

т.е. для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10.

Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя ею пользовались и до него: 

Пифагор и последовательности

Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках, они получали:

- последовательность (а_п) треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, ... ;

- последовательность (b_п) квадратных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ... ;

- последовательность (с_п) пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35, ...

В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры.

       

Последовательность (bп) квадратных чисел аналогичным способом получается из последовательности нечетных чисел 1, 3, 5, ... , т. е. из арифметической прогрессии, первый член которой равен 1 и разность равна 2:

b₁= 1, b₂ = 1 + 3, b_з = 1 + 3 + 5, …, b_n = 1 + 3 + 5 + ... + 2п- 1.

Следовательно, b_n =(1+2n-1):2·n; b_n=n² . Мы пришли к формуле, очевидной для последовательности квадратных чисел.

Последовательность Фиббоначи: 

Задача Фибоначчи: «Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.» 

Решение:

Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц- 1+1=2; на 4-й- 2+1=3 пары(так как из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц- 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц- 5+3=8 пар (так как потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д. 

Чтобы ответить на вопрос задачи, воспользуемся следующей схемой. Кружочек — это пара кроликов. Стрелка, направленная вниз, указывает на эту же пару в следующем месяце; а стрелка, направленная вправо, указывает на появившееся потомство этой пары.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.,

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n- м месяце через U_k , то u₁=1, u₂=1, u₃=2, u₄=3, u₅=5, u₆=8, u₇=13, u₈=21 и т. д., причем образование этих чисел регулируется общим законом:

u_n =u_n-1 + u_n-2 при всех n 2, ведь число пар кроликов на n-1 м месяце равно числу n-2 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом u_n-2 пар кроликов, родившихся на n-2 ом месяце (так как лишь эти пары кроликов дают потомство).

Суть последовательности Фибоначчи в том, что начиная с третьего числа каждое следующее число получается сложением двух предыдущих . 

Сведения из истории

Одна из задач, рассмотренная Фибоначчи, называется "задачей о поиске наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах" или просто "задачей о гирях". В русской историко-математической литературе "задача о гирях" известна под названием "задачи Баше-Менделеева", названной так в честь французского математика 17 в. Баше де Мезириака, который разместил эту задачу в своем "Сборнике приятных и занимательных задач" (1612 г.) и блестящего русского химика Дмитрия Ивановича Менделеева, который интересовался этой задачей будучи директором Главной Палаты мер и весов России.

Задача

«Еще одна задача интересна в исторической связи и носит имя "задачи о семи старухах". Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного? В историческом отношении эта задача интересна тем, что она тождественна с задачей, которая встречалась в папирусе Ринда (Египет), то есть через три тысячи лет после египетских школьников задачу предлагалось разрешить итальянским школьника».

Решение:

7, 49, 343, 2401, 16807, 117649 –это геометрическая прогрессия, первый член b₁= 7 и знаменатель прогрессии q=7. b_n= b₁ q ^n-1. b₆= 7 ·7^6-1= 7 ·7⁵= 7⁶= 117649. S_n =(b₁(q ⁿ -1))/(q-1); S₆ = (7(7 ⁶ -1))/(7-1) = (7(117649 -1))/6=7 ·117648:6=137256.

Древняя индийская легенда

Царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы награду хотел бы он получить за изобретение столь мудрой игры. Тогда Сета попросил царя на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку. Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу. Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком“ничтожной” для выполнения этой просьбы.

S₆₄=2⁶⁴-1=18446744073704551615

2.3.Прогрессии в природе в разных отраслях науки, в промышленности, в сельском хозяйстве, в банковских расчетах, в исторических задачах

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии

Инфузории…

Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Численность любого вида при отсутствии ограничений растёт в соответствии с геометрической прогрессией;

Кривая роста численности любого вида при отсутствии ограничений называется экспонентой.

Бактерии

Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. Результат каждого удвоения будем называть поколением.

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

Задача

«Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток»

Решение

В сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b₁=1, q=2, n=72, находим, что S₇₂=2⁷²-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1 = 4 722 366 482 869 645 213 695.

Интенсивность размножения бактерий используют…

• В пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.)

• В фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин)

• В сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.)

• В коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях

Мухи…

Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз.

Одуванчик…

“Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”. К. А. Тимирязев

Тли…

Всего за пять поколений, тоесть за 1 – 1,5 летних месяцев, дна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.

Воробьи…

Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.

В каких процессах еще встречаются такие закономерности?

• Деление ядер урана происходит с помощью нейронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия.

• При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии.

• Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.

• Вписанные друг в друга правильные треугольники — это геометрическая прогрессия.

• Денежные вклады под проценты — это пример геометрической последовательности. Зная формулы суммы членов геометрической последовательности, можно подсчитывать сумму на вкладе.

• Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.

Положение некоторых видов на кривой вероятности попадания в Красную книгу, построенной на основе годовой плодовитости. Зубр, тигр и русская выхухоль находятся в Красной книге. В качестве примера вида, которого нет в Красной книге, показан кролик.

Прогрессии и банковские расчеты

Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а р. Под р% годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т.е. полученную прибыль в размере р., либо прийти в банк один раз — в конце срока хранения вклада. Kaкой доход вы получите в том и другом случаях?

В первом случае при t = 1 вы получите (а + )р., при

t = 2 ваша итоговая сумма составит (а + )р., при t = 3

(а + )р. и т. д. Математическая модель ситуации — конечная

арифметическая прогрессия а, а + , а + ,а + …, а + .

Итак, при первой стратегии поведения за t лет вы получите)

а(1 + )— это так называемая формула простых процентов

 Если вы решили прийти в банк только в конце срока хранения вклада, то при t = 1 получаемая сумма составит, как и в первом случае, (а + )р., т. е. а (1 + )р.; сумма вклада увеличится в (1 + )раз.
Во столько же раз она увеличится и к концу второго года хранения, и к концу третьего года хранения и т. д.

Прогрессии в литературе

«…Не мог он ямба от хорея
Как мы не бились отличить…». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8;…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетные слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7;..

Примеры.

• Ямб. «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…», прогрессия 2; 4; 6; 8;…

Хорей. «Я пропАл, как звЕрь в загОне»Б.Л.Пастернак, «БУря  мглОю  нЕбо  крОет» А.С. Пушкин, прогрессия 1; 3; 5;7;

Это задача из «Сборника старинных занимательных задач по математике» Игнатьева Е.И.

Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй-2 коп., в третий-4 коп., в четвертый-8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Считают “мужик” и “купец”

“Мужик” заплатил: S₃₀ = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей).

“Купец” заплатил: 1; 2; 4;… q=2/1=2.

S₃₀ =1• (2³⁰ – 1):(2-1)= 2 ³⁰ -1= =1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23коп

Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого

Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.

Решение

а₁₄=а₁+13d,a₁=59-13·4=7,S₁₄=(7+59)/2·14=462.
Ответ: все чарки весят 462 лата.

Волшебное дерево…

Волшебное дерево, первоначальная высота которого 1 м, каждый день увеличивает свою высоту в 2 раза. При этом через 36 дней оно “достанет” до Луны. Значит, высота дерева на 36 день – 2³⁶м.

Если бы его высота в начальный момент времени была 8м, то 8·2ⁿ=2³⁶; 2³·2ⁿ =2³⁶; 2ⁿ =2³⁶; n=33.

Через 33 дня дерево достало бы до Луны, если бы его высота в начальный момент времени была 8 м.

Задача

Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся в расстоянии 153 футов. Первое проходит по 10 футов в секунду, а второе в первую секунду прошло 3 фута и в каждую следующую секунду проходит 5-ю футами больше, чем в предыдущую, Через сколько секунд тела  встретятся?

Решение:

Второе тело пройдет за n сек

S_n=(2a₁+d(n-1))∙n:2=(2·3+5 ·(n-1))∙n:2= =(1+5n)∙n:2 (фут), а первое тело - 10n фут,

((1+5n)∙n:2+ 10n) фут – расстояние между телами в начальный момент, по условию оно равно 153 футам. (1+5n)∙n:2+ 10n=153. n=6, n=-10,2. Так как n0, то n=6.

Значит, тела встретятся через 6 секунд.

Заключение

В ходе выполнения данного исследования мы установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др. Выяснили, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французский математик Леонард Фибоначчи. Нашли много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической. Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием, мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе и в других жизненных ситуациях, следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с прогрессиями.

В своей работе мы подтвердили утверждение того, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Таким образом, поставленная цель проекта установить картину возникновения понятия прогрессии; выявление интересных фактов о прогрессиях; применение прогрессий в жизненных ситуациях достигнута, проблема решена.

Список литературы

1. Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей Т.11. Математика гл. ред. Аксенова М.Д. – М.: Аванта «+», 1998.

2. Глейзер Г. И. История математики в школе 7 – 8 классы.–М.: Просвещение, 1982.

3. Дорофеев Г.В. , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; Математика. Алгбра.Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник для общеобразовательных учебных заведений/ под ред. Г.В. Дорофеева. -М.:Дрофа, 2000.

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б. Алгебра. 9 класс,
   Учебник для общеобразовательных учреждений -М.: Просвещение, 2009,

5. Мордкович А.Г., П.В. Семенов , Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений -М.: Мнемозина, 2010.

6. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика.-М.: Педагогика, 1989

7. http://www.goldenmuseum.com/0206Rabbit_rus.html

8. http://leon-orr.livejournal.com/1237766.html

9. http://infourok.ru/urok-s-prezentaciey-po-matematike-na-temu-arifmeticheskaya-i-geometricheskaya-progressiya-448288.html

10. http://festival.1september.ru/articles/602556/pril3.ppt

«Приложение 1»

«Геометрическая прогрессия и геометрия фракталов»

Определение

Фрактал - сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком

Примеры Фракталов

Рис.1. Рис. 2.

Множество Мандельброта - Фрактальная форма подвида цветной капусты классический образец фрактала

Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба

Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности

Размерность фракталов

Если смотреть с математической точки зрения, то размерность определяется следующим образом.

• Для одномерных объектов - увеличение в 2 раза линейных размеров приводит к увеличению размеров (в данном случае длины) в 2 раза, т.е. в 2².

• Для двухмерных объектов увеличение в 2 раза линейных размеров приводит к увеличению размера (площади) в 4 раза, т.е. в 2².

Приведем пример: Дан круг радиуса r, тогда S= π r².

• Если увеличить в 2 раза радиус, то: S1 = π(2r²); S₁= 4πr² .

• Для трехмерных объектов увеличение в 2 раза линейных размеров приводит к увеличению объема в 8 раз, т.е. 2³.

• Если мы возьмем куб, то V=а³, V'=(2а)³=8а; V'/V= 8.

Однако природа не всегда подчиняется этим законам. Попробуем рассмотреть размерность фрактальных объектов на простом примере.

Пример

Представим себе, что муха хочет сесть на клубок шерсти. Когда она смотрит на него издалека, то видит только точку, размерность которой 0. Подлетая ближе, она видит сначала круг, его размерность 2, а затем шар – размерность 3. Когда муха сядет на клубок, она шара уже не увидит, а рассмотрит ворсинки, нитки, пустоты, т.е. объект с дробной размерностью.

Размерность объекта (показатель степени) показывает, по какому закону растет его внутренняя область. Аналогичным образом с ростом размера возрастает «объем фрактала».

Геометрический фрактал «Кривая Коха»

Вычислим площадь снежинки Коха (снежинка, полученная кривой Коха)

Пусть стороны исходного равностороннего треугольника S₀ равны единице.

Тогда площадь S₀ равна . Площадь  равна

+3∙  ∙   ∙  = . Площадь 

. Площадь 

Используя формулу для нахождения суммы геометрической прогрессии, получаем ).

Геометрический фрактал «Треугольник Серпинского»

Рис. 5.

Рассчитать площадь треугольника после 10 генераций.

Решение:

Пусть сторона треугольника равна 32 см.
Найдем площадь 10-ого треугольника S₁₀=?

Мы знаем формулу для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: b₁₀ = b₁∙ q^(n-1)
q=1/2, значит b₁₀=32∙(1/2)⁹, b₁₀=1/16.
S₁₀=1/2∙ b²₁₀∙sinα, =60^o, т.к. треугольник равносторонний.
S₁₀=1/2∙b²₁₀∙ ,
S₁₀= см.

Ответ: см

Рассчтиать длину полученного отрезка после 8 генераций (для построения фрактального дерева)

Примем длину первоначального отрезка равной 30 см. Зададим угол наклона веток 18^o. Рассчитаем длину полученного отрезка после 8 генераций при длине первоначального «ствола» равной 30см. При моделировании данного дерева длина каждого последующего отрезка равна 1/3 длины предыдущего. На 8 шаге имеем:

b₁=30,
q=1/3,
b₈=b₁∙(1/3)^(n-1)
b₈=0,014см.

«Геометрические фракталы вокруг нас»

Рис. 6. Рис. 7. Рис. 8.

Фракталы в комплексной В природе Стохастические фракталы динамике (Бронхиальное дерево)

Рис. 9. Рис. 10. Рис.11.

Рис. 12. Рис.13.

Галерея

Рис. 14. Рис. 15. Рис. 16.

Рис. 17. Рис. 18.

Вывод

Большинство людей, считают, что фракталы, это лишь красивые картинки, которые услаждают глаз. К счастью, это не так, и фракталы применяются во многих областях деятельности человека. Уже существует теоретическая база для создания новых направлений их применения, такие как диагностика заболеваний, прогнозирование разрушений при динамическом ударе и многие другие.

8