Программа элективного курса предпрофильной подготовки «Производная и ее применение. Решение задач повышенной сложности Подготовка к ЕГЭ»

Ходакова Н.А.

Программа элективного курса предпрофильной подготовки»Производная и ее применение. Решение задач повышенной сложности

Подготовка к ЕГЭ».

(17 часов)

Министерство образования Российской Федерации

Муниципальная общеобразовательная средняя школа №12

Утверждаю

Директор МОСШ № 12

Смирнова И.В.

Рассмотрено и утверждено на

заседании

МО от 2007 г.

Программа элективного курса предпрофильной подготовки»Производная и ее применение. Решение задач повышенной сложности

Подготовка к ЕГЭ».

(17 часов)

Составитель: Ходакова Н.А.

.. Мы не будем рассматривать чистую математику, как отдельную область знания; мы будем считать ее скорее усовершенствованием общего языка, оснащающим, его удобными средствами для отражения, таких зависимостей, для которых обычное словесное выражение оказалось неточным или слишком сложным…

К. Бор.

Обоснование курса

Современный этап развития математического образования во всём мире, в том числе и в Российской Федерации, характеризуется интенсивной сменой его содержания.

Происходит переход от накопления суммы знаний к созданию условий для развития творческой личности.

Общепринято определение математики как науки о структурах математических объектов, что позволяет рассматривать математику как качественный метод исследования. При этом «царица наук» применима везде, где удается поставить задачу математически и дает результат, соответствующий точности постановки задач.

Чтобы сформировать у школьника умение ориентироваться в современном общественном производстве и развить способности применять активно свои знания , перед школьной математикой встают совершенно определенные задачи. Курс алгебры должен дать знания, сформировать навыки, умения, дающие возможность в дальнейшем научиться строить математические модели экономики, применять данную науку в изучении общественных явлений, проблем истории, в изучении языков и.д.

Настоящая программа призвана помочь учащимся старших классов, поступающим в вузы, углубить школьный курс математики, подготовить их тем самым к дальнейшей учебе.

Переход к предпрофильному обучению является приоритетным направлением модернизации системы образования. Как и любое достаточно серьезное изменение, переход к предпрофильному обучения ставит учителя перед необходимостью пересмотра привычных стереотипов работы со школьниками. Применительно к преподаванию математики можно сказать, что на смену разучиванию и отработки обычных типовых заданий должна прийти работа, направленная на понимания школьниками принципиально математических положений и на их применение в ситуациях, уровень сложности которых определяется соответствующим профилем.

Ведущие формы обучения учебные занятия.

Ведущие методы обучения:

- метод проблемного изложения;

- частично-поисковый метод;

- наглядный метод;

- метод самостоятельного решения расчетных и логических задач.

Формы самостоятельной работы: выполнение практических и контрольных работ. Итоговый контроль:

• контрольная работа;

• тестирование.

Цель курса:

-создать условия для реализации своего интереса к выбранному курсу;

повысить качество образования, обеспечив глубокую и специализированную общеобразовательную подготовку учащихся;

-сформировать у учащихся исследовательские способности, научить самостоятельно добывать новые знания, используя дополнительную литературу, справочники и другую информацию;

способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценного функционирования в обществе.

Задачи курса:

-расширить и совершенствовать математический аппарат мышления, сформированного в основной школе;

• совершенствовать интеллектуальные и речевые умения путем развития
  логического мышления, обогащение математического языка.

• расширить знания и развитие навыков учащихся при решении физических
  задач (рассмотрение механического смысла производной как скорости изменения
  функции)

сформировать геометрическое представление о производной как характеристике «крутизны» графика функции.

- применение производной при исследовании кусочно-непрерывных функций.

Тема	Методы обучения	Формы контроля
Вычисление производных.	Лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.	Проверка самостоятельно решенных задач.
Касательная к графику функции.	Практикум. Выполнение практической работы. Составление обобщающих информационных таблиц.	Индивидуальный опрос.
Приближенные вычисления. Применение производной в физике и технике.	Беседа, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.	Решение задач прикладного характера.
Возрастание и убывание функции.	Объяснение, выполнение практических работ.	Проверка задач самостоятельного решения.
Критические точки функции, максимумы, минимумы.	Беседа, объяснение.	Тестовые работы, практические работы.
Применение производной к построению графиков функций.	Лекция. Проведение лабораторных работ.	Дифференцированный контроль.
Наибольшее и наименьшее значение функции.	Беседа, объяснение. Выполнение практических задач.	Проблемные задачи. Рассмотрение тестовых заданий уровня В и С.
Выпуклость графика функции, точки перегиба.	Беседа, объяснение. Практическая работа.	Презентация проекта по теме «Асимптоты»
Решение задач олимпиадного характера.	Практическая работа.	Рассмотрение тестовых заданий уровня В и С.
Зачет по теме «Производная»	Фронтальная работа.	Презентация «Портфель достижений» самостоятельное исследование свойств функции; сообщение: «Применение функций в природе и технике»

Тематическое планирование

Тема			Кол-во часов		Дата
1	Вычисление производных.	2
2	Геометрический смысл производной.	2
3	Приближенные вычисления. Применение производной в физике и технике.	2
4	Возрастание и убывание функции.	1
5	Критические точки функции, максимумы, минимумы.	2
6	Применение производной к построению графиков функций.	2
7	Наибольшее и наименьшее значение функции.	2
8	Выпуклость графика функции, точки перегиба.	1
9	Решение задач олимпиадного характера.	2
10	Зачетный урок	1

Содержание программы

Тема 1. Вычисление производных.

Сформировать понятие о производной, выработать умения находить производные, пользуясь правилами дифференцирования. Вывод формулы нахождения производной, вычисление скорости изменения функции в точке.

После изучения темы учащиеся должны

Знать:

Формулы дифференцирования, правила дифференцирования.

Уметь:

Вывести формулы нахождения производной; вычислять скорость изменения функции в точке.

Тема 2. Геометрический смысл производной.

Касательная к графику функции, угловой коэффициент, составление уравнения касательной к графику функции при дополнительных условиях. Поиск нескольких способов решения, аргументация рационального способа, проведение доказательных рассуждений.

После изучения темы учащиеся должны

Знать:

Что называют угловым коэффициентом прямой, углом между прямой и осью Ох ,в чем состоит геометрический смысл производной , уравнение касательной к графику функции, способ построения касательной к параболе.

Уметь:

Применять теоретические знания на практике.

Тема 3. Приближенные вычисления. Применение

производной в физике и технике.

Использование производной при решении текстовых, физических и геометрических задач.

После изучения темы учащиеся должны

Знать:

В чем состоит механический смысл производной.

Уметь:

Находить среднюю движения на указанном отрезке времени, скорость и ускорение в момент времени t₀ .

Тема 4 Возрастание и убывание функции.

Исследование функций на монотонность. Признаки убывания (возрастания) функции.

После изучения темы учащиеся должны

Знать:

Достаточный признак убывания (возрастания) функции, теорему Лагранжа, понятия «промежутки монотонности функции»

Уметь:

Применять производную к нахождению промежутков возрастания и убывания функции.

Тема 5. Экстремумы функции. Критические точки функции, максимумы, минимумы.

Исследование функций на монотонность и на экстремумы.

После изучения темы учащиеся должны

Знать:

Определения точек максимума и минимума, необходимый признак экстремума(теорему Ферма ) и достаточный признак максимума и минимума, знать определения стационарных и критических точек функции.

Уметь:

Находить экстремумы функции, точки экстремума, определять их по графику.

Тема 6.Применение производной к построению графиков функций.

Рассмотреть алгоритм исследования функции.

После изучения темы учащиеся должны

Знать:

Общую схему исследования функции, метод построения графика четной(нечетной) функции.

Уметь:

Проводить исследования функции и строить её график.

Тема 7. Наибольшее и наименьшее значение функции.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке и на отрезке.

После изучения темы учащиеся должны

Знать:

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и на интервале.

Уметь:

Применять правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и на интервале.

Тема 8.Выпуклость графика функции, точки перегиба.

Дать понятие производной высших порядков. Определения выпуклости.

После изучения темы учащиеся должны

Знать:

Понятие производных высших порядков ( второго, третьего и т.д.), определения выпуклости ( выпуклость вверх, выпуклость вниз),точки перегиба.

Уметь:

определять свойства функции, которые устанавливаются с помощью второй производной.

Тема 9. Решение задач олимпиадного характера.

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

1. Механический смысл производной

Цель: рассмотреть в чем состоит механический смысл производной.

Историческая справка.

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646—1716) — немецкий математик, физик, философ, создатель Берлинской академии наук. Осно­воположник дифференциального и интег­рального исчисления, ввел большую часть современной символики математического анализа. В работах Лейбница впервые появи­лись идеи теории алгоритмов.

«Предупреждаю, чтобы остерегались от­брасывать dх,— ошибка, которую часто до­пускают и которая препятствует продвиже­нию вперед» Г. В. Лейбниц

Беседа.

Представим себе, что мы отправляемся в автомобильную поездку. Садясь в машину, посмотрим на счетчик километража. Теперь в любой момент времени мы сможем определить путь, пройденный машиной. Скорость движения мы узнаем по спидометру. Таким образом, с нашим движением (как и с движе­нием любой материальной точки) связаны две величины — путь 5 и скорость V, которые являются функциями времени t.

Ясно, что путь и скорость связаны между собой. В конце XVII в. великий английский ученый Исаак Ньютон открыл общий способ описания этой связи. Открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различ­ных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, техни­ческими науками, аналогична связи между путем и скоростью.

Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и интеграл. Как вы убедитесь в дальнейшем, скорость — это производная пути, а путь — это ин­теграл от скорости.

Построенная Ньютоном модель механического движения остается самым важным и простым источником математического анализа, изучающего производную и ее свойства. Вот почему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так: производная — это скорость.

А что такое скорость? Оказывается, объяснить это не так просто. Прочтите диалог между водителем-женщиной и поли­цейским, взятый из знаменитых «Фейнмановских лекций по физике»:

— Мадам, Вы нарушили правила уличного движения. Вы еха­ли со скоростью 90 километров в час.

— Простите, это невозможно. Как я могла проехать 90 кило­метров за час, если я еду всего лишь 7 минут!

— Я имею в виду, мадам, что если бы Вы продолжали ехать таким же образом, то через час Вы бы проехали 90 кило­метров.

— Если бы я продолжала ехать, как ехала, еще час, то на­летела бы на стенку в конце улицы!

— Ваш спидометр показывал 90 километров в час.

— Мой спидометр сломан и давно не работает.

Как видите, полицейский не смог объяснить, что такое скорость 90 км/ч.

А вы смогли бы?

Попробуйте объяснить, что такое скорость равномерного дви­жения и как ее можно измерить.

Разберемся в том, что же такое скорость произвольного движения. Пусть точка движется по прямой. Мы считаем, что нам задан закон, по которому можно вычислить путь S как функцию времени t.

Например, если точка движется под действием силы тяжести с нулевой начальной скоростью, то S =qt² /2.

(Мы считаем, что q — ускорение силы тяжести — постоянно.) Возможны и другие законы движения. Так, ракета, стартовавшая с поверхности Зем­ли вертикально вверх с начальной скоростью, позволяющей пол­ностью преодолеть земное притяжение (так называемой второй космической скоростью), удаляется от центра Земли по закону

S= A( t+C)^2|3, где А и С — некоторые константы.

Рассмотрим отрезок времени (t _1; t ₂).Определим среднюю ско­рость точки на данном отрезке как отношение пройденного пути к продолжительности движения:

V _{cp =} (S(t ₂ ) - S(t ₁ )) / (t ₂ - t ₁ )

Для определения скорости точки в момент времени t (ее в механике часто называют мгновенной скоростью) поступим так: возьмем отрезок времени (t _1; t ₂), вычислим среднюю ско­рость на этом отрезке и начнем уменьшать отрезок, (t _1; t ₂) при­ближая t₁ к t ₂. Мы заметим, что значение средней скорости при приближении t₁ к t будет приближаться к некоторому числу, ко­торое и считается значением скорости в момент времени t.

В качестве примера рассмотрим свободное падение тела. Счи­таем известным, что зависимость пути от времени задается функцией S =qt² /2. Зафиксируем произвольный момент времени (t; t ₁) и вычислим среднюю скорость на отрезке:

V _{cp =} (S(t ₂ ) - S(t ₁ )) / (t ₂ - t ₁ ) = q/2*( t₁ +t)

Если теперь будем стягивать отрезок(t; t ₁) к точке t, т. е. будем брать значения t₁ все ближе и ближе к t, то сумма (t₁ +t) будет приближаться к t+t = 2t, а выражение

q/2*( t₁ +t) будет прибли­жаться к q/2*2t=qt. Последнее число и является значением мгно­венной скорости в точке t. Мы получим хорошо известную фор­мулу скорости V = qt.

Процедура, подобная переходу от средней скорости на отрезке к (t; t₁) мгновенной скорости в точке t при стягивании отрезка в точку t, носит название предельного перехода.

1. Приложения производной.

Цель: расширить знания и развитие навыков учащихся при решении физических задач (рассмотрение механического смысла производной как скорости изменения функции)

Историческая справка.

Ньютон Исаак (1643—1727) — английский физик и математик. Создал современную механику (законы Ньютона) и открыл закон всемирного тяготения. В его главном сочинении «Математические начала натуральной философии» дан математичес­кий вывод основных фактов о движении не­бесных тел. Один из создателей дифферен­циального и интегрального исчисления.

«Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад» И. Ньютон

Скорость и ускорение

Понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Поэтому важнейшим приложением произ­водной является вычисление скорости. Скорость произвольно дви­жущейся точки является векторной величиной, так как она опреде­ляется с помощью вектора — перемещения точки за промежуток времени. Рассмотрим сначала простейший случай — движение точки по прямой. При прямолинейном движении точки ее по­ложение, перемещение, скорость, ускорение и другие характерис­тики, которые, вообще говоря, имеют векторный смысл, можно задать одним числом, т. е. считать скалярными величинами.

Как и в предыдущем параграфе, составим таблицу перевода понятий механики на язык математики, применяя более при­вычные для физики обозначения.

Таблица перевода понятий механики на язык математики.

Понятие на языке механики	Обозначения и формулы	Понятие на языке математики
Время	t	Независимая переменная, аргумент
Положение материаль­ной точки, ее координата	x	Зависимая переменная
Закон движения	х = f(t)	Функция
Приращение времени, интервал времени	t= t2 –t1	Приращение аргумента
Перемещение	х = х(t2) — х(t1)	Приращение функции
Средняя скорость	V cp = х / t	Отношение приращения функ­ции к приращению аргу­мента
Скорость (мгновенная)	V(t)= х/ (t)	Производная
Закон, описывающий равномерное движение	x / t =v= const x – x0 =v (t- t0)	Линейная функция
Скорость равномерного движения	V= х/ =К	Коэффициент при t, угло­вой коэффициент прямой
Закон, описывающий равноускоренное движе­ние	V / t =a= const x=at2 +v 0t +x 0	Квадратичная функция
Скорость равноускорен­ного движения	V= х/ =at2 + v 0	Линейная функция
Ускорение равноускорен­ного движения	a= v/	Удвоенный коэффициент при t2

Обратим внимание на обозначения. В физике производная по времени обычно обозначается не штрихом, а точкой.

Ускорение произвольного движения определяется как скорость изменения скорости, т. е. как производная скорости по времени: a= v^/ = v_.

Так как скорость есть производная координаты, а уско­рение есть производная скорости, то ускорение называют второй производной координаты и обозначают так: а=х"=х.

Через координату точки х = х (t) и ее производные можно выра­зить другие механические величины: сила F = та = тх (т — масса), импульс Р = тv = тх,

Дифференциал

Основой разнообразных физических приложений производной является понятие дифференциала. Дифференциалом функции на­зывают произведение ее производной на приращение аргумента.

Пусть нам задана функция у = f(х). Ее дифференциал обоз­начают через dy (или можно писать df).

По определению dy= f ^/(х) х`

Дифференциал функции — это линейная функция приращения ар­гумента.

Дифференциал в физике

Для вычисления дифференциала в физике достаточно знать, что дифференциал — это главная часть приращения функции, ли­нейно зависящая от приращения аргумента. В примерах мы из фи­зических соображений будем получать равенства вида dy = кdх и делать вывод о том, что к — это производная у по х.

1) Работа. Рассмотрим работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси х. Если сила F постоянна, то работа А равна произведению F на длину пути. Если сила меняется, то ее можно рассматривать как функцию от х, т. е.

F = F (х). Приращение работы А на отрезке [х; х+dх] нель­зя точно вычислить как произведение F (х) dх, так как сила меняет­ся на этом отрезке. Однако при маленьких dх можно считать, что сила меняется незначительно и произведение представляет собой главную часть А, т. е. является дифференциалом ра­боты: dА=F (х) dх. Таким образом, силу можно считать произ­водной работы по перемещению.

2) Заряд. Пусть g — заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t. Если сила тока I постоянна, то за время dt ток перенесет заряд, равный Idt.

При силе тока, изменяющейся со временем по некоторому закону I=I (t), произведение I(t) dt дает главную часть приращения заря­да на маленьком отрезке времени [t; t + t], т. е. является диф­ференциалом заряда: dg = I (t)dt. Тем самым сила тока является производной заряда по времени.

3) Теплота. Рассмотрим процесс нагревания какого-нибудь вещества и будем вычислять количество теплоты Q (Т), которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг этого вещества от 0° до T° (по Цельсию). Зависимость Q = Q(Т) очень сложна и определяется из опыта. Если бы удельная теплоемкость с данного вещества не зависела от температуры, то произведение сdТ дало бы нам изменение количества теплоты. Считая на малом отрезке [Т; Т+dТ] удельную теплоемкость постоянной, мы получим диф­ференциал теплоты d Q как с(Т)dТ. Поэтому теплоемкость — это производная теплоты по температуре.

4) Работа как функция времени. Нам известна характеристика работы, определяющая ее скорость по времени,— это мощность. При работе с постоянной мощностью N работа за время dt рав­на Ndt. Это выражение представляет собой дифференциал ра­боты, т. е. dА=N(t)dt и мощность выступает как производ­ная работы по времени.,

Все приведенные примеры были построены по одному и тому же образцу. В каждом примере шла речь о связи между тремя величинами, уже знакомыми нам из курса физики: работа, перемещение, сила; заряд, время, сила тока; и т. д. Во всех примерах одна из этих величин высту­пала как коэффициент пропорциональности между дифференциа­лами двух других, т. е. каждый раз появлялось соотношение вида dу = к (х) dх. На такое соотношение можно смотреть как на способ определения величины к (х) — тогда к (х) находится (или определяется) как производная у по х. Этот вывод мы и зафикси­ровали в каждом примере. Возможна и обратная постановка вопроса: как найти зависимость у от х из заданного соотношения между их дифференциалами? Эту задачу мы рассмотрим в главе, посвященной интегрированию.

Список учебной литературы

1. О.Ю. Черкасов. Математика. Справочник для поступающих в вузы.

2. А.Ж. Жафяров. Профильное обучение математике старшеклассников.

3. Графики функций . Р.Б.Райхмист .

4. Алгебра и математический анализ . 10 класс . Н.Я.Виленкин ДС.Ивашев-Мусатов, СИ.Шварцбурд.