Проект по математике "Математика царица или слуга для других наук"

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 5»

Индивидуальный проект

Тип проекта: исследовательский

«Математика царица или слуга

для других наук»

Разработала:

Луговых Татьяна,

обучающаяся 9А класса

Наставник:

Поздеева Л.И.

учитель математики

г. Усть-Катав

2017

Содержание

• Цель-----------------------------------------------------------------------------------------------------3

• Задачи--------------------------------------------------------------------------------------------------3

• Введение-----------------------------------------------------------------------------------------------3

  • Высказывания великих людей о математике и ее связи с другими науками-------3

• Связь математики и физики-----------------------------------------------------------------------5

• Связь математики и астрономии-----------------------------------------------------------------6

• Связь математики и биологии--------------------------------------------------------------------7

• Связь математики и географии-------------------------------------------------------------------8

• Связь математики и химии------------------------------------------------------------------------9

• Связь математики и черчения-------------------------------------------------------------------10

• Связь математики и информатики--------------------------------------------------------------11

• Связь математики и истории---------------------------------------------------------------------12

• Связь математики и обществознания----------------------------------------------------------14

• Связь математики и литературы----------------------------------------------------------------15

• Связь математики и изобразительного искусства-------------------------------------------16

• Связь математики и музыки----------------------------------------------------------------------17

  • Пифагореизм------------------------------------------------------------------------------------17

    • Интервалы и гармония сфер------------------------------------------------------------18

  • «Золотое сечение» в музыки----------------------------------------------------------------19

    • Исследования Л. Л. Сабонеева---------------------------------------------------------20

  • Обозначение и соотношение длительностей нот---------------------------------------20

  • Ритм----------------------------------------------------------------------------------------------21

  • Параллели---------------------------------------------------------------------------------------22

  • Противоположности--------------------------------------------------------------------------23

  • Уровни музыкального рассуждения-------------------------------------------------------23

  • Исследование дат рождений----------------------------------------------------------------24

• Вывод ------------------------------------------------------------------------------------------------26

• Литература ------------------------------------------------------------------------------------------27

• Приложения-----------------------------------------------------------------------------------------28

Цель: определить математика является царицей для других наук или слугой.

Задачи: рассмотреть связь математики с другими науками и определить её роль в других науках.

Введение

В настоящее время наибольших успехов достигают те отрасли знаний, которые широко используют математический аппарат в своих исследованиях. Что же позволяет при использовании математики добиваться колоссальных успехов в исследовании явлений природы и общества? Ведь математика оперирует такими понятиями, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к реальной жизни: векторы, уравнения, системы счисления. В данном проекте я попытаюсь ответить на этот вопрос, а также, на мой взгляд, интересно было бы рассмотреть конкретные примеры связи математики и других наук. Необходимо также отметить, что в работе было выдвинуто два принципа взаимодействия математики и других наук. Первый - математика является инструментом для счета в других науках, то есть взаимосвязь осуществляется на умениях вычисления и не более того. Второй же принцип - фундаментальная логическая взаимосвязь, то есть связь между математикой и другими науками осуществляется на основе строгого логического доказательства, логики и дедукции. В данной работе я постараюсь определить, к какому типу относятся взаимосвязи математики и других наук разного типа.

Высказывания великих людей о математике и ее связи с другими науками

• «Великая книга природы написана математическими символами» (Галилей)

• «Математика – царица наук, арифметика – царица математики» (К.Ф. Гаусс)

• «Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?» (Платон)

• «Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом» (К. Вейерштрасс)

• «Астрономия (как наука) стала существовать с тех пор, как она соединилась с математикой» (А.И. Герцен)

• «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии» (Н.Е. Жуковский)

• «Химия – правая рука физики, математика – ее глаз» (М.В. Ломоносов)

• «Слеп физик без математики» (М.В. Ломоносов)

• «Математика - это язык, на котором говорят все точные науки» (Н.И. Лобачевский)

• «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии» (А.С. Пушкин)

•  «Как бы машина хорошо ни работала, она может решать все требуемые от нее задачи, но она никогда не придумает ни од­ной» (А. Эйнштейн)

• «Музыка – математика чувств, а математика – музыка разума» (Джеймс Джозеф Сильвестр)

• «Музыка есть арифметическое упражнение души, которая исчисляет себя, не зная об этом». (Готфрид Вильгельм Лейбниц) 

Связь физики и математики

Математика как наука сформировалась первой, но по мере развития физических знаний математические методы находили всё большее применение в физических исследованиях.

Взаимосвязи математики и физики определяются, прежде всего, наличием общей предметной области, изучаемой ими, хотя и с различных точек зрения. Взаимосвязь математики и физики выражается во взаимодействии их идей и методов. Эти связи можно условно разделить на три вида, а именно:

1. Физика ставит задачи и создает необходимые для их решения математические идеи и методы, которые в дальнейшем служат базой для развития математической теории.

2. Развитая математическая теория с её идеями и математическим аппаратом используется для анализа физических явлений, что часто приводит к новой физической теории, которая в свою очередь приводит к развитию физической картины мира и возникновению новых физических проблем.

3. Развитие физической теории опирается на имеющийся определенный математический аппарат, но последний совершенствуется и развивается по мере его использования в физике.

Связь математики и астрономии

В XX веке астрономия разделилась на две главные ветви: наблюдательную и теоретическую. Наблюдательная астрономия — это получение наблюдательных данных о небесных телах, которые затем анализируются. Теоретическая астрономия ориентирована на разработку компьютерных, математических или аналитических моделей для описания астрономических объектов и явлений. Эти две ветви дополняют друг друга: теоретическая астрономия ищет объяснения результатам наблюдений, а наблюдательная астрономия даёт материал для теоретических выводов и гипотез и возможность их проверки.

В астрономии постоянно работают с математикой, главным образом, с системой координат. Расположение звезд на небе, составление карт. Запуски спутников и космических кораблей, любые виды прогноза основываются на применении различных систем координат. C помощью системы координат астрономы определяют расстояние до звёзд, их местоположение на карте звёздного неба. Размеры галактики, скорость её вращения, траектории движения планет и их размер.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что движение звезд и планет, расположение звезд в небе - все это подчинено математическим правилам и законам. В основу астрономии положен математический аппарат, следовательно, без математики, такой предмет как астрономия, может и смог бы существовать, однако он не был бы тем, что мы имеем сегодня.

Связь математики и биологии

Характерной чертой современных научных исследований является широкое применение точных математических методов в разнообразных областях знания. В последнее время математические методы проникают в экономику, лингвистику, психологию и многие другие области, а частности в биологические исследования и медицинскую диагностику. Проникновение математических методов в науку о живой природе идет сейчас по многим путям, с одной стороны — это использование современной вычислительной техники для быстрой и эффективной обработки биологической и медицинской информации, с другой - создание математических моделей, описывающих живые системы и происходящие в них процессы. Не менее важна и «обратная связь», возникающая между математикой и биологией: биология не только служит полем для применения математических методов, но и становится все более существенным источником постановки новых математических задач.

Жизнь - одно из самых прекрасных и сложных явлений на планете, изучением которого с начала 20 века занимается далеко не одна биология. Физики, а затем и математики обнаружили ряд биологических явлений, которые можно описать на математическом языке. Николай Рашевский (один из наиболее ярких примеров его деятельности - создание в 1939 году первого научного журнала, посвящённому исследованиям в математической биологии), Карл Людвиг фон Бертланфи (в 1938 году он сформулировал знаменитое уравнение роста, которое и по сей день применяется в рыбоводческих хозяйствах) и Алан Тьюринг ( был одним из первых ученых кто применил компьютер для математического моделирования биологических задач) положили начало плодотворному союзу математического формализма и науки о жизни, а компьютеры позволили ученым проводить количественные исследования биологических явлений. Так родилась новая дисциплина - математическая биология, или биоматематика. Она внесла и продолжает вносить свой вклад в развитие биологии как посредством теоретического изучения динамических систем (мозга, муравейника, или экосистем), так и благодаря решению практических задач в ходе изучения раковых заболеваний, эпидемий, СПИДа или свиного гриппа. Механизм обучения, запоминания букв, цифр и сигналов можно смоделировать с помощью нейронной сети. Модель памяти известна как сеть Хопфилда. Сегодня она используется в самых разных цифровых системах: не только для решения множества физических задач, но и в электронике, и при обработке изображений. Таким образом, можно сделать следующий вывод: в биологии математика является доминантным звеном.

Связь математики и географии

В географии невозможно обойтись без математики. Одно из основных географических понятий - масштаб показывает, во сколько раз каждая линия, нанесенная на карту или чертёж, меньше или больше её действительных размеров. Помимо этого, в географии достаточно широко используется понятие математики, и, главным образом, статистики. К примеру - смертность. Смертность - статистический показатель, оценивающий количество смертей. В демографии отношение числа умерших к общему числу населения. Измеряется в промилле (‰). Соленость морей и океанов, также измеряют в промилле (отношение количества соли на литр воды). Географические координаты определяют положение точки на земной поверхности. Широта́ — угол между местным направлением зенита и плоскостью экватора, отсчитываемый от 0° до 90° в обе стороны от экватора. Таким образом, мы можем наблюдать математические модели в географии, и сделать вывод о том, что без математики в географии невозможно было бы сделать прогноз погоды и даже, элементарно рассчитать широту и долготу. Поэтому, математика является в полной мере не слугой, а доминирующим звеном в географии. 

Связь математики и химии

Сама химия - это физика элементарных частиц, а в физике, как мы уже узнали, без математики никак нельзя обойтись. Есть огромное количество примеров, где хорошо видно, что без знания математики и элементарной логики в химии - делать нечего. Я перечислю только самые яркие из них: Как правильно рассчитать валентность в соединении серы или другого химического элемента имеющего переменную валентность с чем-либо без математики? Как рассчитать процентную долю вещества в растворе без элементарного знания математики? Кристаллические решетки - это наиболее яркие примеры стереометрии в химии. Ведь свойства того или иного вещества во многом зависят от кристаллической решетки. Так, к примеру, и графит, и алмаз состоят из атомов углеродов, только алмаз, в отличие от графита невероятно прочный. В химии используются и декартовы координаты для построения в пространстве различных орбиталей. Цепочки превращений, это одно из наиболее распространенных химических заданий, которое без логики выполнить невозможно. Расчет распределения электронов по энергетическим уровням без знания математики невозможен... и так далее...  Таким образом, можно сделать вывод о том, что математика в химии занимает доминирующую позицию.

Связь математики и черчения

Как уже ранее говорилось, что масштаб показывает, во сколько раз каждая линия, нанесенная на карту или чертёж, меньше или больше её действительных размеров. Все черчение построено на строгой системе. Штриховка под углом 45 градусов, окружности, плоскость, проекции - все это математические понятия, без знания которых невозможно построить хоть один чертеж. Поэтому, математика и здесь, как мы можем видеть, занимает доминирующее положение.

Связь математики и информатики

Одними их наиболее значимых примеров математики в информатике может послужить несколько важнейших разделов в информатике, для которых используется математика, и без знания, которых нельзя составить ни одну программу или редактировать и изменять документы.

- Единицы информации, системы счисления, кодирование информации

- Алгоритмизация и программирование;

- Изучение логики;

В математической теории понятие «информация» связано с исключительно абстрактными объектами — случайными величинами, в то время как в современной теории информации это понятие рассматривается значительно шире — как свойство материальных объектов. Однако без математического аппарата невозможно было бы представить современный компьютер, поскольку он основан на процессах хранения, обработки и передачи данных, которые, в свою очередь, основаны на математических принципах. К примеру, в большинстве современных компьютеров проблема сначала описывается в понятном им виде (при этом вся информация как правило представляется в двоичной форме — в виде единиц и нулей, хотя компьютер может быть реализован и на других основаниях, как целочисленных — например, троичный компьютер, так и нецелых), после чего действия по её обработке сводятся к применению простой алгебры логики. Быстрый электронный компьютер может быть применим для решения большинства математических задач, а также и большинства задач по обработке информации, которые могут быть сведены к математическим.  Однако было обнаружено, что компьютеры могут решить не любую математическую задачу. Впервые задачи, которые не могут быть решены при помощи компьютеров, были описаны английским математиком Аланом Тьюрингом. Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что информатика как наука имеет под собой основу в виде математики. Поэтому, без математики в информационных технологиях никак нельзя обойтись (и здесь она играет доминантную роль). Само определение компьютера - вычислитель, который основан на определённой целой или нецелой системы счисления, способный решать математические задачи и задачи по обработке информации.

Связь математики и истории

Математика и история - две неразрывные области знания. История обогащает математику гуманитарным и эстетическим содержанием, развивает образное мышление учеников. Математика, развивающая логическое и системное мышление, занимает достойное место в истории, помогая лучше ее понять. Одним      из         основных         способов      исследований       в    области истории и математики является Клиометрика (англ. Cliometrics) —междисциплинарное направление, исследований на стыке истории, экономики и математики.

Первые опыты применения средств математики для обработки исторических материалов относятся к 60-м годам XVII века Английские «политические арифметики» Д. Граунт и В. Петги попытались проанализировать данные демографии. Долгие годы данные о народонаселении были единственной точкой соприкосновения математических методов и исторических материалов. Дальнейший перелом произошел лишь в 60-х годах в Европе и в 70-х годах XIX века в России. Первыми учеными, высказавшимися за целесообразность использования математико-статистических методов, были в Европе - Т. Бокль, в России - И.В. Лучицкий. С этих пор в истории применяются простейшие статистические методы (группировка, расчет показателей вариации и др.). Использование математических методов осуществлялось в большей степени в тех сферах исторического познания, где был накоплен большой опыт источниковедческого анализа традиционными средствами. Именно применение математических методов позволило вывести на новый уровень изучение данных проблем. В настоящее время складываются области исторического исследования, которые строятся на такого рода обобщении и предусматривают применение широкого спектра новейших методик.

Чтобы понять, возможна ли математическая история или это просто набор достаточно произвольных моделей, нам нужно знать, сможем ли мы проверять наши гипотезы с помощью данных. И выясняется, что да, что в истории существует гигантское количество данных, с помощью которых мы можем все наши теории проверять.

Наиболее ярким примером использования математики в истории это хронология, даты и события. Все события происходят по определенным закономерностям.

Интересно, что нынешний календарь составлен неправильно, а все потому, что древние монахи считали на абаке и попросту не знали, что такое ноль. Вот почему сейчас ученые говорят о том, что вследствие незнания такого простого числа, и несовершенных расчетов с большими погрешностями, мы в настоящее время говорим о том, что 2000 год — это неформально 21 век, а официально век 20. А неправильное летоисчисление изменяет всю хронологию, что влечет за собой, зачастую, печальные последствия.  Сама по себе хронология - наука, изучающая счет времени. Календарь - яркие пример геометрической модели деления отрезков (в данном случае по времени). Сейчас мы живем по Григорианскому календарю, поэтому, чтобы установить точную дату в историческом источнике, которая соответствовала Юлианскому календарю или календарю "от сотворения мира", историки используют специальную формулу. Сейчас возникает идея о пересмотре календарной системы, но, наверное, историкам следует отказаться от неё, так как придется переделывать все исторические даты. Многие математические структуры нашли свое применение в истории, такие, как например, строение герба, в которой каждая часть имеет свое название и смысл. Поэтому, можно смело судить о том, что математика играет действительно важную роль при изучении истории.

Связь математики и обществознания

Обществознание - комплекс из разных наук, в том числе истории, политологии, права, философии и экономики. В истории и экономике математика занимает приоритетную позицию. На протяжении веков, начиная с древнего мира, особенно у греков, математика ассоциировалась с понятием философии, и, хотя греки не любили и всячески не принимали ноль и бесконечность, кое - чего они все же достигли, а строилось это, прежде всего, на философии и на размышлении. Из понятных правил выводились аксиомы, из них следовали теоремы, которые, с помощью тех же аксиом и доказывались. Эта блестящая, как мы её сейчас называем дедуктивная система, и заложила основу современной геометрии. Также необходимо учесть, что такая знаменитая личность как Платон, был прекрасным мыслителем и философом, и при этом, великолепным математиком. Поэтому, что касается философии, тут однозначного ответа, явно не существует. Философия рождала идеи для новых математических открытий, безупречная математическая логика и дедукция, также помогала и философам, и многим мыслителям. В политологии и праве также однозначного ответа мы дать не можем, хотя формулировка последней из наук весьма схожа с математикой, да и суд и системой логических рассуждений при доказательстве вины/невиновности подсудимого, отдаленно могут походить на математическую дедукцию. Исходя из этого, вывод следующий: математика и здесь занимает особое место и важность этого предмета в обществознании никак нельзя недооценить.

Связь математики и литературы

Математику используют герои многих литературных произведений, математика вдохновляет писателей на новые книги и идеи и так далее... В математике есть такое понятие, как закономерность, она окружает нас повсюду: день сменяется ночью, животные мигрируют на юг... Удивительно, однако, последовательности есть и в литературе. Например, стихотворный размер (это частная реализация стихотворного метра, его вариация). Существуют различные виды этого "размера". Есть односложные, двусложные и трехсложные размеры. В зависимости от того, на какой слог падает ударение, название размеров варьируется.

Ещё один яркий пример использования математики в литературе - то, что многие произведения русских классиков содержат математические задачи. Как правило, авторы вставляют в свои произведения такие задачи, чтобы украсить сюжет и сделать его интереснее. Вот, например, задача, встретившаяся мне в книге Жюль Верна «С Земли на Луну прямым путем за 97 часов 20 минут» (смотри приложение 1)

Проверяя данную задачу, мы получаем, что она верна, но, надо сказать, что так бывает далеко не всегда. (смотри приложение 2)

Конечно, говорить о том, что в данном предмете математика занимает главенствующее положение, было бы неразумно и неправильно. Однако полностью исключить влияние математики на литературу мы тоже не можем. Поэтому, можно сделать разумный вывод о том, что в данном случае математика является источником неисчерпаемого вдохновения для писателей и журналистов.

Связь математики и изобразительного искусства

В первую очередь, в изобразительном искусстве очень важно правильно смешать цвета, так чтобы они были в определенной пропорции, а это – математика. Достаточно важным элементом в художественном искусстве является перспектива, она используется как одно из художественных средств, усиливающих выразительность образов. Однако, параллельные линии, только кажутся нам параллельными, на самом деле, у них есть особая точка, из которой исходят 4 луча. В геометрии перспектива – метод изображения фигур и других объектов, основанный на применении центрального проектирования (основы начертательной геометрии, проектирование). В изобразительном искусстве, ровно, как и в литературе, есть художники – математики, и люди, которых царица наук вдохновляет на написание новых картин. Вот самые известные из них: М.К. Эшер (в некотором роде, является «отцом» математического искусства); Пит Мондриан известен своими геометрическими абстракциями; Сальвадо Дали использовал математические идеи в некоторых своих работах; Виктор Васарели известен как пионер и практик направления оптического искусства. Он использовал окрашенные простые геометрические формы, часто объединенные в массивы, для создания эффекта движения, выпуклости или вогнутости на плоском рисунке. Таким образом, можно судить, что математика и здесь занимает не последнюю, а даже одну из первых позиций.

Связь математики и музыки

Связь математики и музыки я разберу более подробно, так как меня заинтересовала связь таких разных по сути науки и искусства. Математика и музыка – два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства.

Люди уже очень давно задумывались о связи музыки и математики. Именно исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики: Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер, Даниил Бернулли. Первый труд Рене Декарта – «Трактат о музыке»; первая крупная работа Леонарда Эйлера – «Диссертация о звуке». Эта работа 1727 года начиналась словами: «Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков». Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: «Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать».

Пифагореизм

В античной философии 6-4 веках до нашей эры существовало учение Пифагореизм, рассматривавшее число как формообразующий принцип всего существующего. Пифагорейцы предположили, что в основе мира лежит некая абстракция – число. Более того, число в различных ипостасях: «бог-число», «вещь-число», «искусство-число» и так далее, стало у них сущностью мира. Эта числовая конструкция бытия мыслилась ими как конкретный «музыкально-числовой космос» или «строй мира», действующий гармонично во всех проявлениях.

Таким образом, Пифагор и его последователи попытались объединить математику, гармонию и музыку в единую сущность не только космоса, но и человеческой души и конкретной вещи. Музыкальная гармония мыслилась древними как некая логически построенная система, которая имеет много общего с математикой.

Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два искусства – музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. У пифагорейцев музыка рассматривалась не столько как искусство, сколько как наука, а именно – как наука о числах. Пифагорейский музыкальный строй, определивший на столетия судьбу европейской музыки, — это математика.

Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд (смотри приложение 3)– полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.

Пифагорейцами было подмечено определенное соответствие между высотой звука и конкретным числом, определяющим длину струны. Правильные математические сочетания таких струн дают гармонические созвучия. Именно по этому принципу был создан широко популярный в античности музыкальный инструмент – лира, который впоследствии стал эмблемой музыкального искусства. Оказывается, длины трех струн, дающих ноты до, ми, соль, которые составляют один из наиболее благозвучных аккордов – мажорный, удовлетворяют гармонической пропорции, а числа колебаний этих струн образуют непрерывную арифметическую пропорцию. Получается, приятные для слуха созвучия подчиняются простым математическим законам

Основная категория философии Пифагора – число, число – это первоначало бытия, основа космической меры. То же числовое начало пифагорейцы обнаружили и в музыке, а поэтому весь космос мыслился ими как музыкально-числовая гармония. Космические сферы, настроенные на определенный тон, порождают «музыку небесных сфер».

Интервалы и гармонии сфер

Пифагорейцы считали, что Земля имеет форму шара и находится в центре вселенной. Солнце же, Луна и пять планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн) движутся вокруг Земли. Расстояния от них до нашей планеты таковы, что они как бы составляют семиструнную арфу, и при их движении возникает прекрасная музыка – музыка сфер. По мнению пифагорейцев, всякий звук возникает от движения, следовательно, звук сопровождает движение и небесных тел. Находясь на разных расстояниях от Земли, планеты и звезды издают неслышимые нам гармонические звуки, высота которых пропорциональна их скорости. (смотри приложение 4) Интервал между Землей и сферой неподвижных звезд рассматривался в качестве диапазона – наиболее совершенного гармонического интервала.

Наиболее принятым порядком музыкальных интервалов планет между сферой Земли и сферой неподвижных звезд является такой: от сферы Земли до сферы Луны – один тон; от сферы Луны до сферы Меркурия – полтона; от Меркурия до Венеры – полтона; от Венеры до Солнца – полтора тона; от Солнца до Марса – один тон; от Марса до Юпитера – полтона; от Юпитера до Сатурна – полтона; от Сатурна до неподвижных звезд – полтона. Сумма этих интервалов равна шести тонам октавы. (Смотри приложение 5)

«Золотое сечение» в музыке

Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

Золотым сечением (делением) и даже «божественной пропорцией» (смотри приложение 6) называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина большей его части так относится к длине всего отрезка, как длина меньшей части к большей. Это отношение приближенно равно 0,618 или 5/8. Кто и когда изобрел золотую пропорцию наукой не установлено. Одни ученые считают автором «золотого деления» Пифагора, другие уверены, что греческий философ и математик позаимствовал знания у египтян и вавилонян, которые пользовались золотыми пропорциями, создавая огромные фигуры фараонов и богов по частям. Установленные каноны позволяли по одной части определить целое и размеры других частей.

Цифры, выражающие длины отрезков «золотого сечения», оставляют «ряд Фибоначчи». В средневековье музыканты часто для придания своим произведениям геометрической стройности пользовались числовыми закономерностями, в том числе и знаменитыми «числами Фибоначчи». Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т. Д. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т. Д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению «золотого деления». Так, 21:34 = 0,617, а 34:55 = 0,618 (или 1,618, если делить большее число на меньшее).

«Ряд Фибоначчи» мог бы остаться только математическим казусом, если бы не, то обстоятельство, что все исследователи «золотого деления», и в первую очередь в искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого сечения.

Исследования Л.Л.Сабонеева

В 1925 году русский музыковед, композитор, музыкальный критик и ученый Леонид Леонидович Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении «золотого сечения». В изученных произведениях наблюдалось 3275 «золотых сечений»; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно «золотое сечение», составило 1338.

Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено «золотых сечений». Наиболее высокий процент отмечается у гениальных композиторов, то есть «интуиция формы и стройности, как это и следует ожидать, наиболее сильна у гениев первого класса». У Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%).

По мнению Л. Л. Сабанеева, «золотое сечение» приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Л. Л. Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена (статья «Этюды Шопена в освещении «золотого сечения»). Он обнаружил в них 178 «золотых сечений». При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении «золотого сечения», но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком, же отношении.

Ученый подсчитал количество тактов в знаменитой сонате «Аппассионата» Л. Бетховена и нашел ряд интересных числовых соотношений. В центральной части сонаты, где интенсивно развиваются темы и сменяют друг друга тональности, - два основных раздела. В первом 43,25 такта, во втором – 26,75. Отношение 43,25:26,75=1,618 дает «золотое сечение».

Обозначение и соотношение длительностей нот.

За единицу измерения длительности берут так называемую «целую ноту», а все остальные длительности кратны целой. То есть каждая следующая нота получается в результате деления предыдущей на два ½, ¼, 1/8 и т. Д., при этом название ноты отражает отношение ее к целой (смотри приложение 7).

Мы видим, что длительности получаются так же как, дроби: они возникают при делении целой на равные доли. Если перевести на язык математики: целая нота– это будет 1, половинная нота – это будет. По длительности она на половину короче целой. Четвертная нота – и т. Д. Поэтому длительность можно подсчитывать как дробные числа (смотри приложение 8)

Относительной длительностью называется продолжительность данного звука по сравнению с другими. Абсолютная же длительность звуков в музыке устанавливается темпом, т. Е. скоростью звучания, а именно показателем скорости по метроному. Доля такта – это единица метра музыкального размера. Доли такта представляют собой малые отрезки одинаковой длительности, из которых складывается данный текст. Величина доли такта указывается в знаменателе дроби, обозначающей размер: например, в размере ¾ – долей такта является четвертная нота, в размере 2/2 – половинная, в размере 3/8 – восьмая. Числитель дроби указывает количество долей в такте. Показатель по метроному определяет, сколько долей (половинных, четвертных или восьмых) должно прозвучать в течение минуты.

Причем, абсолютная длительность звуков является важнейшим условием музыкальной выразительности, от которого зависит замысел музыкального произведения.

Построение музыкального произведения имеет свою логику и числовые характеристики. Соотношение частей музыкального произведения образуют музыкальную форму. Составные элементы музыкальных форм – мотивы, фразы, предложения, периоды – в совокупности образуют мелодию. Обычно мотив умещается в 1-2 такта, отрезок из 2-3 мотивов образует относительно законченное музыкальное построение, называемое фразой; 2 фразы образуют предложение, 2 предложения составляют законченный раздел, завершающийся кадансом и который называется периодом, который состоит в свою очередь из 8 или 16 тактов. Разные способы развития и сопоставления элементов мелодии образуют различные типы музыкальных форм. Изучив определенные законы построения музыкального произведения, можно научиться сочинять музыку – по формуле.

Ритм

Ритм – один из важнейших элементов музыки. Греческое слово «ритмос» означает мерное течение. Музыкальный ритм – это чередование и соотношение различных музыкальных длительностей и акцентов. Ритм – яркое выразительное средство. Часто именно он определяет характер, и даже жанр музыки. Благодаря ритму мы можем, например, отличить марш от вальса, мазурку от польки. Для каждого из этих жанров характерны определенные ритмические фигуры, которые повторяются в течение всего произведения.

Ритмы можно обнаружить и среди чисел. Запишем первые 100 натуральных чисел в виде так называемого «Пифагорова Квадрата» (смотри приложение 9). Его особенность состоит в том, что у чисел, стоящих в одной строке совпадают первые числа, а у чисел, стоящих в одном столбце – вторые.

Жирным шрифтом в таблице (смотри приложение 9) отмечены все числа, кратные 2. Ритм в расположении чисел кратных двум выглядит так: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.… Этот ритм соответствует размеру в музыке, то есть цифра «2» лежит, прежде всего, в основе всей чёткой маршеобразной музыки.

Жирным шрифтом в таблице (смотри приложение 10) отмечены все числа, кратные 3. Ритм в расположении чисел равных трём выглядит так: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12.… Этот ритм соответствует правильному и красивому размеру в музыке, то есть цифра «3» лежит в основе всех вальсообразных ритмов

Параллели

Слово «параллельный» происходит от греческого «параллелос» - идти рядом. В музыке параллели, прежде всего мы видим в 5 прямых, образующих нотный стан. Поразмыслим, так ли необходима здесь параллельность? Ведь в древности музыканты записывали музыку по-разному: и при помощи букв, и графическими знаками – невмами, передававшими общее направление интонации, но не позволявшими выразить длительность звучания или его изменение по высоте вверх или вниз. Музыканта интересует не просто то, что одна нота выше или ниже другой: ему требуется знать, насколько одна выше или ниже другой. Измерить высоту нам как раз помогают параллельные линейки. Параллельные линии можно увидеть не только в нотах, но и во внешней форме некоторых музыкальных инструментов: струны арф или органные трубы.

Параллели можно обнаружить не только в нотной записи, но в самом звучании музыки. Например, если одна и та же мелодия будет исполнена различными голосами, т. Е. одновременно, в унисон будут петь 2 голоса. Голоса поют одинаковую мелодию, только женский голос будет звучать в верхнем регистре, а мужской – в нижнем, а звучат они параллельно. Параллельно могут звучать голос и фортепианное сопровождение со сдвигом на октаву.

В музыке также существует понятие «полиметрия» - это запись двух параллельно звучащих музыкальных партий в разных музыкальных размерах.

Противоположности (смотри приложение 11)

Уровни музыкальных рассуждений.

Разговоры о музыке могут происходить на различных уровнях в зависимости от того, какие процессы нас интересуют: физические, психологические, культурные и т.д. Очень важно понимать, на каком уровне ведутся рассуждения. Определим следующие уровни.

Физический. Музыкальные звуки являются периодическими колебаниями воздуха. Поэтому их можно изучать методами физики. Многие феномены более высоких уровней сводятся к физическому (находят свое объяснение в физике звука).

Биологический. На этом уровне звуки интересны нам постольку, поскольку они воспринимаются, интерпретируются и воспроизводятся человеком. Здесь возникают определенные ограничения (диапазон воспринимаемых частот, точность определения частоты и т.д.), оценки звуков (и прежде всего мелодий) как благозвучных или нет (нравится/не нравится). Закономерностями именно этого уровня являются сложившиеся формы музыкальных инструментов – их делают так, чтобы человеку было удобно играть.

Культурный. Несмотря на то, что все люди – Homo Sapiens, в разных культурах возникают различные музыкальные традиции. Различия наблюдаются как между этносами (или суперэтносами – говорят о западноевропейской музыке, славянской музыке, и так далее), так и между различными уровнями развития общества (отсутствие четких понятий о высоте в древности, напевание одного определенного звука – устоя, возникновение все более сложных ладовых систем). Даже звукоряд в разных культурах разный, например, некоторые восточные народы делят полутон на более мелкие интервалы.

Математический. Математика является вполне подходящим средством для описания музыкальных моделей. Могут ли чисто математические результаты иметь интересную интерпретацию в музыке, является для автора спорным. Пифагор, по распространенной версии, пытался свести всеобщую гармонию к числам. Мы же будем к таким идеям подходить более осторожно.
Как обычно – четких границ между уровнями нет. Одно и то же явление может простираться через несколько уровней. Почему, например, интервал октава звучит для человека очень приятно? Можно представить это как аксиому биологического уровня, а можно свести к физическому: звуки, различающиеся по частоте вдвое, дают то же множество обертонов, что и нижний из них. Поэтому они практически сливаются. А математически октава описывается числом 2, которое является наименьшим простым числом. На любом уровне, однако, существуют явления, несводимые к предыдущему уровню.

Исследования дат рождений

Следуя теории Пифагора числа, обладают абсолютной властью над всеми событиями, над всеми живыми существами, а значит, числа правят музыкой. В своих работах он утверждал, что музыка подчиняется высшему закону (математике) и вследствие этого восстанавливает в организме человека гармонию.

Нумерология – паранаука о числах. Нумерология имеет еще одно распространенная название – магия чисел. В нумерологии все слова, имена, числа можно свести к единичным разрядам (однозначным человеком), которые соответствует оккультным характеристикам, влияющим на жизнь человека. Это значит, что каждому числу, согласно нумерологии, соответствует определенные свойства, образы и понятия. Нумерологию используют для определенного характера человека, его природных способностей для выявления сильных и слабых сторон его личности, а также для определения характера человека, его природных способностей, для выявления сильных и слабых сторон его личностей, а также для определения подходящих профессии, места проживания и многих других факторов

Даты рождений – это ряд чисел. Попробуем установить связь между числами и музыкой.

Каждой ноте я присвоила номер ступени. До – 0, ре -1, ми – 2, фа – 3, соль – 4, ля – 5, си – 6, до – 7, ре – 8, ми – 9. Далее я переложила даты рождения 13 учащихся 9 «А» класса на аккорды (смотри приложение 12) и установила связь между звучанием даты рождения и способностями человека. (Смотри приложение 13)

Получилось, что в 9 «А» классе количество творческих, спортивных и умных практически поровну, так что выходит, что класс развивается по всем отраслям.

Выходит, что, исходя из всего выше перечисленного: в музыке крайне важно знать математику, а потому, последняя играет главенствующую роль при освоении музыки.

Вывод

Математика-это начало всех наук, поэтому она чаще всего является царицей других наук, но также одновременно и служит им.

Литература

• Бореев Г. «Пифагор. Жизнь-как учение.»М.: Гиперборея, 2008.

• Булучевский Ю., Фомин В. Краткий музыкальный словарь. – М.: Музыка, 2005.

• Волошинов А. В. «Математика и искусство», М.: Просвещение, 2000.

• Гейн А. Г., Касымов А. О. «Математика и музыка».

• Математика и музыка: Методические указания для руководителей кружков/ Сост. И. А. Круглова; Под ред. В. Н. Сергеева. Омск: Омск. Ун-т, 1991.

• Ценова В. С. Числовые тайны музыки: Монографическое исследование. – М.: Московская гос. Консерватория имени П. И. Чайковского, 2000.

• Энциклопедический словарь юного музыканта, М.: Педагогика, 1985.

Интернет ресурсы

• https://pedtehno.ru/content/matematika-carica-ili-sluga-dlya-drugih-nauk

• https://yandex.ru/images/search

• http://nsportal.ru/ap/library/muzykalnoe-tvorchestvo/2013/12/03/tvorcheskiy-proekt-svyaz-muzyki-i-matematiki-0

• https://pedtehno.ru/content/matematika-carica-ili-sluga-dlya-drugih-nauk

Приложения

Приложение 1

«Луна описывает вокруг Земли не круг, а эллипс, в одном из фокусов которого находится наша планета; вследствие этого Луна в разное время находится в различных расстояниях от Земли; наибольшее расстояние называется апогеем, а наименьшее - перигеем. Как известно, разность между наибольшим и наименьшим расстоянием довольно велика, так что ею нельзя пренебрегать. В самом деле, в своем апогее Луна отстоит от Земли на 247552 мили, а в перигее ─ всего на 218657 миль; разница между двумя расстояниями достигает 28895 миль…»

Приложение 2

Получается, что конек-горбунок был ростом 13,2 см, а его уши были 71 см! Только представьте, уши конька-горбунка в 5 раз больше его роста! Имея аршинные уши, он не смог бы, не то чтобы летать, но и передвигаться. Их масса перевешивала бы самого конька-горбунка! Это задача неверна.

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

1/4 = 1/8 + 2/16

Приложение 9

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Приложение 10

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Приложение 11

Музыка	Математика
Мажор – минор Быстро - медленно Тихо – громко Низкий звук - высокий звук Бемоль (понижение) – диез (повышение)	Плюс-минус Больше – меньше Сложение – вычитание Умножение – деление Четное число – нечетное число

Приложение 12

Приложение 13

Имя, Фамилия	Интересы	Показание опыта
Луговых Таня	Отличница, с отличие закончила музыкальную школу	Творчество
Алферов Юрий	Занимается спортом	Спорт
Вараксин Алексей	Закончил музыкальную школу	Творчество
Козлова Ирина	Закончила музыкальную школу	Творчество
Десятков Михаил	Отличник, занимается спортом	Наука
Дорофеев Александр	Занимается спортом	Спорт
Зайцев Егор	Хорошо учится, занимается спортом	Наука
Куркин Данил	Закончил музыкальную школу, занимается спортом	Творчество, спорт
Макаркина Евгения	Отличница, закончила музыкальную школу	Наука
Мухамедьянов Руслан	Хорошо учится, занимается спортом	Наука
Плеханова Мария	Хорошо рисует	Творчество
Осипова Наталья	Хорошо учится, закончила с отличием музыкальную школу	Наука
Ремесленникова Дарья	Хорошо рисует	Творчество