Проект на тему : "Математика Древней Руси"

Оглавление

Введение

Глава I Древнерусские цифры

1.1.Греко-болгарская и византийская система.

1.2. Абак

Глава II Древнерусская вычислительная практика

2.1.Теория о вычислительной системе И.Г.Спасского.

2.2. Существенный вклад в изучение математической мысли Древней Руси на основе статей «Русской правды».

Заключение

Список использованной литературы

Приложение

Введение

Использование элементов математических знаний современным человеком, незави­симо от его образования, рода деятельности и обществен­ного положения, достаточно велико. В наше время цифро­вые обозначения встречаются на каждом шагу. Мы к этому привыкли. А как обстояло дело с математикой в X—XI вв.?

Если мы будем знать о математике в быту древнерус­ского человека, то сможем вернее судить о торговле, финансовой системе, уровне ремесленного производства, строительного и военного дела и других сторонах жизни той эпохи. Именно поэтому изучение темы «Математическая мысль Древней Руси» я считаю наиболее актуальной.

В настоящее время «бытовая математика» связана главным образом с основами арифметики (нумерацией, элементарными вычислениями). Интересную классификацию математических наук в общей системе наук разработал средневековый ученый ал-Фараби (870—950). На его воззрения оказывали влия­ние идеи Аристотеля. Ал-Фараби на первое место ставил арифметику, за ней — геометрию, далее у него идут оп­тика, наука о звездах, наука о музыке, наука о предме­тах, имеющих вес (механика), и наука «об искусных приемах».

Польский историк В. А. Мацеевский одним из первых затронул вопрос о месте математических знаний у славян! Он указал на песню XIII или XIV в., в которой сохрани­лось предание об арифметике и геометрии, наряду с ос­тальными предметами «учения о семи свободных мудростях», преподававшихся в средневековых школах

В изучении истории математики Древней Руси сделано много. Кроме названных выше исследователей, значитель­ная заслуга в этом принадлежит советским ученым Б. В. Гнеденко и особенно А. П. Юшкевичу.

Проблема: в школьных учебниках, литературных произведениях часто встречаются слова, обозначающие единицы измерения Древней Руси, но мы не знаем значения этих слов, поэтому не всегда правильно понимаем смысл прочитанного. 

Цель работы: математическая мысль в Древней Руси.Предмет исследования:  единицы измерений древней Руси.

Объект исследования: древнерусская математика.

Задачи работы:

1. Собрать и проанализировать литературу по данной теме, отобрать нужный материал.

2. Изучить взаимосвязь старинных единиц измерения с современными.

3. Оформить собранный материал.

4. Познакомить обучающихся класса, школы с результатами исследования для расширения  их знаний с историей своего народа.

Гипотеза: переход от старинных мер единиц измерения к современной международной системе единиц был оправдан: упрощает производимые измерения и делает их наиболее точными.

Методы работы:

1. Сбор информации (работа с литературными источниками, энциклопедией, поиск информации в сети Интернет).

2. Проведение исследования.

Практическая значимость работы:

Материал данной работы можно использовать как справочный материал для учителей и учащихся на уроках математики, литературного чтения,  на дополнительных занятиях смежных дисциплин для расширения кругозора.

Глава I Древнерусские цифры

1.1. Греко-болгарская и византийская система.

В Первом Болгарском цар­стве (государстве), возникшем в конце VII в. в Подунавьеофициальным был греческий язык. Вплоть до начала Xв. делались соответствующие надписи на камнях. Условимся сохранившиеся подлинники называть греко-болгарскими.

Если свести воедино имеющиеся в тех источниках цифровые данные, то можно сделать следующий вывод. Употреблявшиеся в этих надписях цифры соответствуют греческой алфавитной цифровой системе, распространенной в то время не только в Византии, но и в других странах. Условимся такие цифры называть «ви­зантийскими».

В основе византийской системе лежат знаки греческого 24-буквенного алфавита. Они были дополнены тремя цифровыми знаками 6, 90 и 900. Вместе эти три знака называют «эписемами». Каждая из эписем известна в нескольких начертаниях, в зависимости от времени написания, пись­менного материала и местных традиций. Младшая эписема в средневековых текстах (византийская шестерка) часто выглядит наподобие латинской буквы «эс» (3), такую же примерно форму имел вариант греческой буквы, которую ставили только в конце слова, — «конечная сигма». Сред­няя эписема, обозначавшая 90, встречается в различных вариантах, именующихся общим словом «копна». Стар­шаяэписема (900) также известна в нескольких начер­таниях, объединенных названием «сампи».

24 греческие буквы вместе с эписемами образовывали 27-знаковую цифровую систему, которую в литературе часто именуют «алфавитной», или «буквенной». Такое на­звание для средневековья является условным, так как три входящих в нее цифры (эписемы) тогда не являлись бук­вами. Но в историческом смысле эту систему можно называть «алфавитной», или «буквенной», с учетом воз­можности буквенного происхождения эписем.

Византийские цифры делились на три группы по де­вять знаков в каждой. Одна группа выражала единицы, вторая — десятки, третья — сотни. В такой системе можно было обозначать числа от 1 до 999. Числа записывались слева от старшего разряда к младшему. Например, число 427 выражалось знаками ГК2. Здесь 1=400, К=20,2=7. Если нужно было выразить число порядка нескольких ты­сяч, то перед разрядом сотен располагали соответствую­щую цифру единиц. Например, число 6427 записывалось ЗГК2. Здесь 3 —шестерка (младшая эписема). Цифре на месте разряда тысяч обычно придавался элемент в виде наклонной черты—«тысячный знак». В таком случае указанное выше число будет выглядеть как*ГЕЙ. Чтобы числовую запись не спутать с буквенной, она вы­делялась в тексте точками с обеих сторон (по две или по три), одной горизонтальной линией сверху или несколь­кими.

Как было сказано, в греко-болгарских надписях употреблялась византийская нумерация. Опираясь на приведенные сведения о ней, можно разобраться в этом факте по существу.

Числовые записи, содержащиеся в греко-болгарских надписях на камнях, полностью «укладываются» в струк­туру византийской нумерации. Обратное не осуще­ствляется, так как среди встречающихся в надписях чисел не представлены некоторые цифры. А именно: знаки 200, 600, 700 и 900. Известно, что первые три цифры переда­вались в византийской нумерации греческими буквами «сигма», «хи» и «пси». Поэтому с большой долей вероят­ности можно реконструировать отсутствующие начерта­ния, взяв за основу соответствующие буквы, встречаю­щиеся в греко-болгарских надписях.

Сложнее обстоит дело со знаком 900, поскольку стар­шаяэписема в качестве буквы не употреблялась. Начер­тания ее варьировались в греческой цифровой практике, В какой же форме могла быть известна «сампи» (900) в Первом Болгарском царстве? «Сампи» стреловидной формы встречается в нерасшифрованной болгарской надписи, где этим знаком обозначалось либо 900, либо зашифровывалась какая-то другая цифра или буква. По­этому включение в состав византийской цифровой системы знака «сампи» стреловидной формы является менее право­мерным, чем реконструкция облика трех других цифр.

Чтобы владеть византийской цифровой системой, недостаточно знать только греческий алфавит. Кроме 24 букв, необходимо рас­полагать сведениями об эписемах. Механическое дополне­ние трех знаков к греческому алфавиту ничего не дает, так как они не идут подряд, а «разбросаны» среди букв. Чтобы знать, в каком числовом качестве употребляется та или иная греческая буква, нужно учитывать этот «раз­брос». Данные об эписемах и их положении среди букв греческого алфавита составляют особую категорию сведе­ний, которые познавались в процессе овладения греческой грамотой. Но они имеют независимый от нее характер, составляя часть представлений о нумерации. Помимо от­меченных сведений, эти представления охватывали пра­вила записи чисел с помощью византийских цифр и спо­собы их выделения в контексте.

Греко-болгарские надписи позволяют установить, в ка­ком направлении могло идти отделение (обособление) нумерационных представлений от греческой грамоты. Среди этих памятников есть тексты, написанные грече­скими буквами на протоболгарском (тюркском) языке. Здесь употребляется византийская нумерация (Приложение1). Протоболгарской надписи IX в. содержатся числа 455, 540, 427, 854, 20, 40, 1 (дважды), обозначающие количества различных видов военного снаряжения.

В таких письменных опытах греческая грамматика, лексика отходили на задний план или переставали иметь значение. Навыки же в записи византийских цифр сохра­нялись. Нумерационная система в случае протоболгарских надписей как бы порывает связь с греческой грамотой, начиная жить «самостоятельной жизнью».

Письменные источники повествуют о том, что около И вот что любопытно. Славянские источники конца 863 г. Кирилл-Константин Философ совместно со своим IX—начала X в., которые вызывают сомнение по виду братом Мефодием создали «устроенное» славянское письма, имеют общность в нумерационном отношении, письмо. По-видимому, им была глаголица. Указанные просто так, в надписях, которые Ив. Гошев относит к «первосветители, родом из Болгарии, предназначали новую письменность кириллическим», а также в Доксовой приписке, сделана письменность для принявшего христианство славянского княжной в начале X в., употреблялась византийская нумерация.временной Чехословакии. В самой Болгарии христиан От X—начала XI в. дошло до нашего времени не-ства еще не было, оно там было введено около 865 г, сколько болгарских каменных надписей на славянском Официальный греческий язык после этого стал и церковном языке, выполненных кириллицей. На нем велась церковная служба по греческ лось, по мнению Ив. Гошева, в них сохраняются следы книгам.

После смерти Мефодия (885 г.) славянские богослужения записаны в византийской нумерации. Причем она здесь ние в Моравии было запрещено (Кирилл-Константив имеет особенности, которые могли возникнуть на болгар- умер раньше, в 869 г.). Последователи славянскихпервоской почве [И]. Это новый вариант младшей эписемы, учителей нашли приют в Болгарии. Не прошло и десятая наподобие скорописного «гэ», и инверсия в записи чисел лет, как в 893—894 гг. в Первом Болгарском царстве про второго десятка д1, Ш, ... (по сравнению с типичным изошло событие большого политического и культурного византийским порядком: 1л, 1Е, ...).

1.2. Абак

Абак был известен во многих соседних странах Запада и Востока в период государственного развития, подобного существовавшему на Руси в X—XIII вв. Основным источ­ником в доказательстве применения абака на Руси вы­ступают дополнительные статьи-задачи «Русской Правды». По «кунной» денежной системе их можно датировать до­монгольским временем. Очень важен анализ математи­ческой структуры статей-задач. Он выявил начальные шаги средневекового математического просвещения (ну­мерация, раздвоение, удвоение) применительно к про­цессу счета на абаке.

Анализ источников учитывал возможность использова­ния цер для записи промежуточных вычислений. Система абак—цера рассмотрена в сочетании археологических находок цер с существованием особого знака десятиты­сячного разряда, который мог применяться для компакт­ной записи на восковой поверхности цер. В качестве под­тверждения распространенности абака в Древней Руси рассмотрена миниатюра, по-видимому, содержащая его схематическое изображение. Дальнейшие рассуждения опираются на предпосылку: если абак был в домонгольское время, то следы инструментального счета должны сохра­ниться в последующий период. В этой части рассужде­ний важное значение принадлежит изысканиям И. Г. Спас­ского, который установил, что в XVI—XVII вв. русские применяли оригинальный «счет костьми», незнакомый иностранцам. И. Г. Спасский не исключал возможность древних корней на русской почве «счета костьми». Таким образом, идея древнерусского абака архаичного типа на­ходит продолжение в процедуре счета косточками «в рос­сыпь» в послемонгольское время.

Древний абак, состоял как бы из двух обособленных компонентов: вычислительной доски и счетных элементов «в россыпи».

В середине прошлого века, на острове Саламине был; обнаружена такая вычислительная доска, относящая к древнегреческому периоду. Она сохранилась до нашего времени, так как сделана из мрамора.

Приводящиеся на саламинской доске надписи позволили реконструировать принцип «записи» на нем чисел. Числа здесь употреблялись не в отвлеченном значении, а именованном. Древнегреческий абак был «привязан» к существовавшей тогда денежной системе (талант, драхма, обол, халк). Счетная доска древнегреческого абака разделялась на вертикальные колонки (позднее колонки разграничивались перегородками). Крайняя правая ко­лонка предназначалась для самых мелких единиц счета — халков. В последующих колонках числа выражали удвоен­ные значения. Так, в четвертой колонке числа были в 8 раз больше, чем в первой. Эта колонка предназначалась для оболов (1 обол=8 халкам). Далее структура абака меня­лась, переходя на десятично-пятиричный принцип. В но­вых колонках вначале считали на драхмы, а в старших колонках, которыми заканчивался абак, на таланты. Счетный элемент — камешек — «стоил» один халк, если его расположить в самой правой колонке абака. Если же его положить в самой левой колонке Саламинской плиты, то он будет «стоить» пять талантов. В предыдущей ко­лонке его «стоимость» равнялась одному таланту. Вот по­чему Полибий (II в. до н. э.) сравнивал судьбу придвор­ных с камешками на счетной доске: захочет счетчик, и они будут стоить одипхалк, а захочет — так целый талант.

Если с давних времен в Византии употреблялся абак, то не исключена возможность заимствования вычисли­тельного приспособления Русью, которая уже в IX—X вн. имела развитые торговые и другие сношения с Констан­тинополем. Кроме того абак мог попасть на Русь и другим путем, так как этот счетный прибор был достаточно рас­пространен и за пределами Византии.

Анализ источников показал, что древнерусский ин­струментальный счет представляет собой комплексную проблему, связанную с особенностями средневекового ма­тематического просвещения. Древнерусский счет на абаке был бы невозможен без определенного развития навыков в нумерации и выполнении операций раздвоения и уд­воения. В таком случае должны были сохраниться со­ответствующие следы. В этой связи заслуживает внима­ния значительный уровень нумерационных навыков и ис­пользования действий раздвоения и удвоения в XIV и последующих веках. Выявленные ранее, а также новые связи внутри ряда источников и между различными мате­риалами получают достаточно убедительное истолкование на основе существования древнерусского абака в домон­гольский период.

Возвращаясь к цитированной выше статье В. К. Кузакова, можно констатировать, что упомянутый им па­радокс древнерусской математики полностью разъясня­ется на основе возможности инструментального счета в Древней Руси.

Следов письменных арифметических подсчетов, на отсутствие которых справедливо указывает В. К. Куза- ков, и не должно быть, если вычисления производились на счетном приборе, а промежуточные результаты запи­сывались на воске церы. Причем искомый результат по­лучался не по теперешним правилам сложения, вычи­тания, умножения и деления, о которых говорит В. К.Ку-заков, а принципиально иначе. Он достигался посредст­вом нескольких перемещений косточек поособым обра­зом размеченному счетному полю абака. Математической основой этих перемещений были нумерационные навыки и архаичные действия «раздвоения» и «удвоения».

Приведенное теоретическое обоснование существова­ния древнерусского абака вооружает нас рядом данных, на основе которых можно сформулировать следующие прогностические рекомендации для археологических по­исков. В результате могут быть сделаны находки, кото­рые послужат прямым доказательством инструменталь­ного счета в домонгольской Руси. В свете изложенного интерес представляют поверхности, размеченные ли­ниями, проведенными мелом, углем или каким-либо другим подобным пишущим средством, а также процарапан­ные острым орудием. Особенно важно учитывать найден­ные по соседству мелкие предметы, которые могли ис­пользоваться в качестве счетных элементов: камешки, сливовые и вишневые косточки, может быть, пряслица и т. п. Необходимо фиксировать положение этих предметов при их обнаружении, чтобы можно было впоследствии по­пытаться реконструировать вычислительные записи. Не исключена возможность существования соответствующих граффити на стенах древних построек или среди облом­ков строительного материала — с отметками счетных еди­ниц посредством точек, крестиков или каким-то иным аналогичным образом.

Глава II Древнерусская вычислительная практика

2.1. Теория о вычислительнойсистеме И.Г.Спасского

Большую работу по выявлению и изучению источни­ков о русской вычислительной технике провел И. Г. Спасский. Им написано обстоятельное исследование о проис­хождении и истории русских счетов. Счеты в своей первоначальной форме («дощаный счет»), по-видимому, сформировались в России не ранее второй половиныXVI в.

«Дощаный счет» представлял собой разновидность усовершенствованного абака с несколькими вычислитель­ными полями и закрепленными на прутьях или шнурах счетными элементами — «костями». И. Г. Спасский вы­сказал важное соображение, что на Руси издавна был изве­стен абак архаичного типа (без закрепления счетных эле­ментов на вычислительной доске). До И. Г. Спасского не исключалась такая возможность, но она сводилась к употреблению вычислительного метода, известного под названием «счета на линиях», получившего распростране­ние в Западной Европе с XIII в. Основанием для вывода о применении «счета на линиях» в России служат так на­зываемые русские математические рукописи XVII— XVIII вв., в которых этот прием излагался под названием «счета костьми, или пенязи». И. Г. Спасский считает, что тем не менее «счет на линиях» русскими не употреб­лялся. Дело в том, что в «счете на линиях» ис­пользовались жетоны с плоским основанием (плодовые косточки для этого мало годились). Археологические ма­териалы не дают сведений об использовании русскими плоских счетных жетонов. Западноевропейские жетоны для «счета на линиях» попадаются в русских кладах, что указывает на незнание их назначения — как счетных фи­шек (а не монет). И. Г. Спасский полагает, что русские употребляли свой «счет костьми», а не «счет на линиях». Поскольку оба вычислительных способа были сходными, то русскому переводчику не составляло труда разобраться в существе западноевропейского метода.

В заголовке соответствующей статьи отразились оба компонента: название применяемого русскими способа «счет костьми» вводило в курс дела, подчеркивая анало­гичность излагаемого иноземного метода — «счета пе­нязи». Словом «пенязи» русские вычислители именовали западноевропейские жетоны для «счета па линиях».

Если бы русские употребляли неизвестный иностран­цам вычислительный метод, то это могло получить отра­жение в их воспоминаниях о России. И. Г. Спасский ука­зывает два таких текста. Первый принадлежит немцуГ. Штадену, который был опричником Ивана Грозного. Он имел возможность довольно подробно ознакомиться с русским бытом второй половины XVI в.

Второй фрагмент содержится в записях А. Олеария, посетившего Россию в первой половине XVII в. И толу и другому бросилась в глаза одна и та же особенность русского вычислительного способа — применение плодо­вых косточек. Наблюдения иностранцев содержат инте­ресные подробности: косточки были сливовые и виш­невые, их носили в маленьком мешочке.

Отсюда можно заключить, что наблюдаемый иностран­цами «счет костьми» отличался от западноевропейского «счета на линиях». Это не был и «дощаный счет», так как иностранцы не упоминают о рамах, в которых закрепля­лись счетные элементы на прутьях или шнурах. Свиде­тельство о ношении косточек в мешочках скорее говорит о том, что счетные элементы употреблялись «в россыпи».

При Г. Штадене, а тем более при Олеарии в России уже существовал «дощаный счет». Почему же они не го­ворят о нем?

Чтобы ответить на этот вопрос, надо учесть причину появления «дощаного счета». Ею является введение во второй половине XVI в. единой окладной поземельной единицы — так называемой большой сохи. Это нововведе­ние должно было способствовать унификации налоговой системы. Новшество имело математический аспект, со­стоявший в вычислении коэффициентов, по которым с учетом качества земли и сословного положения вла­дельцев устанавливалась условная мера — соха. В соот­ветствии с этим следовало решить две задачи: 1) разра­ботать арифметическую систему действия с дробями для обеспечения возникающих вычислительных нужд, 2) «при­вязать» эту арифметическую систему к инструменту, по­средством которого можно было более рационально вы­полнять необходимые подсчеты.

«Сошпая» арифметика со специфическими «сошными» дробями была разработана. Вторая задача была решена посредством создания «дощаного счета».

Появление «дощаного счета» не могло ликвидировать «счета костьми», так как «дощаный счет» первоначально имел узко ограниченное применение — для подсчета ве­личины налога. Основная масса вычислительных потреб­ностей удовлетворялась обычным способом. Этот-то способ и отмечали иностранцы. Они могли знать или не знать о «дощаном счете», но не могли сослаться на него как на широко распространенный _в русской вычислительной практике, ибо таковым «дощаный счет» тогда не был.

Одним из важных результатов исследования И. Г. Спас­ского является установление возможности существования русской оригинальной вычислительной практики «счета костьми». На этой практике базировалась разработка усовершенствованного абака - «дощаного счета», кото­рый быстро эволюционировал, превратившись в современ­ные счеты с одним вычислительным полем и десятичным принципом исчисления.

В качестве вычислительного поля могла исполь­зоваться поверхность стола, скамейки, пола или ровны и участок земли. Отличительной особенностью западноев­ропейского «счета на линиях» было помещение счетных жетонов на «линиях», а не только в промежутках между линиями (в шпациях). Более древний «счет костьми» не должен иметь этой принципиальной черты. По-видимому, древнерусский вычислитель размечал поверхность для счета параллельными линиями на колонки и раскладывал счетные элементы (косточки) в шпациях. Такой облик вычислительной практики более всего соответствует счету на абаке, восходящему к периоду античности.

2.2. Существенный вклад в изучение математической мысли Древней Руси на основе статей «Русской правды».

В Карамзинской группе списков «Русской Правды» дополнительный материал занимает место с 49-й по 65-ю статью. Списков, древнейшие из которых относятся к середине XV в., насчитывается более десятка; все они однотипны, без существенных различий в содержа­нии.

Указанные дополнительные статьи представляют со­бой набор своеобразных арифметических задач с пересче­том натуры на деньги. В них речь идет о приплоде скота, пчел и пр. за определенный период с подсчетами стои­мости в древнерусской денежной системе. Для образца ниже воспроизводится одна из статей-задач в упрощен­ной орфографии и с записью чисел в современной нуме­рации, в подлиннике числа выражены посредством «бук­венных» цифровых знаков. «О овцах. А от 20 овец и от дву приплода на 12 лет 90 ООО овец и 100 оозец и 12 овец, а боранов 90 000 и 100 и 12 боранов. А всего боранов и овец на 12 лет 180 000 и 200 и 23. А овца ме­тана по 6 ногат, а боран по 10 резан. А за то за все ку­пами 40 000 гривен и 5000 гривен и 50 гривен и 5 гривен и 40 резан. А на тех овцах и на боранех рун 300 000 ц 60 000 н 400 н 40 и 0 рун. А на тех рунех кунами 70(10 гривен и 200 гривен и 8 гривен и 40 резан и 6 резан. А руно чтено по резане».

В результате исследований по истории русского права и культуры о статьях-задачах сложилось мнение, которое раскрывается академиком Б. А. Рыбаковым: «Никакого хозяйственного, фискального или юридического значения подобные маниловские расчеты колоссального приплода л будущих богатств маленькой вотчины, разумеется, не имели. Ведь получалось по этим «расчетам» так, что ва­ловой доход от вотчины за 12 лет составил бы 358 760 гри­вен. Если исключить из этого все зерновые культур и, считая, что они могли пойти на корм скоту, то средний годовой доход вотчинника с этого села составил бы 15 000 гривен. Эта сумма в полтора раза превышает контрибуцию с завоеванной Казани (1376 г.) и в пол­тора же раза превышает стоимость постройки крепостных стен в Пскове в 1421 г. (200 рабочих строили З'/г года). Совершенно ясно, что практического значения эти вычисления не имели, а являлись они, по всей вероятности, учебным пособием для приобретения навыков в хозяйст­венных подсчетах и в переводе натуры на деньги».

Вместе с тем статьи-задачи из «Русской Правды» — важный исторический источник, содержащий данные о древнерусской «кунной» денежной системе, по которым она реконструируется: 1 гривна = 50 резанам = 20 ногатам. Поскольку к XIII в. на Руси выходит из употребле­ния эта денежная система, то рассматриваемые ста­тьи-задачи должны были появиться до этого времени.

Задачи с пересчетом натуры на деньги из «Русской Правды» в математическом отношении изучались неодно­кратно. Итог в основном был неутешительным. Он сво­дился к установлению обилия неточностей и несообразно­стей в числах. Тем не менее, за наслоением кажущихся несообразностей советские математики Б. В. Гнеденко к А. П. Юшкевич разглядели определенное рациональное содержание. Они открыли в задачах интересную черту: в тех случаях, когда числовые данные не были слишком искажены, в основе условия проявлялась геометрическая прогрессия со знаменателем 2.

Бросается в глаза, что наряду с большим количество»неверных числовых данных в задачах содержатся почтибезукоризненные результаты, если они касаются сведенийо денежной системе.

Обычно ученые сортировали числовой материал дополнительных статей «Русской Правды» по задачам в целом. О вались заслуживающими внимания те задачи, условия и числовые данные в которых имели определенное завер­шенное смысловое содержание. Таких задач оказалось маю одна из них воспроизведена выше. Подавляющее большинство задач оказывалось забракованным вместе с содержащимся в них числовым материалом. А нельзя ли поступить так: выбрать во всех упражнениях надежный материал, касающийся финансовой стороны, и проанали­зировать его независимо от условий задач?

Результат исследования оказался следующим. Пе­реводу натуры на деньги посвящены 8 вариантов под­счетов. Выделенные варианты подразделя­ются на две группы. К первой относятся 4 варианта, для их выполнения достаточно одной математической операции: умножения на 1, удвоения (умножения на 2), раздвоения (деления пополам) и утроения (умножения на 3.) Ко вто­рой группе отнесены варианты подсчетов (их также че­тыре), которые выполняются посредством последователь­ности двух—четырех современных арифметических опе­раций, из которых по крайней мере одна связана с дей­ствием деления. В соответствии с математическим суще­ством, первую группу условно можно назвать группой простейших подсчетов, а вторую — группой усложненных подсчетов.

Слова «умножение на 1» условно обозначают при­менение нумерационных навыков с заменой наимено­ваний.

Например, при стоимости коровы в одну гривну 56 коров будут стоить 56 гривен. С точки зрения представлений, обусловленных нашей привычкой к вычислениям на бу­маге, видимой связи между обеими группами подсчетов не обнаруживается. Однако разделение именно на выде­ленные группы в средневековом источнике может быть вовсе не случайным. Что, если пересчитать варианты на абаке саламинского типа? Если обнаружится между 1-й и группами подсчетов органическая связь, то ведь это может быть основой доказательства, что данные задач из «русской Правды» просчитывались на абаке архаичного

Деление на 2 (раздвоение)

Умножение на 3 (утроение)

Группа 2

Умножение на 1 (стоимость в резанах), деление на 50 (стоимость в гривнах с ос­татком в резанах) Умножение на 10(стоимость в резанах), деление на 50 (стоимость в гривнах с остатком в резанах) Умножение на 6 (стоимость в ногатах), умножение на 5/2 ила деление на 2/5 (стоимость в резанах), де­ление ц_а 50 (стоимость в гривнах с остатком в ре­занах)

Умножение на 30 (стои­мость в резанах),

деление на 50 (стоимость в гривнах с остатком в резанах).

По-видимому, надо начать с анализа структуры под­счетов 1-й группы в соответствии с особенностями средне­вековых арифметических представлений. А затем — по­пытаться разобраться в структуре подсчетов 2-й группе на основе данных такого анализа.

К структуре средневековых арифметических действий» первая группа Подсчетов, выделенных из состава древне­русских математических задач, имеет следующее отноше­ние Для «умножения числа на единицу» достаточно знать нумерацию, т. е. способ письменной записи числа. Вы­полнению 'соответствующей математической процедуры посвящены варианты денежных подсчетов, связанных с ценой товаров в одну гривну: если количество единиц товара (стога сена, коровы, кобылы и т. д.) равно а, то стоимость их будет равна а гривнам.

Аналогично обстоит дело с вариантами подсчетов на умножение и деление на 2 (т. е. на «удвоение» и «раз­двоение»), связанных с ценой товаров в 2 гривны (труд батрачек, взрослые коровы) и '/2 гривны (пчелы, свиньи и др.). Если количество единиц товара равно а, то стои­мость в случае «удвоения» будет равна 2а гривен, а в случае «раздвоения» а/2 гривен. Применительно к древне­русским задачам умножение на 3 можно интерпретиро­вать так. Если количество товара (взрослые кобылы) равно а, то стоимость его по цене в три гривны за еди­ницу товара будет равна а + 2а = ?а гривен. Этот случай имеет прямое отношение к средневековым арифметиче­ским действиям «нумерации» и «удвоению», причем но­вое действие — «сложение» — вводится на основе уже из­вестных, что методически целесообразно, ибо при этом действия объединяются единым вычислительным процес­сом.

Таким образом, структура подсчетов 1-й группы сво­дится к процедурам, которые в средневековье выступали в качестве арифметических действий (нумерация, удвое­ние и раздвоение) с их обобщением, условно называемым «утроением». В какой степени связана структура подсче­тов 2-й группы с этими операциями?

Вторая группа начинается с варианта подсчетов при цене в одну резану (руно, сыр). Если число единиц то­вара, продаваемого по резане, удвоить и затем записать в виде десятичной дроби, то получится такой же резуль­тат, как при делении на 50. (При этом может получиться «удвоенный» остаток резан.)

Таким же образом все варианты подсчетов, выделен­ных во вторую группу, можно свести к операциям первой группы: нумерации, удвоению, утроению. В отличие от 1-й группы подсчетов эти действия во 2-й группе выступают в комбинациях с уменьшением результата в 10 или 100 раз. При этом результат получается в гривнах с воз­можным остатком в «удвоенных» резанах, поэтому дли получения остатка просто в резанах нужно осуществит), еще раздвоение (Приложение3).

При изучении дополнительных статей Карамзинской группы списков «Русской Правды» историки (Д. И. Про­зоровский, Н. П. Бауер) не могли понять структуру одной из статей, где приводился обобщенный итог, использующий результаты ряда других статей-задач, в качестве суммы дохода от вотчины. Историков ставило в тупик, что частные результаты, которые суммировались, но были найдены верно.Кроме того, Д. И. Прозоровский обратил внимание на то, что если сложить приводящиеся в задачах итоговые денежные суммы (их 14) в гривнах и резанах, тополучится точно такой же результат, какой указан в од­ной из задач (№ 63): 179 394 гривны 31 резана — в ка­честве дохода от всего хозяйства, кроме зерновых.

Н. П. Бауер к этому добавил, что если подсчет дается для определения дохода от хозяйства, то из него надо исключить оплату труда батрачек, который должен идти по статье расходов.

На основе этого можно заключить, что те люди, кто использовал задачник, вероятно, не вдавались особенно в хозяйственный смысл упражнений, в частности, по их принадлежности к статьям дохода или расхода. К зада­чам обращались, по-видимому, из-за числовых данных, позволявших производить вычислительные операции по переводу натуры на деньги с пересчетом одних денежных фракций в другие. Если исходить из представления, что древнерусские статьи-задачи, кроме обучения вычисли­тельной математике, предназначались для обучения конкретным навыкам хозяйственной деятельности, то придется признать их непригодность для этого. Ибо даже наи­менее уязвимая в хозяйственном отношении задача курьезна по своей бесхозяйственности, так как в ней сре­ди дохода указана сумма (оплата труда батрачек), кото­рая должна идти по статьям расхода.

Заключение

В принципе, каждый, кто знал древнерусскую нуме­рацию и умел считать па абаке, мог научить этому и других. Но не каждый из тех, кто владел основами сред­невековой арифметики, мог взяться за составление сбор­ника упражнений для обучения на абаке, подобного до­полнительным статьям-задачам «Русской Правды». Среди людей, владевших арифметическими навыками, были специалисты, имевшие интерес к арифметике. Тем не ме­нее нет оснований для вывода о том, что на Руси была особая категория средневековых профессионалов, кото­рые только и занимались, что вычислительной деятель­ностью. По-видимому, основы арифметики преподавали те же учителя, которые обучали чтению и письму. Меры, используемые при вычислениях, применялись и для обу­чения грамоте.

Список использованной литературы

1. Р.А.Симонов. Математическая мысль Древней Руси.

1. Глейзер Г.И. История математики в школе.- М.:Просвещение,1981.

2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики.- М.: Просвещение, 1989.

3. Кожухов И.Б. Математика: справочник – 2 издание, - М: Махаон, 2007 г. – 352 с.

4. Легдон Н., Снейт Ч. С математикой в путь.- М.: Педагогика, 1987.

5. Пейффер Ж. «Пути и лабиринты: Очерки по истории математики». – М: Мир, 1986 – 43 с.

6. Занимательные рассказы о математике: Сост.: Смирнов Ю.И.-СПб.: ИКФ «МиМ-Экспресс»,1995.

7. Математика: Большой энциклопедический словарь. / Редакция Ю.В. Про-хоров. – М. 1998 – 848 с.

8. Математика от «А» до «Я» энциклопедический словарь. – М. Советская педагогика, 2001 – 512 с.

9. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи.- М.: АО «Столетие», 1994.

10. Энциклопедический словарь юного математика: Сост.: Савин А.П.- М.: Педагогика, 1985.

МБОУ "Местерухская СОШ"

Проект

НА ТЕМУ:

"МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕЙ РУСИ"

ПОДГОТОВИЛА: Рашидова Пирдавус Асильдеровна,9 кл

Учитель: Таймасханов А.О.