Презентация по математике на тему:"Цепные дроби: скрытая красота".

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНОЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ПАЛЛАСОВСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ»

«Цепные дроби: скрытая красота.»

Выполнила:

Сапаргалиева Диана Албековна студентка группы 1ТВ9

Руководитель:

Низамова Гульнара Ахмедовна преподаватель математики

2016-2017 учебный год

Актуальность данной темы состоит в том, что она интересна своим применением разнообразных задач. Цепные дроби – это вид действительных чисел. Действительные числа однозначно отображается цепными дробями. Основное значение заключается в том, что зная цепную дробь, изображавшую действительное число, можно определить это число с достаточной точностью. Недостатком цепных дробей является то, что для них никаких практически приемлемых правил арифметических действий не существует. Поэтому широкого применения они не получили.

Объект исследования – дроби.

Предмет исследования – значение цепных дробей.

Цель – изучение истории цепных дробей и применение их при решении заданий.

Задачи :

- изучить историю возникновения цепных дробей ;

- исследовать свойства цепных дробей и возможные действия, производимые с ними ;

- изучить способы решения заданий с данными дробями;

- найти алгоритмическую структуру, работающую по принципу цепной дроби;

- выяснить возможность геометрического изображения цепных дробей;

- выяснить возможность применения цепных дробей в других науках .

Введение

• В процессе работы я пытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.
• Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бом-белли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение. Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Ничто не нравится, кроме красоты, в красоте – ничто, кроме форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях – ничто, кроме числа.

Аврелий Августин, христианский теолог и философ

Историческая справка

Леонард Эйлер

швейцарский, немецкий и российский 

математик и 

механик

(1707-1783).

Христиан Гюйгенс

нидерландский механик, физик, математик,

  астроном и 

изобретатель

(1629-1695)

Рафаэль Бомбелли

итальянский математик

(1526-1572)

Определение

Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида

Свойства

1. Всякое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби. Числа, входящие в цепную дробь, называются неполными частными . Иррациональные числа разлагаются в бесконечные цепные дроби.

2. Обрывая цепную дробь, можно получать очень хорошие рациональные приближения к данному числу, которые называются подходящими дробями.

Подходящая дробь – это дробь, которая получается при обрыве бесконечной цепной дроби.

Для числа π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, …]

Первые подходящие дроби – это самые известные приближения:

Реализация алгоритма перевода цепной дроби в действительное число

Программа запрашивает у пользователя знаменатель b и количество вложений n цепной дроби вида

Преобразовывает ее в число и выдает результат в виде десятичной дроби .

Реализация алгоритма перевода цепной дроби в действительное число

Program TO_NUMBER;

var n, k: integer;

b:real;

begin

write (' введите знаменатель дроби'); read (b);

write (' введите кол-во вложений '); read (n);

for k:=1 to n do b:=1+1/b;

write (' искомое число = ', b); end.

Результаты работы программы

Цепная дробь преобразована в десятичную.

Ошибок не наблюдается.

+ Программа работает корректно.

– Результат представлен в виде десятичной дроби. В случае ее бесконечности компьютер округляет результат.

Реализация алгоритма разложения действительного числа в цепную дробь

Программа просит пользователя ввести число в виде десятичной дроби. Преобразовав его, выдает результат вида

Program TO_FRACTION;

var a: array[1..100] of integer;

k, n: integer; x:real;

begin

write (' введите число '); read (x);

k:=1; a[1]:=trunc(x); k:=2;

while frac(x)0 do

begin

x:=1/frac(x) ; a[k]:=trunc(x); k:=k+1;

end;

n:=k; write (' искомое число x = [');

for k:=1 to n do write (a[k],',');

write (']');

end.

Реализация алгоритма разложения действительного числа в цепную дробь

Результаты работы программы

1.8 = [1,1,4,0,]

1.6 = [1,1,1,1,1,0,0,]

1.65 = [1,1,1,1,5,1,75350303,2,3,1,1,0,0,]

7.3 ошибка 101 – выход за пределы размерности массива

2.5 = [2,2,0,]

4.75 = [4,1,3,0,0,]

Описание ошибок

• В большинстве случаев из-за округления бесконечных периодических десятичных дробей происходит накопление погрешности.
• В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции trunс().
• В некоторых случаях зафиксирована некорректная работа функции frac().

Алгоритмическая структура «Рекурсия»

Геометрическое представление цепной дроби

Бенуа Мандельброт

– отец фракталов

французский математик, профессор математических наук, почетный преподаватель Йельского Университета, научный сотрудник компании «IBM», Баттельский член Тихоокеанской Национальной лаборатории.

(1924 - 2010 )

Заключение

• В процессе работы над проектом я изучила много литературы о цепных дробях, научилась использовать их при вычислении. Также в процессе работы я раскрыла свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.
• В данном проекте работа показывает значение цепных дробей в математике. Зная цепную дробь, изображавшую действительное число, можно определить это число с достаточной точностью, успешно применять к решению неопределенных уравнений. Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения.
• Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределённых уравнений. Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций.
• Цель своей работы считаю достигнутой, так как в ходе исследования мною была: изучена история цепных дробей и применение их при решении заданий.
• А в настоящее время цепные дроби находят всё большее применение в вычислительной технике, и позволяют строить эффективные алгоритмы для решения задач.

Спасибо за внимание!