Презентация по математике на тему:"Треугольники с целочисленными сторонами".

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ТЕХНИКУМ» ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ПАЛЛАСОВСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

НА ТЕМУ:

«Треугольники с целочисленными сторонами»

студента 1 курса Кривоногих Константина Алексеевича

группы 1МСХ9

Научный руководитель:

Низамова Гульнара Ахмедовна

Преподаватель математики

ВВЕДЕНИЕ

ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

- это треугольник, длины всех сторон которого выражаются целыми числами. Рациональный треугольник можно определить как треугольник, стороны которого являются рациональными числами

АКТУАЛЬНОСТЬ:

Результаты, полученные при исследовании целочисленных треугольников будут интересны как специалистам в области элементарной геометрии, так и студентам при поиске нестандартных способов и методов решения задач, связанных с теорией целых чисел

ЦЕЛЬ :

- доказать, что сложные треугольники Герона состоят из двух компонентных треугольников Пифагора, или из них исходящих, других не существует (задача).

ЗАДАЧИ:

- рассмотреть основные свойства целых треугольников;

- изучить треугольники Герона, целочисленные треугольники на двумерной решетке;

- рассмотреть целочисленные треугольники со специфичными свойствами углов, с целым отношением радиусов описанного и вписанного окружностей .

Основные свойства Целочисленных треугольников с заданным периметром.

Любая тройка положительных чисел может стать сторонами треугольника, необходимо лишь удовлетворение неравенства треугольника — самая длинная сторона должна быть короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка задаёт единственный треугольник. Так что число целочисленных треугольников с периметром p равно числу разбиений p на три положительные части, удовлетворяющие неравенству треугольника. 

 c и a ≤ b ≤ c. Число целочисленных треугольников с данной наибольшей стороной c, вершины которого лежат на или внутри полуокружности диаметра c, равно числу троек (a, b, c)." width="640"

Целочисленные треугольники с заданной большей стороной .

Число целочисленных треугольников с заданной наибольшей стороной c равным числом троек (a, b, c), таких, что a + b  c и a ≤ b ≤ c.

Число целочисленных треугольников с данной наибольшей стороной c, вершины которого лежат на или внутри полуокружности диаметра c, равно числу троек (a, b, c).

Площадь целочисленного треугольника

По формуле Герона, если T — площадь треугольника, а длины стороны равны a, b и c, то поскольку все множители под знаком корня в правой части формулы являются целыми числами, все целочисленные треугольники должны иметь целочисленное значение величины.

УГЛЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

По теореме косинусов любой угол целочисленного треугольника имеет рациональный косинус. Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию, то один из его углов должен быть 60°. 

ДЕЛЕНИЕ СТОРОНЫ ВЫСОТОЙ

Любая высота, опущенная из вершины на противоположную сторону или её продолжение, делит эту сторону (или продолжение) на отрезки рациональной длины.

Треугольники Герона

Геронов треугольник — это треугольник с целочисленными сторонами и целочисленной площадью. Любой геронов треугольник имеет пропорциональные стороны.

b=m(+)

с=(с+m)(mn-)

Полупериметр = mn(m+n)

Площадь = mnk(m+n)(mn-)

для целых m , n и k , удовлетворяющих условиям

gcd(m,n,k)=1

mn/(2m+n)

Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии

Треугольник с целочисленными сторонами и целочисленной площадью имеет стороны в арифметической прогрессии в том и только в том случае, когда стороны равны ( b – d , b , b + d ), где

b = 2()/g

d = ( - )/g

и где g является наибольшим общим делителем чисел -2mn и +2mn.

Множитель пропорции для треугольников в общем случае является рациональным числом , где q = gcd (a,b,с) сокращает сгенерированный геронов треугольник к примитивному, а растягивает этот примитивный треугольник до требуемого размера

  n . 2. a = (- ) + ( + ), b = 2mn ( + ) c = ( + )2, d = 2mn (- ) Полупериметр = m (m+n) ( + ), Площадь = mn (-) ( + )2 для взаимно простых чисел m , n с m    n . 3. (a,b,c,d) = (xz,yz,,xy)." width="640"

Общая формула

.

1. -b = 2mn

Полупериметр = m (m+n)

Площадь = mn (-)

где m и n взаимно простые целые и одно из них чётно, при этом m    n .

2. a = (- ) + ( + ), b = 2mn ( + )

c = ( + )2, d = 2mn (- )

Полупериметр = m (m+n) ( + ),

Площадь = mn (-) ( + )2

для взаимно простых чисел m , n с m    n .

3. (a,b,c,d) = (xz,yz,,xy).

Целочисленные треугольники на двумерной решетке

Двумерная решётка — это правильный массив изолированных точек, в которой при выборе одной точки в качестве начала координат (0, 0) все остальные точки будут иметь вид ( x, y ), где x и y пробегают по всем положительным и отрицательным целым числам.

Следовательно, можно утверждать, что целочисленный треугольник является героновым тогда и только тогда, когда его можно нарисовать на решётке .

Целочисленные треугольники со специфичными свойствами углов. с рациональной биссектрисой

Семейство треугольников с целочисленными сторонами a,b, c  и рациональной биссектрисой  d угла A задаётся уравнениями

a = 2( - )

k = (k - m)2

c = (k + m)2

d = с целыми k

Целочисленные треугольники с одним углом

Целочисленные треугольники с углом 60° (углы в арифметической прогрессии). У всех целочисленных треугольников с углом 60° углы образуют арифметическую прогрессию. Все такие треугольники подобны.

Целочисленные треугольники с углом 60° можно получить по формуле :

a = b = 2mn - c

со взаимно простыми целыми m , n и с 0 

Целочисленные треугольники с одним углом 120°

Целочисленные треугольники с углом 120° можно получить с помощью формулы

b = 2mn + c

со взаимно простыми целыми m ,  n и 0 

Заключение

В ходе выполнения исследования доказано, что сложные треугольники Герона состоят из двух компонентных треугольников Пифагора, или из них исходящих, других не существует (задача).

Однако, за исключением тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целочисленных треугольников, углы которого образуют геометрическую или гармоническую прогрессии.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ