ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

ПРАКТИКУМ

ПО РЕШЕНИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Содержание

Стр.

Введение …………………………………………………………………….. 2

1. Первоначальные сведения о задачах с параметрами ………………. 3

2. Методы решения систем алгебраических уравнений

с параметрами………………………………………………………… 5

2.1. Метод подстановки ……………………………………………….. 5

2.2. Метод алгебраического сложения уравнений…………………… 6

2.3. Метод разложения на множители……………………………….... 7

2.4. Метод введения вспомогательной переменной………………….. 8

3.6. Графический метод………………………………………………… 10

3 . Задачник практикум по решению систем алгебраических уравнений с

параметрами………………………….…………………………………….. 13

Литература…………………………………………………………………. 39

Введение

Профессиональное образование призвано готовить конкурентоспособных специалистов, свободно владеющих своей профессией и ориентирующихся в смежных областях деятельности, способных успешно адаптироваться, жить и работать в новом столетии. Кроме профессиональных знаний и умений, огромное значение уделяется профессионально важным качествам (ПВК). Среди этих качеств можно выделить коммуникативную и информационную культуру, способность к осознанному анализу своей деятельности, ответственность и др.

Важной составляющей подготовки специалистов среднего профессионального образования, базовой площадкой для формирования личности будущего специалиста являются общеобразовательные дисциплины. [18]

Математическое образование является существенным элементом формирования личности, способствует овладению универсальным математическим языком для естественно-научных предметов, овладению знаниями, необходимыми для существования в современном мире, развивает воображение, интуицию, формирует навыки логического и алгоритмического мышления.

В курсе математики уже привычными стали задания с параметрами. Одной из причин их активного проникновения в математику стало то, что одно из заданий в ЕГЭ по математики профильного уровня это либо уравнение с параметром, либо система уравнений с параметром. Данное задание повышенного уровня сложности.

Практика показывает, что задачи с параметрами представляют для обучающихся наибольшую сложность как в логическом, так и техническом плане, поэтому умение их решать дает возможность обучающемуся на экзамене получить дополнительные 4 балла и предопределяет успешную сдачу экзамена.

Решение уравнений и систем уравнений с параметром можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

Данный практикум поможет преподавателю готовящему обучающихся к сдаче ЕГЭ по математике профильного уровня, а так же обучающимся при самостоятельной подготовке к экзамену.

§1. Первоначальные сведения о задачах с параметрами

Определение: Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.[8, стр. 27]

Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во – первых, предполагаемая известность позволяет «обращаться » с параметром, как с числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничивается его неизвестностью.

Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из не отрицательности левой части уравнения не следует не отрицательность значений выражения a-1, и если, a-1

Что означает «решить задачу с параметром»? Естественно это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, систему уравнений, или систему неравенств, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значение параметра, при котором множество решений уравнения, неравенства, системы уравнений и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

В основном задачи с параметрами делятся на типы:

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т.д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратные задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д. [8, стр. 27-28]

2. Методы решения систем алгебраических уравнений с параметрами

При решении систем уравнений применяются различные методы: метод подстановки, метод алгебраического сложения уравнений (метод Гаусса), метод приведения системы к совокупности более простых систем (разложения на множители), метод введения вспомогательной переменной, графический метод, и т.д.

Применяя эти методы (при определенных условиях), мы заменяем исходную систему равносильной ей более простой системой, а затем решаем эту более простую систему (или совокупность более простых систем).

2.1. Метод подстановки. Этот метод позволяет сводить системы уравнений с двумя неизвестными к решению одного уравнения с одним неизвестным. Алгоритм решения систем уравнений методом подстановки заключается в следующем:

1. Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через x (или x через y).

2. Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо x) во второе уравнение. В результате получают уравнение с одной переменной.

3. Находят корни этого уравнения.

4. Воспользовавшись выражением y через x (или x через y) находят соответствующие значения y(или x).[10, стр. 159]

Пример 1. Решите систему уравнений в зависимости от параметра p

Решение. Из второго уравнения системы выразим переменную y

Полученное выражение подставляем вместо y в первое уравнение системы.

Решая первое уравнение системы

и преобразовав его, приходим к уравнению вида

получаем, что при p=-1, уравнение решений не имеет, при . Подставив найденное значение переменной x во второе уравнение системы получаем .

Ответ: при ;

при p=-1, решений нет.

2.2. Метод алгебраического сложения уравнений (метод Гаусса).

Вторым мощным методом решения систем уравнений является метод алгебраического сложения, при решении систем уравнений можно прибавлять к одному из уравнений системы другое уравнение той же системы, умноженное на некоторый множитель. В результате из двух уравнений с двумя переменными нужно получить одно уравнение с одной переменной.

Пример 2. Решите систему уравнений в зависимости от параметра a

[5, стр. 187]

Решение. Сложив первое уравнение со вторым, перейдем к равносильной системе

Эта система, в свою очередь, равносильна системе

Первое уравнение системы не зависит от параметра a, и имеется единственная пара чисел x=2, y=1, которая удовлетворяет этому уравнению. Значит, система совместна только в том случае, когда пара чисел (2; 1) удовлетворяет и второму уравнению системы, т. е. выполняется равенство -1+a=0. Отсюда заключаем, что только при a=1 данная система совместна.

Ответ: при a=1 {(2; 1)}, при система несовместна.

2.3. Метод приведения системы к совокупности более простых систем (разложения на множители).

Пример 3. Решите систему уравнений относительно параметра a

[12.стр.182]

Решение.

Заменим первое уравнение системы суммой уравнений системы, а второе уравнение – разностью. Получим систему, равносильную исходной системе:

или

Последняя система, в свою очередь, равносильна следующей совокупности четырех систем:

Из первой системы совокупности находим: - решение первой системы совокупности при любых значениях

Из второй системы совокупности получаем:

Здесь a=0 – контрольное значение параметра.

При a

При a=0, получаем:

Из третьей системы совокупности находим:

Здесь, как и в предыдущем случае, a=0 – контрольное значение параметра.

При a

При a=0, получаем:

Четвертая система совокупности симметрическая.

Будем ее решать введением новых переменных, полагая , получаем эта система имеет решение

Таким образом, мы приходим к следующей системе уравнений:

или

При a=0 – контрольное значение параметра.

При a

При a0, получаем:

Ответ: если a0, то (0; 0),

если a0, то (0; 0), , .

2.4. Метод введения вспомогательной переменной.

Пример 4. Решите систему уравнений в зависимости от параметра a

Решение.

Данная система является симметрической относительно переменных x и y. Будем ее решать введением новых переменных,

полагая , получаем, эта система имеет решение

Таким образом, мы приходим к следующей системе уравнений:

или

Видим, что a=0 – контрольное значение параметра.

При a

При a0, получаем:

Ответ: При a

При a0, (0; 0),

Пример 5. В зависимости от параметра a, решите систему

Решение.

В первом уравнение системы перенесем переменную y в левую часть уравнения, получим по теореме 4, данная система равносильна, квадратному уравнению Находим дискриминант данного уравнения,

1) Если , т. е. при , уравнение, а значит и исходная система решений не имеет.

2)Если , т. е. при , , исходная система имеет одно решение .

3)Если , т. е. при , , исходная система имеет два решения , .

Ответ: если , то ,

;

если , то ;

если , то решений нет.

2.5. Графический метод.

Под графиком уравнения g(x;y)=0 в прямоугольной системе координат понимается множество всех точек числовой плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

При графическом решении систем уравнений надо построить график каждого уравнения системы и по графику найти (точно или приближенно) координаты точек пересечения графиков. Это и будут решения (точные или приближенные) системы уравнений. Сколько точек пересечения у графиков – столько и решений у системы.

Пример 6. Найдите значения параметра a, при которых система уравнений

имеет ровно три решения.

Решение.

Второе уравнение системы запишем в виде

Второе уравнение системы описывает на плоскости пучок прямых с центром о(0;0). Из всех прямых пучка, согласно требованию задачи, выбираем только те прямые, которые пересекают график первого уравнения системы ровно в трех точках. Такой прямой из пучка будет прямая L. Теперь задача сводится к нахождению уравнения прямой L (рис 1).

Рис. 1

1).Дополнительным условием, характеризующим положение прямой L, следует считать то, что прямая L является касательной в точке C к графику функции . Это условие и позволит найти значение параметра a. Далее решение задачи принимает аналитический характер.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке , имеет вид

.

Составим уравнение касательной к графику функции в точке , где - абсцисса точки C.Заменим функцию на , так как на отрезке [2;3] их графики совпадают и .

, .

,

.

Найдем абсциссу точки , зная, что эта прямая из пучка, а значит, ее уравнению удовлетворяют координаты центра пучка (0;0).

, , , та как .

Итак, прямая L имеет уравнение . Следовательно, искомое значение параметра a есть число .

Ответ: .

Пример 7. Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений имеет единственное решение.

Решение.

Найдем корни второго уравнения, заметив, что оно зависит только от одной переменной. Сначала подсчитаем его дискриминант ;

.

Таким образом, получим корни второго уравнения системы т. е.

, откуда ; .

Один из этих корней не должен быть решением системы при поставленном условии задачи.

Найдем дискриминант первого уравнения системы . Потребуем, чтобы , т. е. от сюда .

Рассмотрим в координатной плоскости (x; a) графики функций заданных равенствами , (прямые), и (гипербола).

Число решений исходной системы совпадает с числом точек пересечения каждой прямой с гиперболой. Очевидно, что пересечение графиков возможно только при a, т. е. , то , или .

Ответ: , .

ЗАДАЧНИК- ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Системы алгебраических уравнений, решаемые методом подстановки.

1. Решите систему уравнений с параметром а

Решение.

Из второго уравнения системы выразим переменную x, и подставим полученное выражение в первое уравнение системы вместо переменной x, получим

Решаем первое уравнение

.

1. Если т.е. и a=1, то решением первого уравнения системы является любое действительное число y, тогда решением системы будут пары чисел (-3+2y;y) и (2-3y;y), где y любое действительное число .

2. Если т.е. и , то

Ответ: при и , (3a-1;1);

при , (-3+2y;y) , где ;

при a=1 , (2-3y;y), где .

2. При всех значениях параметра, а решите систему уравнений

Решение.

Из первого уравнения системы выразим переменную x, и подставим полученное выражение во второе уравнение системы вместо переменной x, получим

или

1. Если, а=5, то второе уравнение системы не имеет корней. В этом случае система не имеет решений.

2. Если а=-5, то решением второго уравнения системы является любое действительное число y. Тогда x=-50y-10, то есть решением системы является любая пара чисел (-50y-10; y), где y любое действительное число ().

3. Если, , то второе уравнение системы имеет единственный корень . Из первого уравнения системы вычислим значение x: . В этом случае система имеет решение .

Ответ: при а=5, решений нет;

при а=-5, (-50y-10; y), где ;

при , .

3. При каких значениях параметра a, система уравнений

не имеет решений.

Решение.

Из первого уравнения системы выразим переменную y, и подставим полученное выражение во второе уравнение системы вместо переменной y, получим, из второго уравнения системы находим переменную x

, или

Если , то и т.е. система не имеет решений.

Если , то т.е. система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: .

4. При каких значениях параметра a, система

имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Из первого уравнения системы выразим переменную , и подставим полученное выражение во второе уравнение системы вместо переменной , получим

Если , то система имеет бесчисленное множество решений.

Если , то и .

Для того чтобы система имела хотя бы одно решение необходимо и достаточно, чтобы т.е. .

Ответ: .

5. Определите количество решений системы

при всевозможных значениях параметра a.

Решение.

Преобразуем второе уравнение системы .

Воспользуемся методом замены переменной, из первого уравнения системы выразим и подставим во второе уравнение, получим .

,

,

,

.

1. Если , т. е. , то система решений не имеет.

2. Если , т. е. , , но по определению модуля число не отрицательное, значит, система решений не имеет.

3. Если , т. е. , .

- отрицательный корень.

, по определению модуля тогда

, , решая данное неравенство, получаем , получили систему неравенств , т.е. .

При , , по определению модуля тогда , , решая данное неравенство, получаем , получили систему неравенств , т.е. .

Ответ: если, то система имеет четыре решения;

если, , то решений нет.

Системы алгебраических уравнений, решаемые методом алгебраического сложения.

1. Решите систему уравнений с параметром a

[10, стр. 185]

Решение.

Предположим, что a=0 получим систему,

из которой следует, что при a=0 система уравнений не имеет решений.

Пусть . Тогда, умножив обе части второго уравнения системы на a и сложив их с соответствующими частями первого уравнения, получим

Если , то эта система, а следовательно, и исходная система уравнений не имеет решений.

Если , т.е. , и то, используя метод подстановки, находим

Ответ: при a=0, a=1, a=-2 решений нет;

при

2. Решите систему уравнений в зависимости от параметра p

Решение.

Умножив обе части второго уравнения системы на -1 и сложив их с соответствующими частями первого уравнения, получим

1. Если p=-2, то система решений не имеет.

2. Если , то

Ответ: при p=-2, то система решений не имеет;

при , .

Системы алгебраических уравнений, решаемые методом разложения на множители.

1. Решите систему уравнений с параметром a

[10, стр. 184]

Решение.

Поскольку , то отсюда приходим к системе

Данная система эквивалентна следующей совокупности систем уравнений:

Первая система совокупности имеет решение (a; a), (-a;-a) для любого значения . Вторую систему совокупности решаем методом подстановки.

Находим дискриминант второго уравнения , получаем, что данное уравнение имеет решение при a=0 y=0.Вторая система совокупности имеет решение (0;0).

Ответ: (a; a), (-a;-a) для любого значения .

2. Найдите все значения параметра a, при которых система

имеет бесконечное множество решений.

Решение.

1) из второго уравнения системы получаем, что .

Подставляя найденное значение параметра в первоначальную систему, получаем , из системы уравнений видим, что переменная y положительная, подставляя значение переменной x во второе уравнение системы получаем, , откуда y=y, т. е. система имеет бесконечное множество решений.

2) , откуда , т.е. система имеет единственное решение независимо от параметра a.

3) , откуда , т. е. как и во втором случае, система имеет единственное решение независимо от параметра a.

4) , из первого уравнения системы получаем, что a=0.

Подставляя найденное значение параметра в первоначальную систему, получаем данная система решений не имеет.

Ответ: .

3. При каждом значении параметра a решите систему

Решение.

Возведем обе части второго уравнения системы в квадрат и умножим на четыре

данная система равносильна совокупности систем

Ответ: (2a;a) и (-2a;-a).

4. Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений

имеет единственное решение.

Решение.

Система может иметь одно решение, если первое уравнение, которое, очевидно, является квадратным, будет иметь один корень, т. е. дискриминант будет равен нулю.

, , т. е. .

Найдем корни второго уравнения, заметив, что оно зависит только от одной переменной. Сначала подсчитаем его дискриминант ;

.

Таким образом, получим корни второго уравнения системы т. е.

, откуда ; .

Условие задачи сводится к решению следующей системы:

данная система равносильна совокупности двух систем

Очевидно, что первое уравнение системы не имеет решений, так как при любых значениях a. Поэтому совокупность равносильна системе:

Итак, найденные значения параметра , .

Подставляя найденные значения параметра в исходную систему, получаем две системы:

1)

2)

Второе уравнение первой системы имеет два корня , .Подставляем найденные значения в первое уравнение первой системы, получаем, что при система решений не имеет, а при решение одно. Таким образом, при первая система имеет решение .

Второе уравнение второй системы имеет два решения , . Подставляя найденные значения в первое уравнения второй системы получаем, что при система решений не имеет, а при имеет единственное решение. Таким образом, при вторая система имеет единственное решение .

Ответ: , .

В предыдущих задачах параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем «равноправная» с другими, присутствующими в задаче. К примеру, при таком взгляде на параметр запись задают функцию с двумя переменными.

5. Найдите все значения параметра a, при которых уравнения

и имеют общий действительный корень.

Решение.

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными x и a:

Решением этой системы будут пары вида (x; a), и очевидно значения второй переменной будет составлять ответ данной задачи. Имеем , первое уравнение системы разложим на множители

Последняя система равносильна совокупности трех систем:

Первая система совокупности решений не имеет.

Вторая система совокупности имеет решение (0; 0).

Решаем третью систему совокупности, выразим из первого уравнения переменную x и подставим полученное выражение во вторую систему, получаем,

При система имеет три решения: , , .

Ответ: , , .

Системы алгебраических уравнений, решаемые методом введения вспомогательных переменных.

1. Решите систему в зависимости от параметра а.

[12, стр.195]

Решение.

Будем решать данную систему методом введения новых переменных

В результате преобразований, получили систему

или

Последняя система равносильна совокупности двух систем

или

Решая, первую систему совокупности получаем:

Решая, вторую систему совокупности получаем:

т. е система решений не имеет.

Ответ: при , (0; а), (а; 0).

2. При каких значениях параметра a, система

имеет ровно два решения.

Решение.

Заменим , получим систему

подставим выражение 2a+2 вместо переменной u во второе уравнение системы и выразим переменную v.

перейдем к исходным переменным x и y,

обе части второго уравнения возведем в квадрат,

воспользовавшись теоремой 4, запишем уравнение равносильное данной системе

, .

Для того чтобы первоначальная система имела ровно два решения, необходимо чтобы дискриминант квадратного уравнения был равен нулю

Ответ: .

Системы алгебраических уравнений, решаемые графическим методом.

1.Найдите значения параметра k, при которых система уравнений

[1, стр. 113]

имеет решение.

Решение.

Рис. 1

- уравнение пучка прямых с центром . Выберем из пучка только те прямые, которые будут пересекать график . Такими прямыми являются: касательная (1) к графику в точке B; прямая, проходящая через точку 0(0;0) (2), и все прямые, «расположенные» между ними. Задача сводится к нахождению угловых коэффициентов выделенных прямых.

1) 0(0;0) принадлежит прямой OA из пучка, тогда координаты точки 0 удовлетворяют уравнению

.

Отсюда

, .

2) Так как прямая AB- касательная к графику , то точка B является единственной общей точкой. Исходя из этих условий, найдем единственное решение системы уравнений

Где , (, так как ).

, .

Найдем такое , чтобы уравнение имело единственное решение. Рассмотрим случай, когда дискриминант равен нулю.

,

, .

или ( постороннее решение, так как ).

Угловые коэффициенты других выделенных прямых будут изменяться от до .

Ответ: .

2. Найдите значения параметра a, при которых система уравнений

[3, стр. 20]

имеет единственное решение.

Решение.

Второе уравнение системы представим в виде

Рис. 2

Уравнение y-5=a(x-0) задает на плоскости пучок прямых

с центром A(0;5) (рис. 2)

Проведем прямые из пучка прямых, которые будут параллельны сторонам «уголка», являющегося графиком функции . Эти прямые (1 и 2) пересекают в одной точке график . Прямая (1) будет задаваться уравнением , а прямая (2) будет задаваться уравнением .

Будем внимательными и заметим, что всякая прямая из пучка, расположенная «между» прямыми (1) и (2), также будет пересекать график в одной точке. Угловые коэффициенты всех таких прямых будут принадлежать (-3;3).

Следовательно, искомые значения параметра a принадлежат [-3;3].

Ответ: .

3. При каких значениях параметра a, система

имеет, три различных решения. [1, стр. 118]

Решение.

Рис.3.

Рассмотрев первое уравнение системы как квадратное относительно y легко разложить его левую часть на множители. Имеем ,

график этого уравнения – объединение двух парабол – изображен на рис.3.

Через точку A(4;0) проходят все прямые семейства . Выделим те

из них, которые имеют с графиком первого уравнения три общие точки. На рисунке это прямые AC, AD, две касательные, проведенные из точки A к параболе (на рисунке показана одна- AB). Вторая касательная, разумеется, не вертикальная прямая, поэтому она обязательно «догонит» параболу еще в двух точках. Аналогичный результат дадут касательные, проведенные из точки A к параболе , одна из которых изображена на рисунке в виде прямой AF.

1) Так как прямая AB одна из двух касательных к графику , то исходя из этих условий, найдем единственное решение системы уравнений

, .

Найдем такое a, чтобы уравнение имело единственное решение, для этого рассмотрим случай, чтобы дискриминант был равен нулю

,

.

2) Так как прямая AF одна из двух касательных к графику , то исходя из этих условий, найдем единственное решение системы уравнений

, .

Так же как в первом случае найдем такое a, чтобы уравнение имело единственное решение

,

.

3) Точка M (-1; 3) принадлежит прямой AD из пучка, тогда координаты точки M удовлетворяют уравнению. Отсюда , .

4) Точка 0(0; 0) принадлежит прямой AC из пучка, тогда координаты точки 0 удовлетворяют уравнению. Отсюда , .

Ответ: , , , .

4.Сколько решений имеет система

в зависимости от параметра a.

Решение.

Рис. 4.

Прежде всего, стоит отметить, что при система решений не имеет. При фиксированном графиком первого уравнения является квадрат с вершинами (a;0), (0;-a), (-a;0), (0;a). Таким образом, членами семейства является гомотетичные квадраты (центр гомотетии – точка 0(0;0)). Графиком функции , является окружность с центром в начале координат и радиусом равным единице рис.4.

Очевидно, если квадрат находится внутри окружности, то система решений не имеет. С увеличением a(периметр квадрата увеличивается) решение появляется лишь в тот момент, когда квадрат окажется вписанным в окружность. В этом случае (a=1) решений будет четыре. Далее, при каждая сторона квадрата имеет две общие точки с окружностью, а значит, система будет иметь восемь решений. При окружность окажется вписанной в квадрат, т. е. решений окажется снова четыре. Очевидно, что при система решений не имеет.

Ответ: если a или , то нет решений;

если a=1 или , то решений четыре;

если , то решений восемь.

1. В зависимости от параметра a, определите количество решений у системы

Решение.

Рис. 5.

Так же как и в предыдущей задачи, стоит отметить, что при система решений не имеет. При фиксированном второе уравнение системы задает семейство окружностей радиуса с центром в начале координат (при a=0 окружность вырождается в точку). Графиком первого уравнения является квадрат с вершинами (1;0), (0;-1), (-1;0), (0;1) рис. 5.

Если окружность находится внутри квадрата, т. е. , или квадрат полностью находится внутри окружности, т. е. , то система решений не имеет. При или при , квадрат имеет с окружностью четыре общие точки. При окружность с каждой стороной квадрата будет иметь две общие точки, а значит, система будет иметь четыре решения.

Ответ: если или , то решений нет;

если или , то четыре решения;

если , то восемь решений.

6. При каких значениях параметра a, система

имеет ровно два решения.

Решение.

перепишем исходную систему в виде, где по необходимости .

Рис.6.

Первое уравнение системы задает семейство концентрических окружностей с центром в начале координат, а второе – пару параллельных прямых: и . Тогда существование у системы ровно двух решений означает существование значения параметра a, при котором указанные прямые касались бы одной из окружностей семейства.

- система имеет одно решение, преобразуем ее к виду

, данная система равносильна уравнению

, при условии, что . Избавимся от иррациональности, возведением обеих частей уравнений в квадрат,

- данное квадратное уравнение должно иметь одно решение, т. е. дискриминант должен быть равен нулю.

,т.е. откуда .

данная система имеет одно решение, когда .

Ответ: .

7. Сколько решений имеет система в зависимости от параметра c.

Решение.

Явно, что количество корней второго уравнения системы равно числу решений самой системы. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно параметра c.

Получаем совокупность

Теперь обращение к координатной плоскости x0c делает задачу легко разрешимой рис. 7.

Рис. 7.

Координаты точек пересечения парабол найдем, решив уравнение . Отсюда , подставляем в уравнение , находим - вершина параболы.

Ответ: если , то решений четыре;

если , то решений два;

если , то решение одно;

если , то решений нет.

Список используемой литературы

1. Амелькин В.В. Задачи с параметрами. Справочное пособие по математике/ В.В Амелькин, В.Л Рабцевич. - Минск; 1996.-153с.

2. Болтянский В.Г. Лекции и задачи по элементарной математике./ В.Г. Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И. Шабунин. - 2-е изд., – М., 1974г., 576с.

3. Васильева В., Забелина. С. Уравнения и системы уравнений с параметром.//Математика,2002№4.

4. Васильева В.А. Методическое пособие по математике для поступающих в вузы./ В.А. Васильева , Т.Д. Кудрина, Р. Н. Молодожникова. – М.: Изд-во МАИ,1991.-304с.: ил.

5. Виленкин Н.Я. Алгебра: учеб. для учащихся 9 Кл. с углубл. Изучением математики / Н.Я Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев. – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2009. – 367 с.: ил.

6. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 11 Кл.: Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики /Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд. – 10-е изд., стереотип. – М.: Мнемозина, 2010 – 288 с.:ил.

7. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике.-25-е изд.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,1978-335 с.

8. Голубев В., Гольдман А.. О задачах с параметром.//Математика, 2011 №23.

9. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами/П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С.Якир. – М.:1998.

10. Громов А.ИМатематика для поступающих в вузы.: Методы решения задач по элементарной математике и началам анализа./ А.И. Громов, В.М. Савчин. – Изд. Российского университета дружбы народов, 1997.

11. Креславская О. Задачи с параметром в итоговом повторении.//Математика, 2004№18.

12. Литвиненко В.Н. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. – 2-е изд., прераб. и доп. – М.: Просвещение, 1991. – 352 с.: ил.

13. Мордкович А. г. Алгебра и начала анализа.10-11 кл .: Учеб. Для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000. -336 с.: ил.

14. Муравин. Г. Уравнения, неравенства и их системы. //Математика,2003№4.

15. Мухамедьянова Р. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с параметрами.//Математика,2004№3.

16. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – 6-е изд. – М.: Высшая школа, 1962. – 564 с.

17. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.- 7-е изд. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984-336 с.

18. Колесник Н. Е. Проектирование содержания общеобразовательных предметов для формирования профессионально важных качеств обучающихся СПО // Молодой ученый. — 2012. — №7. — С. 281-283.

11