Олимпиада?а о?ушыларды ?алай дайындаймыз?

Олимпиадаға оқушыларды қалай дайындаймыз?

Ғылым мен техниканың даму дәрежесі мектептерде математиканы оқытуды қазіргі заман талаптарына сәйкес жргізуді қажет етеді. Сондықтан мектепте математикаға оқушылардың қызығушылығын арттыру, талантты жастарды тәрбиелеу және оларды логикалық ойлауға үйрету қажеттілігі сезілуде. Математика бойынша өткізілетін сыныптан тыс жұмыстардың нәтижесін байқау, жас математикалық таланттарды анықтау, оларға қамқорлық ету мақсатында Республика мектептерінде әр – түрлі математикалық олимпиадалар өткізу дәстүрге айналды.

Математикалық олимпиадаларды өткізудегі негізгі мақсат - оқушыларды терең ойлауға үйрету, олардың арасынан талантты жастарды іріктеп ,таңдап алу болып табылады.

Оқушыларды математикалық олимпиадаға даярлауда және оны өткізуде мектеп мұғалімдері оқулықтардың аздығынан көптеген қиыншылықтарға кездесіп жүр. Математикалық олимпиадалар жөнінде қазақ тілінде жарық көрген құралдар әлі де болса өте тапшы. Жасыратыны жоқ, мектеп оқулықтарынан өзге басқа құралдарды пайдаланбаған оқушы олимпиада жарысында ешқандай жақсы нәтиже көрсете алмайды.

Математика пәні мұғалімі әр жылдардағы олимпиадалардың материалдарын жинақтап, оқушыларға математикалық үйірме уақытында шығартса, оқушыларға аз да болса көмек болар еді. Осы мақсатта 2012-2013 оқу жылындағы Республикалық математикалық олимпиадасының аудандық кезеңінің кейбір есептерінің шешімдерін көрсетіп отырмын.

8 сынып

№5. Сегізінші сыныптың бір оқушысы кез келген квадратты одан кіші он квадратқа бөлшектей аламын дейді (кіші квадраттардың ішінде өлшемдері тең болатын квадраттар кездесуі мүмкін). Ол қателесіп тұрған жоқ па?

Шешуі. Кез келген квадратты n2 болатын n жұп кіші квадраттарға бөлуге болады. Ол үшін квадраттың әрбір қабырғасын n/2 тең бөліктерге бөліп, n² кіші квадраттар аламыз. Енді үлкен квадраттың екі іргелес қабырғасының бойындағы кіші n-1 квадратты қалдырамыз да, қалған квадраттарды құрап тұрған сызықтарды өшіреміз. Сонда n-1 кіші, бір үлкен квадрат пайда болады. Осылайша кез келген квадратты кіші 10 квадратқа бөлуге болады.

Жауабы: жоқ, оқушы қателеспеген.

9 сынып

№1. А=_(_) және В=_(_) сандарын салыстырыңдар.

Шешуі.Егер (А-В)0 болса, АВ болады. Егер (А-В)

_



А-В0. Демек, АВ.

Жауабы: АВ.

№2. _ санының ондық жазбасында 9 цифры қанша рет кездеседі?

Шешуі. 1). 9³=729, 9 цифры біреу.

2). 99³=970299, 9 цифры үшеу.

3). 999³=_7002_ , 9 цифры (2+3)=5 рет.

…………………………………………………….

100). _³=_7_2_, 9 цифры (99+100)=199 рет.

Жауабы: 199 рет.

№5. Кеше ойын алаңындағы ұл балалардың саны қыз балаларға қарағанда біржарым есе көп болды. Бүгін ұл балалардың саны қыз балалардың санының квадраты болып тұр және, кешегімен салыстырғанда, ұл балалардың саны 6-ға, ал қыз балалардың саны 7-ге кеміген. Кеше ойын алаңында барлығы қанша бала болған еді?

Шешуі. Ойын алаңындағы кешегі қыз балалардың санын х деп белгілесек, ұл балалардың саны 1,5х болады. Бүгінгі ұлдардың саны (1,5х-6) болса, қыздардың саны (х-7). Теңдеу құрамыз:

1,5х-6=(х-7)².

Осы теңдеуді шешіп, табатынымыз:

1,5х-6=х²-14х+49,

х²-15,5х+55=0, екі жағын 2-ге көбейтсек

2х²-31х+110=0,

D=961-880=81,

х_1,2=_=_,

5,5 бөгде, себебі N-ге тиісті емес. Демек, х=10 (қыздар), 1,5х=15 (ұлдар),

барлығы 10+15=25 бала.

Жауабы: 25 бала.

№6. Кез келген натурал n үшін _ тепе-теңдігі орындалатынын дәлелдеңдер.Мұнда k!=_

Шешуі. Математикалық индукция әдісімен дәлелдейміз.

n=1 болғанда, _,

1=1 орындалады.

n=k болғанда

_ орындалады деп,

n=k+1 болғанда

_ екенін дәлелдейміз.

Демек, _.

Есептің тұжырымы дәлелденді.

10 сынып

№2. Ұлының туған күнін тойлап жатып, әкесі оның атасына былай деп тіл қатты:

-Бүгін ұлымның жасы, менің жасым және сіздің жасыңыз- бәрі жай сандар.

-Иә, ал бес жылдан соң біздің жастарымыздың бәрі толық квадраттар болады,- деп атасы жауап қайтарды.

Немересі туған кезде атасы қанша жаста еді?

Шешуі. Немересі a жаста, әкесі b жаста, атасы c жаста делік.

a,b,c-жай сандар, сонда

a+5=n², b+5=m², c+5=k² болады. Мұндағы n,m,k-жұп сандар, себебі тақ сандардың квадраттары тақ сан болады да, 5-ті азайтқанда жұп сан шығады. Атасының жасынан бастап есептейік. k ² 64-ке немесе 100-ге тең болуы мүмкін. k²=64 болса c=64-5=59 болады. 59-жай сан, есептің шартын қанағаттандырады. (k²=100 бола алмайды,себебі с=95 құрама сан болып есеп шартын қанағаттандырмайды). Енді немересінің жасын есептейік. Логикаға сүйенсек, n²=16 болады, a=16-5=11, 11 жай сан. Демек, атасы 59 жаста, немересі 11жаста.Сонда немересі туылғанда атасы 59-11=48 жаста болған. Әкесінің жасын есептеу үшін m²=36 деп қана алуға болады. Сонда b=31 әкесінің жасы шығады.

Жауабы: 48 жаста

11 сынып

№1.Шеңберге іштей сызылған трапецияның бүйір қабырғаларының ұзындықтарының қосындысы 4_, биіктігі 6, ал ауданы 72 болса, шеңбердің радиусын анықтаңдар.

Шешуі.

Егер АВД үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусын тапсақ, трапецияға сырттай сызылған шеңбердің радиусы болады. АВСД трапециясы шеңберге іштей сызылған болғандықтан тең бүйірлі, яғни АД=ВС=2√10.

_АЕД: _Е=90_,ДЕ=h=6, АД=2√10, АЕ²=АД²-ДЕ²=40-36=4, АЕ=2.

_

СД=10, АВ=14, ВЕ=12.

_ВДЕ: ВД²=ВЕ²+ДЕ²=144+36=180, ВД=6√5.

_

Жауабы:5√2.

№2. Бізге _ амалының мынадай қасиеттері белгілі:

_ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_

Сонымен,

_

Жауабы: 955.

№5._ теңдеуін теріс емес бүтін сандар жиынында шешіңдер.

Шешуі. _ қосылғышын қарама-қарсы таңбамен теңдеудің сол жағына шығарамыз.

_

_

_

_



_

a=2, a=3

_

_

b=2, b=0.

Сонда a=2, b=2 және a=3, b=0 сан жұптары берілген теңдеудің шешімі болатынына оңай көз жеткізуге болады.

2).Егер _

_ теңсіздіктер жүйесінің теріс емес бүтін шешімдері бар болса, олар берілген теңдеудің шешімі болады.

_ бұл жүйенің шешімі жоқ.

Демек, берілген теңдеудің шешімдері ( а=2;b=2) және (а=3;b=0) сан жұптары.

Жауабы: (а=2;b=2) және (а=3;b=0).

№6. Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары

_ теңдігін қанағаттандырады. Осы үшбұрыштың мәні ортаншы болатын бұрышын табыңдар.

Шешуі. Тепе-теңдіктің сол жағын ортақ бөлімге келтіріп, ықшамдаймыз.

_

_

_

Пропорцияның негізгі қасиетін пайдаланып, ортаңғы мүшелері мен шеткі мүшелерін көбейтеміз.

(a+b+c)(2b+c+a)=3(ab+ac+bc+b²),

2ab+2b²+2bc+ac+bc+c²+a²+ab+ac=3ab+3ac+3bc+3b² ұқсас мүшелерін біріктірсек, b²=a²+c²-ac шығады. Косинустар теоремасын жазамыз:

b²=a²+c²-2ac_,

бізде 2_ болып тұр. Осыдан _ екені шығады.

Онда _

Егер _

Демек, үшбұрыштың ортаншы бұрышы _

Жауабы: _

Біздің көрсетіп отырған шешімдеріміз олимпиада есептерінің тек бір ғана шешімі. Математикалық олимпиадаға стандартты емес өзіндік шығарылу жолы бар есептер ұсынылады. Мұндай есептерді шығару тек оқушыдан ғана емес оны дайындаушыдан да үлкен тапқырлықты, тиімді әдістерді таба білуді, сол әдістермен өзге де есептерді шығара білуді талап етеді. Сөз жоқ олимпиадлық есептердің барлығы бірдей бірден шешіліп кете бермейді.Олимпиадалық есептерді шығару сіздерден шыдамдылық пен қажырлылықты, уақытпен санаспай еңбек етуді, ойлануды қажет етеді, өйткені дарынның бір проценті талант, ал қалған 99%-і еңбек.

Сіздерге табыс тілеймін!

Пайдаланылған әдебиеттер

1.Зубелевич Г.И. Сборник задач московских математических олимпиад.М., Просвещение,1967.

2.Страшевич С., Бровкин Е. Польские математические олимпиады. М.,Мир,1978.

3. Бейсеков Ж., Шарипов Т., Тәңірбергенов Ә. 11-сыныптағы оқушыларды математикалық

олимпиадаға даярлау. Шымкент 2003.

Текелі қаласы

Олипиадаға оқушыларды қалай дайындаймыз?

Бегімбаева З.О.

№4 орта мектеп