Общие свойства функций. Преобразования графиков функций. Рубрикаторы:

3) f(x) постоянна на I  x₁I, x₂I f(x₂) = f(x₁).

1), 2) и 3) – строгая монотонность функции на I.

Если в 1) вместо знака «» приходится ставить знак «», то функция – неубывает на I, а если во 2) вместо «», то функция – невозрастает на I. В этих случаях говорят о нестрогой монотонности функции.

Если в этих определениях D(f) = I, то говорят, что f – возрастающая (убывающая, постоянная и т. д.) Примеры возрастающей и убывающей функций – см. Т.: стр. 11, рис. 11; постоянная функция вам знакома.

Устно: Т.: стр. 14, 1) рис. 14. Укажите промежутки: а) возрастания, убывания и постоянства функции; б) невозрастания и неубывания функции.

2) Опишите свойства функции рис. 17 по следующей схеме: а) область определения функции; б) Ч или Н; в) нули функции; г) промежутки знакопостоянства; д) промежутки монотонности; е) наибольшее и наименьшее значение функции и при каких x оно достигается; ж) область значений функции; з) обратимость.

Это – стандартная схема описания свойств функции (записать на доске и в тетрадях).

Найдем промежутки монотонности известных нам стандартных функций: а) y = kx + b (рис. 12); б) (рис. 13); в) y = x²ⁿ; y = x^{2n – 1}; (рис. 4); г) y = |x| (рис. 5).

Кроме того, необходимо уметь доказывать подобные факты строго. Сделаем это, например, для функции .

1) D(y) = {xR | x  0}; 2) Пусть x₂ x₁, тогда x₁ – x₂ .

Если x₁ и x₂ – одного знака, то x₁x₂ 0, поэтому, знак дроби зависит только от знака k: если k 0, то y₂ – y₁  y₂ y₁, то есть, функция убывает; если k y₂ – y₁ 0  y₂ y₁, то есть, функция возрастает на каждом из промежутков (–; 0) и (0; +).

Верно ли что эта функция является убывающей (возрастающей)? [Нет; показать на графике и по формуле] С аналогичным доказательством для линейной функции вы познакомитесь в домашнем задании, для остальных функций – в процессе упражнений.

3. Упражнения. Письменно на доске и в тетрадях, затем – самостоятельно.

1) Докажите, что функция: а) y = |4x + 4| возрастает на [–1; +); б) убывает на (3; +); в) g(x) = –2x³ является убывающей; г) является возрастающей.

2) Зад.: №8.144 г [Оценка!]

Следующий урок – с/р!

Домашнее задание: Т.: п. 2 (определения и доказательство для линейной функции!); опишите свойства функции на рис. 18 (по схеме); №1168, №1169. Зад.: №8.141; №8.142 (г); №8.143 (б, г); №8.144 (б).