Неалгебраические уравнения

Нахождение точных корней алгебраического или трансцендентного уравнения (т.е. уравнения неалгебраического, например, тригонометрического, логарифмического или иррационального) является зачастую достаточно сложной задачей, не решаемой аналитически с помощью конечных формул. Кроме того, иногда на практике уравнение содержит коэффициенты, значения которых заданы приблизительно, так что говорить о точном решении уравнений в таких случаях вообще не имеет смысла. Поэтому задачи приближенного определения корней уравнения и соответствующей оценки их точности имеют важное значение и в наши дни.

Приближенные методы решения уравнений можно условно разделить на графические и численные. Мы ограничимся рассмотрением численных методов решения.

Рассмотрим уравнение:

           (1)

где функция F( x ) – непрерывна и определена на некотором интервале

В ряде случаев потребуется существование и непрерывность первой и второй производных этой функции: , что каждый раз будет оговариваться особо.
Всякое значение  , при котором F( x ) обращается в нуль:

        (2)

называется корнем уравнения (1) или нулем функции F( x ).

Будем считать, что уравнение (1) имеет только изолированные корни, т.е. для каждого корня уравнения (1) существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения. Процесс отделения корней подробно описан в литературе [1, 2] и здесь не рассматривается.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней выполняется в два этапа:

1) Нахождение приближенного значения корня – так называемого нулевого приближения.

2) Уточнение приближенного значения корня до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность решения, путем итераций или последовательных приближений.

Остановимся подробно на втором этапе, так как нахождение нулевого приближения является специфической задачей, решаемой обычно либо на основе физических соображений или конструктивных особенностей, либо путем графического решения уравнения.

Трансцендентное уравнение — уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это

уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные

тригонометрические функцииcos ⁡ x = x {\displaystyle \cos x=x}

• lg ⁡ x = x − 5 {\displaystyle \lg x=x-5} 2 x = lg ⁡ x + x 5 + 40 {\displaystyle 2^{x}=\lg x+x^{5}+40}