Мини-учебник по теме "Прикладное применение производной"

ПРИКЛАДНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

М И Н И – У Ч Е Б Н И К

В В Е Д Е Н И Е

Мини-учебник был создан преподавателем математики высшей категории ГУЗ «Луганский центр профессионально-технического образования» Тимофеевой Яниной Викторовной.

В мини-учебнике была сделана попытка собрать все возможные прикладные задачи с применением производной. Достаточно подробно разобрано применение производной в физике, геометрии, экономике, профессии, учёбе и даже общественно-политической жизни. Учащимся предложены задачи по разным направлениям и с многообразным выбором научных, профессиональных, общественных и житейских ситуаций.

М Е Х А Н И К А

Понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Поэтому важнейшим прикладным применением производной является вычисление скорости. Скорость произвольно движущейся точки является векторной величиной, так как она определяется с помощью вектора – перемещение точки за промежуток времени, в течение которого это перемещение произошло. Рассмотрим простейший случай – движение точки по прямой.

Д В И Ж Е Н И Е

• Пусть положение движущейся точки в момент времени t определяется функцией х = х ( t ) .

Тогда мгновенная скорость есть производная координаты точки по времени:

v ( t ) = x ′( t ) .

• Ускорение по своему смыслу есть скорость изменения скорости. Если функция v = v ( t ) задаёт скорость движения точки по прямой, то производная скорости есть ускорение:

а = v ′ ( t ) .

З А Д А Ч И

1. Тело движется прямолинейно по закону х ( t ) = t 3 + 2 t 2 – 1 ( t измеряется в секундах, х – в метрах). Найдите скорость и ускорение тела в момент t = 1 с.

Решение .

v ( t ) = x ′( t ) = 3 t 2 + 4 t ;

v ( 1 ) = 3 · 1 2 + 4 · 1 = 3 + 4 = 7 (м/с);

а = v ′ ( t ) = 6 t + 4;

а (1) = 6 · 1 + 4 = 6 + 4 = 10 (м/с 2 ).

Ответ : 4 м/с, 2 м/с 2 .

2. Тело движется прямолинейно по закону х ( t ) = 2 t 2 – 20 t + 3 ( t измеряется в секундах, х – в метрах). В какой момент времени скорость тела будет равна 8 м/с?

3. Тело движется прямолинейно по закону х ( t ) = 3 t 2 – 18 t + 7 ( t измеряется в секундах, х – в метрах). В какой момент времени тело остановится?

З А Д А Ч И

4. Тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону х ( t ) = t 2 – 3 t + 2 ( t измеряется в секундах, х – в метрах). Найдите кинетическую энергию тела через 10 с после начала движения.

5. Найдите силу, действующую на тело с массой 3 кг, движущуюся прямолинейно по закону х ( t ) = 2 t 3 – t 2 при t = 2 с.

6. Тело движется прямолинейно по закону х ( t ) = 0,5 t 4 – 5 t 3 + 12 t 2 – 1 ( t измеряется в секундах, х – в метрах). В какие моменты времени ускорение движения тела равно нулю?

7. Две материальные точки движутся по законам х 1 ( t ) = 3 t 2 – 5 и х 2 ( t ) = 3 t 2 – t + 1 ( t измеряется в секундах, х – в метрах). Найдите скорости движения точек в тот момент, когда координаты точек равны.

8. Тело движется прямолинейно по закону х ( t ) = 8 – 2 t + 24 t 2 – 0,3 t 5 ( t измеряется в секундах, х – в метрах). В какие моменты времени тело имеет наибольшую скорость? Найдите эту скорость.

Э Л Е К Т Р И Ч Е С Т В О

Пусть q = q ( t ) – заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t . Средняя скорость переноса заряда есть отношение Δ q на Δ t и называется средней силой тока .

Если ток постоянный, то – постоянная величина (и

заряд q линейно зависит от времени. В общем случае сила тока есть производная от заряда по времени:

I = q ′ ( t ) .

З А Д А Ч И

9. Количество электричества, протекающего через проводник. Начиная с момента t = 0, задаётся формулой q = 3 t 2 + t + 2. Найдите силу тока в момент времени t = 3.

Решение .

I = q ′ ( t ) = 6 t + 1;

I ( 3 ) = 6 t + 1 = 6 · 3 + 1 = 18 + 1 = 19 ( А ).

Ответ : 19 А .

10. В какой момент времени ток в цепи равен нулю, если количество электричества, протекающего через проводник,

задаётся формулой: а) q = t + ; б) q = t – + 1?

11. Изменения величины заряда на обкладках конденсатора показали, что заряд меняется со временем по закону

q ( t ) = 3,05 + 6,11 t –

( t ≤ 10, время в секундах, заряд в микрокулонах). Найдите закон изменения силы тока.

Д Р У Г И Е П Р И М Е Н Е Н И Я В Ф И З И К Е

Так как производная есть скорость роста функции, то всюду, где мы сталкиваемся с какой-либо переменной величиной, полезно рассматривать и её производную – скорость её изменения.

Р А Б О Т А

• Если работа А есть функция времени А = А ( t ) , то средняя скорость изменения работы есть средняя мощность, а мгновенная мощность есть производная работы по времени:

N = А ′ ( t ) .

• Рассмотрим работа А как функцию перемещения при заданной силе F ( х ) . Тогда среднее значение силы есть отношение Δ А к Δ х , а сама сила есть производная работы по перемещению:

F ( х ) = А ′ ( х ) .

М А С С А

Пусть есть неоднородный тонкий стержень. Если ввести его координаты, то можно рассмотреть функцию т = т ( l ) – массу куска стержня от точки 0 до точки l .

Тогда линейная плотность есть производная массы тонкого стержня по длине:

ρ = т ′ ( l ).

Т Е П Л О Т А

Рассмотрим процесс нагревания какого-либо вещества и вычислим количество теплоты Q ( t ) , которое необходимо для нагревания 1 кг этого вещества от 0 ° С до t .

Тогда скорость изменения теплоты, т. е. средняя теплоёмкость вещества есть отношение Δ Q на Δ t , а сама теплоемкость есть производная количества теплоты по температуре:

с ( t ) = Q ′ ( t ) .

Л И Н Е Й Н О Е Р А С Ш И Р Е Н И Е Т Е Л А

При нагревании относительное удлинение тела, т. е. коэффициент линейного расширения есть производная длины тела в зависимости от температуры:

α = l ′ ( t ) .

Д А В Л Е Н И Е

Под давлением понимают

отношение сил к площади

поверхности, на которую

эта сила действует. Тогда

давление есть производная силы по площади:

р = F ′ ( S ) .

Однако сила давления зависит не только от площади, но и от её местонахождения. Например, в Москве – 746 мм рт. ст., а в Луганске – 755 мм рт. ст.

Р Е А К Т И В Н О Е Д В И Ж Е Н И Е

Возможность использования реактивного движения для полёта в космос исследовал К. Э. Циолковский, который вывел формулу скорости одноступенчатой ракеты в зависимости от её массы и скорости истечения продуктов сгорания.

По его формуле скорость изменения массы ракеты есть производная массы по времени:

v ( t ) = М ′ ( t ).

З А Д А Ч И

12. Длина стержня меняется в зависимости от температуры по закону l = l 0 + 0,001 t + 0,0001 t 2 . Найдите коэффициент линейного расширения при температуре 5 º С.

Решение .

α = l ′ ( t ) = 0,001 + 0,0002 t ;

α ( 5 ) = 0,001 + 0,0002 · 5 = 0,001 + 0,001 = 0,002.

Ответ : 0,002.

13. Пусть Q ( Т ) – количество теплоты, которое необходимо для нагревания 1 кг воды от 0 º до Т º (по Цельсию). Известно, что в диапазоне 0 ≤ Т ≤ 95 формула

Q ( Т ) = 0,396 Т + 2,081 · 10 – 3 Т 2 – 5,024 · 10 – 7 Т 3

даёт хорошее приближение к истинному значению Q ( Т ). Найдите, как зависит теплоёмкость воды от температуры.

14. Известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А на расстоянии l , массу куска стержня АС в граммах определяется по формуле т ( l ) = 3 l 2 + 5 l . Найдите линейную плотность стержня: а) в середине отрезка АВ ; б) в конце В стержня.

П Р И К Л А Д Н Ы Е З А Д А Ч И Н А Э К С Т Р Е М У М

Наиболее важным для применений являются прикладные задачи на нахождение величины какого-либо элемента или отношения элементов указанной геометрической фигуры (тела) или совокупности фигур, когда известны размеры некоторых элементов фигуры, соотношения между элементами фигуры или соотношения между самими фигурами, если их несколько.

Многие прикладные задачи сводятся к нахождению наибольших и наименьших значений функций, заданных на конечном отрезке. Такие задачи часто называют задачами на экстремум.

З А Д А Ч И

15. Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой

высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола

получить наибольшую освещённость?

Решение .

Из физики известно, что освещённость обратно пропорциональна

квадрату расстояния до источника света и пропорциональна

синусу угла наклона луча света к освещаемой маленькой площадке:

где Е – освещённость на краю стола, , h – расстояние от лампы до стола.

Вместо функции рассмотрим функцию

При этом можно взять z = h 2 и найти критические точки функции Т = Т ( z ):

Ответ : освещённость максимальна, если .

З А Д А Ч И

16. Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной

формы, примыкающую одной стороной к стене здания.

Площадку обнесли с трёх сторон металлической сеткой

длиной 200 м, и площадь его при этом оказалась

наибольшей. Каковы размеры площадки?

17. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли

площадью в 294 м 2 и разделить затем этот участок забором

на две равные части. При каких линейных размерах участка

длина забора окажется наименьшей?

18. На странице книги печатный текст занимает 384 см 2 . Верхнее

и нижнее поле страницы – по 3 см, правое и левое – по 2 см.

Если принять во внимание только экономию бумаги, то

каковы должны быть выгодные размеры страницы?

19. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным

сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения

балки, если радиус сечения бревна равен 20 см.

З А Д А Ч И

20. Из пункта А , находящегося в лесу

в 5 км от прямолинейной дороги,

пешеходу нужно попасть в пункт В ,

расположенный на этой дороге в 13 км

от пункта А . По дороге пешеход может

двигаться с максимальной скоростью 5 км/ч, а по лесу – с

максимальной скоростью 3 км/ч. За какое минимальное время

пешеход сможет добраться из пункта А в пункт В ?

21. При скорости v км/ч автомобиль расходует литров

бензина в час. Найдите минимальный запас бензина,

позволяющий проехать 100 км .

22. Каково должно быть отношение высоты консервной банки к

радиусу её основания, чтобы при данном объёме расход

материала был минимальным?

Э К О Н О М И К А

В прикладных экономических задачах с применением производной можно связать производство продукции с количеством персонала, уровнем затрат на капитал и труд, ценовой политикой и прибылью предприятия.

Важнейшей экономической характеристикой производства является рост производительности труда. Темпы роста производительности труда есть производная производительности труда по времени.

З А Д А Ч И

23. Пусть в краткосрочном периоде производственная функция зависит только от численности персонала и имеет вид:

Q = 6 L 2 – 0,2 L 3 ,

где Q – выпуск продукции, L – количество рабочих. Какой должна быть численность персонала и выпуск продукции, чтобы выпуск Q достигал максимального значения?

Решение .

Найдём производную

Q ′ = 12 L – 0, 6 L 2 .

Определим критические точки

Q ′ = 0: 12 L – 0, 6 L 2 = 0;

L (12 – 0, 6 L ) = 0;

L = 0 или 12 – 0, 6 L = 0;

L 1 = 0; L 2 = 20.

Значит, максимальный выпуск продукции

Q (20) = 6 · 20 2 – 0,2 · 20 3 = 2400 – 1600 = 800.

Ответ : численность персонала – 20; максимальный выпуск продукции – 800.

З А Д А Ч И

24. На двух стройплощадках возводятся два одноэтажных склада, общей площадью 600 м 2 .

Стоимость постройки склада прямо пропорциональная квадрату его площади. Кроме

того, известно, что строительство на второй площадке обходится на 40% дороже, чем

на первой. Какой должна быть площадка каждого склада, чтобы общая стоимость

строительства была наименьшей?

25. Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью v км/ч, составляет (90 + 0,4 v 2 )

гривен в час. C какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км пути

была наименьшей?

26. Стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его массы. При обработке

бриллиант был расколот на две части. Каковы размеры частей, если известно, что

при этом произошла максимальная потеря стоимости?

27. Прямоугольный участок площадью 9000 м 2 необходимо огородить забором, две

противоположные стороны которого каменные, а другие – деревянные. Один метр

деревянного забора стоит 100 грн., а каменные – 250 грн. Каково наименьшее

количество денег может быть выделено по смете на строительство этого забора?

28. Фирма пытается осваивать несколько разных рынков. Функции спроса:

Р 1 = 500 – Q 1 , P 2 = 360 – 1,5 Q 2 ,

где нижние индексы показывают тип рынка.

Суммарная функция затрат имеет вид:

С = 50 000 + 20 Q .

Какую ценовую политику должна проводить фирма, чтобы прибыль была максимальной?

П Р И М Е Н Е Н И Е В П Р О Ф Е С С И И

Нами будут рассмотрены применения производной к прикладным задачам профессиональной направленности. Задачи имеют технологическое содержание: любая из них может возникнуть в реальном производственном процессе или при его подготовке.

Задачи предназначены для профессий машиностроительного профиля: сварщиков, слесарей, токарей и фрезеровщиков. Есть общие задачи, которые не зависят от будущей профессии.

З А Д А Ч И

29. ( для сварщиков ) Из прямоугольного листа металла размером 5 x 8 дм надо изготовить открытую коробку с наибольшей вместимостью, вырезая квадратные уголки так, как показано на рисунках.

Решение .

Пусть х – длина стороны вырезаемого квадрата. Тогда длина сторон уменьшится на 2 х и объём будет равен

V = х (8 – 2 х )(5 – 2 х ) = 4 х 3 – 26 х 2 + 40 х .

При этом х может меняться в интервале [ 0; 2,5 ] . Заметим, что в крайних точках объём равен нулю. Найдем критические точки:

V ′ = 12 х 2 – 52 х + 40;

V ′ = 0: 12 х 2 – 52 х + 40 = 0;

3 х 2 – 13 х + 10 = 0;

х = 1; х = 10/3.

Заметим, что только значение х = 1 принадлежит области определения и при этом значение объёма максимально, т. е. V max = 18 дм 3 .

Ответ : вместимость коробки будет максимальной, если из прямоугольного листа железа вырезать квадратные уголки со стороной 1 дм.

З А Д А Ч И

30. Полученное производственное задание может быть выполнено на десяти рабочих

местах за 12 рабочих смен. Каждому рабочему выплачивают 240 грн. за смену и

200 грн. премиальных за выполнение всего задания. Оплата всего вспомогательного

персонала составляет 1500 грн. за смену. На скольких рабочих местах следует

выполнять задание, чтобы суммарная оплата была наименьшей? Чему будет равна

эта оплата?

31. В механическом цехе выделен участок для массового

изготовления товаров широкого потребления (см. рисунок).

Этот участок имеет форму прямоугольника А ′ В ′ М N , где

| А ′ В ′| = с . В точках А и В установлены станки на расстояниях

а и b от точек А ′ и В ′ соответственно. По производственным

условиям рабочее место контролёра ОТК (точка С ) для

межоперационного контроля может быть установлено только

у стены | А ′ В ′| . Выберите это место так, чтобы изготовляемые

изделия от точки А в точку С , а оттуда в точку В транспортировались

кратчайшим путём.

32. ( для сварщиков ) Из листового железа необходимо изготовить бак цилиндрической

формы, вмещающий V литров воды. Каковы должны быть его размеры, чтобы

поверхность (без крышки) была наименьшей?

З А Д А Ч И

33. ( для слесарей ) Из тонкого металлического

круга радиуса R (см. рисунок). Требуется

вырубить сектор, предназначенный для

изготовления воронки наибольшей

вместимости. Деформацией металла и

припуском на обработку в расчётах пренебречь.

34. ( для слесарей ) Стол подъёмной тележки

представляет собой консоль | АВ | длиной а

(см. рисунок). Для придания консоли жёсткости

используют две опоры А D и С D , АС – загружаемая

часть стола ( | АС | = b ). Определите | В D | ,

обеспечивающую наибольшую конструктивную

жёсткость, если известно, что она достигается при

наибольшем угле А D С .

35. ( для токарей ). В цилиндрической заготовке диаметром D з и длиной l

требуется изготовить сквозное цилиндрическое или коническое

отверстие с фиксированным диаметром одного из оснований D D з .

З А Д А Ч И

36. ( для токарей ) Заготовка двухугловой

несимметричной фрезы представляет

собой два усечённых конуса,

совмещённых большими основаниями

одного диаметра D = 60 мм с

одинаковыми меньшими основаниями

d = 52 мм и суммой высот а = 12 мм

(см. рисунок).

37. ( для фрезеровщиков ) Определите глубину

фрезерования t 1 и t 2 при изготовлении

из цилиндрической заготовки диаметром

D и длиной l D прямоугольной планки

той же длины с наибольшей площадью

поперечного сечения (см. рисунок).

О Б Щ Е С Т В Е Н Н О – П О Л И Т И Ч Е С К О Е П Р И М Е Н Е Н И Е

Рейтинг господина Президента и

депутатского корпуса некоторого

государства в условиях непрерывного

экономического спада и всё

ускоряющейся инфляции моделировался

графиком функции , где t –

время прошедшее с момента избрания, вычисленное в годах (см. рисунок).

Однако после двух лет правления ( t 0 = 2) рейтинг стал изменяться по

касательной к умиротворяющему своей бесконечной протяжённостью

графику. Исходя из сложившейся ситуации, требуется определить, сколько

времени пройдёт до перевыборов, если известно, что перевыборы в этом

государстве происходят только тогда, когда рейтингу опускаться больше

некуда. Заодно предлагается любознательным вычислить рейтинг, который

фиксировала «неприятная» касательная на момент избрания власть

предержащих два года тому назад ( t = 0).

КЛЮЧВОРД

Все буквы зашифрованной фразы, кроме Е, И, Й, П, Э, Я, записаны в форме чисел. Каждой букве присвоено своё число. Заштрихованные клетки разделяют слова. Расшифровав запись, можно прочитать известное правило, связанное с тем понятием, которое было рассмотрено в этой теме.

У С П Е Х И В У Ч Ё Б Е

Обсуждая успехи своего

ученика, учитель математики

так отозвался о нём: «Он

очень мало знает, но у него

положительная производная».

То есть учитель хотел сказать:

«Скорость приращения знаний у ученика

положительная, а это является залогом

того, что его знания возрастут».

Подумайте, как вы могли бы охарактеризовать

три разные кривые роста знаний, изображённые

на рисунке.