Мини-учебник по теме "Иррациональные уравнения"

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

(мини-учебник для самостоятельного изучения темы)

Данная работа предназначена для глубокого индивидуального изучения методов решения иррациональных уравнений, в частности, метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Поэтому работа разбивается на несколько частей:

1. таблицы:

 первая таблица, которая позволяет узнать определение иррациональных уравнений и способы их решения,

 вторая таблица, которая раскрывает метод решения простейших иррациональных уравнений,

 третья таблица, которая раскрывает метод решения более сложных иррациональных уравнений;

1. методы решения иррациональных уравнений:

 возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень,

 специальные замены,

 искусственные приёмы;

3) подведение итогов по усвоению методов решения уравнений.

На самостоятельное изучение темы отводится 2 часа. Каждый пример оценивается своей оценкой:

примеры 4-6, 7, 11, 12  удовлетворительно;

примеры 13-17, 21, 22  хорошо;

примеры 18, 19, 23, 24, 26-28  отлично.

Если учащийся не справился с необходимыми для получения соответствующей оценки примерами, то он записывает их в тетрадь в качестве домашнего задания. При необходимости каждый учащийся может попросить помощь у учителя.

Для заинтересованности учащихся предлагается необычная схема для проверки правильности решения уравнений. Для этого каждое решение зашифровывается своей буквой, а из букв составляются ключевые слова. Получение ключевого слова говорит о том, что были получены правильные ответы.

Ключевыми словами являются: МИГ, РОД, СОЛО, БАК, ДЕНЬ, ВЯЗ. (В конце работы показано какие примеры были объединены в слова.)

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение. Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит переменную под знаком корня п-й степени (радикала).

Схема решение

. Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Решите уравнения:

4. ;

5. ;

6. ;

7.

Теоремы о равносильности некоторых иррациональных уравнений

При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному

Если обе части уравнения неотрицательные, то при возведении обеих частей в чётную степень получаем уравнение, равносильное данному (на ОДЗ исходного)

Учитывая данную схему, можно решить некоторые (более сложные) уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Пример 8. Решим уравнение

Решение.

Данное уравнение равносильно системе

  

 Отсюда х = 11.

Ответ: 11.

Пример 9. Решим уравнение

Решение.

Преобразуем данное уравнение к виду

Возведя в квадрат обе части уравнения, получим

После преобразований приходим к квадратному уравнению

корни которого

х₁ = 1 и х₂ = 4.

Проверка.

При х = 1 , 3 = 1  неверное равенство, то х = 1  посторонний корень.

При х = 4 , 2 = 2  верное равенство, то х = 4  корень уравнения.

Ответ: 4.

Пример 10. Решим уравнение

Решение.

Данное уравнение равносильно системе

  Отсюда уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Решите уравнения:

11.

12.

13.

14.

Указание. Перенесите один из корней в правую сторону уравнения.

15.

16.

17.

18.

19.

. Решение иррациональных уравнений методом специальных замен.

Пример 20. Решим уравнение

Решение.

Преобразуем данное уравнение к виду

При замене получим квадратное уравнение относительно у:

корни которого

у₁ = - 4 и у₂ = 5.

Тогда получим два уравнения:

1) . Уравнение не имеет корней, т. к. всегда на ОДЗ.

2) и

Проверка.

При 7 = 7 – верное равенство, то

 корень уравнения.

При 7 = 7 – верное равенство, то  корень

уравнения.

Ответ: - 3; 4.

Решите уравнения:

21.

22.

23.

24.

. Решение иррациональных уравнений с помощью искусственных приёмов.

Пример 25. Решим уравнение

Решение.

Умножим обе части уравнения на и получим:

отсюда

Прибавляя почленно полученное уравнение к данному, получим

, отсюда .

Проверка.

 неверное равенство, то  посторонний корень.

Ответ: нет корней.

Решите уравнения:

26.

27.

28.

П Р О В Е Р Ь С Е Б Я !

Расшифруйте ключевые слова, используя таблицу. Слова должны составляться из ответов на соответствующие примеры:

(4, 5, 6); (7, 11, 12); (13, 14, 16, 15); (17, 21, 22); (18, 19, 23, 24); (26, 27, 28).

-2,5; 1,5

13

8

25

2

-1; -

64

-21

-; 1

-1

16

Ø

1

-1,4; 2

3

 3

-6; 1

А

Б

В

Г

Д

Е

З

И

К

Л

М

Н

О

Р

С

Ь

Я

Ø – нет решений (нет корней)