Методика введения определения асимптота

Ильина Елена Евгеньевна

Асимптота (вертикальная, горизонтальная, наклонная)- разработать методику введения определения «асимптота»

1.Мотивация.

Построить и исследовать графики следующих функций:

а) y=

б) y=

в) y=x+

а) y= ( Если учащиеся не помнят график данной функции- гиперболы, строим его по точка)

x	1	-1	2	-2	0.5	-0.5	0.2	-0.2
y	1	-1	0.5	-0.5	2	-2	5	-5

y

0 x

Найдем область определения и значений данной функции.

Какой промежуток является областью определения данной функции? Любое значение может принимать x?

х принимает любое значение, кроме 0, так как на ноль делить нельзя.

D(f)=(-;0);+)

Область значений: E(f)= (-;0);+)

Является ли данная функция четной, нечетной, периодической?

f(x)=

f(-x)=1/(-x)=- ; -f(x)=-

f(x) f(-x)

f(-x)=-f(x)

Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат, не периодическая.

Есть точки пересечения с осями координат?

Таких точек нет.

Является ли данная функция возрастающей, или убывающей?

Функция убывающая, х=0 является точкой разрыва.

Имеет данная функция точки максимума, минимума?

Нет.

Как себя ведёт данная функция в окрестности точек не входящих в область определения данной функции? В нашем случае, в окрестности точки х=0.

x	0,1	0,2	0,4	0,5	-0,1	-0,2	-0,4	-0,5
y	10	5	2,5	2	-10	-5	-2,5	-2

Как себя ведет функция?

График приближается к оси Oy. Но никогда её не пересечёт.

А пересекается ли гипербола с осью Ox?

y	0,1	0,2	0,4	0,5	-0,1	-0,2	-0,4	-0,5
x	10	5	2,5	2	-10	-5	-2,5	-2

График приближается к оси Ox,не пересекает её.

б) y=

x	0	1	-1	2	-2	3	-3
y	1	0,5	0,5	0.2	0.2	0,1	-0,1

y

0 x

Найдем область определения и значений данной функции.

Какой промежуток является областью определения данной функции? Любое значение может принимать x?

х принимает любое значение

D(f)=(-;+)

Область значений: E(f)=;+)

Является ли данная функция четной, нечетной, периодической?

f(x)=

f(-x)== ; -f(x)=-

f(-x)- f(x)

f(x)=f(-x)

Функция является четной, график симметричен относительно оси ординат, не периодическая.

Есть точки пересечения с осями координат?

Есть точки пересечения с осью Oy, x=0 y=1

Является ли данная функция возрастающей, или убывающей?

Функция возрастает на промежутке (-;0),

убывает на промежутке ;+)

Имеет данная функция точки максимума, минимума?

Точка максимума x=0 y=1

Как себя ведёт график данной функции приближаясь к оси Ох, пересечет ли он эту ось?

y	0,1	0,2	0,4	0,5	-0,1	-0,2	-0,4	-0,5
x	3	2	1,22	1	-3	-2	-1,22	-1

График приближается к оси Ox,не пересекает её.

в) y=x+

x	1	-1	2	-2	3	-3	0,5	0,2	-0,2	-0,5
y	2	-2	2,5	-2,5	3,33	-3,33	2,5	5,2	-5,2	-2,5

y

0 x

Найдем область определения и значений данной функции.

Какой промежуток является областью определения данной функции? Любое значение может принимать x?

х принимает любое значение, кроме 0, так как на ноль делить нельзя.

D(f)=(-;0);+)

Область значений: E(f)= (-;-2);+)

Является ли данная функция четной, нечетной, периодической?

f(x)=

f(-x)= ; -f(x)=

f(x) f(-x)

f(-x)=-f(x)

Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат, не периодическая.

Есть точки пересечения с осями координат?

Таких точек нет.

Является ли данная функция возрастающей, или убывающей?

Функция возрастает на промежутке (-;-1);+)

Убывает на промежутке (-;0);1).

Имеет данная функция точки максимума, минимума?

Тока минимума x=1 y=2

Точка максимума x=-1 y=-2

Как себя ведёт данная функция в окрестности точек не входящих в область определения данной функции? В нашем случае, в окрестности точки х=0.

x	0,5	0,2	-0,2	-0,5	0,1	-0,1
y	2,5	5,2	-5,2	-2,5	10,1	-10,1

Как себя ведет функция?

График приближается к оси Oy. Но никогда её не пересечёт.

2.Подготовка к введению определения.

Мы с вами построили графики нескольких различных функций. Посмотрите на них внимательно, есть ли что-то общее? Какие функции задают графики, как себя ведет график?

Область определения и значения у них различны, промежутки возрастания, убывания и точки максимума тоже.

Первый и третий график не пересекают осей координат, ветви графика приближаются к осям, но не пересекутся с ними никогда.

Второй график пересекает ось Oy , приближается к оси Ox, но никогда её не пересечёт.

Мы заметили, что существуют прямые к которым график функции приближается, но никогда с ними не пересекается.

В математике такие прямые называют асимптотами. Существует несколько видов, это горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты. Что же такое асимптота?

3.Ввведение определения.

Чем является асимптота? Прямой.

Что такое вертикальная асимптота? Это прямая.

Какая это прямая, как она будет располагаться? Вертикальная прямая.

Что происходит с графиком функции? Он приближается к этой прямой но не пересекается с ней.

Вертикальная асимптота - вертикальная прямая к которой приближается график функции, но никогда с ней не пересечется.

Запишем определение вертикальной асимптоты.

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

Что такое горизонтальная асимптота?

Горизонтальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют горизонтальными асимптотами.

Запишем определение.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании ( по модулю x),то такую прямую называют горизонтальной асимптотой.

Что такое наклонная асимптота?

Если график функции неограниченно приближается к некоторой наклонной прямой, то такую прямую называют наклонно асимптотой.

Запишем определение.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой наклонной прямой при неограниченном возрастании ( по модулю x),то такую прямую называют наклонной асимптотой.

Посмотрите на графики, полученные нами ранее.

В первом случае, какая прямая является асимптотой?

х=0 – вертикальная асимптота.

y=0 – горизонтальная асимптота.

Второй график какие асимптоты имеет?

y=0 – горизонтальная асимптота.

Третий график.

х=0 – вертикальная асимптота.

А также есть наклонная асимптота. Посмотрите на график, одна его ветвь приближается к оси Oy, а другая будет приближаться к какой-то наклонной прямой. Эта прямая будет проходить через начало координат. Каким уравнением она будет задаваться?

y=x – наклонная асимптота.

4.Логико-математический анализ структуры определения.

Чем является асимптота с точки зрения геометрии?

Прямая.

Каким отличительным свойством обладает эта прямая (асимптота)?

К ней приближается график функции, но не пересекается с ней.

5. Выполнение действий подведения под понятие.

№1. Построить график функции y= и указать асимптоты данного графика, если они есть.

y

-1 0 x

х=-1 – вертикальная асимптота.

y=0 – горизонтальная асимптота.

Что называется горизонтальной асимптотой? вертикальной?

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании ( по модулю x),то такую прямую называют горизонтальной асимптотой.

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

№2. Построить график функции y=tgx и указать асимптоты данного графика, если они есть.

y

- 0 x х= - , х= – вертикальные

асимптоты.

Что называется горизонтальной асимптотой? вертикальной?

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании ( по модулю x),то такую прямую называют горизонтальной асимптотой.

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

№3.Какие асимптоты имеет график следующей функции y= изображенный на рисунке?

y

1

-1 0 1 x

-1

х=-1 х=1, – вертикальная асимптота.

y=1 – горизонтальная асимптота.

Что называется горизонтальной асимптотой? вертикальной?

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании ( по модулю x),то такую прямую называют горизонтальной асимптотой.

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

№4.Какие асимптоты имеет график следующей функции y= изображенный на рисунке?

y

1

0 x

2

х=0 – вертикальная асимптота.

y=x/2- наклонная асимптота

Что называется наклонной асимптотой? вертикальной?

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой наклонной прямой при неограниченном возрастании ( по модулю x),то такую прямую называют наклонной асимптотой.

6.Формулировка эквивалентных определений.

Вы теперь знаете что такое асимптота, знаете виды асимптот.

Давайте ещё раз повторим определение асимптоты вертикальной, горизонтальной, наклонной.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют горизонтальной асимптотой.

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой наклонной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют наклонной асимптотой.

Можем ли мы по другому сформулировать эти определения.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой вертикальной прямой при неограниченном убывании(по модулю x),то такую прямую называют вертикальной асимптотой.

Горизонтальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют горизонтальными асимптотами.

Наклонная прямая, к которой неограниченно приближается график функции f, называют наклонной асимптотой.