Методическое пособие по математике "Основные приёмы быстрого счёта"

ОСНОВНЫЕ ПРИЁМЫ БЫСТРОГО СЧЁТА

САВВУШКА 2013

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «САВВУШИНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА» ЗМЕИНОГОРСКОГО РАЙОНА АЛТАЙСКОГО КРАЯ

ОСНОВНЫЕ ПРИЁМЫ БЫСТРОГО СЧЁТА

Методическое пособие по математике для учащихся 8-11 классов общеобразовательных учреждений

САВВУШКА 2013

Авторы-составители: учащиеся 8 класса МБОУ «Саввушинская СОШ» Жирнова Ольга, Сенникова Елена под руководством учителя математики МБОУ «Саввушинская СОШ» Горностаевой А. Г.

МБОУ «Саввушинская СОШ», 2013.

Содержание

Введение……………………………….4

1. Замена числа равносильным ему выражением…………………………....6

1. Округление чисел……………..............8

1. Законы арифметических действий …...9

1. Свойства степени…..………………….16

1. Формулы сокращённого умножения….……………………….…18

1. Комбинация различных приёмов..…...22

Ответы……………………………...…..23

Литература............................................26

3

Введение

В современном мире, наполненном разнообразными техническими и научными достижениями, время – богатство. В этом круговороте выигрывает самый быстрый, находчивый, способный рассмотреть ситуацию с наиболее выгодной стороны. Так обстоит дело и со школьной математикой. Как известно, на современные экзамены по математике в форме ГИА в 9 классе и ЕГЭ в 11 классе отводится всего 235 минут, за которые предлагается выполнить без использования вычислительных приборов достаточно большое количество заданий разного уровня сложности. Результат экзамена зависит не только от знаний, умений и навыков, приобретённых за годы обучения, но и от умения распределять время на выполнение заданий. В данном пособии доступно объясняется, как и где можно сэкономить время при выполнении заданий. На ярких примерах показана необходимость знания неких хитростей - математических приёмов решения сложных на первый взгляд заданий. Порой мы, сталкиваясь с огромными по записи, замысловатыми числовыми выражениями, теряемся и начинаем решать их, что называется «в лоб». Но этот процесс не всегда приятен, занимает довольно много времени и поэтому может привести к ошибочным результатам, даже если вы неплохо считаете. А для некоторых примеров не помогает даже микрокалькулятор. И, честно говоря, намного интереснее, когда решение «красивое» и небольшое по объёму. Как добиться «красивых» решений? На этот вопрос отвечает наше пособие.

В течение многих лет, решая примеры, анализируя этот процесс и полученные результаты,

математики пришли к выводу о том, что

существуют специальные методы, с помощью

4

которых можно легче и быстрее добраться до правильного ответа. На основе этих методов составлены формулы, сформулированы законы, применение которых обеспечивает практически устное решение даже самых громоздких примеров, а значит и экономию времени, сил.

Цель пособия: продемонстрировать преимущества знания и использования основных математических приёмов быстрого счёта, простоту и экономичность нахождения правильного ответа с помощью известных математических формул, законов, свойств; предоставить читателям возможность самостоятельно приобрести навыки использования указанных в пособии методов.

5

1. Замена числа равносильным ему выражением

Для того чтобы хорошо считать устно, полезно знать некоторые приёмы быстрого счёта. Вот один из них: чтобы быстро умножить число на 5, достаточно заметить, что 5 = 10 : 2.

Например, 48 ∙ 5 = (48 : 2) ∙ 10 = 24 ∙ 10 = 240;

43 ∙ 5 = (43 ∙ 10) : 2 = 430 : 2 = 215 и т. д.

Также этот приём может быть использован при делении на 5, только число нужно разделить на 10 и умножить на 2.

Например, 885 : 5 = 885 : 10 ∙ 2 = 88,5 ∙ 2 = 17

2050 : 5 = 2050 : 10 ∙ 2 = 205 ∙ 2 = 410.

Вычислите устно при помощи данного приёма: №1. а) 67 ∙ 5; б) 5 ∙ 116; в) 444 ∙ 5; г) 2350 ∙ 5. №2. а) 58 ∙ 5; б) 5 ∙ 280; в) 588 ∙ 5; г) 5 ∙ 3700.

На основе этого приёма можно устно выполнять умножение на 25, 50 и 125.

Например, 28 ∙ 50 = 28 : 2 ∙ 100 = 14 ∙ 100 = 1400;

36 ∙ 25 = 36 ∙ 50 : 2 = 1800 : 2 = 900;

560 ∙ 125 = 560 : 8 ∙ 1000 = 70 ∙ 1000 = 70000.

№3. При помощи данного приёма устно выполните следующие действия:

1) 17 ∙ 50; 5) 28 ∙ 25; 9) 192 ∙ 125;

2) 43 ∙ 50; 6) 52 ∙ 25; 10) 112 ∙ 125;

3) 53 ∙ 50; 7) 84 ∙ 25; 11) 296 ∙ 125; 4) 122 ∙ 50; 8) 208 ∙ 25; 12) 344 ∙ 125.

6

Часто, вместо того, чтобы делить на 4, 8, 16, удобнее несколько раз повторить деление на 2:

176 : 4 = 176 : 2 : 2 = 88 : 2 = 44;

432 : 8 = 432 : 2 : 2 : 2 = 216 : 2 : 2 = 108 : 2 = =54;

544 : 16 = 544 : 2 : 2 : 2 : 2 = 272 : 2 : 2 : 2 = 136 : 2 : 2 = 68 : 2 = 34.

№4. Вычислите устно:

1) 68 : 4; 4) 168 : 8; 7) 208 : 16;

2) 76 : 4; 5) 192 : 8; 8) 320 : 16;

3) 148 : 4; 6) 152 : 8; 9) 816 : 16.

Особенно удачна замена числа равносильным ему выражением при умножении на десятичную дробь 0,5. Достаточно знать, что умножить число на 0,5, это все равно, что разделить его на 2.

Например, 23 786 ∙ 0,5 = 23 786 : 2 = 11 893.

7

2. Округление чисел

Округление чисел часто используется при устных вычислениях. Если один или все компоненты действий близки к круглым числам, то сначала выполняется округление, и действия производятся над круглыми числами, а затем вносится поправка.

Например:

262 + 197 = 260 + 2 + 200 − 3 = 460 − 1 = 459.

№5. Значения следующих выражений найдите устно:

а) 373 + 48, б) 558 − 82, в) 434 − 73, г) 782 + 391,

292 + 37; 485 + 98; 2521 + 93; 1395 − 406.

При умножении также может использоваться округление чисел.

Например, 18 ∙ 9 = 18 ∙ 10 − 18 = 180 − 18 = 162; 43 ∙ 8 = 43 ∙ 10 − 43 ∙ 2 = 430 − 86 = 344; 32 ∙ 11 = 32 ∙ 10 + 32 = 320 + 32 = 352.

Вычислите устно при помощи данного приёма: №6. а) 47 ∙ 9; в) 68 ∙ 99; д) 32 ∙ 98; ж) 18 ∙ 199;

б) 34 ∙ 9; г) 59 ∙ 99; е) 56 ∙ 98; з) 54 ∙ 99. №7. 1) 31 ∙ 11; 4) 38 ∙ 101; 7) 45 ∙ 102; 10) 45 ∙ 998;

2) 78 ∙ 11; 5) 67 ∙ 101; 8) 89 ∙ 102; 11) 428 ∙ 9;

3) 69 ∙ 11; 6) 88 ∙ 101; 9) 73 ∙ 999; 12) 276 ∙ 9.

8

3. Законы арифметических действий

Для того чтобы максимально просто и быстро решать громоздкие выражения, математики пользуются законами арифметических действий.

Законы сложения	Равенство	Пример
Переместительный	a + b = b + a	7 + 3 = 3 + 7 = 10
Сочетательный	(a + b) + c = a + (b +c)	(48 + 3) + 12 = (48 + 12) + 3 = 63

Законы умножения	Равенство	Пример
Переместительный	ab = ba	6 • 8 = 8 • 6 = 48
Сочетательный	(ab)c = a(bc)	4 • 8 • 25 = 4 • 25• ∙ 8 = 800

Закон арифметичес- ких действий	Равенство	Пример
Распредели -тельный	а(b + с) = аb + ас а(b – с) = аb – ас	8 • (90 + 1) = = 8 • 90 + 8 • 1 = 728 69 • 27 + 31 • 27 = = 27 • (69 + 31) = 2700 263 • 24 – 163 • 24 = = 24 • (263 – 163) = 2400

Большое количество примеров решается на основе этих законов.

№8. Используя законы сложения, выполните следующие вычисления:

а) 48 + 56 + 52; д) 25 + 65 + 75;

б) 34 + 17 + 83; е) 35 + 17 + 65 + 33;

в) 56 + 24 + 38 + 62; ж) 27 + 123 + 234 + 16; г) 88 + 19 + 21 + 12; з) 156 + 79 + 21 + 44.

№9. С помощью законов умножения значения следующих выражений вычислите устно:

а) 76 ∙ 5 ∙ 2; в) 69 ∙ 125 ∙ 8; д) 8 ∙ 941 ∙ 125;

б) 465 ∙ 25 ∙ 4; г) 4 ∙ 213 ∙ 5 ∙ 5; е) 2 ∙ 5 ∙ 126 ∙ 4 ∙ 25.

Выполните действия устно с помощью арифметических законов:

№10. а) 43 ∙ 16 + 43 ∙ 84; д) 62 ∙ 16 + 38 ∙ 16;

б) 85 ∙ 47 + 53 ∙ 85; е) 85 ∙ 44 + 44 ∙ 15;

в) 54 ∙ 60 + 460 ∙ 6; ж) 240 ∙ 710 + 7100 ∙ 76;

г) 23 ∙ 320 + 230 ∙ 68; з) 38 ∙ 5800 + 380 ∙ 52 №11. а) 4 ∙ 63 + 4 ∙ 79 + 142 ∙ 6;

б) 7 ∙ 125 + 3 ∙ 62 + 63 ∙ 3;

в) 17 ∙ 27 + 23 ∙ 17 + 50 ∙ 19;

г) 38 ∙ 46 + 62 ∙ 46 + 100 ∙ 54.

№12. а) 63 ∙ 1,6 + 1,6 ∙ 37; в) 2,8 ∙ 74 + 2,8 ∙ 26; б) 0,69 ∙ 14 − 0,19 ∙ 14; г) 48 ∙ 4,51 + 4,51 ∙ 52. №13. а) 2,839 ∙ 35 + 65 ∙ 2, 839; б) 0,58 ∙ 25 − 0,48 ∙ 24;

в) 0,58 ∙ 25 − 0,18 ∙ 25;

г) 15 ∙ 0,46 − 15 ∙ 0,16.

№14. а) 34 ∙ 84 − 24 ∙ 84; в) 51 ∙ 78 − 51 ∙ 58;

б) 45 ∙ 40 − 40 ∙ 25; г) 63 ∙ 7 − 7 ∙ 33. 10

Применяя законы арифметических действий, найдите значения выражений устно:

№15. а) 560 ∙ 188 − 880 ∙ 56;

б) 84 ∙ 670 − 640 ∙ 67;

в) 490 ∙ 730 − 73 ∙ 900;

г) 36 ∙ 3400 − 360 − 140.

№16. а) 56 ∙ 13 + 5,6 ∙ 70; б) 2,7 ∙ 28 − 1,8 ∙ 27;

в) 3,5 ∙ 26 − 1,6 ∙ 354 ;

г) 74 ∙ 26 + 2,6 ∙ 260. №17. а) 35 ∙ 98 + 350 ∙ 0,2; в) 5,4 ∙ 27 − 1,7 ∙ 54;

б) 29 ∙ 25 + 2,9 ∙ 50; г) 37 ∙ 34 + 3,4 ∙ 630. №18. а) 5,6 ∙ 38 − 2,8 ∙ 56; в) 92 ∙ 14 + 9,2 ∙ 60;

б) 35 ∙ 54 + 3,5 ∙ 460; г) 83 ∙ 57 + 8,3 ∙ 430.

№19. а) 16,25 + 24, 3 + 3,75l

б) 35,7 + 88,2 − 5,7 − 8,2;

в) 39,54 + 44,8 + 40,46 + 5,2;

г) 0,58 + 6,43 + 3,57 + 0,42.

№20. а) 67,4 + 49,63 − 4,63 − 2,4;

б) 18,34 + 31,66 − 18,5 − 1,5;

в) 41,57 − 11,5 − 0,07 + 60;

г) 65,98 + 55,77 + 35,23.

№21. Вычислите устно, используя известные вам приёмы:

а) 13 ∙ 5 + 71 ∙ 5; в) 87 ∙ 5 − 23 ∙ 5; д) 43 ∙ 25 + 25 ∙ 17; б) 58 ∙ 5 − 36 ∙ 5; г) 46 ∙ 5 + 54 ∙ 5; е) 25 ∙ 67 − 39 ∙ 25.

№22. а) 23 ∙ 15 + 15 ∙ 77; д) 79 ∙ 21 − 69 ∙ 21;

б) 67 ∙ 58 + 33 ∙ 58; е) 55 ∙ 682 − 45 ∙ 682;

в) 340 ∙ 7 + 16 ∙ 70; ж) 7300 ∙ 3 + 730 ∙ 70;

г) 250 ∙ 61 − 25 ∙ 390; з) 500 ∙ 38 − 50 ∙ 80.

В математике существуют числа, называемые обратными. Произведение таких чисел равно 1. Это свойство можно использовать при решении примеров.

Например, 0,2 ∙ 34,7 ∙ 5 = 0,2 ∙ 5 ∙ 34,7 = 1 ∙ 34,7 = 34,7;

4 ∙ 456,67 ∙ 0,25 = 4 ∙ 0,25 ∙ 456,67 = 1 ∙ 456,67 = 456,67;

0,8 ∙ 83,2 ∙ 12,5 = 0,8 ∙ 12,5 ∙ 83,2 = 10 ∙ 83,2 = 832.

Применяя данный выше приём, найдите значения следующих выражений устно:

№23. а) 27,3 ∙ 0,5 ∙ 2; в) 2,5 ∙ 0,4 ∙ 50 ∙ 0,02; б) 0,25 ∙ 53,34 ∙ 4; г) 44,81 ∙ 125 ∙ 0,08.

№24. а) 5 ∙ 79,23 ∙ 0,2; в) 1,25 ∙ 500 ∙ 0,2 ∙ 0,08; б) 72,3 ∙ 0,25 ∙ 0,4; г) 579 ∙ 5 ∙ 0,002. №25. а) 0,125 ∙ 6,53 ∙ 8; в) 125 ∙ 0,2 ∙ 16,79 ∙ 0,4;

б) 28,25 ∙ 0,8 ∙ 12,5; г) 28,81 ∙ 0,25 ∙ 0,4. Как известно, в математике есть положительные и отрицательные числа. Иногда бывает, что сумма положительного и отрицательного чисел равна 0. Тогда говорят, что числа взаимно уничтожились, а сами числа называют противоположными. Если в выражении есть такие числа, то нужно сложить их, а затем выполнять остальные действия, тогда вы значительно упростите решение и сэкономите время. Например, 67 + 2,34 + 23 − 67 − 2,34 = 67 + (− 67) +

+ (−2,34 + 2,34)+ 23 = 0 + 0 + 23 = 23. Решите следующие выражения рационально, с помощью данного выше примера: №26. 1) 27 + 5 − 27; 5) 53 − 45 − 53; 2) −28 + 4 + 24; 6) −71 + 22 + 71; 3) 45 − 23 − 22; 7) 4,2 + 0,3 − 4,5; 4) 8 − 35 + 35; 8) 3,54 − 2, 74 + 2,2.

12

Используя законы арифметических действий, вычислите значения выражения:

№27. а) 71 − 6 + 29 − 54; г) − 6+ 17 + 40 − 57; б) 25 − 91 − 99 + 15; д) − 18 + 64 − 22 + 36; в) − 35 + 30 − 25 + 70; е) 53 + 18 − 48 − 23. №28. а) 3,4 − 7,2 − 2,8 + 6,6;

б) −5,1 + 8,3 + 8,7 − 4,9;

в) 29,6 − 54,49 + 70,4 − 55,41;

г) − 98,4 − 52,06 + 25,2 + 25,26;

д) 43,52 + 47,3 − 60,8 − 100,05;

е) − 31,6 + 11,08 − 31,04 + 62,64.

Вычислите устно:

№29. а) − 25 − 34 + 25 − 66; б) − 18 + 3 + 15 − 17;

в) 78 − 42 − 18 + 52;

г) 19 − 87 + 41 − 13. №30. а) − 78 + 20 + 26 − 46 − 100 − 22;

б) − 51 − 37 − 22 + 59 + 24 + 27.

Иногда есть смысл в одном и том же выражении применить тот же самый закон несколько раз последовательно.

Например, 109 9,17 – 5,37 72 – 37 ∙ 9,17 + 1,2 ∙ 72 = 9,17 (109 – 37) – 72 (5,37 – 1,2) = 9,17 ∙72 – 72 ∙ ∙4,17 = 72 (9,17 – 4,17) = 72 ∙ 5 = 360.

Вычислите устно:

№31.

a) (−4,49) – (−0,57) + 2,44 – 8,101− 0,57−(−4,49);

б) – 4,36 + 4,306 + (−8,8) –(−9,854) – (+4,306) + 8,8.

13

Вычислите устно:

№32.

a) – 25,5 – 3,4 + 7,28 + 25,5 + 34 : 10 – 0,728 ∙ 10 +

+ 2,85;

б) 5,88 + 0,963 – 0,0588 ∙ 100 – 56,4 – 96,3 : 100 – 43,6;

в) 7,41 : 10 – 6,92 + 7,46 – 0,741 + 0,692 ∙ 10 – 14.92;

г) – 82,6 – 34,24 + 6,59 + 0,826 ∙ 100 – 659 : 100 +17,12.

№33.

a) 0,78 ∙ 17 + 1,7 ∙ 26,1 – 2,5 ∙ 0,42 – 314 ∙ 0,17 – 0,25 ∙

∙ 8,8;

б) 15,32 ∙ 0,5 – 79,6 ∙ 0,05 – 31,8 ∙ 1,723 – 0,398 ∙ 5 + +167,3 ∙ 0,318. №34.

a) (−5,48) – (−1,52) + 7,42 – 8,01 – 7,42 –(−5,48);

б) 9,49 –(−1,37) – 1,1 – 9,49 –(+2,31) – 0,27;

в) –(−7,29) –(−0,22) – 4,09 – 3,2 – 0,22 +(−1,85);

г) –(−4,07) + (−0,54) – 2,035 – (− 2,81) – 0,45 + +(−2,035).

№35.

a) −15,28 –(−34,96) –(+24,15) –(−4,51) +(−81,05);

б) –(+80,61) – 23,49 +(+64,045) – (−55,955) – (+96,51);

в) 74,62 – 58,025 +(−34,31) – (−56,78) – (+39,065);

г) –(−49,96) + 54,28 –(+28,168) – 34,971 + (−42,101).

С помощью законов арифметических действий можно не только быстро решать примеры, но и сокращать дроби, состоящие из объёмных выражений.

Пример 1. == ==

14

== = = −5.

Пример 2. .

Вычислите наиболее рациональным способом: №36. a) ;

б) .

№37. a) б) .

№38. .

Бывают случаи, когда для решения одного примера, пользуются сразу несколькими законами арифметики.

15

4. Свойства степени

Знание и умение применять свойства степеней значительно сокращают время на поиск значения числового выражения, содержащего степени. Напомним эти свойства:

as ∙ at = as + t; as : at = as - t; (as)t = as ∙ t; (a ∙ b)s = as ∙ bs; (s = , где b 0.

Например, = = = = =8;

= = = 5.

Применяя свойства степеней, найдите значение выражения:

№39. a) ; б) ; в) ; г) . №40. а); б); в); г).

№41. a) : ;

б) : .

16

Применяя свойства степеней, найдите значение выражения:

№42. a) ; б) ; в) .

№43. a) (64 ∙ 4^-5)²; б) ;

в) (128 ∙ 2^-6)^-2; г) .

№44. a) ; б) ;

в) ; г).

№45. a) 10⁸ ∙ 10^-5 ∙ 10^-6; б) (5²)^-2 ∙ 5³;

в) 12⁰ : (12^-1)²; г) .

17

5. Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения часто выручают в быстром поиске правильного ответа многих вычислительных примеров.

Название формулы	Формула	Пример
Разность квадратов двух выражений	а2 – b2 = (a – b)(a + b)	69 ∙71 = (70 -1) (70+ +1) = 702 – 12 = = 4900 – 1 = 4899
Квадрат разности двух выражений	(a – b)2 = a2 – 2ab + b2	692 = (70 – 1)2 = =4900 – 140 + 1 = =4761
Квадрат суммы двух выражений	(a + b)2 = a2 + 2ab + b2	922 = (90 + 2) 2= =8100 + 360 + 4 = =8464
Разность кубов двух выражений	a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)	= 27 – -13 = 14
Сумма кубов двух выражений	a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)	= 47 + +33 = 80

18

Используя формулы (a – b)² = a² – 2ab + b² и (a + b)² = a² + 2ab + b², вычислите:

№46. a) 79²; б) 39²; в) 59²; г) 49².

№47. a) 21²; б) 31²; в) 61²; г) 91².

№48. a) 42²; б) 62²; в) 82²; г) 32².

№49. a) 98²; б) 28²; в) 88²; г) 58².

№50. a) (12²; б) (- 7)²; в) (7 ²; г) (- 13 )².

№51. a) (12²; б) (14)²; в) (39 ²; г) (15 )².

Используя формулу (a + b) (a – b) = а² – b,² вычислите:

№52. a) 59 ∙ 61; б) 31 ∙ 29; в) 89 ∙ 91; г) 101 ∙ 99.

№53. a) 58 ∙ 62; б) 82 ∙ 78; в) 42 ∙ 38; г) 18 ∙ 22.

№54. a) 0,49 ∙ 0,51; б) 0,78 ∙ 0,82;

в) 0,67 ∙ 0,73; г) 1,21 ∙ 1,19.

№55. a) 10 ∙ 9 ; б) 10 ∙ 9,6;

в) 99 ∙ 100 ; г) 7 ∙ 8,2.

Вычислите наиболее рациональным способом:

№56. a) 34² + 2 34 ∙ 36 +36²;

б) 27² - 2 27 ∙ 13 +13²;

в) 98² - 2 98 ∙ 8 +8²;

г) 76,4² + 1,36²+ 2 76,4 ∙ 13,6.

№57. a) 257² - 143²; б) 73,6² – 26,4²;

в) 165² - 65²; г) 72,5² – 47,5²;

д) (6)² – (5)²; е) (7)² – (3)².

19

Вычислите наиболее рациональным способом:

№58. a) ; в) ;

б) ; г) .

№59. a);

б) .

№60. a) ;

б) ;

в) ;

г) .

№61. a) ; в) ;

б) ; г) .

Значения некоторых числовых выражений можно вычислить, применяя сразу несколько различных формул сокращённого умножения.

Например, =

= =

20

= =

= = = = 23.

Вычислите, применяя формулы сокращённого умножения:

№62. a) ;

б) ;

в) ;

г) .

№63. .

Иногда есть смысл в одном и том же выражении применить одну и ту же из формул сокращённого умножения несколько раз последовательно.

Например, (2 – 1) (2 + 1) (2² + 1) (2⁴ + 1) (2⁸ + 1) – 2 ¹⁶ = (2² – 1) (2⁴ + 1) (2⁸ + 1) – 2 ¹⁶ = (2⁴ - 1) (2⁴ + 1) (2⁸ + 1) – 2 ¹⁶ = (2⁸ - 1) (2⁸ + 1) – 2 ¹⁶ =

= 2 ¹⁶ – 1 - 2 ¹⁶ = -1.

Рассуждая аналогично, найдите значение числового выражения:

№64. 3 (2² + 1) (2⁴ + 1) (2⁸ + 1) (2¹⁶ + 1) – 2³².

21

6. Комбинация различных приёмов

Самые сложные числовые выражения чаще всего требуют для их решения применения сразу нескольких приёмов, указанных в данной работе.

Это как раз и приводит к «красивому» решению примера.

Приведём пример вычисления значения одного из таких выражений:

= = =

= = =

В приведённом примере используется два приёма – разложение на множители на основе распределительного закона умножения относительно сложения и применение одного из свойств степени.

Следующие ниже задания выполните, комбинируя различные приёмы быстрого счёта:

№65. а) ; б) .

22

Ответы

1. Замена числа равносильным ему выражением

№1. а) 335; б) 580; в) 2220; г) 11750. №2. а) 290; б) 1400; в) 2940; г) 18500. №3. 1) 850; 2) 2150; 3) 2650; 4) 6100; 5) 700; 6) 1300; 7) 2100; 8) 5200; 9) 24000; 10) 14000; 11) 37000;

12) 43000.

№4. 1) 17; 2) 19; 3) 37; 4) 21; 5) 24; 6) 19; 7) 13; 8) 20; 9) 51.

1. Округление чисел

№5. а) 421; 329; б) 476; 583; в) 361; 2614; г) 1173; 989. №6. а) 423; б) 306; в) 6732; г) 5841; д) 3136; е) 5488; ж) 3582; з) 10746.

№7. 1) 341; 2) 858; 3) 759; 4) 3838; 5) 6767; 6) 8888; 7) 4284; 8) 9078; 9) 72927; 10) 44910; 11) 3852; 12) 2484.

1. Законы арифметических действий

№8. а) 156; б) 134; в) 180; г) 140; д) 165; е) 150; ж) 400; з) 300.

№9. а) 760; б) 46500; в) 69000; г) 21300; д) 941000; е) 126000.

№10. а) 4300; б) 8500; в) 6000; г) 23000; д) 1600; е) 4400; ж) 710000; з) 418000. №11. а) 1420; б) 1250; в) 1800; г) 10000.

№12. а) 160; б) 7; в) 280; г) 451.

№13. а) 283,9; б) 2,4; в) 10; г) 4,5.

№14. а) 840; б) 800; в) 1020; г) 210.

№15. а) 56000; б) 13400; в) 292000; г) 72000.

№16. а) 1120; б) 27; в) 35; г) 2600.

23

Ответы

№17. а) 3500; б) 870; в) 54; г) 3400.

№18. а) 56; б) 3500; в) 1840; г) 8300.

№19. а) 44,3; б) 110; в) 130; г) 11.

№20. а) 110; б) 30; в) 90; г) 156,98.

№21. а) 420; б) 110; в) 320; г) 510; д) 1500; е) 70

№22. а) 1500; б) 5800; в) 3500; г) 5500; д) 210; е) 6820; ж) 73000; з) 15000.

№23. а) 27,3; б) 53,34; в) 1; г) 448,1.

№24. а) 79,23; б) 7,23; в) 10; г) 5,79.

№25. а) 6,53; б) 282,5 в) 167,9; г) 2,881.

№26. 1) 5; 2) 0; 3) 0; 4) 8; 5) −45; 6) 22; 7) 0; 8) 3.

№27. а) 40; б) −150; в) 40; г) −6; д) 60; е) 0.

№28. а) 0; б) 7; в) −9,9; г) −100; д) −70,03; е) 11,08.

№29. а) −100; б) −17; в) 70; г) −40.

№30. а) −200; б) 0.

№31. а) −5,661; б) 5,494.

№32. а) 2,85; б) −100; в) −7,46; г) −17,12.

№33. а) 1; б) 0,1.

№34. а) −6,49; б) − 2,31; в) −1,85; г) 1,82.

№35. а)− 81,01; б)−80,61; в) 0; г)− 1.

№36. а) 20; б) 100.

№37. a)25; б) 0,5.

№38. .

1. Свойства степени

№39. а); б)0,36; в)49; г).

№40. а)4; б)3; в) ; г).

№41. a) 1; б) 4 .

№42. a) 0,09; б) ; в) 36.

№43. а); б)25; в) ; г).

№44. а)144; б)128; в) 225; г) 0,2.

№45. а) 0,001; б) 0,2; в)144; г) 0,5.

24

Ответы

1. Формулы сокращённого умножения

№46. a) 5184; б) 1521; в) 3481; г) 2401.

№47. a) 441; б) 961; в) 3721; г) 8281.

№48. a) 1764; б) 3844; в) 6724; г) 1024.

№49. a) 9604; б) 784; в) 7744; г) 3364.

№50. a) 146²; б) 53; в) 52 ; г) 175 .

№51. a) 167; б) 122; в) 1598 ;г) 250 .

№52. a) 3599; б) 899; в) 7399; г) 9999.

№53. a) 3596; б) 6396; в) 1596; г) 396.

№54. a) 0,2499; б) 0,6396; в) 0,4891; г) 1,4399.

№55. a) 98 ; б) 99,84; в) 9999 ; г) 63,96.

№56. a) 4900; б)196; в) 8100; г) 10000.

№57. a) 45600; б) 4720; в) 23000; г) 3000; д) 11; е) 44.

№58. a) 0,25; б) 72 в) 12; г) 130.

№59. a) 17; б) 25.

№60. a) 12; б) 6; в) 14; г)12.

№61. a) 8,5; б) ; в) ; г) .

№62. a) ; б) 1,5; в) 25; г) .

№63. 10 000.

№64. - 1.

1. Комбинация различных приёмов

№65. a) ; б) 10.

25

Литература

1. Зубарева И. И. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.– М.: Мнемозина, 2007г.

2. Зубарева И. И. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.– М.: Мнемозина, 2007г.

3. Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс Ч. 1.: Учебник для общеобразовательных учреждений.– М.: Мнемозина, 2007.

4. Мордкович А. Г., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Александрова Л. А. Алгебра. 7 класс Ч. 2.: Задачник для общеобразовательных учреждений.– М.: Мнемозина, 2007.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс Ч. 1.: Учебник для общеобразовательных учреждений.– М.: Мнемозина, 2007.

6. Мордкович А. Г., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Александрова Л. А. Алгебра. 8 класс Ч. 2.: Задачник для общеобразовательных учреждений.– М.: Мнемозина, 2007.

7. Ступницкая М. А. Что такое учебный проект? – М.: Первое сентября, 2012.

26