Просмотр содержимого документа
«Методика преподавания курса «Вероятность и статистика» учебного предмета «Математика»»
Методика преподавания
курса «Вероятность и статистика»
учебного предмета «Математика» в условиях реализации федеральной образовательной программы основного общего образования
Подготовила: учитель математики
МБОУ Буйлэсанская СОШ
Бимбаева Б.К
2024
В настоящее время развернут сложный процесс реализации новой стратегии развития образования, которая обеспечила бы российской образовательной системе конкурентоспособность в современном мире. Это нашло воплощение в государственной программе Российской Федерации «Развитие образования» на 2018–2025 годы как:
— достижение качества образования, которое характеризуется лидирующими позициями российского образования;
— доступность образования, включающая создание условий, соответствующих требованиям федеральных государственных образовательных стандартов, в государственных и муниципальных общеобразовательных организациях;
— формирование функциональной грамотности обучающихся, т. е. умения применять полученные знания, умения и навыки при решении широкого спектра практико-ориентированных задач.
В современном цифровом мире вероятность и статистика приобретают все большую значимость как с точки зрения практических приложений, так и их роли в образовании, необходимом каждому человеку. Возрастает число профессий, при овладении которыми требуется хорошая базовая подготовка в области вероятности и статистики, такая подготовка важна для продолжения образования и для успешной профессиональной карьеры. Каждый человек постоянно принимает решения на основе имеющихся у него данных. А для обоснованного принятия решения в условиях недостатка или избытка информации необходимо, в том числе, хорошо сформированное вероятностное и статистическое мышление. Именно поэтому остро встала необходимость сформировать у обучающихся функциональную грамотность, включающую в себя в качестве неотъемлемой составляющей умение воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных процессов и зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Таким образом, с 2023/24 учебного года во всех общеобразовательных организациях был введен новый учебный курс «Вероятность и статистика» в 7–10-х классах. В курсе «Вероятность и статистика» предусмотрено знакомство с основными принципами сбора, анализа и представления данных из различных сфер жизни общества и государства, приобщение обучающихся к общественным интересам; изучение основ комбинаторики, что развивает навыки организации перебора и подсчета числа вариантов, в том числе в прикладных задачах; знакомство с основами теории графов, что создает математический фундамент для формирования компетенций в области информатики и цифровых технологий. При изучении статистики и вероятности обогащаются представления обучающихся о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации, закладываются основы вероятностного мышления.
Однако образовательная практика фиксирует у педагогических работников недостаточный уровень владения методикой обучения школьников по данному курсу, так как ранее в программе подготовки будущих учителей математики не изучались основы преподавания этого раздела математики.
Федеральная рабочая программа основного общего образования «Математика» разработана для реализации на базовом и углубленном уровне. Концепция развития математического образования определяет три уровня изучения математики и итоговых требований:
Математика для жизни;
Математика для применения в профессии;
Творческая математика.
В связи с этим подчеркнем, что вероятность и статистика – не удел специальных школ и углубленных классов. Вероятность и статистика нужны всем.
В структуре предмета «математика» выделено три учебных курса: «Алгебра», «Геометрия», «Вероятность и статистика». В программе отражены особенности распределения содержания обучения и требований к образовательным результатам обучающихся по годам обучения по курсу «Вероятность и статистика». Содержание обучения важно рассматривать в тесной взаимосвязи с запланированными предметными результатами, что позволяет решить проблему обеспечения достижений предметных, метапредметных и личностных результатов в рамках изучения данного курса. Выделим основные линии содержания программы учебного курса «Вероятность и статистика»: случайная изменчивость; вероятность; описательная статистика и введение в теорию графов. Эти линии параллельно развиваются в тесном контакте и взаимодействии. Учебно-методическим комплектом по курсу «Вероятность и статистика», рекомендованным к использованию в учебном процессе является «Математика. Вероятность и статистика», 7–9-е классы, автор И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко.
Программой учебного предмета «математика» и федеральным учебным планом на базовом и углубленном уровнях рекомендовано выделение для изучения учебного курса «Вероятность и статистика» 1 часа в неделю учебного времени, начиная с 7-го класса. В соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом основного общего образования учебный курс «Вероятность и статистика» в рамках учебного предмета «математика» является обязательным компонентом школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим для формирования у обучающихся функциональной грамотности — умения воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. При проектировании современного учебного занятия по курсу «Вероятность и статистика» необходимо соблюдать ряд требований: формирование и поддержание высокого уровня мотивации и активности обучающихся, эффективное планирование времени, использование современных технологий и средств обучения, нацеленность на личностно ориентированное взаимодействие с обучающимися, демонстрация практической значимости приобретенных знаний и умений. При выборе оптимального подхода к обучению по курсу «Вероятность и статистика» необходимо учитывать высокую практическую ориентированность курса, что отражено и в тематическом планировании федеральной рабочей программы (к каждому разделу запланировано проведение практических работ). Важно обосновать выбор оптимальных форм и методов обучения. Важнейшим условием успешного усвоения учебного материала по курсу является межпредметная интеграция материала, использование в учебном процессе кейсов. Кроме того, успешным будет использование исследовательской и проектной деятельности на уроках курса.
Методические особенности изучения отдельных разделов курса «Вероятность и статистика»
Основные содержательные линии курса «Вероятность и статистика»: Представление данных и описательная статистика. Вероятность. Введение в теорию графов.
Кроме того, в рамках курса необходимо осуществить знакомство обучающихся с темой «Множества»: элементы множества, операции над множествами, примеры применения для решения задач. Цель изучения элементов теории множеств в 8-м классе — формирование у обучающихся представления о множествах как универсальных математических объектах (наборы предметов и объектов, случайные события, числовые множества, множества решений уравнений и неравенств, числовые промежутки, геометрические места точек). Необходимо, чтобы восьмиклассники научились использовать операции над множествами в математических рассуждениях вне зависимости от природы множеств.
Рассмотрим возможности реализации каждой из содержательных линий отдельно.
Представление данных и описательная статистика
Тематическая линия «Представление данных и описательная статистика» изучается в 7-м (15 часов) и 8-м (4 часа) классах.
В 7-м классе обучающиеся должны освоить следующее содержание.
Раздел «Представление данных»
Представление данных в таблицах. Практические вычисления по табличным данным. Извлечение и интерпретация табличных данных. Практическая работа «Таблицы».
Графическое представление данных в виде круговых, столбиковых (столбчатых) диаграмм. Чтение и построение диаграмм. Примеры демографических диаграмм. Практическая работа «Диаграммы».
Характеристика деятельности обучающихся по данному разделу:
— осваивать способы представления статистических данных и числовых массивов с помощью таблиц и диаграмм с использованием актуальных и важных данных (демографические данные, производство промышленной и сельскохозяйственной продукции, общественные и природные явления);
— изучать методы работы с табличными и графическими представлениями данных с помощью цифровых ресурсов в ходе практических работ.
На данный раздел отведено две практические работы, которые могут быть реализованы при помощи цифровых образовательных ресурсов либо выполнены обучающимися вручную.
Раздел «Описательная статистика»
Числовые наборы. Среднее арифметическое. Медиана числового набора. Устойчивость медианы. Практическая работа «Средние значения». Наибольшее и наименьшее значения числового набора. Размах.
При этом обучающиеся демонстрируют следующие виды деятельности:
— осваивать понятия: числовой набор, мера центральной тенденции (мера центра), в том числе среднее арифметическое, медиана;
— описывать статистические данные с помощью среднего арифметического и медианы;
— решать задачи;
— изучать свойства средних, в том числе с помощью цифровых ресурсов, в ходе практических работ;
— осваивать понятия: наибольшее и наименьшее значения числового массива, размах;
— решать задачи на выбор способа описания данных в соответствии с природой данных и целями исследования.
В 8-м классе обучающиеся должны освоить следующее содержание по разделу «Описательная статистика. Рассеивание данных»: Отклонения. Дисперсия числового набора. Стандартное отклонение числового набора. Диаграммы рассеивания.
При этом обучающиеся демонстрируют следующие виды деятельности:
— осваивать понятия: дисперсия и стандартное отклонение, использовать эти характеристики для описания рассеивания данных;
— выдвигать гипотезы об отсутствии или наличии связи по диаграммам рассеивания;
— строить диаграммы рассеивания по имеющимся данным, в том числе с помощью компьютера.
Вопросы и задания
Практическая работа(например)
Подобрать статистические данные, отражающие региональные особенности Забайкальского края для использования при обучении по данной теме. В дальнейшем на основе выбранного статистического материала составить задания для школьников, сформировать рекомендации по использованию этих заданий в учебной деятельности. Разработанные задания размещаются на общем сетевом ресурсе, на их основе формируется банк заданий по теме «Описательная статистика» для использования в практической деятельности учителя.
Случайная изменчивость
Тематическая линия «Случайная изменчивость» изучается в 7-м классе (6 часов).
По разделу «Случайная изменчивость» обучающиеся осваивают следующее содержание: случайная изменчивость (примеры); частота значений в массиве данных; группировка; гистограммы. Практическая работа «Случайная изменчивость».
При этом обучающиеся демонстрируют следующие виды деятельности:
— осваивать понятия: частота значений в массиве данных, группировка данных, гистограмма; — строить и анализировать гистограммы, подбирать подходящий шаг группировки;
— осваивать графические представления разных видов случайной изменчивости, в том числе с помощью цифровых ресурсов, в ходе практической работы
Вопросы и задания
Практическая работа
Разработать практикум по теме «Группировка данных и гистограмма», а также методические рекомендации по использованию практикума при преподавании курса «Вероятность и статистика». В качестве образца для составления и оформления заданий можно использовать «Тетрадь по теории вероятности»
Введение в теорию графов
Тематическая линия «Введение в теорию графов» изучается в 7-м (4 часа) и в 8-м (4 часа) классах.
По разделу «Введение в теорию графов» обучающиеся в 7-м классе осваивают следующее содержание: Граф, вершина, ребро. Представление задачи с помощью графа. Степень (валентность) вершины. Число ребер и суммарная степень вершин. Цепь и цикл. Путь в графе. Представление о связности графа. Обход графа (эйлеров путь). Представление об ориентированных графах.
При этом обучающиеся демонстрируют следующие виды деятельности:
— осваивать понятия: граф, вершина графа, ребро графа, степень (валентность вершины), цепь и цикл;
— осваивать понятия: путь в графе, эйлеров путь, обход графа, ориентированный граф;
— решать задачи на поиск суммы степеней вершин графа, на поиск обхода графа, на поиск путей в ориентированных графах;
— осваивать способы представления задач из курса алгебры, геометрии, теории вероятностей, других предметов с помощью графов (карты, схемы, электрические цепи, функциональные соответствия) на примерах.
По разделу «Введение в теорию графов» обучающиеся в 8-м классе осваивают следующее содержание: Дерево. Свойства дерева: единственность пути, существование висячей вершины, связь между числом вершин и числом ребер. Правило умножения.
При этом обучающиеся демонстрируют следующие виды деятельности:
— осваивать понятия: дерево как граф без цикла, висячая вершина (лист), ветвь дерева, путь в дереве, диаметр дерева;
— изучать свойства дерева: существование висячей вершины, единственность пути между двумя вершинами, связь между числом вершин и числом ребер;
— решать задачи на поиск и перечисление путей в дереве, определение числа вершин или ребер в дереве, обход бинарного дерева, в том числе с применением правила умножения Вопросы и задания
Практическая работа(например)
Разработать иллюстративный материал по теме «Дерево вариантов», используя банк заданий по теории вероятностей на сайте ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений» (ФИПИ). На основе разработанных заданий сформировать банк заданий и иллюстраций по теме «Дерево вариантов», который можно использовать при подготовке к государственной итоговой аттестации.
Проектирование урока математики по учебному курсу «Вероятность и статистика» Методологической основой федерального государственного образовательного стандарта является системно-деятельностный подход, то есть подход, при котором в учебном процессе главное место отводится активной и разносторонней, в максимальной степени самостоятельной познавательной деятельности школьника.
Основные характеристики системно-деятельностного подхода:
— результат обучения — развитие личности обучающегося на основе учебной деятельности; — педагогическая задача
— создание и организация условий, инициирующих действие обучающегося;
— работа учителя заключается в том, чтобы организовать исследовательскую деятельность учеников с целью подведения их к постановке проблемы, цели урока и составления алгоритмов действий при решении учебных задач.
Уроки деятельностной направленности по целеполаганию можно распределить на четыре группы.
Уроки «открытия» нового знания
Деятельностная цель: формирование способности учащихся к новому способу действия. Образовательная цель: расширение понятийной базы за счет включения в нее новых элементов.
Структура урока «открытия» нового знания:
1) этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности;
2) этап актуализации пробного действия;
3) этап выявления места и причины затруднения;
4) этап построения проекта выхода из затруднения;
5) этап реализации построенного проекта;
6) этап первичного закрепления с проговариванием в речи;
7) этап самостоятельной работы с проверкой по эталону;
8) этап включения в систему знаний и повторения;
9) этап рефлексии учебной деятельности.
2. Уроки рефлексии
Деятельностная цель: формирование у учащихся способностей к рефлексии коррекционно-контрольного типа и реализации коррекционной нормы (фиксирование собственных затруднений в деятельности, выявление их причин, построение и реализация проекта выхода из затруднения и т. д.).
Образовательная цель: коррекция и тренинг изученных понятий, алгоритмов и т. д.
Структура урока рефлексии:
1) этап мотивации (самоопределения) к коррекционной деятельности;
2) этап актуализации и пробного учебного действия;
3) этап локализации индивидуальных затруднений;
4) этап построения проекта коррекции выявленных затруднений;
5) этап реализации построенного проекта;
6) этап обобщения затруднений во внешней речи;
7) этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону;
8) этап включения в систему знаний и повторения;
9) этап рефлексии учебной деятельности на уроке.
3. Уроки общеметодологической направленности
Деятельностная цель: формирование способности учащихся к новому способу действия, связанному с построением структуры изученных понятий и алгоритмов.
Образовательная цель: формировать у учащихся представления о методах организации самой учебной деятельности, направленной на самоизменение и саморазвитии.
Структура урока общеметодологической направленности строго не определена и может соответствовать либо структуре «урока открытия нового знания» или урока рефлексии.
4. Уроки развивающего контроля
Деятельностная цель: формирование способности учащихся к осуществлению контрольной функции.
Образовательная цель: контроль и самоконтроль изученных понятий и алгоритмов. Структура уроков развивающего контроля
Первый урок:
1) этап мотивации (самоопределения);
2) этап проведения контрольной работы;
3) этап актуализации и самоконтроля.
Второй урок:
1) этап анализа контрольной работы;
2) этап локализация индивидуальных затруднений;
3) этап построения проекта коррекции выявленных затруднений;
4) этап реализации построенного проекта;
5) этап обобщения затруднений во внешней речи;
6) этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону;
7) этап повторения;
8) этап рефлексии учебной деятельности.
В приложении 2 представлено содержание каждого этапа уроков открытия нового знания и рефлексии.
Один из способов построения современного урока математики — это разработка технологической карты. В структуре технологической карты урока выделяют блоки, соответствующие идее технологизации учебного процесса.
Блок целеполагания (тема урока и цель урока)
На уроке цель определяется планируемым результатом урока, путями реализации этого плана.
Инструментальный блок
Каждое действие мысленно предвосхищается как задача, которую необходимо решить. Условия задач формулирует учитель. Однако учитель с помощью проблемных вопросов побуждает ребят самостоятельно формулировать задачи, решение которых приведет к цели.
Необходимо сформулировать перечень всех задач, выстроить их иерархическую последовательность как программу деятельности на уроке. Формулировка задач урока чаще всего имеет форму ответов на вопрос: «Что я должен сделать, чтобы достичь цели урока?». Соответственно, начало фразы выглядит следующим образом: проверить… объяснить… повторить… научить… продемонстрировать… побудить к самостоятельному… и т. п.
На фоне этого перечня учитель увидит наиболее целесообразный для решения этих задач тип урока.
Организационно-деятельностный блок
Описание системы учебных занятий.
Структура технологической карты сегодня строго не фиксирована и может варьироваться в зависимости от типа урока, учебного предмета, целей урока и т. п. Приведем часто встречающуюся структуру технологической карты.
Технологическая карта с дидактической структурой урока
1. Ф. И. О.___________________________________________________
2. Класс: _________
Дата: ___________
Предмет: ________________
Номер урока по расписанию: __________________________________
4. Место и роль урока в изучаемой теме: _________________________
5. Цель урока: _______________________________________________
Дидактическая структура урока
Деятельность учителя
Деятельность учеников
Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению планируемых результатов
Планируемые результаты
предм етные
Метапред
метные
Личност
ные
Оценивание достижений обучающимися планируемых результатов освоения учебного курса «Вероятность и статистика»
Оценивание достижений обучающимися планируемых результатов освоения учебного курса проводится в рамках промежуточной и итоговой аттестации. Промежуточная аттестация — это механизм контроля результатов освоения обучающимися всего объема или части учебного предмета, курса, дисциплины (модуля) образовательной программы (ч. 1 ст. 58 Федерального закона № 273-ФЗ). Периодичность, формы и порядок проведения промежуточной аттестации устанавливают в локальном нормативном акте образовательной организации (п. 10 ч. 3 ст. 28, ч. 2 ст. 30, ч. 1 ст. 58 Федерального закона № 273-ФЗ), например, в Положении о текущем контроле успеваемости и промежуточной аттестации обучающихся в образовательной организации.
Могут быть использованы письменные и устные формы промежуточной аттестации. К письменным формам промежуточной аттестации относят: тесты; комплексные контрольные работы; контрольные работы: контрольные задачи, задания на основе текста; рефераты.
К устным формам промежуточной аттестации относят: доклады, сообщения; собеседование; защиту проекта; экзамен.
Рекомендовано на контрольные работы в течение учебного года отводить не более 10% времени.
Рассмотрим структуру диагностической и контрольной работы по математике. Каждая работа должна иметь спецификацию и несколько вариантов заданий. В содержании спецификации к контрольной и диагностической работе необходимо отразить следующие вопросы.
1. Тема.
2. Назначение контрольной (диагностической) работы.
3. Планируемые результаты, проверяемые в ходе контрольной (диагностической) работы.
4. Характеристика структуры и содержания контрольной (диагностической) работы.
5. Распределение заданий контрольной (диагностической) работы по проверяемым умениям. 6. Распределение заданий контрольной (диагностической) работы по уровням сложности.
7. Критерии оценивания контрольной (диагностической) работы.
8. Продолжительность работы.
9. Обобщенный план варианта контрольно-измерительных материалов
Приложение 1
Требования технологии деятельностного метода к уроку на примере урока открытия нового знания и урока рефлексии
Урок открытия нового знания
I. Организационный момент
1. Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок.
2. Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебный процесс
II. Актуализация знаний
1. Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для проблемного изложения нового знания.
2. Актуализировать мыслительные операции, необходимые для проблемного изложения нового знания.
3. Организовать фиксацию актуализированных способов действий в речи.
4. Организовать фиксацию актуализированных способов действий в знаках.
5. Организовать обобщение актуализированных способов действий.
6. Организовать самостоятельное выполнение индивидуального задания на новое знание.
7. Организовать фиксацию затруднений в выполнении учащимися индивидуального задания или в его обосновании
III. Проблемное объяснение нового знания
1. Зафиксировать причину затруднения.
2. Сформулировать и согласовать цели урока.
3. Организовать уточнение и согласование темы урока.
4. Организовать подводящий или побуждающий диалог по проблемному объяснению нового знания.
5. Организовать использование предметных действий с моделями, схемами, формулами, свойствами и пр.
6. Организовать фиксацию нового способа действия в речи.
7. Организовать фиксацию нового способа действия в знаках.
8. Соотнесение нового знания с правилом в учебнике («Эталонах», справочнике и т. д.).
9. Организовать фиксацию преодоления затруднения
IV. Первичное закрепление во внешней речи
1.Организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи:
— фронтально;
— в парах или группах
V. Самостоятельная работа с самопроверкой
1. Организовать самостоятельное выполнение учащимися типовых заданий на новый способ действия.
2. Организовать самопроверку самостоятельной работы.
3. По результатам выполнения самостоятельной работы организовать выявление и исправление допущенных ошибок.
4. По результатам выполнения самостоятельной работы создать ситуацию успеха.
* В случае, когда при выполнении самостоятельной работы допущена ошибка, ситуация успеха заключается в ее выявлении и исправлении
VI. Включение нового знания в систему знаний и повторение
1. Организовать выявление типов заданий, где возможно использование нового способа действия.
2. Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.
VII. Итог урока
1. Организовать фиксацию нового содержания, изученного на уроке.
2. Организовать фиксацию степени соответствия результатов деятельности на уроке и поставленной цели.
3. Организовать проведение самооценки учениками работы на уроке.
4. По результатам анализа работы на уроке зафиксировать направления будущей деятельности.
5. Организовать обсуждение и запись домашнего задания
Урок рефлексии
I. Организационный момент
1. Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок.
2. Сформулировать основную образовательную цель урока.
3. Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебный процесс
II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в индивидуальной деятельности
1. Организовать повторение способов действий, запланированных для рефлексивного анализа учащимися (определений, алгоритмов, свойств и т. д.).
2. Организовать фиксацию актуализированных способов действий в речи.
3. Организовать фиксацию актуализированных способов действий в знаках (эталоны).
4. Обозначить основные используемые в самостоятельной работе эталоны (А1, А2, П1, В, О и т. д.)
5. Организовать обобщение актуализированных понятий, правил, способов действий и т. д. 6. Организовать уточнение алгоритма исправления ошибок, который будет использоваться на уроке.
7. Организовать выполнение самостоятельной работы № 1 на применение способов действий, запланированных для рефлексивного анализа.
8. Организовать самопроверку учащимися своих работ по образцу и фиксацию полученных результатов (без исправления ошибок).
9. Организовать мотивацию учащихся к сопоставлению работ по подробному образцу, в котором у каждого задания указано обозначение используемых эталонов (см. п. 4) с целью: а) выявления места и причины затруднения;
б) самопроверки хода решения
III. Локализация затруднения
1. Организовать подводящий диалог, результатом которого является пошаговое сопоставление работ с подробным образцом (фронтально, с проговариванием во внешней речи):
а) фиксация способа действия, в которых возникло затруднение;
б) фиксация отсутствия затруднений в ходе решения
IV. Коррекция выявленных затруднений
1. На основе алгоритма исправления ошибок, уточнить цель будущих действий.
2. Для учащихся, допустивших ошибки:
а) организовать исправление ошибок с помощью предложенного подробного образца;
б) организовать выполнение учащимися заданий на те способы действий, в которых допущены ошибки (часть заданий может войти в домашнюю работу);
в) организовать самопроверку заданий по образцу.
3. Для учащихся, не допустивших ошибки: организовать выполнение учащимися заданий более высокого уровня сложности по данной теме, заданий пропедевтического характера, или заданий требующих построения новых методов решения
V. Обобщение затруднений во внешней речи
1. Организовать обсуждение типовых затруднений.
2. Организовать проговаривание формулировок способов действий, которые вызвали затруднение
VI. Самостоятельная работа с самопроверкой
Для учащихся, допустивших ошибки
1. Организовать выполнение самостоятельной работы № 2, аналогичной самостоятельной работе № 1 (учащиеся выбирают задания только на те способы действий, в которых были допущены ошибки).
2. Организовать самопроверку самостоятельной работы.
3. Организовать фиксацию достижения цели по преодолению индивидуальных затруднений. 4. Организовать фиксацию индивидуальных затруднений, требующих дальнейшей коррекции.
Для учащихся, не допустивших ошибки
5. Организовать самопроверку учащимися заданий, требующих построения новых методов решения или заданий пропедевтического характера по подробному образцу
VII. Включение в систему знаний и повторение
1. Организовать выполнение заданий на повторение, а также заданий на подготовку к изучению следующих тем
VIII. Итог урока
1. Организовать фиксацию степени соответствия поставленной цели и результатов деятельности.
2. Организовать вербальную фиксацию способов действий, которые вызвали затруднения на уроке.
4. Организовать фиксацию неразрешенных на уроке затруднений как направление будущей учебной деятельности. 5. Организовать оценивание учащимися собственной работы на уроке.
6. Организовать обсуждение и запись домашнего задания
Приложение 2
Рабочая тетрадь Задачи по теории вероятностей
Классическое определение вероятности
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. То есть вероятность события А определяется формулой:
Р(А)= m/n,
где m — число благоприятствующих событию A исходов;
n — число всех элементарных равновозможных исходов.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства.
Свойство 1
Вероятность достоверного события равна единице. В этом случае m = n, следовательно, Р(А)=m/n=n/n=1.
Свойство 2
Вероятность невозможного события равна нулю. В этом случае m = 0, следовательно, Р(А)=m/n=0/n=0.
Свойство 3
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей, то есть 0 Р(А) 1.
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
Теорема о сложении вероятностей: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В)=Р(А) Р(В).
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.
Случайные события А и В называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.
Теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:Р(А+В)=Р(А)Р(В)-Р(А*В)
События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий вычисляется по формуле: Р(АВ)Р(А) Р(В)
1). Дуремар Коля решил разводить на своем болоте комаров разных цветов. В его коллекции было 5 зеленых, 6 желтых и 9 красных комариков. Однажды мимо по болоту проплывала черепаха Тортилла. Дуремар Коля так заслушался ее песней, что решил подарить ей комарика. Найдите вероятность того, что черепаха Тортилла выберет красного комара.
Решение
Всего в коллекции было 5 + 6 + 9 = 20 комариков.
Из которых 9 красных.
Значит, Р=9/20=0, 45
Ответ: 0,45.
2).На пиратском корабле «Черная жемчужина» проходит чемпионат среди морских разбойников. У одних есть ухо, у других глаз, а у остальных «счастливчиков» есть и то и другое. Участников боев разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего участвует 26 пиратов, среди которых 10 «счастливчиков», в том числе Джек Воробей. Найдите вероятность того, что Джек Воробей будет проводить бой с каким-либо «счастливчиком»? Решение
Джек Воробей может драться с 26 – 1 = 25 пиратами, из которых 10 – 1 = 9 «счастливчиков». Значит, Р=9/25=0,36
Ответ: 0,36.
3).Все 1200 жителей планеты СероБуроМалиновка носят одежду либо серого, либо бурого, либо малинового, либо серо-буромалинового цветов. При этом в одежде 192 жителей присутствует серый цвет, в одежде 343 — бурый, в одежде 215 — малиновый. Найдите вероятность того, что турист, посетивший СероБуроМалиновку встретит местного жителя в одежде серобуро-малинового цвета?
1200 – 750 = 450 (ж) в одежде серо-буро-малинового.
Р=450/12000,375
Ответ: 0,375.
4).Пятачок, Винни-Пух и Филин собрались в гости на день рождения к ослику Иа. В качестве подарка они решили подарить ослику шарик. Пятачок надул очень большой шарик, и все стали переживать, что по дороге шарик может лопнуть. Филин взял учебник по теории вероятностей и рассчитал, что вероятность того, что шарик лопнет, равна 0,14. Найдите вероятность того, что Пятачок, Винни-Пух и Филин подарят ослику Иа на день рождения целый шарик.
Решение
Вероятность того, что шарик лопнет, равна 0,14. Значит, обратная вероятность, что шарик не лопнет, равна 1 – 0,14 = 0,86.
Ответ: 0,86.
6).Незнайка выучил все буквы алфавита и решил стать писателем. Знайка поддержал идею Незнайки, так как фантазировать у его друга получалось лучше всего. Знайка посоветовал другу сначала прочитать одну книгу из его библиотеки. У Знайки было 12 книг: 5 книг в жанре фантастика, 4 в жанре детектив и 3 в жанре приключения. Незнайка наугад выбирает одну книгу. Найдите вероятность того, что она окажется детективом?
7).На поле чудес Буратино посадил дерево. На чудесном дереве вместо листьев появляются золотые и фальшивые монеты. Причем каждая пятая монета золотая. Каждую ночь Буратино охраняет поле чудес от воров. Но в одну из ночей Буратино уснул и не заметил, как пришли лиса Алиса и кот Базилио. Они оборвали все монеты с дерева. Найдите вероятность того, что лиса Алиса и кот Базилио обогатились золотыми монетами?
8).Малыш и Карлсон летом в саду у Малыша собирали ягоды. Было решено сварить варенье. Получилось 30 банок, из них 9 банок с малиновым, а остальные с клубничным вареньем. Малыш и Карлсон составили все банки в шкаф, но забыли подписать банки с вареньем. Открыть первую банку с вареньем они решили на день рождения Карлсона. Найдите вероятность того, что на день рождения Карлсон будет есть клубничное варенье?
9).Волк решил участвовать в зимних олимпийских играх по фигурному катанию в одиночном разряде. Заяц пообещал Волку, что научит его прыгать тройной тулуп. Решено было отправиться на каток. В прокате коньков оказались свободными размеры ботинок с 5 по 54 включительно. Известно, что размер ботинок у Волка, есть двузначное число. Найдите вероятность того, что Волку достанутся коньки не по размеру?
10).Однажды мама попросила Красную Шапочку отнести бабушке, жившей в соседней деревушке, пирожок и горшочек масла. Дорога в деревню шла через лес, и вскоре Красной Шапочке повстречался злой серый Волк. Красная Шапочка увидела, что серый Волк играет в кубики. Волк говорит девочке, что если она решит его задачу, то пойдет к бабушке с гостинцами, а если нет, то волк заберет у нее пирожок и горшочек масла.
Итак, условие задачи: найдите вероятность того, что при бросании двух кубиков, сумма выпавших чисел равнялась 4 или 7. Красная Шапочка справилась с заданием, а вы?
11). Барбоскины — веселая собачья семья, живущая в современном мире. Папа семейства не расстается с ноутбуком, мама — с мечтой о сцене. Роза — старшая сестра. Старший брат Гена прирожденный гений. Дружок — средний брат, он увлекается футболом. Лиза — ответственная и целеустремленная девочка. Младший братик Малыш — любимец семьи. В семье Барбоскиных есть традиция играть по пятницам в настольную игру «Дружная семья». Они бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
12).Крокодил Гена и Чебурашка решили пойти по грибы. По дороге встретили старуху Шапокляк с крысой Лариской и позвали их с собой за компанию. В лесу на поляне росли 50 грибов, из них 10 подберезовиков, 17 лисичек, 9 груздей, есть еще поганки и мухоморы, их поровну. Найдите вероятность того, что крыса Лариска найдет подберезовик или мухомор. 13).Кощей Бессмертный похитил у царя дочь — царевну. Отправился Иван-царевич ее выручать. Приходит он к Кощею, а тот ему и говорит: «Завтра поутру увидишь заколдованных девушек: одна из них царевна, другая — моя дочь, остальные — простолюдинки. Для тебя они будут неотличимы. Если ты угадаешь и выберешь царевну, то останешься жив и заберешь ее с собой. Если ты выберешь мою дочь, то я отрублю тебе голову». Вероятность того, что царевич выберет царевну, равна 0,1, вероятность того, что укажет на дочь Кощея, равна 0,2. Найдите вероятность того, что Иван-царевич выберет одну из дочерей.
Решение
Р(А+В)=Р(А)+Р(В) 0,20,10,3,
Ответ: 0,3.
14). На песенном фестивале Домовенок Кузька выигрывает конкурс с вероятностью 0,9, если поет песню из репертуара Кикиморы. Если Домовенок Кузька исполняет песню не из репертуара Кикиморы, то он становится победителем с вероятностью 0,2. Из 10 песен, которые можно выбрать для финала, только 4 Кикиморы. Домовенок Кузька, озадаченный выбором, решает наудачу взять первую попавшуюся песню и поет ее в финале. Найдите вероятность того, что Домовенок Кузька не выиграет конкурс.
15).Чтобы поступить в институт на специальность «Водитель избушки на курьих ножках», Баба-Яга должна сдать зачеты: «Метла», «Ступа», «Избушка». Чтобы поступить на специальность «Летчица», нужно сдать зачеты: «Метла», «Ступа», «Космос». Вероятность того, что Баба-Яга сдаст зачет «Метла», равна 0,6, «Ступа» — 0,8, «Избушка» — 0,7, «Космос» — 0,5. Найдите вероятность того, что Баба-Яга сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
