Методическая разработка "Введение экономических понятий в курс математики"

ГБПОУ КК

Славянский сельскохозяйственный техникум

Методическую разработку

составил преподаватель Жигулина Е. А.

г. Славянск – на – Кубани

2019 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение	3
1. Последовательность введения экономических понятий в курс математики	5
1.1 Логическая схема введения экономических понятий	5
1.2 Экономические понятия в социально - экономических предметах	7
1.3 Экономические понятия в естественно - математических дисциплинах	11
1.4 Экономические понятия в курсе математики в средних специальных учебных заведениях	13
2. Содержание экономических понятий по возрастным ступеням	15
2.1 Производительность труда	15
2.2 Режим экономии. Себестоимость.	15
3. Структура упражнений с экономическим содержанием	18
3.1 Трёхуровневая система упражнений	18
3.2 Особенности решения задач с экономическим содержанием	19
4. Примеры решения задач с экономическим содержанием	23
4.1 Линейные функции. Уравнения с одной переменной и системы уравнений с двумя переменными.	23
4.2 Квадратные уравнения и системы уравнений. Неравенства первой степени.	26
4.3 Прогрессии	28
4.4 Производная и её приложения	29
4.5 Системы уравнений и неравенств	32
Заключение	36
Список используемой литературы	38

Введение.

Характерной особенностью нашего времени является проникновение математики во все сферы человеческой деятельности. Математика способствует появлению новых наук, которые базируются на математических методах и представлениях, математика все более и более проникает в традиционно далекие от нее области знания и практической деятельности людей. Поэтому реформа среднего математического образования отражает не только новые педагогические концепции, но в большей степени связана с изменением той роли, которую играет математика в решении задач, возникающих перед обществом. Эта реформа была вызвана необходимостью повышения научно-теоретических основ предмета математики, усилением направленности математического образования.

Пренебрежение прикладной стороной математики ведет к отрыву теории от практики, а пренебрежение теоретической стороной – к забвению фундаментальных математических исследований, что, в конечном счете, вредит практике.

Таким образом, взаимосвязь теоретического и прикладного направлений в курсе математики является средством обогащения среднего математического образования. Поэтому одной из важных проблем, связанных с перестройкой среднего математического образования, является поиск и внедрение в систему обучения полезных и доступных для студентов приложений математики. В связи с этим за последние годы методика обучения математики обогатилась новыми теоретическими разработками, цель которых состояла в развитии направленности курса математики.

Приложения математики должны отражать основные идеи, способствовать воспитанию мировоззрения и привитию студентами умения применять свои знания в будущей практической деятельности, т.е. являться составной частью образования. Этим требованиям удовлетворяют упражнения с экономической направленностью.

Поэтому проблеме повышения экономической грамотности студентов в процессе обучения математике был посвящен ряд исследований. В них рассматривались вопросы введения элементов конкретной экономики на дополнительных занятиях по математике с помощью задач, решения которых укладывались в рамки линейного программирования. При этом ставилась цель познакомить студентов с идеями применения математики в конкретной экономике. Однако в этих исследованиях не рассматривалась проблема введения экономических понятий в обязательный курс математики. Анализ учебной литературы по математике показал, что экономические понятия крайне редко даются в обязательном курсе математике и преподносятся формально, так как не ставится цель, требующая выявления причинно-следственных взаимосвязей экономических факторов и их математической интерпретации.

Экономический подход пронизывает глубинные сферы практической деятельности людей, решение экономических проблем на современном этапе характеризуется количественным подходом, т.е. тесно соприкасается с математикой. Поэтому внедрение в процесс обучения математике упражнений с экономическим содержанием раскроет студентам действительные взаимосвязи содержания предмета математики с окружающим миром. Экономический анализ рассматриваемых жизненных ситуаций по результатам решения задач будет способствовать, с одной стороны, развитию математического мышления на конкретном материале, с другой – закреплению и углублению экономических знаний в результате качественно-количественной и количественной интерпретаций экономических понятий.

1. Последовательность введения экономических понятий в курс математики.

1. Логическая схема введения экономических понятий.

В связи с построением упражнений с экономическим содержанием возникла необходимость выявления последовательности введения экономических понятий в общий курс математики.

В средних специальных учебных заведениях наибольший уровень обобщения экономических знаний достигается в процессе изучения экономики. Поэтому для определения последовательности введения экономических понятий в курс математики исследовалась последовательность введения их во всём курсе. Однако последовательность введения экономических понятий нельзя адекватно использовать для курса математики, так как описание их зависимостей в условиях задач и выявление причинно-следственных связей с количественной точки зрения по результатам решения задач вызывает большие затруднения.

Многолетняя практическая работа в техникуме показала, что введение в процессе обучения математических задач с экономическим содержанием педагогически целесообразно, если будут учтены следующие возможности:

• органического соединения экономических понятий с условиями математических задач;

• развития математического мышления студентов на базе анализа экономических ситуаций;

• повышения экономической грамотности студентов.

На базе этих требований была выявлена последовательность. Однако экономические понятия должны отражать логическую схему построения социально-экономических дисциплин, чтобы у студентов создалось достаточно цельное и верное представление о значении и роли экономических знаний в период научно-технической революции. Таким образом, синтез методико-математических и экономических требований дал возможность определить логическую последовательность введения экономических понятий в курс математики.

Повышение прибыли любого вида производства главным образом зависит от роста производительности труда, поэтому воспитание экономической грамотности построено относительно этой категории.

Таблица №1 «Логическая схема введения экономических понятий в курс математики»

П роизводительность труда

Себестоимость Чистый доход и прибыль

Пути снижения

себестоимости

Рентабельность

Качество

продукции

Режим

экономики

Пути повышения производительности труда

Научный прогресс

Рост культурного уровня

Развитие производства

Закон распределения по труду

Общественные фонды потребления

Реальная заработная плата

Хозрасчёт

- законы и категории, сущность и значение которых раскрывается

в результате решения задачи – искомые величины;

- законы и категории, рассматриваемые вместе с вопросами;

- законы и категории, сущность которых раскрывается в порядке

дополнительных бесед.

Из таблицы №1 следует, что после введения категории «производительность труда» идут себестоимость, пути снижения себестоимости, чистый доход и прибыль, рентабельность, после этого – пути повышения производительности труда как следствие реализации вышеуказанных экономических факторов, а также научного прогресса и развития специализации и кооперирования производства. Себестоимость продукции рассматривалась не только как следствие повышения производительности труда, но и в зависимости от режима экономии, качества продукции и других факторов, а вместо экономических фондов стимулирования введены общественные фонды потребления как важный источник повышения благосостояния людей, внедрения принципов распределения материальных благ, полученных в процессе трудовой деятельности.

Таким образом, экономические понятия, вводимые в курс математики, имеют большую область применения. Это способствует усилению направленности математического образования.

1.2. Экономические понятия в социально-экономических предметах.

Для определения последовательности введения экономических понятий необходимо исследовать межпредметные связи в экономическом аспекте не только по истории и обществоведению, но и по всем общеобразовательным предметам средних специальных учебных заведений с целью выявления экономических знаний, как по возрастным ступеням обучения, так и по предметам в целом. При этом нужно учитывать, что среднее образование охватывает широкий круг экономических знаний по социально-экономическим предметам. Так, в истории и обществоведении закладываются основы политико-экономических знаний о производственных отношениях каждой общественной формации и их взаимосвязи с производительными силами. В географии изучаются некоторые вопросы экономики народного хозяйства в целом и его отдельных отраслей, закономерности территориального размещения производства и формирования экономических районов, вопросы значения научно-технического прогресса, повышения рентабельности хозяйствования на основе учета потенциальных экономических возможностей отдельных районов (наличие полезных ископаемых, экономичность их разработки, наличие в данной области, резерв рабочей силы и др.).

Однако система изложения в географии в основном построена на принципе раскрытия глубинных закономерностей экономического планирования роста промышленности, интенсификация сельского хозяйства отдельных районов, областей, краев и т.д., но мало затрагивает вопросы трудовой деятельности отдельных небольших коллективов людей (цехов, бригад, звеньев и др.). Введение элементов экономики, отражающих трудовую деятельность отдельных коллективов людей, даёт возможность раскрывать количественные взаимосвязи экономических факторов.

В процессе исследования межпредметных связей по социально-экономическим предметам определились объем и содержание экономических знаний по возрастным ступеням обучения. При изучении социально-экономических предметов внимание студентов чаще всего концентрируется на экономических понятиях: производительность труда, научно-технический прогресс, специализация и кооперирование производства, зарплата, рост культурно-технического уровня и деловой квалификации, себестоимость и другие (см. таблицу № 2).

1.3. Экономические понятия в естественно-математических дисциплинах

Экономические понятия в естественно-математических предметах даются в физике и химии, но в меньшем объеме; в них рассматривается лишь пять экономических понятий (см. таблицу №3). При этом экономические категории интерпретируются не только качественно, но иногда и количественно.

Анализ учебно-методической литературы по обязательному курсу математики показал, что очень редко в условиях задач используются понятия производительности труда, прибыли и зарплаты. Эти понятия рассматриваются формально, так как в условиях задач не ставится цель, требующая выявления причинно-следственных связей. Поэтому исчезает возможность развития математического мышления на базе анализа жизненных ситуаций и повышения экономической грамотности студентов.

1.4. Экономические понятия в курсе математики в средних

специальных учебных заведениях

Исследования межпредметных связей в экономическом аспекте выявили, что содержание экономических знаний для введения их в курс математики по возрастным ступеням обучения в средних специальных учебных заведениях (см. таблицу №4) должно быть построено не по единому методическому плану. Так, например, введение экономических понятий в математику в средних специальных учебных заведениях должно даваться более концентрированно, чем в школе. Это обусловлено тем, что в школе то же содержание экономических знаний изучается пять лет, а в средних специальных учебных заведениях менее двух лет.

Практика обучения выявила, что на первом курсе техникума целесообразно ввести в курс математики все экономические понятия экологической схемы (см. таблицу №1) и последовательно выполнять качественные, качественно-количественные интерпретации и перейти к количественному, а на втором курсе закончить количественный анализ. Такое построение упражнений с экономическим содержанием объясняется межпредметными связями в экономическом аспекте и способствует осуществлению целей образования.

2.Содержание экономических понятий по возрастным ступеням

2.1. Производительность труда

Рассмотрим содержание экономических понятий в упражнениях по математике по возрастным ступеням обучения. Покажем, что такое введение экономических понятий в упражнения по математике по возрастным ступеням обучения является закономерным и непосредственно следует из межпредметных связей в экономическом аспекте.

Производительность труда. В учебнике физики написано: «Например, подъемный кран на стройке за несколько минут поднимает на верхний этаж здания несколько сот кирпичей. Если бы эти кирпичи перетаскивал на своей спине рабочий, то ему для этого потребовался бы целый рабочий день.

Другой пример: Гектар земли хорошая лошадь может вспахать за 10-12 ч, трактор же с многолемешным плугом эту работу выполнит за 40-50 мин.

Ясно, что подъемный кран выполнил одну и ту же работу быстрее, чем рабочий, а трактор – быстрее, чем лошадь».

Естественно, понятие производительности труда до некоторой степени должно быть усвоены студентами и из предмета истории, так как невозможно изучение истории в отрыве от диалектрико-материалистической базы построения исторической науки.

В учебнике химии написано: «Добавление кислорода к воздуху дает возможность достигать более высоких температур. Поэтому в некоторых производствах, например при выплавке чугуна в доменных печах, добавляют к воздуху кислород. Это способствует ускорению производственного процесса».

2.2. Режим экономии. Себестоимость.

Режим экономии. В учебнике химии сказано: «Вещества, ускоряющие химические реакции, но не расходующиеся при них, называются катализаторами».

Таким образом, анализ межпредметных связей показывает, что в упражнениях можно ввести экономические понятия производительности труда и себестоимости; производительности труда, себестоимости и зарплаты. Однако эти экономические понятия рассматриваются вне связи между ними.

Выявление качественных и количественных причинно-следственных связей экономических категорий в курсе математики способствует установлению межпредметных связей и более активному восприятию материала других дисциплин.

Повышение качества продуктов равносильно повышению производительности труда, снижению себестоимости и росту зарплаты, а потому кажется, что эти экономические понятия нужно ввести. Однако анализ межпредметных связей показывает, что эти понятия целесообразней ввести в упражнения ещё в школьном курсе. С другой стороны, в результате поискового эксперимента убедилась, что для воспитания экономической грамотности не следует стремиться к расширению объема содержания экономических понятий, а на базе основополагающих понятий воспитывать у студентов экономический подход при решении разнообразных общественно-жизненных ситуаций. При этом нужно, чтобы студенты осознали, что главными факторами роста экономики государства являются повышение производительности труда, снижение себестоимости продукции, научно-технический прогресс, повышение качества продукции, режим экономии, развитие специализации и кооперирования производства, рост культурно-технического уровня и деловой квалификации кадров.

Себестоимость. В учебнике по физике сказано: «Водный транспорт – самый дешевый вид транспорта, особенно для нашей страны он имеет огромное значение. С каждым годом растет наш речной и морской флот».

Значение производительности труда раскрыто с количественной точки зрения, а себестоимость - с качественной.

Экономические понятия можно разбить на три группы:

1. Экономические понятия, сущность и значение которых раскрываются

в результате решения задач, где они являются искомыми величинами.

2. Экономические понятия, рассматриваемые вместе с вопросами первой группы.

3. Экономические понятия, сущность и значение которых раскрываются в порядке дополнительных бесед в связи с решением задач с экономическим содержанием (см. таблицу №1).

Количество экономических понятий в курсе математики с каждым годом обучения возрастает, и экономический анализ усложняется в результате выполнения качественного, качественно-количественного анализов. Проведенное исследование показало, что для определения объема и содержания экономических знаний по возрастным ступеням нужно использовать межпредметные связи в экономическом аспекте.

3. Структура упражнений с экономическим содержанием

3.1. Трёхуровневая система упражнений.

Анализ учебно-методической литературы по математике показал, что те упражнения, которые были разработаны для дополнительных занятий по математике, не пригодны для введения экономических понятий в обязательный курс математики. Это привело к необходимости разработать новые упражнения с экономическим содержанием. Эти упражнения нужно строить с учетом:

а) выявленной последовательности введения экономических понятий в обязательный курс математики;

б) объема и содержания экономических знаний по возрастным ступеням обучения, т.е. с учетом межпредметных связей в экономическом аспекте;

в) особенностей решения прикладных задач по математике.

Кроме того, необходимо было учитывать возможности использования упражнений по математике в процессе обучения для:

а) развития математического мышления учащихся;

б) воспитания экономического подхода при решении жизненных ситуаций;

в) накопления полезных знаний, умений и навыков из различных областей практической деятельности людей.

Анализируя педагогическую литературу можно сделать вывод, что упражнения целесообразно строить по принципу структурирования. Этот принцип построения упражнений выражается в том, что каждый следующий уровень задач требует от студентов более полного математических и экономических знаний. Эти требования, предъявляемые к каждому уровню, отражаются на характере и содержании задач и приемов решения, которые используются при этом.

Трехуровневая система упражнений:

• Первый уровень. Задачи первого уровня содержат понятия,

относящиеся к одной экономической категории, сущность и значение которой раскрывается или построением условия самой задачи, или в результате беседы в вопросно-ответной форме. Эти задачи способствуют накоплению элементарных экономических знаний. На втором этапе первого уровня в условиях задач вводят два экономических понятия, из которых одно известно студентам, а другое – неизвестно, так как не входило в условия предыдущих задач. На этом этапе выявляются качественные связи экономических понятий.

• Второй уровень. Задачи второго уровня, как и задачи первого на

заключительном этапе, содержат два экономических понятия, но задачи в математическом плане являются более сложными. На этом этапе по результатам решения задач раскрываются причинно-следственные связи экономических понятий в качественно-количественной интерпретации, в результате чего воспитываются элементы логического подхода к анализу конкретной ситуации. В связи с решением задач второго уровня углубляются математические навыки решения практических задач, и воспитывается умение самостоятельно решать задачи, близкие к тем, которые решались на занятии, т.е. стимулируются элементы творческой работы.

• Третий уровень. В эти задачи входят два, иногда три

экономических понятия. Необходимо провести анализ конкретной ситуации для выявления основных экономических факторов, способствующих повышению прибыли. На этом этапе осуществляется развитие математического мышления студентов в результате поиска новых путей для повышения экономического эффекта. Постановка проблемы, связанной с нахождением эффективных путей экономического улучшения рассматриваемой ситуации, способствует повышению творческой деятельности студентов.

Исследование выявило, что наиболее плодотворным являются задачи, в условиях которых даны примеры использования достижений науки и техники. В результате решения таких задач происходит открытие студентами новых граней практической деятельности людей. Решение задач с экономическим содержанием, отражающих достижения науки и техники, оказывает положительное влияние на повышение интереса к изучению не только математики, значение которой раскрывается с практической точки зрения, но и тех предметов, содержание учебного материала которых отражается в условиях задач. Следовательно, экономический подход в системе образования является важной педагогической категорией, отражающей качественные изменения в экономике производства и жизни страны. Поэтому задачи с экономическим содержанием по возрастным ступеням должны соответствовать достижению тех знаний, которые определены для задач первого, второго и третьего уровней.

Принцип структурирования при разработке учебного материала даёт возможность заложить базу для планомерного повышения экономической грамотности, развития математического мышления и накопления полезных знаний, умений и навыков для трудовой и учебной деятельности студентов.

3.2. Особенности решения задач с экономическим содержанием.

Решение задач с практическим содержанием можно разделить на три этапа:

• На первом этапе - формализация происходит переход от реальной

ситуации, которую следует решить, к построению формальной математической модели такой ситуации.

• На втором этапе решается эта математическая модель, адекватно

отражающая реальную ситуацию.

• На третьем этапе – интерпретации полученное решение

формальной математической задачи исследуется для выявления его соответствия исходной ситуации.

При решении задач на этапе формализации переходим от реальной экономической ситуации, которую следует решить, к адекватной математической модели. Для построения такой модели студенты должны уметь выделить основные взаимосвязи между компонентами исследуемой проблемы, уметь анализировать полноту имеющихся в условии задачи данных, уметь выразить математическими символами те экономические положения и их взаимосвязи, которые даны в условии задачи, и т.д. Но экономические положения, описанные в условии задачи, являются компонентами математической задачи, поэтому с переходом к более сложным задачам взаимосвязи между ними усложняются как в математическом, так и в экономическом плане. И чем сложнее задачи, тем более глубоко и чётко должны быть раскрыты взаимосвязи между компонентами не только для того, чтобы построить адекватную математическую модель, но и для того, чтобы на этапе интерпретации, на базе анализа результатов решения задач и исходной ситуации более глубоко раскрыть взаимосвязи между компонентами задач. Это позволяет на этапе формализации развивать математическое мышление.

На этапе решения математической модели студенты должны научиться выбирать наиболее подходящий метод для решения корректно поставленной математической задачи; пользоваться вспомогательным математическим аппаратом; самостоятельно разрабатывать «новые» математические приёмы решения, когда общий метод решения является не достаточно рациональным; разбивать сложные задачи на подзадачи т.д. Умение выбирать рациональный метод решения зависит от уровня математического образования и способствует воспитанию элементов математического мышления.

На этапе интерпретации студенты должны научиться переходить к исходной ситуации, выявлять соответствие полученных результатов решения задачи рассматриваемой экономической ситуации, переходить от общих утверждений к частным, оценивать значение данных экономических факторов для практической деятельности т.д. Поэтому и на этом этапе можно развивать у студентов математическое мышление.

Выявление причинно-следственных зависимостей экономических факторов в повседневной трудовой деятельности имеет большое воспитательное значение. Так, выявление экономических стимулов, которые необходимы для повышения рентабельности конкретно рассматриваемой практической ситуации, способствует формированию у студентов экономической.

При решении задач всех трёх уровней целесообразно проводить сначала качественный, затем качественно-количественный и количественный принципы интерпретации экономических понятий. Такая последовательность способствует планомерному расширению и углублению экономической грамотности и развитию математического мышления студентов. Перечисленные виды экономических интерпретаций взаимно связаны между собой. Так, качественно-количественная интерпретация проводится на базе качественного, а количественная – на базе качественно-количественной.

В зависимости от экономического содержания, степени сложности задач и возрастных особенностей студентов этап интерпретации имеет различные формы:

• Вопросно-ответная;

• Беседа по результатам решения задач;

• Постановка экономической проблемы, связанной с необходимостью

повышения прибыли, повышения производительности труда, снижения себестоимости, режима экономии и т.д.

4. Примеры решения задач с экономическим содержанием

4.1. Линейные функции. Уравнения с одной переменной и системы уравнений с двумя переменными.

Составление уравнения данной задач есть основной

приём, посредством которого математика

применяется к естествознанию и технике. Без

уравнения нет математики как средства познания

природы.

П.С.Александров

Введение экономических понятий в задачи по математики удобнее начинать с категории «производительность труда» и не только потому, что она известна студентам из истории и физики, а потому, что эффективность всякого общественного производства измеряется главным образом ростом производительности труда. Категории «себестоимость» и «зарплата» надо вводить в условия задач в таком контексте, чтобы студенты достаточно легко усваивали сущность и значение этих понятий из условия самой задачи.

В процессе изучения этой темы рассматриваются задачи с экономическим содержанием первого уровня, решение которых способствует формированию основных экономических понятий, без которых невозможно на этапе интерпретации проводить элементарный экономический анализ по результатам решения задач второго и третьего уровней. Экономические задачи первого уровня решаются элементарно и не вызывают у студентов никаких затруднений, поэтому этап формализации не всегда следует рассматривать. Больше внимания надо уделять этапу интерпретации.

Задача №1: Комбайнер после трёх дней работы изобрёл новое приспособление к комбайну, в результате чего дневная производительность его труда увеличилась на 50ц. За 10 дней работы он намолотил 17500ц пшеницы. Найти дневную производительность труда до и после применения приспособления.

Решение: Этап интерпретации.

Преподаватель: Что называется производительностью труда?

Студент 1: Производительность труда это то, что комбайнер намолотил за один рабочий день.

Преподаватель: Верно. Но обязательно ли под производительностью труда имеют в виду объём работы за один рабочий день?

Студент 2: Не обязательно. За производительность труда можно принять работу, которую рабочий выполнил за единицу времени.

В заключении продиктуем и запишем определение:

Опр: Производительность труда – способность рабочего изготовить в

течении данного времени (час, рабочий день и т.д.) определённое

количество продукции.

Задача №2: Две бригады, состоящие из 10 и 12 человек, усовершенствовали технологию производства, в результате производительность труда соответственно возросла на 20 и 10%, и обе бригады за смену вместо 710 деталей стали изготовлять 816. Найти производительность труда каждого рабочего первой и второй бригад за смену до и после усовершенствования технологии производства.

Решение: Этап формализации.

Преподаватель: В результате чего бригады увеличили производительность труда?

Студент №1: За счёт усовершенствования технологии производства.

Преподаватель: На сколько увеличили производительность труда?

Студент №2: Первая бригада на 20%, а вторая на 10%.

Преподаватель: На сколько деталей увеличилась совместная производительность труда?

Студент №3: На 106 деталей.

Преподаватель: сколько искомых величин нужно найти?

Студент №4: Нужно найти две искомые величины. Найти производительность труда каждого рабочего первой и второй бригад до и после усовершенствования технологии производства.

Пусть х деталей – производительность труда за смену рабочего первой бригады, а у деталей - производительность труда за смену рабочего второй бригады, тогда 10х+12у=710. Производительность труда соответственно выросла на 20% и 10%. Получаем второе уравнение 2х+1,2у=106. После решения системы получим, что: до усовершенствования 35 и 30 деталей; после усовершенствования 42 и 33 детали.

Этап интерпретации.

Преподаватель: Что же имеют в виду под технологией производства?

Студент №5: Технология это то, как делают.

Опр: Под технологией производства имеют в виду способы обработки,

применяемые при изготовлении той или иной продукции.

Задача №3: Себестоимость 16 деталей одного вида и 20 деталей другого вида 62 руб. Если бы себестоимость деталей первого вида снизилась на 25%, а второго на 33,3%, то себестоимость деталей снизилась бы на 18 руб. Найти себестоимость до и после снижения.

Решение: Этап интерпретации:

Преподаватель: Зависит ли себестоимость продукции от производительности труда? Вспомните понятия производительности труда, себестоимости.

Студент №1: Себестоимость зависит от производительности труда. Себестоимость будет ниже, если производительность труда больше.

Преподаватель: Всегда нужно стремиться повышать производительность труда. Но и чём при этом нельзя забывать?

Студент №2: О том, чтобы сделать хорошо и красиво.

Студент №3: Чтобы было прочно.

Студенты сделали сами открытие о том, что себестоимость зависит от производительности труда и что при этом необходимо, чтобы выпускаемая продукция была бы красивой и прочной, т.е. высокого качества.

Задача №4: Стоимость оборудования новой мастерской 38500 руб., а годовая амортизация составляет 3250 руб. Найти стоимость оборудования в зависимости от времени 0t

Решение: Чтобы составить функцию стоимости оборудования, нужно объяснить студентам понятие амортизационных отчислений. Поэтому после объяснения следует записать так: «Амортизация – это возмещение в денежной форме стоимости основных средств труда(машин, оборудования, зданий), постепенно переносимое на вновь созданный в процессе производства продукт или выполненную работу. Основные средства производства подвергаются физическому износу, постепенно утрачивают свою стоимость. По государственным нормам отчисляются в амортизационный фонд средства, которые по мере надобности расходуются на замену и капитальный ремонт машин. Амортизационные отчисления включаются в себестоимость продукции и реализуются при продаже изготовленной продукции.»

Студент: По условию задачи величина годовых амортизационных отчислений постоянна и является функцией времени. Пусть t, лет – время эксплуатации оборудования ремонтной мастерской, а y, руб – стоимость оборудования ремонтной мастерской, тогда y = 38500-3250t

4.2. Квадратные уравнения и системы уравнений. Неравенства первой степени.

В этой теме сначала решаем задачи первой ступени, а затем переходим к решениям задач второй ступени. Более сложные задачи требуют от студентов выполнения элементарного экономического анализа для раскрытия причинно-следственных взаимосвязей экономических понятий, содержащихся в условиях задачи. Процесс решения задач второй ступени с экономическим содержанием строится по принципу решения прикладных задач. При решении задач второй ступени переходим к качественно-количественному экономическому анализу, что способствует развития математического мышления и повышения экономической грамотности студентов.

Задача №1: Бригада медеплавильщиков для ускорения плавки дважды усовершенствовала технологию: 1)увеличила концентрацию кислорода дутья; 2) повысила температуру дутья и потом получила двукратное повышение производительности труда. Найти рост производительности труда каждый раз, если бригада за одну смену увеличила плавку с 5 т до 6,05.

Решение: Этап интерпретации

Преподаватель: 1) Что называется производительностью труда?

2) В результате чего бригада увеличила производительность труда?

3) Какие усовершенствования ввела бригада в технологию плавки?

Преподаватель: Почему необходимо повысить производительность труда?

Студент №1: Повышение производительности труда способствует снижению себестоимости труда?

Преподаватель: Допустим, снизили себестоимость труда, что дальше?

Студент №2: Снижение себестоимости даёт возможность снизить цены, а это способствует повышению уровня материальной жизни людей.

Преподаватель: Итак, мы с вами открыли целую систему взаимосвязей: производительность труда влияет на себестоимость, а себестоимость на цены. Хотя повышение производительности труда является самым главным фактором снижения себестоимости, но нельзя забывать и о том, что на снижение себестоимости влияют экономия сырья, сокращения затрат на обслуживание и управление производством.

Задача №2: В одном колхозе общий удой молока за год составил 3500тыс.л, а другом колхозе при одинаковых производственных условиях годовой надой молока на 750тыс.л меньше, хотя коров на 100 голов больше, чем в первом колхозе. За счёт применения научных методов содержания коров надой молока от одной коровы в первом колхозе на 1 тыс.л больше, чем в другом. Определить: а) поголовье коров в 1 и 2 колхозах; б) вычислить средний годовой надой молока на одну корову в каждом колхозе; в) найти себестоимость 1 л молока в каждом колхозе, если стоимость содержания одной коровы с учётом зарплаты рабочих фермы и всех других расходов обходится в 300руб. в год(расходы по реализации молока не учитывать).

Решение: Этап формализации:

Преподаватель: Перечислите все искомые величины.

Студент №1: Нужно определить поголовье коров в колхозах, себестоимость 1 л молока и средний годовой надой молока.

Преподаватель: Следовательно, нужно вычислить три искомые величины. Следует ли из этого, что задачу нужно решать с тремя неизвестными.

Студент №2: Главное определить поголовье скота.

Преподаватель: А как определить другие искомые величины?

Студент №3: Годовой надой молока на одну корову и себестоимость 1 л молока можно вычислить арифметическим способом.

Этап интерпретации: В данной задаче этап лучше всего вычислять с себестоимости 1 л молока.

Преподаватель: Что называется себестоимостью? Вычислите себестоимость молока.

Студент №4: 1) Себестоимость 1 л молока в 1 колхозе

30000/3500=8,571

2) Себестоимость 1 л молока во 2 колхозе

30000/2500=12

Себестоимость молока в 1 колхозе ниже, так как они применили научно разработанные методы содержания коров.

Преподаватель: Что значит научные методы работы?

Студент №5: Научные методы – это те методы, которые организованы на научной основе и являются более выгодными.

Преподаватель: Почему нужно снижать себестоимость выпускаемой продукции?

Студен №6: Если себестоимость продукции будет постоянно снижаться, то будут снижаться и цены на эти виды продукции, а потому будет улучшаться материальное положение людей.

4.3. Прогрессии

При решении этих задач студенты повышают навыки выполнения элементарного экономического анализа практических задач. Выявление экономических взаимосвязей способствует развитию математического мышления экономической грамотности студентов.

Задача №1: Рабочий обслуживает 6 автоматических станков, каждый из которых изготовлял 30 деталей в час. Станки последовательно вводились в рабочий режим через каждые 10 мин. В течении двух лет конструкция станков дважды была усовершенствована и потому сначала производительность была до 36 деталей в час, а затем станки стали вводиться в рабочий режим в два раза быстрее. Найти производительность труда за смену (7ч) во всех трёх случаях. Построить график выпуска продукции в трёх случаях и по ним определить, на сколько увеличился выпуск продукции за 3,5 и 7ч после первого и второго усовершенствований по сравнению с первоначальным.

Решение: Этап формализации.

Сначала некоторые студенты испытывают затруднения и ошибочно считают, что количество выпускаемой продукции за всю смену можно вычислить по закону арифметической прогрессии. Но более сильные студенты достаточно быстро приходят к выводу, что количество выпускаемой продукции подчиняется закону арифметической прогрессии только за время, в течении которого станки последовательно включаются в рабочий режим. В первом и втором случаях станки последовательно включаются в рабочий режим за 50 мин, в третьем за 25 мин, поэтому количество выпускаемых деталей за это время можно найти по формуле суммы членов арифметической прогрессии.

4.4. Производная и её приложения.

Производная относится к числу математических понятий, которые носят межпредметных характер и имеют прямой выход в физику, химию, механику, статистику, экономику и т.д.

Задачи имеют практическое значение и связаны с выяснением наиболее выгодных условий рассматриваемой ситуации; они нестандартны по содержанию и до некоторой степени имеют проблемный характер, а потому требуют определённой степени творчества.

Задача, которая не решается по известному стандарту (алгоритму), требует определённой степени творчества и оригинальности со стороны студентов, стандартная задача ничего подобного не требует. Нестандартная задача может способствовать интеллектуальному развитию студента, чего нельзя сказать о стандартных задачах.

В связи с решением задач третьей ступени придаётся большое значение, как решению нестандартных задач, так и задач рассматриваемых раньше. Составление задач является творческой деятельностью, во многом напоминающее «открытие» как в математике, так и в экономике. При самостоятельном составлении задач студенты сначала всесторонне анализируют экономические взаимосвязи, а потом на базе выявленных взаимосвязей разрабатывают условия математических задач с экономическим содержанием.

На этой стадии введения экономических понятий придаётся большое значение этапу формализации и интерпретации. Этап интерпретации способствует выяснению взаимосвязей между введёнными экономическими понятиями и потому способствует созданию базы для творческой работы по составлению задач, в которых могут быть использованы экономические ситуации, как из рассмотренной области народного хозяйства, так и из смежной. Этапы формализации и интерпретации неразрывно связаны между собой.

Задания для введения экономических понятий в обязательный курс математики разработаны так, чтобы студенты на конкретных примерах с практическим содержанием открыли бы влияние экономических факторов на повышение прибыли производства.

Задача №1: Расходы на топливо, необходимое для движения океанского танкера, пропорционально кубу его скорости и составляют 20 руб. в час при скорости 10 узлов (узел = морской мили в час), а все прочие расходы составляют 100 руб. в час. Найти наиболее экономичную скорость движения при тихой погоде. Вычислить дополнительную прибыль, если расстояние до порта назначения 1000 морских миль (морская миля равна 1852м).

Задача №2: Из сопротивления материалов известно, что прочность балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб пропорциональна произведению ширины на квадрат высоты. Вычислите размеры наиболее прочной балки, т.е. соотношение ширины к высоте поперечного сечения, которую нужно изготовить из цилиндрического бревна, если диаметр равен d линейных единиц. Выясните с экономической точки зрения, почему необходимо при строительстве сооружений учитывать полученный результат решения задачи.

Задача №3: Из отходов основного производства, представляющих квадратные куски листового железа со стороной, равной a, цех ширпотреба изготовляет коробки без крышки, вырезая по углам такие квадратики, чтобы, загибая получившиеся выступы, изготовить коробку наибольшего объёма. Какова должна быть длина стороны вырезаемых квадратиков? Какие практические выводы можно сделать из условия и результата решения задачи?

Решение: Пусть а линейных единиц - сторона вырезаемых квадратиков, высота коробки х линейных единиц, длина дна коробки а-2х, тогда объём V=(a-2x)²x=a²x-4ax²+4x³.

Нужно найти значение х, при котором функция V достигнет максимума. Для этого функцию V исследуем на максимум и минимум:

V^’=a²-8ax+12x²

a²-8ax+12x²=0, откуда х₁=а/2, х₂=а/6

Без исследования заключаем, что максимум будет при х=а/6. Если вырезать квадратики со стороной, равной а/2, то от куска жести ничего не останется и объём коробки будет равен нулю. Итак, сторона вырезанных квадратиков должна составлять шестую часть стороны данного квадратного куска листового железа. При х=а/6 максимальный объём коробки V=2а³/27 куб.ед.

Этап интерпретации:

Преподаватель: Какие практические выводы можно сделать из условия и результата решения задачи?

Студент №1: Главное, о чём сказано в условии задачи, это использование в хозяйстве отходов основного вида производства. Данное предприятие экономит материалы.

Студент №2: В нашей стране ежегодно изготовляются сотни миллионов всевозможной тары и потому необходимо изготовлять тару такой формы, чтобы при данных затратах материала она была бы наибольшего объёма, чтобы дополнительно сэкономить материал.

Преподаватель: Подумайте, какие ещё экономические вопросы здесь затрагиваются?

Студент №3: Здесь ещё решается одна важная проблема – это проблема экономии рабочего времени, т.е. экономии труда, т.к. изготовление тары максимального объёма снизит количество выпускаемой тары.

Преподаватель: Из анализа условия и результата решения задачи мы пришли к выводу, что утилизация, т.е. разумное использование отходов производства, может являться источником дополнительной прибыли. Таким образом, режим экономии сырья, рациональное использование рабочей силы являются важным фактором повышения рентабельности предприятия.

4.5. Системы уравнений и неравенств.

Рассмотрим решение двух задач. Первая задача связана с вычислением: а) срока окупаемости средств, которые были израсходованы на усовершенствование технологического процесса(автоматизации);

б) роста прибыли на заводе в результате автоматизации;

Другая задача из области сельского хозяйства, характеризующая рост прибыли молочно-товарной фермы за счёт применения аэроионизационных установок в осеннее - зимний период. Эта задача состоит из двух самостоятельных частей – основной и дополнительной.

Основное экономическое содержание задач(вычисление срока окупаемости капиталовложений для усовершенствования технологии производства и прибыли предприятия) раскрывается в классе в процессе аналитического решения этих задач, а дополнительную часть второй задачи студенты решают самостоятельно графическим методом. Дополнительная часть второй задачи сформулирована так, что её решение выполняется на базе использования результатов решения основной части задачи.

Решения этих задач и анализ результатов решения дают преподавателю возможность показать студентам, как занятия, материализуясь в совокупном труде, становятся источником повышения прибыли промышленных и сельскохозяйственных предприятий.

Студентам нужно рассказать, что главным источником повышения материального уровня трудящихся (повышения заработной платы и увеличения общественных фондов потребления) является рост прибыли предприятий. Следовательно, внедрение научных достижений в производство материальных ценностей является своевременной и актуальной задачей предприятий. Задачи, в которых освещаются актуальные проблемы развития нашего общества, имеют большое значение для воспитания мировоззрения подрастающего поколения. Нужно стремится к тому, чтобы студенты поняли, что рост материального благополучия населения зависит от роста производительности труда, снижения себестоимости выпускаемой продукции, режима экономии и т.д.

Задача №1: Завод сельхозмаш в 2005г. выпустил некоторое количество тракторов, а комбайнов на 10000 шт. меньше. В 2006г., не снижая выпуска продукции, некоторые виды работ были автоматизированы и поэтому выпуск тракторов в 2007 г. увеличился на 14%, а комбайнов на 25%, а общее количество выпускаемых машин увеличилось на 5300 шт. на реконструкцию было израсходовано 3 млн.руб. Найти: 1) на сколько увеличилась годовая прибыль после реконструкции, если себестоимость тракторов и комбайнов снизилась с 600 руб. до 525, а оптовая цена завода 825 руб.; 2) срок окупаемости капиталовложений по реконструкции завода; 3) на сколько процентов увеличилась средняя зарплата рабочих, если фонд зарплаты не изменился, а количество рабочих уменьшилось на 25%?

Решение: Пусть х – количество выпускаемых тракторов до реконструкции, а у – количество выпускаемых комбайнов до реконструкции. Напишем уравнение х-у=10000.

Так как выпуск товаров увеличился на 14%, а комбайнов на 25%, то

0,14х+0,25у=3500

Получим систему уравнений

х -у=10000

0,14х+0,25у=3500

Откуда х =20000, у=10000

В 2007г. тракторов выпустили 22800, а комбайнов 12500.

1) Годовая прибыль:

а) до реконструкции (825-600)руб.*30000=6750000руб.;

б) после реконструкции (825-525)руб*35300=10590000руб;

в) рост прибыли за счёт реконструкции 10590000руб.-6750000руб.=3840000руб.

Годовая прибыль увеличилась на 3840000руб.

2) Срок окупаемости 3840000*Z=3000000, откуда Z=0,781г., т.е. расходы по реконструкции окупаются за 9,4мес.

3 ) Повышение зарплаты. Пусть N – количество рабочих до реконструкции; а, руб. – среднемесячная зарплата; аN руб. – месячный фонд зарплаты. Количество рабочих уменьшилось на 25%, а потому 3N/4 – количество рабочих реконструкции, следовательно, среднемесячная зарплата каждого рабочего аN = 4а руб.,т.е. средняя зарплата увеличилась на 33,3%.

3N/4 3

Задача №2: В осеннее - зимний период (150 суток) коровы содержались в двух различных помещениях: в одном из них были установлены аэроионизаторы. В этом помещении было на 20 коров меньше, а среднесуточный удой на 270л больше, чем во втором. Если бы в 1 помещении было столько коров сколько во 2, а во 2 сколько в 1, то суточный надой молока в 1 помещении увеличился бы на 250л, а во 2 уменьшился бы на 230л. Стоимость комплекта ионизированных установок с монтажом 10000 руб., ежемесячные эксплуатационные расходы 200 руб. Себестоимость 1л молока при обычном содержании 20 руб. Но в ионизированном помещении помещении жирность молока оказалась выше, а кислотность ниже, а потому заготовительная цена на 2 рубля выше. Найти: 1) поголовье коров; 2) среднесуточный надой от одной коровы; 3) чистую прибыль за сезон различных методах содержания, если бы было по 25 руб.

Заключение

Последовательная реализация межпредметных связей является одним из важнейших направлений совершенствования учётно-воспитательного процесса, повышение его эффективности, улучшения качества знания студентов. Это даёт возможность готовить всестороннеразвитых, высококвалифицированных специалистов, способных применять теоретические и практические знания в своей работе с целью повышения эффективности и качества производства. Усвоение знаний создаёт лучшие условия для успешного овладения математическими понятиями для выработки прочных вычислительных навыков.

От студентов требуется установить смысл математических отношений, чтобы усилить межпредметных аспект задач и выработать умение видеть в математических формулах, моделях реальные объекты.

Межпредметных связи в техникуме должны осуществляться путём обмена опытом в результате взаимопосещений с последующим обсуждением.

Совершенствование межпредметных связей позволяет глубже изучить материал, избежать дублирования одинаковых вопросов, лучше увязать каждую тему с другими дисциплинами, для использования этих связей на производстве.

Профессиональная направленность находит своё отражение в работе кружка и кабинета. Члены кружка выпускают газеты, показывающие связь математики с другими дисциплинами. Важнейшей формой работы, направленной на совершенствование межпредметных связей являются совместные заседания предметной комиссии, открытые уроки, проведение экскурсий, оформление кабинетов.

В системе межпредметных связей важное место должно занять трудовое обучение, обеспечивающие формирование практических умений, навыков, необходимых для вовлечения студентов в общественнополезный труд. При этом важное место в математике принадлежит математическим методам, приёмам разнообразных вычислений и расчётов на занятиях. Студенты получаю основные знание и умения, т.е. обучение связано с разнообразной вычислительной работой. Чем глубже преподаватель поймёт идейную основу программы, логику построения курса, преемственность его частей и связей с другими учебными предметами, тем более целеустремлённым и педагогически продуманным будет его преподавание.

Проблема межпредметных связей имеет объективное обоснование, заключающиеся в явлении интеграции наук, укреплении их связей в процессе комплексного решения важных задач.

Реализация межпредметных связей способствует систематизации, глубине и прочности знаний студентов, повышает эффективность обучения и воспитания, обеспечивает возможность сквозного применения и закрепления знаний и умений.