«Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств»

Метод математической индукции

и его применение к доказательству неравенств»

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
««Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств»»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 81

Секция: Алгебра

Научное общество учащихся

«Метод математической индукции

и его применение к доказательству неравенств»

Выполнила: Арефьева Ксения,

ученица 10^б класс

Научный руководитель:Пятковская А. Р.,

учитель математики

Нижний Новгород

2020

Содержание:

Введение………………………………………………………………… 3

Метод математической индукции………………………………….…...4

Доказательство неравенств………………………………………….......11

Применение к доказательству неравенств метода математической

индукции……………………………………………………………........13

Доказательство неравенства Коши и неравенства Бернулли методом

математической индукции……………………………………………....20

Заключение…………………………………………………………….....23

Список используемых источников и литературы………………….….24

Введение.

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.

В математике дедуктивный метод мы применяем, например, в рассуждениях такого типа: данная фигура - прямоугольник; у каждого прямоугольника диагонали равны. Индуктивный подход обычно начинается с анализа и сравнения данных наблюдения или эксперимента. Многократность повторения какого-либо факта приводит к индуктивному обобщению. Индуктивный подход люди, часто сами того не замечая, применяют почти во всех сферах деятельности.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Задачи моей работы заключаются в следующем:

Изучить метод математической индукции.
Научиться доказывать неравенства методом математической индукции.

Метод математической индукции.

Математическая индукция — метод математического доказательства, используется чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами:

Р₁, Р_{2, .}. . . . Р_n,Р_n₊₁,. . ..

Допустим, что

Установлено, что Р₁ верно. (Это утверждение называется базой индукции.)
Для любого n доказано, что если верно Р_n, то верно Р_n₊₁. (Это утверждение называется индукционным переходом.)

Тогда все утверждения нашей последовательности верны.

Логическим основанием для этого метода доказательства служит так называемая аксиома индукции, пятая из аксиом Пеано. Которая звучит следующим образом «Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Наглядным примером может служить следующие задачи:

Задача1.

Доказать, что (n³+35n) кратно 6.

1)При n=1

(1+35)=36, 36 кратно 6, значит утверждение верное.

2)Пусть приn=k (k²+35k) кратно 6.

3) Рассмотрим n=k+1. Докажем, что (n³+35n) кратно 6(k+1)³+35(k+1)=k³+3k²+3k+1+35k+35=(k³+35k)+(3k²+3k+36)

a)(k³+35k) кратно 6.

b) 3k²+3k+36=3(k²+k+12)=3(k(k+1)+12), 3 кратно 3.

k(k+1) кратно 2.

(k+1)+12, кратно 2.

Значит 3(k(k+1)+12) кратно 6, тогда (k+1)³+35(k+1) кратно 6.

Задача2.

1²+4²+7²+…+(3n-2)²=

n=1- основание индукции

1²= ; 1=1-верно

Индукционный переход

а) n=k ; 1²+4²+7²+…+(3k-2)²= - верно

б) n=k+1; 1²+4²+7²+…+(3k-2)²+(3k+1)²= - верно

1²+4²+7²+…+(3k-2)²+(3k+1)²= +(3k+1)²= = = = =

На основе математической индукции утверждение верно для любого n N.

Задача3.

Доказать, что 4ⁿ+6n-10 кратно 18.

1)Приn=1

4¹+6-10=0- кратно18.

2)При n=k

4^k+6k-10=18 –кратно 18

3)При n=k+1

4^k⁺¹+6(k+1)-10=4×4^k+6k-4=4 4^k+24k-40-24k+40+6k-4=4(4^k+6k-10)-18k+36=4(4^k+6k-10)-18(k-2)

4(4^k+6k-10) кратно 18 и 18(k-2) кратно 18, значит их разность тоже кратна 18.

На основе математической индукции утверждение верно для любого n N.

Задача 4.

Докажите, что 11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹делится на 133.

При n=1

11³+12³=(11+12)(11²-11·12+12²)=23·(121-132+144)=23·133 делится на 133, утверждение верно

Пусть при n=k 11^k⁺²+12²^k⁺¹делится на 133
Докажем, что при n=k+1 11^k⁺¹⁺²+12²⁽^k⁺¹⁾⁺¹=11^k⁺³+12²^k⁺³=11^k⁺²·11+12²^k⁺¹·12²=11^k⁺²·11+12²^k⁺¹·144= =11^k⁺²·11+12²^k⁺¹·(133+11)=11^k⁺²·11+12²^k⁺¹·11+12²^k⁺¹·133= =11·(11^k⁺²+12²^k⁺¹)+133·12²^k⁺¹

11·(11^k⁺²+12²^k⁺¹)делится на 133 и 133·12²^k⁺¹ делится на 133, значит их сумма так же делится на 133.

Задача 5.

Найдите все пары натуральных чисел m и n, удовлетворяющих уравнению: 2^m – 3ⁿ= 1

Решение:

Рассмотрим делимость 3ⁿ + 1 на 8 для чётного или нечётного n.

n = 2·k; k ∈ℕ; Тогда:

3^2k + 1 = 8·h + R, где {h, R} ∈ℕ, 0 ≤ R ≤ 7; h 0

R — остаток от деления на 8, h — целая часть.

9^k + 1 = 8·h + R[9^k+ (1 − R)] кратно 8

Используя метод математической индукции, определим R и докажем, что при любом k будет такой остаток.

База индукции: при k = 1, (10 − R) кратно 8. Отсюда предположим, что R = 2. База тогда верна.

Шаг индукции: пусть для k = а число (9^a − 1) кратно 8. Докажем, что 9^a⁺¹− 1 также кратно 8:

(9^a+1 − 1) − (9^a− 1) = 9^a+1 − 9^a = 9^a·(9 − 1) = 8·9^aкратно 8.

Отсюда следует, что (9^a⁺¹ − 1) кратно 8.

Итак, при чётном n 3ⁿ+ 1 при делении на 8 даёт всегда остаток 2

n = 2·k − 1; k ∈ℕ; Тогда:

3²^k^-1 + 1 = 8·h + R, где {h, R} ∈ℕ; 0 ≤ R ≤ 7, h 0

3²^k^-1 + (1 − R) кратно 8

И вновь метод математической индукции:

База индукции: k = 1; (4 − R) кратно 8. Отсюда предположим, что R = 4.База тогда верна.

Шаг индукции: пусть для k = а число (3²^a^-1− 3) кратно 8. Докажем, что

3²⁽^a^+1)-1− 3 также кратно 8.

(3^2a-1− 3) − (3^2a+1− 3) = 3^2a-1− 3^2a+1= 3^2a-1·(9 − 1) = 8·3^2a-1кратно 8.

Отсюда следует, что (3²⁽^a^+1)-1 − 3) кратно 8

Итак, при нечётном n 3ⁿ+ 1 при делении на 8 даёт всегда остаток 4.

Вернёмся к уравнению. 2^m= 1 + 3ⁿ. Так как при любом n правая часть не кратна 8, то m меньше 3

1) m = 2; 3ⁿ = 3; n = 1

2) m = 1. Тогда3ⁿ=1; n = 0. Но числа m и n — натуральные, поэтому не подходит.

Ответ: n = 1, m = 2

Задача 6.

Докажите 1·1!+2·2!+…+n·n!=(n+1)!-1

При n=1 1 ·1!=(1+1)!-1 верно
Допустим, что при n=k1·1!+2·2!+…k· k!=(k+1)!-1 верно
Докажем, что при n=k+1 равенство 1 ·1!+2 ·2 !+… k · k!+(k +1)· (k +1)!=( k+2)!-1 верно

1 ·1!+2 ·2 !+… k · k!=( k+1)!-1

1 ·1!+2 ·2 !+… k · k!+(k+1) ·(k+1)! =(k+1)!-1+(k+1)·(k+1)!

(k+1)!-1+(k+1)·(k+1)!=(k+1)!·(1+k+1)-1=(k+1)!·(k+2)-1=(k+2)!-1

На основе математической индукции утверждение верно для любого n N.

Задача 7.

Доказать

При n=1 ; = = верно
Допустим, что при n=k равенство ( верно
Докажем, что верно равенство )

Возведем обе части последнего равенства в квадрат

Получили формулу из пункта 2,а она верна, значит верна и формула в пункте 3.

Доказательство неравенств.

Алгебраические неравенства доказываются с помощью различных методов, которые основываются на равносильных преобразованиях и свойствах числовых неравенств:

1) если a – b 0, то a b; если a – b то a

2) если a b, то b если a то b a;

3) если a

4) если a

5) если a 0, то ac^a/_c ^b/_c;

6) если a bc; ^a/_c ^b/_c;

7) если a₁ ₁, a₂ ₂, . . . , a_n _n, то a₁ + a₂ + . . . + a_n ₁ + b₂ + . . . + b_n;

8) если 0 ₁ ₁, 0 ₂ ₂, . . . , 0 _n _n, то a₁ · a₂ · . . . · a_n ₁ · b₂ · . . . · b_n;

Напомним некоторые опорные неравенства, которые часто используются для доказательства других неравенств:

1) а² 0;

2) aх² + bx + c 0, при а 0, b² – 4ac

3) x + ¹/_x 2, при х 0, и x + ¹/_x –2, при х

4) |a + b| |a| + |b|, |a – b| |a| – |b|;

5) если a b 0, то ¹/_a ¹/_b;

6) если a b 0 и х 0, то a^x b^x, в частности, для натурального n 2

a² b² и ⁿ√a ⁿ√b;

7) если a b 0 и х ^x ^x;

8) если х 0, то sin x

Многие задачи, и это не только неравенства, эффективно решаются с помощью некоторых специальных неравенств, с которыми учащиеся школы часто не бывают знакомы. К ним, прежде всего, следует отнести:

неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел (неравенство Коши):

≥

;

неравенство Бернулли:

(1 + α)ⁿ ≥ 1 + nα, где α -1, n – натуральное число;

неравенство Коши – Буняковского:

(a₁b₁ + a₂b₂ + . . . + a_nb_n)² ≤ (a₁² + a₂² + . . . + a_n²)( b₁² + b₂² + . . . + b_n²);

К наиболее «популярным» методам доказательства неравенств можно отнести:

доказательство неравенств на основе определения;

метод выделения квадратов;

метод последовательных оценок;

метод математической индукции;

использование специальных и классических неравенств;

использование элементов математического анализа;

использование геометрических соображений;

идея усиления и др.

Применение к доказательству неравенств метода

математической индукции.

Задача 1.

Доказать, что при любом натуральном n1

.

Доказательство.

Обозначим левую часть неравенства через S_n.

S₂= , следовательно, при n=2 неравенство справедливо.

ПустьS_k при некотором k. Докажем, что тогда иS_k₊₁ .

ИмеемS_k= ,S_k₊₁= .

Сравнивая S_k и S_k₊₁, имеем S_k₊₁-S_k= , т.е.

S_k₊₁- S_k= .

При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. ПоэтомуS_k₊₁ _k

НоS_k , значит, иS_k₊₁

Задача2.

При любом натуральном n≥3 справедливо неравенство 2ⁿ2n+1.

Доказательство.

1)При n=3 2³2·3+1 верно

2)Пусть неравенство справедливо при n=k2^k2k+1

3)Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.

2^k⁺¹2(k+1)+1.

2^k2k+1умножим обе части неравенства на 2

2·2^k2(2k+1)

2^k⁺¹2k·2+2=(2k+2)+2k=2(k+1)+2k˃2(k+1)+1

Задача3.

Доказать, что

(1)

где a+b0,a , n – натуральное число, большее 1.

Решение.

1)При n=2 неравенство (1) принимает вид

. (2)

Так какa , то справедливо неравенство

. (3)

Прибавив к каждой части неравенства (3) по , получим неравенство (2).

Этим доказано, что при n=2 неравенство (1) справедливо.

2)Пусть неравенство (1) справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное

число, т.е.

. (4)

3)Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при n=k+1, т.е.

(5)

Умножим обе части неравенства (4) на a+b. Так как, по условию, a+b0

, то получаем следующее справедливое неравенство:

. (6)

Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно показать, что

, (7)

или, что то же самое,

. (8)

Неравенство (8) равносильно неравенству

. (9)

Если , то , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух положительных чисел.

Если , то , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных чисел. Вобоих случаях неравенство (9) справедливо.

Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при n=k следует его

справедливость при n=k+1.

Задача4.

Доказать неравенство

для n1

1)База индукции для n=2

верно

2) Пусть при n=k

3) Пусть n=k+1. Докажем.

Используем предположении индукции

Задача5.

3ⁿ2ⁿ+n, при n1

1)n=2. 3²2²+2-верно

2)n=k 3^k2^k+k

3) n=k+1Докажем 3^k⁺¹2^k⁺¹+k+1

3^k2^k+k| ×3

3^k+1 3×2^k+3k

3×2^k+3k=(2+1)×2^k+k+2k=2×2^k+k+2^k+2k=2^k+1+k+(2^k+2k) 2^k+1+k+1

Задача 6.

Доказать неравенство x₁+x₂+x₃…+x_n≥n, если x₁×x₂×…×x_n=1, иx_i0, i = .

1)n=1, x=1следовательно x₁≥1 справедливое утверждение.

2)Допустим, чтопри n=k истинно, т.е. x₁×x₂×…x_k=1, x_i0, i = , то x₁+x₂+…x_k≥k.

3) Докажем, что неравенство выполняется при n=k+1

X₁×x₂×x₃…x_k+1=1, x_i0, i = , тоx₁+x₂+…x_k+x_k+1≥k+1

пустьx₁=x₂=x₃=…x_k=x_k₊₁=1, тоx₁+x₂+…x_k+x_k₊₁=k+1, k+1≥k+1, k+1≥k+1 неравенство выполняется.

хотя бы одно из чисел отличное от единицы, например, пусть больше единицы, т.к. x₁×x₂×…x_k×x_k₊₁=1, то существует еще хотя бы одно число отличное от единицы, точнее меньше единицы.

Пусть x_k₊₁1 иx_k

Рассмотрим kположительность чисел x₁,x₂,x₃…x_k_-1(x_k×x_k₊₁)

т.ч.x₁×x₂…x_k_-1(x_k×x_k₊₁)=1

x₁+x₂+x₃+x_k_-1+(x_k×x_k₊₁)≥k|+(x_k+x_k₊₁)

x₁+x₂+…+x_k_-1+x_k×x_k₊₁+x_k+x_k₊₁≥k+x_k+x_k₊₁

x₁+x₂+…+x_k_-1+x_k+x_k₊₁≥k+x_k+x_k₊₁-x_k×x_k₊₁

k+x_k+x_k₊₁-x_k×x_k₊₁= k+x_k+x_k₊₁-x_k×x_k₊₁+1-1=

=k+1+(x_k+1)+x_k₊₁(1-x_k)≥k+1

Следовательноx₁+x₂+…x_k+x_k₊₁≥k+1, т.е. если P(x) справедливо, то и P(k+1) справедливо.

Замечание1. Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x₁=x₂=…x_n=1.

Задача 7.

Доказать неравенство + ≤1, n /

1)n=1. справедливое утверждение.

2)Допустим, что при n=kимеет место неравенство

3)Докажем, что при n=k+1 выполняется неравенство

+

Замечание2. Равенство выполняется только при n=1.

Задача 8.

Доказать неравенство

, n .

1)n=1

2)Допустим, что неравенство выполняется при n=k.

3)Докажем, что при n=k+1 выполняется неравенство.

Поскольку (k+1)!=1×2×3×…×k×(k+1) то

(k+1)!k(k+1)

=

учитывая P(k), получим

Задача 9.

Доказать неравенство 2ⁿn³, n , n≥10

1)при n=10

2¹⁰=1024

10³=1000

1024 1000,верное утверждение.

2)Допустим, что при k10, 2^kk³верное неравенство.

3)Докажем, что при n=k+1 неравенство верное.

2^k⁺¹(k+1)³

Поскольку k10, то 2 или 21+

Следует, что 2k³k³+3k²+3k+1

k³3k²+3k+1

учитывая неравенство P(k) 2^kk³получим

2^k⁺¹=2^k+2^kk³+k³k³+3k²+3k+1=(k+1)³

Задача 10.

Найти все целые решения неравенства х-1log₆(х+3)

Решение

Допустимые значения х определяются из условия х+30. х Z. т.е. х=-2,-1.0.1,2…

Начнем последовательно проверять

А) х=-2, -3log₆1 верно

Б) х=-1, -2log₆2 верно

В) х=0, -1log₆3 верно

Г) х=1, 0log₆4 верно

Для остальных целых х неравенство не выполняется. Докажем по индукции неравенство n-1log₆(n +3), n≥2, n

При n=2 1log₆5 верно

Предположим, что приn=k выполняется неравенство k-1log₆(k +3)

Докажем, что (k+1)-1log₆((k +1)+3) верное неравенство.

k-1log₆(k +3)

(k+1)-1 log₆(k +3)+1

log₆(k +3)+1= log₆(k +3)+ log₆6= log₆(6(k+3))= log₆(6 k+18)= log₆((k+4)+(5k+14)) log₆(k+4) (поскольку5 k+14 0), значит

(k+1)-1 log₆((k +1)+3) верно. Индуктивный переход обоснован.

Ответ :-2,-1,0,1

Доказательство неравенства Коши и неравенства

Бернулли методом математической индукции.

Огюстен Луи Коши (1789-1857) – французский математик, основоположник теории аналитических функций

Задача 1.

Доказать неравенство Коши(cреднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического) , где x_i0, i = , n≥2, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда a₁=a₂=…=a_n_.

1 способ.

Пусть x₁x₂…x_n – произведение положительных чисел.

Рассмотрим следующие n- положительные числа.

тогда

=1,

А по задаче 7

|

Откуда

2 способ.

1)При n=2 верно,т.к.

2) Допустим, что верно неравенство при n=k, т.е.

3) Докажем, что неравенство верно при n=k-1

Умножим обе части неравенства на

Возведем обе части неравенства в степень

Замечание1. В данном доказательстве использовали индукцию вниз.

Замечание2. Стоит обратить внимание на существование других вариантов записи неравенства Коши, например такого:

илитакого:

Якоб Бернулли (1654-1705) - швейцарский математик, профессор математики Базельского университета. Один из основателей теории вероятностей и математического анализа.

Задача 2.

Доказать неравенство Бернулли: (1+α)ⁿ≥1+nα , где α(-1), n .

1)n=1,

(1+α)≥1+α истинное неравенство.

2)Допустим , что имеет место быть неравенство при n=k,

(1+α)^k≥1+kα.

3)Допустим, что неравенство выполняется при n=k+1,

(1+α)^k⁺¹≥1+(k+1)α.

Т.к. α(-1), то α+10,

(1+α)^k≥1+kα | (α+1)

(1+α)(1+α)^k≥(1+kα)(1+α)

(1+α)^k⁺¹≥1+kα+α+kα²

(1+α)^k⁺¹≥1+(k+1)α+kα²

kα²≥0,тогда 1+(k+1)α+kα²≥1+(k+1)α

Следовательно (1+α)^k⁺¹≥1+(k+1)α.

Тогда если P(k) истинно, то P(k+1) истинно, следовательно, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли доказано.

Заключение.

Познакомившись с методом математической индукции, я расширила свои знания в области математики и научилась решать задачи,которые раньше не могла решить. Это были логические и интересные задачи, которые повышают интерес к самой науке математике. В заданиях ЕГЭ по математике встречаются задачи, которые решаются методом математической индукциии изучив данную тему, я сделала еще один шажок к успешной сдачи ЕГЭ.

Список используемых источников и литературы.

Айзенштат Я.И. Доказательство неравенств методом математической индукции. – Математика в школе №2 1976

Википедия

(https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F)(https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D1%8B_%D0%9F%D0%B5%D0%B0%D0%BD%D0%BE)

Викиучебник (http://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%81_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%BC_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%83%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8)

Гомонов С.А.,Замечательные неравенства. 10-11 класс.-М.: Дрофа 2005

(http://works.tarefer.ru/50/100042/index.html )

MathschooL(http://math4school.ru/dokazatelstvo_neravenstv.html )

(http://www.math.md/school/krujok/inductr/inductr.html )

(http://school-collection.edu.ru/catalog/res/6b6881ea-a511-43b2-a469-9836e0ba1044/view/)

(http://www.km.ru/referats/C0739375204A4BD69F94357213811B1F )

(http://www.km.ru/referats/DD40CE49404742A4BF005A5FBBB56B01 )

Соломинский И.С. О математической индукции.-М.: Наука, 1967

Информационная карта

научно-исследовательской работы районной конференции НОУ «Эврика»

Район Сормовский

Секция Алгебра

Название работы

«Метод математической индукции

и его применение к доказательству неравенств»

Ф.И. автора

Арефьева Ксения

Класс

10 б

Образовательное учреждение (по Уставу)

МБОУ средняя общеобразовательная школа №81.

Ф.И.О. руководителя, должность

Пятковская Анна Рудольфовна,

учитель математики

Краткая аннотация представляемой работы

Заявленная тема работы «Метод математической индукции

и его применение к доказательству неравенств» соответствует ее содержанию. Тема работы актуальна, т.к. использование математической индукции упрощает решение многих заданий курса алгебры и начала анализа.

Цели работы поставлены правильно.

В данной работе присутствуют теоретическая часть и практическое применение этой теории к решению задач.

Ксения с интересом работала над этой темой, она разобралась с материалом и смогла применить знания на практике. Выводы соответствуют поставленным целям.

Материал изложен грамотным математическим языком.

Качество оформления работы соответствует действующим правилам и стандартам.

Название работы	«Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств»
Ф.И. автора	Арефьева Ксения
Класс	10 б
Образовательное учреждение (по Уставу)	МБОУ средняя общеобразовательная школа №81.
Ф.И.О. руководителя, должность	Пятковская Анна Рудольфовна, учитель математики
Краткая аннотация представляемой работы	Заявленная тема работы «Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств» соответствует ее содержанию. Тема работы актуальна, т.к. использование математической индукции упрощает решение многих заданий курса алгебры и начала анализа. Цели работы поставлены правильно. В данной работе присутствуют теоретическая часть и практическое применение этой теории к решению задач. Ксения с интересом работала над этой темой, она разобралась с материалом и смогла применить знания на практике. Выводы соответствуют поставленным целям. Материал изложен грамотным математическим языком. Качество оформления работы соответствует действующим правилам и стандартам.

«Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств»

Просмотр содержимого документа ««Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств»»

Полезное для учителя

Просмотр содержимого документа
««Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств»»