Материал для формативного оценивания по геометрии в 7 классе по темам «Смежные и вертикальные углы» и «Касательная и свойства касательной».

Телегина Мария Александровна.

Тема: «Смежные и вертикальные углы».

Уровень А.

Задача 1. Могут ли два угла с градусными мерами 80° и 100° быть смежными?

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о смежных углах.

4. Находит сумму углов.

5. Записывает ответ.

Решение:

2

1

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

80° + 100° = 180° , следовательно углы 1 и 2 смежные.

Ответ: да.

Задача 2. Могут ли два угла с градусными мерами 80° и 100° быть вертикальными?

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о вертикальных углах.

4. Сравнивает углы.

5. Записывает ответ.

Решение:

2

1

По теореме о вертикальных углах: вертикальные углы равны, имеем:

∠АОВ = ∠COD, но по условию ∠АОВ = 80°, а ∠COD = 100°, 80°≠ 100°, следовательно два угла с градусными мерами 80° и 100° не могут быть вертикальными.

Ответ: нет.

Задача 3. Найдите углы, смежные с углами 30°; 45°; 60°; 90°

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о смежных углах.

4. Находит неизвестное слагаемое.

5. Вычисляет значение первого угла.

6. Вычисляет значение второго угла.

7. Вычисляет значение третьего угла.

8. Вычисляет значение четвертого угла.

9. Записывает ответ.

Решение:

2

1

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

1) 180° - 30° = 150°;

2) 180° - 45° = 135°;

3) 180° - 60° = 120°;

4) 180° - 90° = 90°.

Ответ: 150°; 135°; 120°; 90°.

Задача 4. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы?

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о вертикальных углах.

4. Определяет значение третьего угла.

5. Пользуется теоремой о смежных углах.

6. Находит неизвестное слагаемое.

7. Вычисляет значение второго угла.

8. Определяет значение четвертого угла.

9. Записывает ответ.

Решение:

Пусть ∠АОВ = 30°. ∠АОВ = ∠COD, как вертикальные углы, значит, ∠COD= 30°.

∠AOB и ∠ВОС — смежные углы. Сумма смежных углов равна 180°. Значит, ∠ВОС = 180° - ∠AOB = 180° - 30° = 150°.

∠ВОС и ∠AOD — вертикальные углы, а следовательно они равны. Значит, ∠AOD = 150°.

Ответ: 30°, 150°, 150°.

Задача 5. Сумма двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых равна 98. Найдите эти углы.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о вертикальных углах.

4. Находит половину суммы углов.

5. Записывает ответ.

Решение:

2

3

1

4

Пусть  1 + 3 = 98. По теореме о вертикальных углах: вертикальные углы равны, имеем:  1 = 3, следовательно  1 = 3 = 98 : 2 = 49 .

Ответ: 49 .

Задача 6. Сумма трёх углов, образовавшихся при пересечении двух прямых 326. Найдите все углы.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Знает определение полного угла.

4. Находит неизвестное слагаемое.

5. Пользуется теоремой о вертикальных углах.

6. Определяет значение четвертого угла.

7. Пользуется теоремой о смежных углах.

8. Находит неизвестное слагаемое.

9. Вычисляет значение первого угла.

10. Пользуется теоремой о вертикальных углах.

11. Определяет значение третьего угла.

12. Записывает ответ.

Решение:

2

3

1

4

Пусть 1 +2 + 3 = 326. Все четыре угла составляют полный угол 360. Следовательно, 4 = 360 - 326 = 34. По теореме о вертикальных углах: вертикальные углы равны, имеем: 2 = 4, следовательно 2 = 4 = 34.

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

1 +2 = 180, следовательно 1 = 180 - 34 = 146. По теореме о вертикальных углах: вертикальные углы равны, имеем: 1 = 3, следовательно 1 = 3 = 146

Ответ: 146, 34, 146, 34.

Задача 7. Найдите смежные углы, если один из них на 30° больше другого.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о смежных углах.

4. Выражает один угол через другой

5. Составляет уравнение.

6. Приводит подобные слагаемые

7. Находит неизвестный множитель.

8. Определяет значение первого угла.

9. Определяет значение второго угла.

10. Записывает ответ.

Решение:

2

1

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

пусть градусная мера одного угла х, тогда другого — х + 30. Составим уравнение:

х + х + 30 = 180, 2х = 150, х = 75

х + 30 = 75 + 30 = 105. Получаем, что смежные углы равны 75° и 105°.

Ответ: 75° и 105°.

Задача 8. Найдите смежные углы, если их разность равна 40°

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о смежных углах.

4. Выражает один угол через другой

5. Составляет уравнение.

6. Приводит подобные слагаемые

7. Находит неизвестный множитель.

8. Определяет значение первого угла.

9. Определяет значение второго угла.

10. Записывает ответ.

Решение:

2

1

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

пусть градусная мера одного угла х, тогда второго — х + 40. Составим уравнение:
х + х + 40 = 180, 2х = 140, х = 70;
х + 40 = 70 + 40 = 110. Получаем, что смежные углы равны 70° и 110°.

Ответ: 70° и 110°.

Задача 9. Найдите смежные углы, если один из них в 3 раза меньше другого.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о смежных углах.

4. Выражает один угол через другой

5. Составляет уравнение.

6. Приводит подобные слагаемые

7. Находит неизвестный множитель.

8. Определяет значение первого угла.

9. Определяет значение второго угла.

10. Записывает ответ.

Решение:

2

1

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

пусть градусная мера одного угла х, тогда второго — 3х. Составим уравнение:

х + 3х = 180, 4х = 180, х = 45;

3х = 3 ⋅ 45 = 135. Получаем, что смежные углы равны 45° и 135°.

Ответ: 45° и 135°

Уровень В.

Задача 1. Градусные меры двух углов относятся как 2:3. Могут эти углы быть вертикальным?

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о вертикальных углах.

4. Сравнивает углы.

5. Записывает ответ.

Решение:

2

3

1

4

По теореме о вертикальных углах: вертикальные углы равны, имеем:

∠1 = ∠3, но по условию ∠1 : ∠3 = 2 : 3, следовательно градусные меры углов не равны, следовательно, они не могут быть вертикальными.

Ответ: нет.

Задача 2. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как 2:3.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о смежных углах.

4. Выражает углы через переменную.

5. Составляет уравнение.

6. Приводит подобные слагаемые

7. Находит неизвестный множитель.

8. Определяет значение первого угла.

9. Определяет значение второго угла.

10. Записывает ответ.

Решение:

2

1

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

пусть х – 1 часть, тогда градусная мера одного угла 2х, второго — 3х. составим уравнение:

2х + 3х = 180, 5х = 180, х = 36;

2х = 2 ⋅ 36 = 72; 3х = 3 ⋅ 36 = 108. получаем, что смежные углы равны 72° и 108°.

Ответ: 72° и 108°.

Задача 3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о вертикальных углах.

4. Пользуется теоремой о смежных углах.

5. Выражает углы через переменную.

6. Составляет уравнение.

7. Приводит подобные слагаемые

8. Находит неизвестный множитель.

9. Определяет значение первого угла.

10. Определяет значение второго угла.

11. Записывает ответ.

Решение:

По теореме о вертикальных углах: вертикальные углы равны, имеем:

∠1 и ∠3 — вертикальные, следовательно, они равны. ∠2 и ∠4 — вертикальные, следовательно, они равны.

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

∠1 и ∠2 — смежные углы, ∠1 + ∠2 = 180°. ∠4 и ∠3 — смежные углы, ∠3 + ∠4 = 180°. получаем, что ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°.

Пусть градусная мера первого угла х, тогда второго — 4х. составим уравнение:

х + 4х + х + 4х = 360, 10х=360, х = 36;

4х = 36 • 4 = 144. имеем: ∠1 = 36°; ∠2 = 144°; ∠3 = 36°; ∠4 = 144°.

Ответ: 36°; 144°.

Задача 4. Из вершины развернутого угла (аа1) проведены лучи b и с в одну полуплоскость. Известно, что ∠(ab) = 60°, ∠(ac) = 30°. Найдите углы (a1b), (a1c) и (bc).

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о смежных углах.

4. Находит неизвестное слагаемое.

5. Вычисляет значение угла ∠(a1b).

6. Находит неизвестное слагаемое.

7. Вычисляет значение угла ∠(a1c).

8. Выражает ∠(ab) через сумму углов.

9. Находит неизвестное слагаемое.

10. Вычисляет значение угла ∠(cb).

11. Записывает ответ.

Решение:

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

∠(aa1) = 180°.

∠(ab) + ∠(a1b) = 180° (т.к. они смежные). ∠(a1b) = 180° - 60° = 120°.

∠(ac) + ∠(a1c) = 180° (т.к. они смежные). ∠(a1c) = 180° - 30° = 150°, ∠(ab) = ∠(ac) + ∠(cb). ∠(cb) = ∠(ab) - ∠(ac) = 60° - 30° = 30°.

Ответ: 30°.

Задача 5. Один из смежных углов составляет 0,2 другого. Найдите эти смежные углы.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о смежных углах.

4. Умеет находить дробь от числа.

5. Выражает значения углов через переменную.

6. Составляет уравнение.

7. Приводит подобные слагаемые

8. Находит неизвестный множитель.

9. Определяет значение первого угла.

10. Определяет значение второго угла.

11. Записывает ответ.

Решение:

2

1

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

пусть градусная мера одного угла х, тогда второго — 0,2х . Составим уравнение:
х + 0,2 х = 180, 1,2х = 180, х = 150;
0,2 х = 0,2  150 = 30. Получаем, что смежные углы равны 30° и 150°.

Ответ: 30° и 150°.

Задача 6. Чему равны смежные углы, если один из них составляет 80% от другого угла?

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о смежных углах.

4. Умеет находить процент от числа.

5. Выражает значения углов через переменную.

6. Составляет уравнение.

7. Приводит подобные слагаемые

8. Находит неизвестный множитель.

9. Определяет значение первого угла.

10. Определяет значение второго угла.

11. Записывает ответ.

Решение:

2

1

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

пусть градусная мера одного угла х, тогда второго — 0,8 х . Составим уравнение:
х + 0,8 х = 180, 1,8х = 180, х = 100;
0,8 х = 0,8  100 = 80. Получаем, что смежные углы равны 80° и 100°.

Ответ: 80° и 100°.

Уровень С.

Задача 1. Чему равен угол между биссектрисами смежных углов?

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о смежных углах.

4. Выражает углы через переменные.

5. Сокращает обе части равенства на 2.

6. Записывает ответ.

Решение:

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

AOB и BOC — смежные. Их сумма равна 180°. Биссектрисы OD и OE делят углы АОВ и ВОС на равные α и α, а также β и β. Отсюда мы получаем: α+α+β+β=180, или 2α +2β = 180 Сокращая правую и левую часть уравнения на 2, получаем окончательный результат: α +β = 90. Угол между биссектрисами смежных углов ВСЕГДА равен 90°.

Ответ: 90°.

Задача 2. Один из четырех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 11 раз меньше суммы трех остальных углов. Найдите эти четыре угла.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Выражает значения углов через переменную.

4. Знает определение полного угла.

5. Составляет уравнение.

6. Приводит подобные слагаемые.

7. Находит неизвестный множитель.

8. Пользуется теоремой о вертикальных углах.

9. Определяет значение четвертого угла.

10. Пользуется теоремой о смежных углах.

11. Находит неизвестное слагаемое.

12. Вычисляет значение первого угла.

13. Пользуется теоремой о вертикальных углах.

14. Определяет значение третьего угла.

15. Записывает ответ.

Решение:

2

3

1

4

Пусть 4 = х, тогда 1 +2 + 3 = 11х. Все четыре угла составляют полный угол 360. Следовательно, х + 11 х = 360. 5х = 360, х = 72. По теореме о вертикальных углах: вертикальные углы равны, имеем: 2 = 4, следовательно 2 = 4 = 72.

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

1 +2 = 180, следовательно 1 = 180 - 72 = 108. По теореме о вертикальных углах: вертикальные углы равны, имеем: 1 = 3, следовательно 1 = 3 = 108

Ответ: 108, 72, 108, 72.

Задача 3. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, на 280⁰ больше четвертого угла. Найдите эти четыре угла.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Выражает значения углов через переменную.

4. Знает определение полного угла.

5. Составляет уравнение.

6. Приводит подобные слагаемые.

7. Находит неизвестный множитель.

8. Пользуется теоремой о вертикальных углах.

9. Определяет значение четвертого угла.

10. Пользуется теоремой о смежных углах.

11. Находит неизвестное слагаемое.

12. Вычисляет значение первого угла.

13. Пользуется теоремой о вертикальных углах.

14. Определяет значение третьего угла.

15. Записывает ответ.

Решение:

2

3

1

4

Пусть 4 = х, тогда 1 +2 + 3 = х + 280. Все четыре угла составляют полный угол 360. Следовательно, х + х + 280 = 360. 2х = 80, х = 40. По теореме о вертикальных углах: вертикальные углы равны, имеем: 2 = 4, следовательно 2 = 4 = 40.

По теореме о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°, имеем:

1 +2 = 180, следовательно 1 = 180 - 40 = 140. По теореме о вертикальных углах: вертикальные углы равны, имеем: 1 = 3, следовательно 1 = 3 = 140

Ответ: 140, 40, 140, 40.

Задача 4. Докажите, что если три из четырех углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны, то прямые перпендикулярны.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Выражает значения углов через переменную.

4. Знает определение полного угла.

5. Составляет уравнение.

6. Пользуется теоремой о вертикальных углах.

7. Приводит подобные слагаемые.

8. Находит неизвестный множитель.

9. Определяет значение четвертого угла.

10. Делает вывод.

Решение:

Пусть градусная мера каждого из трех равных углов равна х. Сумма четырех углов при пересечении двух прямых равна 360°. Из рисунка: ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°, х + х + х + ∠4 = 360°, но ∠4 и ∠2 — вертикальные, значит, ∠2 = ∠4, поэтому его градусная мера также равна х. 4х = 360, х = 90. При пересечении двух прямых получились прямые углы, значит, они пересекаются под прямым углом, следовательно, они перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Тема: «Касательная и свойства касательной».

Уровень А.

Задача 1. Прямая AB касается окружности с центром O в точке A. Найдите OBA, если АОВ=20.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о касательной.

4. Определяет вид треугольника.

5. Выражает один угол прямоугольного треугольника через другой.

6. Производит вычитание.

7. Записывает ответ.

Решение:

По теореме о касательной и радиусе, проведенным в точке касания: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания, имеем: ОААВ, следовательно,  АОВ - прямоугольный, ОАВ = 90 . ОВА = 90 - АОВ=90 - 20 = 70.

Ответ: 70

Задача 2. Прямая AB касается окружности с центром O в точке A. Найдите радиус круга, если АОВ=45, AB = 8 см.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о касательной.

4. Определяет вид треугольника.

5. Выражает один угол прямоугольного треугольника через другой.

6. Производит вычитание.

7. Определяет вид треугольника.

8. Находит равные стороны.

9. Находит значение радиуса окружности.

10. Записывает ответ

Решение:

По теореме о касательной и радиусе, проведенным в точке касания: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания, имеем: ОААВ, следовательно,  АОВ - прямоугольный, ОАВ = 90 . ОВА = 90 - АОВ=90 - 45 = 45, ОВА = АОВ=45, следовательно  АОВ – равнобедренный, ОА = АВ = 8 см.

Ответ: 8 см

Задача 3. Через точку А окружности с центром О проведена касательная АВ. Найдите АВО, если ВОА=42.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о касательной.

4. Определяет вид треугольника.

5. Выражает один угол прямоугольного треугольника через другой.

6. Производит вычитание.

7. Записывает ответ.

Решение:

По теореме о касательной и радиусе, проведенным в точке касания: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания, имеем: ОААВ, следовательно,  АОВ - прямоугольный, ОАВ = 90 . АВО = 90 - ВОА=90 - 42 = 48.

Ответ: 48

Задача 4. В круге с центром O проведена хорда AB, причем АОВ = 120. Найдите угол между этой хордой и касательной, проведенной к окружности в точке B.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Определяет вид треугольника.

4. Выражает угол равнобедренного треугольника при основании через угол при вершине.

5. Выполняет вычитание.

6. Выполняет деление.

3. Пользуется теоремой о касательной.

5. Выражает один угол прямоугольного треугольника через другой.

6. Производит вычитание.

7. Записывает ответ.

Решение:

М

К

МК – касательная в точке В.

АОВ – равнобедренный, т.к. АО=ОВ – радиусы, следовательно ОАВ=ОВА = (180 -120) : 2 = 60 : 2 = 30.

По теореме о касательной и радиусе, проведенным в точке касания: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания, имеем: ОВМК, следовательно, МВО = 90. Отсюда находим МВА = 90 - ОВА = 90- 30 = 60.

Ответ: 60.

Задача 5. Прямая AB касается окружности с центром O в точке A. Найдите диаметр круга, если АОВ=45, AB = 12 см.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о касательной.

4. Определяет вид треугольника.

5. Выражает один угол прямоугольного треугольника через другой.

6. Производит вычитание.

7. Определяет вид треугольника.

8. Находит равные стороны.

9. Находит значение радиуса окружности.

10. Находит значение диаметра окружности.

11. Выполняет умножение.

12. Записывает ответ

Решение:

По теореме о касательной и радиусе, проведенным в точке касания: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания, имеем: ОААВ, следовательно,  АОВ - прямоугольный, ОАВ = 90 . ОВА = 90 - АОВ=90 - 45 = 45, ОВА = АОВ=45, следовательно  АОВ – равнобедренный, ОА = АВ = 12 см.

Найдем диаметр: d = ОА  2 = 12  2 = 24 см

Ответ: 24 см

Уровень В.

Задача 1. На рисунке ВОС = 150. Найдите угол BAC.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Пользуется теоремой о касательной.

3. Определяет вид треугольников.

5. Применяет свойство касательной.

6. Производит деление.

7. Выражает один угол прямоугольного треугольника через другой.

8. Производит вычитание.

9. Производит умножение.

10. Записывает ответ.

Решение:

По теореме о касательной и радиусе, проведенным в точке касания: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания, имеем: ОААВ, следовательно,  АОВ - прямоугольный, ОАВ = 90, аналогично  АОС - прямоугольный, ОАС = 90 .

По свойству касательной: отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, имеем ОА – биссектриса, следовательно ВОА =СОА = ВОС : 2 = 150 : 2 = 75. ВАО =САО = 90 - 75 = 15. Т.к. ОА – биссектриса, следовательно ВАС = ВАО  2 = 15  2 = 30

Ответ: 30

Задача 2. На рисунке ВАС = 50. Найдите угол BОC.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Пользуется теоремой о касательной.

3. Определяет вид треугольников.

5. Применяет свойство касательной.

6. Производит деление.

7. Выражает один угол прямоугольного треугольника через другой.

8. Производит вычитание.

9. Производит умножение.

10. Записывает ответ.

Решение:

По теореме о касательной и радиусе, проведенным в точке касания: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания, имеем: ОААВ, следовательно,  АОВ - прямоугольный, ОАВ = 90, аналогично  АОС - прямоугольный, ОАС = 90 .

По свойству касательной: отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, имеем ОА – биссектриса, следовательно ВАО =САО = ВОС : 2 = 50 : 2 = 25. ВОА =СОА = 90 - 25 = 65. Т.к. ОА – биссектриса, следовательно ВОС = ВОА  2 = 65  2 = 130

Ответ: 130

Задача 3. На рисунке ОВ = ОС = R. OA = 2R. Найдите угол BAC.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Пользуется теоремой о касательной.

3. Определяет вид треугольников.

5. Применяет свойство катета, лежащего напротив угла в 30.

6. Определяет угол.

7. Применяет свойство касательной.

8. Производит умножение.

9. Записывает ответ.

Решение:

По теореме о касательной и радиусе, проведенным в точке касания: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания, имеем: ОААВ, следовательно,  АОВ - прямоугольный, ОАВ = 90, аналогично  АОС - прямоугольный, ОАС = 90 .

По свойству катета, лежащего напротив угла в 30: катет, лежащий напротив угла в 30, равен половине гипотенузы, имеем ОА = 2R – гипотенуза, OB = R – катет, ОА = 2 ОВ, следовательно ВАО =САО = 30.

По свойству касательной: отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, имеем ОА – биссектриса, следовательно ВАС = ВОА  2 = 30  2 = 60

Ответ: 60

Уровень С.

Задача 1. К окружности с центром в точке проведена касательная ВС в точке касания А, причем АВ = АС. Докажите, что ОС = ОВ.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Строит чертеж к задаче.

3. Пользуется теоремой о касательной.

4. Определяет вид треугольников.

5. Находит равные элементы треугольников.

6. Доказывает равенство треугольников.

7. Доказывает равенство отрезков.

8. Делает вывод.

Решение:

С

По теореме о касательной и радиусе, проведенным в точке касания: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания, имеем: ОАСВ, следовательно,  АОВ и  АОС - прямоугольные, ОАВ =ОАС = 90 .

Рассмотрим  АОВ и  АОС: АО – общая, АС=АВ (по условию), следовательно, АОВ=АОС (по двум катетам). Следовательно, ОС = ОВ. Что и требовалось доказать.

Задача 2. На рисунке АВ, АН и АС – касательные. Сравните отрезки АВ и АС.

Дескрипторы:

1. Составляет краткую запись к задаче.

2. Пользуется свойством касательной к первой окружности.

3. Сравнивает отрезки касательных.

4. Пользуется свойством касательной ко второй окружности.

5. Сравнивает отрезки касательных.

7. Сравнивает отрезки касательных первой и второй окружностей.

8. Записывает ответ.

Решение:

Рассмотрим большую окружность. По свойству касательной: отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, имеем АВ = АН.

Рассмотрим меньшую окружность. По свойству касательной: отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, имеем АС = АН.

Отсюда видно, что АН = АВ =АС. Следовательно АВ = АС.

Ответ: АВ = АС.