Мастер – класс по математике по теме «Построение магических квадратов»

10

Мастер – класс по математике по теме

«Построение магических квадратов»

Ход урока

1. Сообщение темы и целей занятия

Уважаемые коллеги, я приглашаю вас в удивительный мир магических квадратов, одним из основоположников которого является известный швейцарский ученый Леонард Эйлер. По его мнению, их составление есть превосходная умственная гимнастика.

«Составление магических квадратов

представляет собой превосходную

умственную гимнастику,

развивающую способность

понимать идеи

размещения,

сочетания

и симметрии».

 

  Леонард Эйлер

Цели занятия:

• развитие процессов индукции и дедукции на основе выработки навыка построения латинского и магического квадрата методом террас, методом Эйлера и методом Делаира;

• выражаю надежду, что вы увидите красоту геометрической фигуры на основе взаимодействия науки и искусства.

Оборудование:

• работаем мы на основе раздаточного дидактического материала и презентаций учителя и школьников.

Методы работы:

• основные методы работы – объяснение принципов построения магических квадратов, упражнение в их построении, а также иллюстрирование объяснения. Прошу проявлять активность в работе.

2. Актуализация знаний, постановка проблемы и осознание познавательных задач.

2.1. Подготовительная работа.

На математических олимпиадах, в досуговых журналах и познавательных книгах очень часто встречаются задачи, когда необходимо в квадрат так вставить цифры от 1 до 9 , чтобы сумма этих цифр по строкам, столбцам и диагоналям была одной и той же, постоянной. Конечно, имея время и терпение, можно решить эту задачу, методом подбора. Сейчас в этом нам поможет наш друг и помощник компьютер. Итак, посмотрите на слайд.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

2.2. Введение нового понятия.

У нас получился квадрат, в котором сумма цифр в строках, столбцах и диагоналях равна 15 (можете проверить). Такую фигуру называют магическим квадратом порядка 3.

В математике под  магическим квадратом обычно понимают квадратную таблицу, так заполненную различными натуральными числами, что их сумма в строках, столбцах и двух диагоналях таблицы одинакова. Значение этой суммы принято называть "магической постоянной".

Итак, вписать числа от 1 до 9 в квадрат, чтобы он стал магическим, не составляет особого труда. Как же быть, если нужно вписать в квадрат числа от 1 до 25 или от 1 до 49, или от 2 до 50 так, чтобы квадрат получился магическим?

3.Изучение нового материала

Рассмотрим три способа построения магического квадрата нечетного порядка. Итак, первый способ – метод террас.

3.1. Объяснение. Построение магического квадрата методом террас.

Если магический квадрат третьего порядка не трудно построить простым перебором всевозможных комбинаций, то, уже начиная с квадрата четвёртого порядка, дело осложняется. Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Начнём с метода террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д.

Рассмотрим его на примере магического квадрата 3 порядка.

С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы. В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх. Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата (числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо).

Итак, рассмотрим метод террас, заполнения магического квадрата нечётного порядка на примере квадратов порядка 3 . Записываем числа следующим образом:

Числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо. Получаем:

Магический квадрат 3*3. Сумма = 15.

3.2. Практическая работа. Задание 1.

У вас на столах лежит лист 1. Сейчас построим с вами магический квадрат пятого порядка, используя метод террас.

Будем заполнять квадрат по шагам, по алгоритму.

1. С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавлены террасы. В полученной фигуре расположим числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх, как в примере с квадратом третьего порядка.

														1
													6		2
												11		7		3
											16		12		8		4
										21		17		13		9		5
											22		18		14		10
												23		19		15
													24		20
														25

Числа, не попавшие в выделенный квадрат, сдвигаем на n=5 единиц: 1,2,6 – вниз, 4,5,10– влево, 24,25,20 – вверх, 16,21,20 – вправо. Получаем:

11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

Важное наблюдение: заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка, но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рисунке вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.

6	32	18	44	30
40	16	42	28	4
14	50	26	2	38
48	24	10	36	12
22	8	34	20	46

4. Объяснение на основе иллюстраций.

Построение магического квадрата методом Делаира, или методом латинских квадратов.

Переходим ко второму способу составления магических квадратов и рассмотрим его на примере построения магического квадрата порядка 5.

1. Из целых чисел от 0 до 4 строят два латинских квадрата размером 5 *5.

Первый строят следующим образом:

• произвольно заполняют нижний горизонтальный ряд квадратной таблицы

5*5 целыми числами от 0 до 4, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом 2=[5-1/2]; (k=[n-1/2], n- количество различных цифр в квадрате);

• остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют снизу вверх так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего перестановкой – первое число переносится в конец строки.

На этой иллюстрации приведён такой первый латинский квадрат

 

2	1	4	0	3
3	2	1	4	0
0	3	2	1	4
4	0	3	2	1
1	4	0	3	2

Построение второго латинского квадрата.

• произвольно заполняют верхний горизонтальный ряд квадратной таблицы 5*5 целыми числами от 0 до 4, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом 2=[5-1/2]; (k=[n-1/2], n- количество различных цифр в квадрате);

• остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют сверху вниз так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего перестановкой – первое число переносится в конец строки.

На этой иллюстрации приведён второй латинский квадрат

 

0	4	1	3	2
4	1	3	2	0
1	3	2	0	4
3	2	0	4	1
2	0	4	1	3

2. Преобразовываю полученные два латинских квадрата путём умножения каждого числа первого квадрата на 5 и увеличения на 1 каждого числа другого квадрата.

3. Произвожу поклеточное суммирование двух преобразованных на втором этапе квадратов.

 

Итак, построим магический квадрат, используя два выше построенных латинских квадрата:

11	10	2	24	18
20	12	9	3	21
22	19	13	6	5
4	23	16	15	7
8	1	25	17	14

 

 

5. Практическая работа. Задание 2.

У вас на столах находится лист 2. Построим магический квадрат 7-ого порядка методом Делаира. Работаем вместе со мной, в одном темпе. Выбираем произвольную перестановку чисел от 0 до 6 так, чтобы последним числом в этой перестановке было число 3=[6/2]. Составляем первый латинский квадрат

 

3	5	0	4	2	6	1
1	3	5	0	4	2	6
6	1	3	5	0	4	2
2	6	1	3	5	0	4
4	2	6	1	3	5	0
0	4	2	6	1	3	5
5	0	4	2	6	1	3

 

 

Для составления второго латинского квадрата выбираем новую перестановку чисел от 0 до 6, в которой последнее число тоже должно быть равно 3. Составляем второй латинский квадрат, его составление начинаем с верхней строки.

 

0	2	1	5	6	4	3
2	1	5	6	4	3	0
1	5	6	4	3	0	2
5	6	4	3	0	2	1
6	4	3	0	2	1	5
4	3	0	2	1	5	6
3	0	2	1	5	6	4

 

 

Итак, пара латинских квадратов готова. Осталось построить магический квадрат. Вы видите готовый магический квадрат.

22	38	2	34	21	47	11
10	23	41	7	33	18	43
44	13	28	40	4	29	17
20	49	12	25	36	3	30
35	19	46	8	24	37	6
5	32	15	45	9	27	42
39	1	31	16	48	14	26

 

 

 

6. Объяснение.

Метод построения магического квадрата ходом шахматного коня - метод Эйлера

Рис. 1

Чтобы построить идеальный магический квадрат (n не должно быть кратным 3), достаточно выдержать следующие пять условий:

1.При выходе за пределы поля – за пределы главного квадрата - перенос чисел осуществляется в соответствии с закрашенными клетками на рисунке. В процессе многих построений появляется определенный навык, и расстановка чисел идет без затруднений.

2.Число 1 устанавливается по правую сторону от центральной ячейки.

3.Число 2 ставится так, как показано на рисунке 2:

	2
1

Рис. 2. Первый ход конем.

4.Далее именно в таком направлении проставляется натуральный ряд чисел вплоть до 25.

5.Если конечная точка какого-либо хода занята другим числом, то вместо хода конем осуществляется переход по горизонтали вправо через одну ячейку:

	33
A		A+1

Повторю: ход конём заменяется на перемещение вправо через ячейку.

6. Практическая работа. Задание 3,4,5.

Пользуясь столь простыми правилами, построим несколько магических квадратов (желтым цветом обозначены нечетные числа):

20	8	21	14	2
11	4	17	10	23
7	25	13	1	19
3	16	9	22	15
24	12	5	18	6

 

 

 

Идеальный магический квадрат 5*5

47	23	6	31	14	39	15
10	42	18	43	26	2	34
22	5	30	13	38	21	46
41	17	49	25	1	33	9
4	29	12	37	20	45	28
16	48	24	7	32	8	40
35	11	36	19	44	27	3

Идеальный магический квадрат 7 x 7

?????

7. Итог занятия

- Итак, мы научились строить магические квадраты тремя способами. Назовите их.

- Какой квадрат называется магическим?

- Какие операции мышления мы использовали?

Да, проведенная умственная гимнастика , надеюсь, помогла понять Вам идеи размещения, сочетания и симметрии. Эти идеи расположены рядом с нами, надо только их увидеть. Предлагаю увидеть их в искусстве, в быту, в науке на основе школьных презентаций.

8. Иллюстрирование изученного.

Презентации школьников «Магические квадраты в науке и искусстве, история создания». (См. Приложение 1)

*********************************

Коллеги, наша совместная работа была не так проста, как умножение на десять, но и не так трудна, чтобы не познать основных принципов построения совершенной, по мнению В.Малевича, геометрической фигуры - квадрата. А сделать его магическим нам под силу.