Мастер – класс по теме "Подготовка к ОГЭ. Решение задач на смеси, сплавы и концентрацию".

Мастер-класс по подготовке к ОГЭ по теме «Задачи на смеси, сплавы, растворы и концентрацию».

Самаркина Ольга Вячеславовна, учитель математики

МОУ Тимирязевской СШ Ульяновского района.

Стратегическая задача развития российского образования заключается в повышении качества образования. Введение новых образовательных стандартов требует не только знаний у учащихся, но и умение их применять. Это нашло отражение в новых версиях КИМов ОГЭ и ЕГЭ по математике, в которой заметно увеличилось количество задач практической направленности. В связи с этим появилась необходимость в усилении практической направленности обучения, включая в работу с учащимися соответствующие задания на проценты, пропорции, графики реальных зависимостей, текстовые задачи с построением математических моделей реальных ситуаций. Достижение учащимися таких качеств усвоения содержания математического образования, как осознанность, прочность, глубина, системность, обобщенность, возможно лишь при реализации деятельностного подхода в обучении.

Статистические данные показывают, что большинство учащихся в не полной мере владеют техникой решения текстовых задач и не умеет из-за их часто нетрадиционной формулировки отнести задачу к тому или иному знакомому типу, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела элементарной математики. И если с задачами на движение, работу ребята кое-как справляются, то с задачами на смеси, сплавы, растворы и концентрацию дело обстоит гораздо хуже. Многие учащиеся даже не начинают их решать, считая их сложными, хотя задачи такого типа не только не сложнее, а иногда бывают даже проще других текстовых задач, к которым учащиеся больше привыкли и считают их более знакомыми и простыми.

В этом несколько причин:

Первая причина, что учащиеся не приступают к решению задач на смеси, состоит в том, что текстовые задачи традиционно считаются для учащихся одними из самых сложных. Это объясняется в значительной степени тем, что если задачи другого рода требуют для своего решения формально-технического аппарата, применение какого-то алгоритма, то решение текстовых сюжетных задач требует от учащихся еще и этапа составления уравнения или системы уравнений, который в значительно меньшей степени формализуем и требует от решающего понимания имеющихся в задаче условий и перевода их на язык математики; и этот этап в большей степени, чем все остальные, носит эвристический характер.

Другая причина – это то, что задачи на смеси, сплавы, растворы, редко встречаются в задачниках практически всех авторов. Задач мало, а вся «теория» разбросана по учебникам математики 5-6 классов. Никаких подсказок и системных приемов в учебниках не описывается. Одни примеры решенных задач и готовые тексты с пояснениями к составленным уравнениям. И все! Расчет составителей различных экзаменов по математике, включающих задачи на растворы и сплавы делается на прочность знаний о процентах, полученных в 5-6 классе. Ох, как далеко это от ЕГЭ по математике. Промежуток в целых 5 лет.

Если провести сравнительный анализ учебников за 7 – 9-е классы под редакцией Ш. А. Алимова, С. А. Теляковского и А. Г. Мордковича.

В учебниках по алгебре за 7, 8 и 9 классы (Ш. А. Алимов) сюжетные задачи на смеси, растворы и сплавы встречаются очень редко. В каждом из учебников по 3-4 задачи.

В учебниках по алгебре 7 и 8 классах под редакцией Теляковского сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы тоже встречаются редко. По 3-4 задачи. Причем задачи в учебнике за 7 класс авторы приводят сложнее, чем в 8 классе. А в учебнике за 9 класс их нет вообще.

В учебниках Алгебра 7-9 классов под редакцией Мордковича также как и в выше рассматриваемых учебниках сюжетные задачи на смеси, растворы и сплавы встречаются редко, по 2-3 задачи.

Решая задачи из разных учебников за 7 класс по алгебре на смеси, растворы и сплавы можно сказать, что у Ш. А. Алимова задача самая простая. Мы просто взяли значения, подставили их в формулу и ответили на вопрос задачи. В задаче из учебника С. А. Теляковского мы ищем связь между известными и неизвестными величинами, составляем уравнение с одним неизвестным. В задаче из учебника А. Г. Мордковича мы вводим две неизвестные величины. Составляем систему уравнений. Конечно же, сложнее задачи в учебниках под редакцией А. Г. Мордковича. Но количества сюжетных задач на смеси, растворы и сплавы во всех учебниках недостаточно. Следовательно, необходимо подобрать комплекс задач для 7-9 классов, направленные на повышение математических знаний учащихся, умений решать задачи разными способами.

Более плотно с такими задачами я учащихся знакомлю на элективном курсе «Текстовые задачи: сложности и пути их решения» и на консультациях по подготовке к ОГЭ. Конечно, времени много уделить этим задачам не могу, т. к. их процентное содержание в вариантах ОГЭ тоже не велико, но, тем неменее, с основными методами решения задач на смеси, сплавы и концентрацию девятиклассников знакомлю, и, как правило, сильные учащиеся затем справляются с такими задачами, а средние хотя бы пробуют их решать.

Задачи на смеси, растворы и сплавы при первом знакомстве с ними, вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие.

Нельзя забывать, что к задачам на сплавы и смеси нужно подходить с определенным багажом знаний умений и навыков. Этот багаж уже закладывается в 5-7 классах. Учащиеся должны уметь решать линейные уравнения, вычислять проценты, составлять уравнения по условию задачи. Поэтому закрепление этих навыков необходимо.

Для закрепления знаний и навыков можно порешать следующие задания:

1) Представьте в виде дроби: а) 50% б) 43% в)125% г) 4,2%

2) Начертите квадрат и закрасьте: а) 50% б) 25% в)75% г)12,5%

3)Вычислите: а) 50% от 80 б) 32% от 64 в) 0,2% от 75 г)10% от 24;

4) Верна ли запись?

26%=0,26; 6%=0,6; 60%=3/5; 123%=12,3; 8%=0,08; 54%=5,4

5) Решите уравнения: а) 22х + 360 = 470 б) 1,2х + 1,4х = 52

в) 0,25х + 0,13 (х+5) = 0,2 (2х+5) и др.

6) «Из 140деталей, сделанных первым рабочим 30 % высшего качества, у второго рабочего 25% сделанных деталей высшего качества. Сколько деталей сделал второй рабочий, если на двоих они сделали 66 деталей высшего качества?» Составьте уравнение по условию задачи и решите его, если за х приняли количество деталей, сделанных вторым рабочим. (Можно эту задачу на предыдущем занятии перед темой на смеси и сплавы дать на дом).

а) Концентрация раствора 3 %; 
(В 100 г раствора содержится 3 г вещества).

в) Молоко имеет 1,5 % жирности;
(В100 г молока содержится 1,5 г жира).

с) золотое кольцо имеет 583 пробу?
(В1 г кольца содержит 583 миллиграмма золота).

Теперь перейдем непосредственно к задачам на смеси и сплавы. Сначала, конечно, нужно дать определение понятий «концентрация», «процентное содержание», «раствор», «смесь», которые непосредственно будут встречаться в этих задачах.

Пример раствора.  Возьмем 180 грамм воды и добавим в воду 20 грамм соли. Получим раствор соли, его масса равна 180 + 20 = 200 грамм. Концентрация соли (процентное содержание соли) - это отношение количества соли к количеству раствора, записанное в процентах - (20 : 200)100 = 10%

-Предлагаю вам показать этот раствор в виде прямоугольника («стаканчика»)

200г

(рис.1), где наверху пишем массу раствора или смеси, внизу –

концентрацию .

10%

Рис.1

Пример смеси. Возьмем 15 кг цемента и 45 кг песка, высыплем содержимое ведер в ящик и тщательно перемешаем цемент с песком. Получим смесь цемента с песком, её масса равна 15 кг + 45 кг = 60 кг. Концентрация цемента(процентное содержание цемента) - это отношение количества цемента к количеству смеси, записанное в процентах - (15 : 60)100 = 25%

60 кг

-Покажите эту смесь в виде прямоугольника (рис.2)

25%

Рис.2

- Предлагаю ребятам сыграть в игру (можно провести как физминутку): соотнесите следующие слова с математическими знаками «+» и «-»: смешали, отлили, спилили, долили, перемешали, отобрали, добавили, вылили, вместе, отделили и т.д. (можно предложить сопровождение каждого слова каким-нибудь действием, напоминающим сложение и вычитание, или попросту поднятием рук или количеством хлопков).

Напоминаем ребятам, что при решении задач на смеси, сплавы, растворы, концентрацию и сушку предполагают, что:

а) все получившиеся смеси и сплавы являются однородными;

б) смешивание различных растворов происходит мгновенно;

в) объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов;

г) объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными.

д) при соединении растворов, сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонент;

е) вместо воды можно брать любую жидкость – основание, в которой можно растворить то или иное вещество.

ж) с математической точки зрения растворы, смеси, сплавы не отличаются друг от друга, поэтому доля или процентное содержание одного вещества в растворе, смеси, сплаве определяются по одному правилу.

з) вместо весовых мер веществ и воды можно брать доли или части.

Повторяются основные химические понятия и обозначения.

1. Основные химические понятия для задач этого типа:

а) массовая доля растворенного вещества в растворе;

б) масса растворенного вещества в растворе;

в) масса раствора.

2.Определения и обозначения.

Массовая доля растворенного вещества в растворе - это отношение массы этого вещества к массе раствора.

ω=m_(в-ва)/m_(р-ра) (1)

где ω - массовая доля растворенного вещества в растворе;

m_(в-ва) - масса растворенного вещества в растворе;

m_(р-ра) - масса раствора.

Следствия формулы (1):

m_(в-ва) = ω ∙ m_(р-ра) (2)

m_(р-ра) = m_(в-ва)/ω (3)

Введем обозначения:

ω₁ - массовая доля растворенного вещества в первом растворе;

ω₂ - массовая доля растворенного вещества во втором растворе;

ω₃ - массовая доля растворенного вещества в новом растворе, полученном при смешивании первого и второго растворов;

m_1(в-ва), m_2(в-ва), m_(в-ва) - массы растворенных веществ в соответствующих растворах;

m_1(р-ра), m_2(р-ра), m_(р-ра) - массы соответствующих растворов.

Получаем формулу.

ω = (ω₁ ∙ m₁ + ω₂ ∙ m₂) / (m₁ + m₂).

Для решения задач на смеси и сплавы существуют много различных методов: алгебраический, арифметический, графический, способ расчета по формуле, при помощи универсальной таблицы, метод «креста» (конверт Пирсона), метод «рыбки», метод «стаканчиков», при помощи прямоугольников и др.

Подробно разбираем метод «стаканчиков»(или «чаш», прямоугольников).

Задача №1: «Имеется 30 кг 26% го раствора соли. Требуется получить 40% раствор соли. Сколько кг 50% раствора соли нужно добавить?»

-В этой задаче речь идет про …?

-На какие слова в задаче следует сконцентрировать внимание? Подчеркните их. (« Имеется 30 кг 26% го раствора соли. Требуется получить 40% раствор соли. Сколько кг 50% раствора соли нужно добавить?»)

-Сколько различных растворов в этой задаче?

-Давайте нарисуем стаканчики для каждого из растворов?

-Попробуйте нарисовать «стаканчик» для первого раствора, с концентрацией 26%.

-Теперь для второго, с концентрацией 50 % и третьего, с концентрацией 40%.

-Давайте расположим эти «стаканчики»в ряд в порядке их номеров.

- Попробуем обозначить массу второго раствора через х.

-Как тогда можно обозначить массу третьего раствора? (30+х)

-Посмотрим, что получилось.

1 2 3

30 кг х кг (30+х) кг

40%

26%

50%

-Что сделали со вторым раствором? (добавили к первому).

- Какой знак можно поставить между первым и вторым раствором? («+»)

- Чему равна сумма этих двух растворов?

1 2 3

30 кг х кг (30+х) кг

+ =

40%

50%

26%

- Сколько процентов соли содержится в 1 растворе?

-Можно ли найти количество соли в 1 растворе?

-Что нужно для этого сделать? (30· 0,26)

- Сколько процентов соли содержится во 2 растворе? (х· 0,5)

-Сколько процентов соли содержится в 3 растворе? ((30+х)· 0,4)

1 2 3

30 кг х кг (30+х) кг

+ =

40%

50%

26%

30· 0,26 0,5х (30+х)· 0,4

-Откуда взялась соль в 3 растворе? (это соль из 1 и 2 растворов)

-Какое равенство можно составить? (30· 0,26 + х· 0,5=(30+х)· 0,4)

-Можно ли переписать это уравнение в виде 30· 26+ х· 50 = (30+х)· 40 ?

-Что мы найдем, решив это уравнение?

- Сможете ли вы сами составить рисунок и уравнение к подобной задаче? Давайте попробуем.

«В бидоне было 3 литра молока 6% жирности. После того как в бидон добавили некоторое количество молока 2% жирности и тщательно перемешали, получили молоко с жирностью 3,2%. Сколько литров молока 2% жирности было добавлено в бидон?»

1. Выберите правильный рисунок к этой задаче.

3л х л 3 л

+ = А)

3,2%

2%

6%

3л х л (3+х) л

+ = Б)

3,2%

6%

2%

3л х л (3+х) л

+ = В)

3,2%

2%

6%

3л х л (3х) л

+ = Г)

3,2%

2%

6%

2. Выберите правильное уравнение:

1) 3·6 + 2х = 3х·3,2 2) 3·6 + 2х = (3+х)·3,2 3) 3·2 + 6х = (3+х)·3,2

Задача №2: «Из чаши, содержащей 300 граммов 6% раствора уксусной кислоты, отлили некоторое количество этого раствора и добавили такое же количество воды. Определите, сколько граммов воды было добавлено, если известно, что в результате получили 2%-ый раствор уксусной кислоты».

- Чему равна концентрация раствора, которую отлили?

- Какое вещество добавили? Чему равна её концентрация?

-Сколько прямоугольников можно нарисовать к этой задаче?

было отлили добавили получили

300г

300г х г х г

- + =

2%

0%

6%

6%

300·6 – 6х +х·0 = 300·2

1800 – 6х =600

х = 200(г) Ответ: 200г

Теперь вернемся к первой задаче

1 2 3

30 кг х кг (30+х) кг

+ =

40%

50%

26%

30· 0,26 + х· 0,5=(30+х)· 0,4

х=42 кг.

и попробуем ее решить другим старинным методом «креста»

«Правило креста» или «Конверт Пирсона».

«Конверт Пирсона» - это удобный и рациональный способ решения задач.

Данный способ предложил английский математик, статистик, биолог и философ

Карл Пирсон. Метод состоит в следующем: при расчетах записываем одну над

другой массовые доли растворенного вещества в исходных растворах, справа

между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вы-читаем по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний по-казывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для при-готовления нужного раствора.

Итак, задача: «Имеется 30 кг 26% го раствора соли. Требуется получить 40% раствор соли. Сколько кг 50% раствора соли нужно добавить?»

26 10 значит 30 кг это 10 частей

40

50 14 а 14 частей – это 42 кг.

Следующий способ решения таких задач

Табличный способ решения задач.

При решении задач рассматриваемого вида, удобно использовать таблицу,

т.к. зрительное восприятие определённого расположения величин в таблице даёт

дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её про-верки.

Задача. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание меди (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества
Первый сплав	15%=0,15	х	0,15*х
Второй раствор	65%=0,65	(200 – х)	0,65*(200–х)
Получившийся раствор	30%=0,3	200	200*0,3

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе меди в полученном сплаве (третья строка таблицы):

0,15х+0,65(200-х)= 200*0,3

Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г.

Ответ:140г. 60г.

Алебраический метод.

Задачи на смешивание растворов решают с помощью составления уравнения или системы уравнений.

Решение. Пусть 5%-ного лома взято х т, а 40%-ного лома у т. Тогда из условия ясно, что х + у = 140 т. Так как первый лом содержит 5% никеля, то в х т этой стали содержится 0,05х т никеля. Аналогично, в y т 40%-ного лома содержится 0,4у т никеля. В полученной стали по условию задачи никеля содержится 140 ∙ 0,3 = 42 т, отсюда следует, что 0,05х + 0,4у = 42. Составим систему уравнений и решим ее:

х + у = 140 х = 40

0,05х + 0,4у = 42 у = 100.

Ответ: 40 т 5%-ного и 100 т 40%-ного лома.

Решение задач при помощи формулы

Задача. В колбе было 200 г 80%-ного спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в неё столько же воды, чтобы получать 60%-ный спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?

Решение.

Воспользуемся формулой

Находим значение х = 50.

Ответ: 50 г

Решение этой же задачи при помощи графического метода.

Отрезок прямой (основание графика) представляет собой массу смеси, а на осях ординат откладывают точки, соответствующие массовым долям растворенного вещества в исходных растворах. Соединив прямой точки на осях ординат, получают прямую, которая отображает функциональную зависимость массовой доли растворенного вещества в смеси от массы смешанных растворов в обратной пропорциональной зависимости

ω = (ω₁ ∙ m₁ + ω₂ ∙ m₂) / (m₁ + m₂), y = k / x.

Полученная функциональная прямая позволяет решать задачи по определению массы смешанных растворов и обратные, по массе смешанных растворов находить массовую долю полученной смеси.

Рассмотрев подобные треугольники, имеем

0,8 = 0,2

200 х , откуда х=50 г.

Построим график зависимости массовой доли растворенного вещества от массы смешанных растворов. На одной из осей ординат откладывают точку, соответствующую массовой доли ω₁, а на другой – ω₂. Обозначим на оси абсцисс точки А и В с координатами (0,0) и (m₁ + m₂), соответственно. На графике точка А(0,0) показывает, что массовая доля всего раствора равна ω₁, а точка В(m₁ + m₂) - массовая доля всего раствора равна ω₂. В направлении от точки А к точке В возрастает содержание в смеси 2-го раствора от 0 до (m₁ + m₂) и убывает содержание 1-го раствора от (m₁ + m₂) до 0. Таким образом, любая точка на отрезке АВ будет представлять собой смесь, имеющую одну и ту же массу с определенным содержанием каждого раствора, которое влияет на массовую долю растворенного вещества в смеси.

Замечание: Данный способ является наглядным и дает приближенное решение. При использовании миллиметровой бумаги можно получить достаточно точный ответ.

Арифметический метод.

Задача 3. В сосуд, содержащий 5 литров 12 % водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Представим, что раствор отстоялся.

объем получившегося раствора

объем чистого вещества в первом растворе.

концентрацияполучившегося раствора.

Решение задач «Методом прямоугольников».

Метод состоит в следующем: необходимо изобразить каждый сплав (раствор, смесь) в виде прямоугольника, разбитого на фрагменты. После заполняем

получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи:

1) Над каждым «маленьким» прямоугольником указываем соответствующие компоненты сплава (смеси, раствора).

2) Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание соответ-ствующего компонента. Если сплав (смесь, раствор) состоит из двух компонен-тов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае

процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного

содержания первого.

3) Под прямоугольником записываем массу (или объем) соответствующего

сплава (или компонента). И учитывая, что масса сплава (раствора, смеси) не-скольких веществ равна сумме масс компонентов, составляем уравнение.

Задача. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?

медь олово медь олово медь олово

+

0% 100%

30% 70%

40% 60%

+ =

15 кг х кг (15 + х) кг

Составим уравнение на основе подсчета олова

0,6*15+ х =0,7(15+ x),

Откуда x = 5 кг. Нужно добавить 5 кг олова.

Ответ. 5 кг.

Решение задач «Методом рыбки».

Впервые в России такой способ решения задач был описан в арифметике 18

века, автором которой был замечательный русский математик и педагог Леонтий

Филиппович Магницкий. При решении задач этим способом строится схема, по-хожая на рыбку, вот поэтому он так и называется. Метод состоит в следующем:

друг под другом записываем содержания веществ имеющихся растворов (смесей, сплавов), слева от них и примерно посередине - содержание вещества в растворе (в смеси или в сплаве), который должен получиться после смешивания.

Соединяем написанные числа прямыми. В каждой паре из большего числа вычи-таем меньшее, и результат записываем в конце соответствующей прямой. Полу-чаемые массовые доли показывают, в каком отношении надо слить исходные

растворы (смеси, сплавы). Записываем пропорцию и решаем её.

Задача. Имеется 240г. 70 % раствора уксусной кислоты. Нужно получить 6 % раствор уксусной кислоты. Сколько граммов воды нужно добавить к имеющемуся раствору?

Решение: вода – это 0 % раствор кислоты.

0 % 70 – 6 = 64 (ч) - воды.

6 %

6 – 0 = 6 (ч) – уксусной кислоты,

70 % это 240г. раствора

240 : 6 = 40 (г) – в 1 части. 64 * 40 = 2560 (г) воды.

Т.е. бутылочку 70 % раствором кислоты надо развести с 2560 г. воды.

На элективном курсе в плане подготовки к обучению в агротехнологическом профиле и с профориентационной направленностью, решаем задачи на смеси и сплавы с сельскохозяйственным сюжетом. Причем большее погружение в тему происходит, если ребята сами придумывают такие задачи, а это не трудно. У многих родители работают в УНИИСХ (Научно-исследовательском институте сельского хозяйства), где проводят много опытов с удобрениями, с ядохимикатами, с кислотностью почв. И я предложила им мини проекты по составлению таких задач.

Вот некоторые из них.

Задача 1. Сколько литров молока 2% жирности нужно добавить к 40 л 5 % жирности, чтобы получить молоко с жирностью 3,2%.

Задача 2. В соответствии с требованиями агротехники зерно засыпается на длительное хранение при влажности до 14 % (кондиционное состояние). На сколько процентов уменьшается масса зерна при просушке до кондиционного состояния, если влажность свежеубранного зерна – 24%.

Задача 3. При приготовлении маринада для консервирования смешали 10%- ный и 25%- ный растворы соли и получили 3кг 20% -ного раствора.
Какое количество каждого раствора (в кг) было использовано?

Задача 4. Влажность свежескошенной травы 60%, сена 20%. Сколько сена получится из 1т свежескошенной травы?

Источники и литература:

1. _{Математика. 6 класс: поурочные планы по учебнику Г.В.Дорофеева, С.Б.Суворовой, И.Ф.Шарыгина. Часть 1/авт.-сост. Т.Ю.Дюмина. – Волгоград: Учитель,2007.}

2. _{Алгебра. 7 класс: поурочные планы по учебнику под редакцией Г.В.Дорофеева / авт.-сост. М.Ф. Калинина. – Волгоград: Учитель,2008.}

3. _{Алгебра. 8 класс: поурочные планы по учебнику под редакцией Г. .В. Дорофеева / авт. – сост. Т. Ю. Дюмина. – Волгоград: Учитель,2008.}

4. _{Шестаков С.А., Гущин Д.Д. ЕГЭ 2011. Математика. Задача В12. Задачи на составление уравнений. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.}

1. А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко. Прогрессии. Текстовые задачи. Элементы математического анализа. – Екатеринбург: УМЦ УПИ, 2000.

1. В.В. Ткачук. Математика – Абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2007.

1. В.А. Далингер. Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике. Вып. 2. Текстовые задачи, решаемые методом составления уравнений: Учеб. пособие. – Омск: ОмГПУ, 1996.

1. Пособие по математике для поступающих в вузы. Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука, ГРФМЛ, 1988.

1. http://mathege.ru

2. http://www.alleng.ru/edu/math3.htm

3. http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems?offset=15&posMask=2048

4. http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems.html?posMask=2048 все задания В12

5. http://www.webmath.ru/tests/variantiegemath_2010.php?tip=12&stranisa=1 можно пройти тестирование по тестовым задачам (Тесты с ответами)

Приложение.

Задачи на концентрацию и сплавы

1. В сосуд, содержащий 6 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 3 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. В сосуд, содержащий 6 литров 20-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. Смешали некоторое количество 11-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. Смешали некоторое количество 17-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. Смешали 6 литров 5-процентного водного раствора некоторого вещества с 9 литрами 40-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. Смешали 9 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 11 литрами 35-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 8 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

1. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 12% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

1. Смешав 83-процентный и 84-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 67-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 77-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 83-процентного раствора использовали для получения смеси?

1. Смешав 22-процентный и 64-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 47-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 57-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 22-процентного раствора использовали для получения смеси?

1. Смешав 32-процентный и 84-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 34-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 39-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 32-процентного раствора использовали для получения смеси?

1. Смешав 91-процентный и 93-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 55-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 75-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 91-процентного раствора использовали для получения смеси?

1. Имеется два сосуда. Первый содержит 75 кг, а второй — 25 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 67% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 74% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

1. Имеется два сосуда. Первый содержит 75 кг, а второй — 50 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 52% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 59% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?